Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord

Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
Auteur
Henk Schaap
Laatst gewijzigd
09 januari 2017
Licentie
CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie
Webadres
https://maken.wikiwijs.nl/94063
Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is
hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.
Inhoudsopgave
inleiding
optellen en aftrekken
wat is het eigenlijk, dat optellen en aftrekken?
op antwoord
vermenigvuldigen
wat is keer ook weer?
Maal voor Plus
delen
wat is delen?
Van Dale
machtsverheffen
wat is machtsverheffen?
machtsverheffen voor vermenigvuldigen
test
worteltrekken
Hoe schrijf je het netjes op?
Over dit lesmateriaal
Pagina 1
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
inleiding
Deze digitale lessenserie is bedoeld als naslagwerk voor elke leerling die weer even scherp op een
rijtje wil zetten hoe het rekenen ook al weer werkt en waarom.
BREKEND NIEUWS
Dankzij baanbrekend onderzoek van een aantal vooraanstaande wiskundigen is een schrijnende
misstand aan het licht gekomen: Decennia lang zijn Nederlandse scholieren verkeerd voorgelicht.
Goedbedoelende juffen, meester, vaders, moeders, ooms of tantes dachten met een leuk
ezelsbruggetje de arme kindertjes die moeite met rekenen hebben te kunnen helpen.
Het gaat om de beroemde zin:
Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord!
(In sommige kringen ook verbasterd tot “Ha Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord.)
Volgorde volgens Van Dale
Volgens deze ezelsbrug is de volgorde van bewerkingen in een rekenopdracht:
Machtsverheffen
Vermenigvuldigen
Delen
Worteltrekken
Optellen
Aftrekken
Helaas, deze ezelsbrug is al jaren geleden ingestort, geen ezel (een intelligent dier, namelijk) loopt
hier nog overheen.
Wat gaat er mis?
Laten we eerst de goede regel geven:
In een rekenopdracht moeten de bewerkingen in de volgende volgorde afgewerkt worden:
Eerst de uitdrukkingen tussen haakjes uitwerken (als die er zijn);
Dan machtsverheffen;
Dan vermenigvuldigen;
Tot slot optellen.
Als je meer dan één bewerking van dezelfde soort achter elkaar hebt, werk je die af in de volgorde
van de opgave.
Natuurlijk valt het de oplettende lezers meteen op dat worteltrekken, delen en aftrekken weggelaten
zijn. Dat lijkt maar zo.
Worteltrekken is een vorm van machtsverheffen:
.
Delen is een vorm van vermenigvuldigen:
Aftrekken is een vorm van optellen:
Pagina 2
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
optellen en aftrekken
wat is het eigenlijk, dat optellen en aftrekken?
optellen
Een van de eerste wiskundige activiteiten van de mens was het tellen.
Hoeveel schaapjes heb ik?
Hoveel volle manen tot de volgende overstroming van de Nijl?
En na het tellen kwam al snel het optellen.
Eerst had ik 10 schapen, er zijn 4 lammetjes geboren, dus nu heb ik...
Optellen zou je ook doortellen kunnen noemen: eerst tot 10 tellen voor de schaapjes die je al had, en
dan nog 4 stappen verder tellen voor de lammetjes die er bij gekomen zijn.
aftrekken
Na het optellen kwam al snel het aftrekken:
Eerst had ik 14 schapen. Ik heb er 5 aan mijn vriend de wolf gegeven. Hoeveel schapen heb
ik nog over?
Aftrekken zou je ook terugtellen kunnen noemen. Je begint bij 14 en telt 5 stappen terug.
inverse
Optellen en aftrekken zijn duidelijk familie van elkaar.
Dit is dezelfde situatie, op twee verschillende manieren gebracht.
Het wordt nog duidelijker als we eerst optellen en daarna weer aftrekken:
We zeggen dan:
de bewerkingen
en
zijn elkaars inverse
twee bewerkingen zijn elkaars inverse als de ene bewerking het effect van de andere
bewerking teniet doet
op antwoord
waarom gaat optellen niet altijd voor aftrekken?
basis verklaring
Pagina 3
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
Tellen, doortellen en terugtellen, en dus optellen en aftrekken, de regels moeten natuurlijk wel
kloppen met de echte wereld.
Kijk naar het volgende voorbeeld:
Ik heb 7 schaapjes. ik geef 3 schaapjes aan mijn vriend de wolf. Ik krijg er 4 lammetjes bij.
Daar hoort de volgende berekening bij:
Laten we nu eens aannemen dat optellen vóór aftrekken moet gaan. dan zou ik nu nog 0
schaapjes hebben. Oeps.
Maar als ik naar mijn kudde kijk, dan heb ik er 8.
Als onze regels moeten kloppen met de werkelijkheid, dan gaat optellen dus niet altijd voor aftrekken,
nee, we moeten het programma van links naar rechts afwerken, in de volgorde van de opgave.
verklaring voor gevorderden
Als we al weten wat negatieve getallen zijn, kunnen we afscheid nemen van het aftrekken en dan is
er helemaal geen volgordeprobleem meer.
Daarvoor eerst een nieuwe definite van aftrekken:
“Ergens een getal van aftrekken is hetzelfde als het tegengestelde van dat getal erbij optellen.”
Wat is een tegengestelde?
Twee getallen heten elkaars tegengestelde als hun som 0 is.
Vb.:
en
zijn elkaars tegengestelde.
De bewerking optellen heeft twee belangrijke eigenschappen:
1
Als je twee getallen bij elkaar optelt, maakt het niet uit met wie je begint:
Dit staat bekend als de commutatieve eigenschap.
2
Als je meerdere getallen bij elkaar optelt, mag je zelf weten wie je het eerst bij elkaar doet:
en
Dit staat bekend als de associatieve eigenschap.
Het gevolg van deze twee eigenschappen is dat je bij een optelling van meerdere getallen helemaal
zelf de volgorde kunt bepalen. Heel handig, want dan neem je eerst de getallen samen die een
mooie uitkomst opleveren, een bekende truc bij het narekenen van een kassabon.
Neem nu het volgende voorbeeld:
Als optellen voor aftrekken zou gaan, komt hier 0 uit. Maar dat klopt niet met de definitie van
Pagina 4
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
aftrekken en het fraaie feit dat je kunt goochelen met de volgorde:. Kijk maar:
of
of
of
Is dit nu een slimmigheidje van de wiskunde, of is de wiskunde zo ingericht dat het klopt met het
echte leven?
Een voorbeeld uit dat echte leven:
Een stadbus waar mensen in- en uitstappen:
Er zitten 10 mensen in de bus, er stappen er 3 uit, er stappen er 7 in. Hoeveel mensen zitten
er dan in de bus.
En een ander voorbeeld, nu met geld:
Er staat 10 euro op mijn bankrekening, ik maakt 3 euro aan het fonds voor Zwarte Schapen
over en ontvang 7 euro van een dankbare leerling. Hoeveel staat er nu op mijn bankrekening?
En als ik nu begin met 0 euro, dan 3 euro overmaak (ik mag rood staan) en vervolgens 10
euro binnen krijg en tot slot ook nog eens 7 euro?
De wiskunderegels kloppen natuurlijk met de werkelijke wereld (of is het andersom???)
Pagina 5
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
vermenigvuldigen
wat is keer ook weer?
wat is vermenigvuldigen?
Vermenigvuldigen is herhaald optellen. Tenminste, zo is het begonnen. daarna is de bewerking een
geheel eigen leven gaan leiden, maar dat is nu even een ander verhaal.
Oorspronkelijk is het een afkorting.
Ik woon in een gebied van schapenhoeders. Ik ben groter en sterker. Dus bied ik de schapenhoeders
aan om ze te beschermen tegen mensen die hun schaapjes af willen pakken (denk aan mijn goede
vriend de wolf). Daar moeten ze me natuurlijk wel voor betalen, natuurlijk, met schaapjes. er zijn 5
herders, en elk van deze herders mag mij 3 schaapjes geven.
Als ik dan wil uitrekenen hoeveel schaapjes ik hieraan over houd, dan kan dat als volgt:
Dat bedoelen we met herhaald optellen.
En dat korten we voortaan als volgt af:
Vooral bij grotere getallen een erg gebruikersvriendelijke afkorting...
Ook vermenigvuldigen is een bewerking met de commutatieve en associatieve eigenschap:
en
Dus ook met vermenigvuldigen mag je met de volgorde goochelen zoals jou dat uitkomt:
Maal voor Plus
waarom gaat vermenigvuldigen voor optellen?
Bekijk het volgende voorbeeld:
Ik heb 11 schaapjes.
Van 4 schaapherders krijg ik elk 3 schaapjes als betaling voor mijn bescherming.
Hoeveel schaapjes heb ik nu?
Als het vermenigvuldigen nog niet uitgevonden is, dan levert dit de volgende berekening op:
en daar komt natuurlijk 23 uit.
Nu komt die nieuwlichterij van het vermenigvuldigen:
Ga ik nu als een blind paard van links naar rechts rekenen, dan krijg ik
Pagina 6
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
Oeps.
Dat klopt niet.
Oplossing:
Laten we afspreken dat vermenigvuldigen voor optellen gaat.
(En aangezien aftrekken een vorm van optellen is, gaat keer ook voor min.)
Dus dan wordt het:
en nu klopt het wel met het echte leven.
Pagina 7
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
delen
wat is delen?
basis
Delen is de inverse van vermenigvuldigen.
Oftewel:
Als je eerst een getal met 3 vermenigvuldigt, en daarna de uitkomst weer door 3 deelt, dan ben je
terug op het beginpunt:
.Op elke basisschool krijgen leerlingen dan ook invulopgaven zoals:
want
gevorderden
Omdat er ook delingen zijn die niet op een mooi getal uitkomen, hebben we vervolgens de breuken
uitgevonden. Dat was nog niet zo eenvoudig, maar het is uiteindelijk toch gelukt.
dan komt de volgende definite voor gevorderden in beeld::
delen door een getal is vermenigvuldigen met het omgekeerde van dat getal
Wat is het omgekeerde van een getal?
Twee getallen zijn elkaars omgekeerde, als hun product 1 is
Voorbeeld:
en zijn elkaars omgekeerde.
Niet zo’n vreemde naam, je wisselt teller en noemer om.
Elk getal behalve 0 heeft een omgekeerde. Je kunt dan ook door elk getal behalve 0 delen.
Zo kan je elke deling als een vermenigvuldiging schrijven:
.
Van Dale
Nog in 1985 stond in mijn wiskundeboek dat vermenigvuldigen vóór delen gaat. Helaas, als we dat
zouden afspreken komen we met de andere afspraken in de knoop.
Eerste verklaring:
Als delen de inverse is van vermenigvuldigen, dan heft de ene bewerking de andere op: Eerst met 3
vermenigvuldigen en dan door 3 delen moet er toe leiden dat je op het uitgangspunt teruggaat:
Pagina 8
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
En andersom:
Als we echter x voor : zouden laten gaan, dan klopt de tweede berekening niet.
Tweede verklaring:
Als delen een vorm van vermenigvuldigen is, kunnen we vermenigvuldigen niet vóór delen laten
gaan.
Neem het volgende voorbeeld:
Als vermenigvuldigen voor delen zou gaan, dan komt hier uit:
Maar dat klopt niet met de definitie en het feit dat je met de volgorde mag goochelen bij een
vermenigvuldiging:
In de praktijk is dit niet vaak een probleem: Het teken wordt in de wiskunde niet veel gebruikt, we
geven de voorkeur aan de horizontale breukstreep. En die horizontale breukstreep heeft ingebouwde
haakjes!
Bij de tweede opgave zal niemand vermenigvuldigen voor delen willen laten gaan. Bovendien zie je
daar mooi dat je met de volgorde kan goochelen:
Prettig voor de mensen die er niet aan denken om eerst te vereenvoudigen voor ze gaan
vermenigvuldigen.
Een voorbeeld uit het ‘echte’ leven
Een tweede reden dat het in de praktijk niet zo’n probleem is, is dat het in het echte leven niet zo
vaak voorkomt dat je een aantal vermenigvuldigingen en delingen achter elkaar uit moet voeren. Een
beetje een geforceerd voorbeeld: Je maakt een Word-document. Je wil een afbeelding opnemen die
25 cm hoog is. Dat vind je te groot, je verkleint de hoogte 5 keer (dus je deelt door 5). later bedenk je
je weer, er is toch meer ruimte dan je dacht, je vergroot de hoogte 4 keer. Hoe hoog wordt de
uiteindelijke afbeelding?
Niet echt een bewijs, maar wel overtuigend: toets het in op je rekenmachine of voer het als formule in
Excel in. (In Excel moet je de slash als deelteken gebruiken, de asterix als maalteken en de
berekening beginnen met een teken, dus dan wordt het =25/5*4.)
Pagina 9
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
Pagina 10
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
machtsverheffen
wat is machtsverheffen?
Machtsverheffen is herhaald vermenigvuldigen
In den beginne is machtsverheffen dus een afkorting:
(Later gaat deze bewerking ook weer een geheel eigen leven leiden, maar dat is nu nog niet terzake.)
In strikte zin is kwadrateren dus geen machtsverheffen, er is immers geen herhaling. Maar daar
maken we geen probleem van.
machtsverheffen voor vermenigvuldigen
Neem weer een voorbeeld:
Als je eerst vermenigvuldigt, krijg je
en dan klopt de afkorting niet meer:
Dus:
Pagina 11
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
test
D-toets 1
kn.nu/ca9k1
Nu volgen een paar rekenopgaven, als test of je het voldoende begrepen hebt:
opgave 1
a. 5
b. 8
c. 7
d. geen van de drie
opgave 2
a. 15
b. 6
c. 42
d. geen van de drie
opgave 3
a. 34
b. 2
c. 10
d. geen van de drie
opgave 4
a. 20
b. 100
c. 50
Pagina 12
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
worteltrekken
Wat is worteltrekken?
Worteltrekken is de inverse bewerking van kwadrateren.
Wat is kwadrateren?
Kwadrateren is een getal tot de macht 2 verheffen, oftewel: met zich zelf vermenigvuldigen.
Het gaat nu wat te ver om te laten zien dat het klopt, maar uit de definitie van worteltrekken en de
andere eigenschappen van machtsverheffen volgt dat de wortel uit een getal trekken hetzelfde
oplevert als dat getal tot de macht verheffen. Worteltrekken is dus een vorm van machtsverheffen.
En machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen en delen!
Opnieuw is dit in de praktijk niet zo’n groot probleem. In het wortelteken zit een horizontale streep (de
vlag), die als een beschermende arm over het getal heen hangt waar de wortel uit getrokken wordt.
Die streep heeft dezelfde werking als haakjes.
Wat voorbeelden:
Pagina 13
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
Hoe schrijf je het netjes op?
Het netjes opschrijven van een samengestelde berekening is nog een vak apart.
In de bijgaande video kun je hier een uitleg over vinden.
opschrijven samengestelde berekeningen
kn.nu/wwec9f7d4 (youtu.be)
Pagina 14
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
Antwoorden
Antwoorden: D-toets 1
resultaat
nog niet goed (0 tot 2 punten)
Bestudeer je fouten, stel vragen en maak daarna D-toets 2.
goed (2 tot 4 punten)
Goed gedaan, ga door naar het volgende onderwerp
Vragen en antwoorden in deze categorie
opgave 1
1. 5 (0 punten)
2. 8 (0 punten)
3. 7 (1 punten)
4. geen van de drie (0 punten)
Waarde: 1 punten
opgave 2
1. 15 (0 punten)
2. 6 (1 punten)
3. 42 (0 punten)
4. geen van de drie (0 punten)
Waarde: 1 punten
opgave 3
1. 34 (0 punten)
Je hebt keer niet voor min laten gaan maar van links naar rechts gewerit.
2. 2 (0 punten)
Je denkt dat optellen voor aftrekken gaat.
Pagina 15
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
3. 10 (1 punten)
Eerst de vermenigvuldiging en dan van links naar rechts.
4. geen van de drie (0 punten)
Waarde: 1 punten
opgave 4
1. 20 (0 punten)
Misschien heb je gedacht dat
gelijk is aan
maar pas op: kwadrateren is wat anders dan
verdubbelen.
2. 100 (0 punten)
Nu heb je eerst 2 x 5 gedaan, dat is 10 en vervolgens
uitgerekend, dat is 100
3. 50 (1 punten)
Waarde: 1 punten
Pagina 16
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord
Over dit lesmateriaal
Colofon
Auteur
Henk Schaap
Laatst gewijzigd
09 januari 2017 om 15:28
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons
Naamsvermelding 3.0 Nederlands licentie. Dit houdt in dat je onder de
voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk
medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken
te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Meer informatie over de CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Leerniveau
VWO 2; HAVO 2;
Leerinhoud en
Rekenen/wiskunde; Volgorde bewerkingen; Getallen en variabelen; Rekenen
doelen
met getallen;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad gemiddeld
Studiebelasting
1 uur en 0 minuten
Trefwoorden
rekenen; volgorde van bewerkingen
Bronnen
Bron
Type
opschrijven samengestelde berekeningen
https://youtu.be/Wiw5ndSmotg
Video
Pagina 17
Meneer van Dale wacht helemaal niet op antwoord