1 Telex 117 - Edward Omey

1
Telex 117,
1.1
Puzzel 6.1
Proefondervindelijk vinden we dat
5=2+3
7=3+4
11 = 5 + 6
12 = 3 + 4 + 5
14 = 2 + 3 + 4 + 5
n(n + 1)=2 = 1 + 2 + : : : + n
Enzovoort. Vele natuurlijke getallen kunnen geschreven worden als de som
van opeenvolgende natuurlijke getallen. Voor welke getallen gaat dit niet?
Oplosssing
De machten van 2 kunnen NIET geschreven worden als de som van opeenvolgende natuurlijke getallen.
Stel k 1; a 0 en dat
a + (a + 1) + (a + 2) + ::: + (a + k) = 2m
In dit geval vinden we dat
(k + 1)a +
k(k + 1)
= 2m
2
of dat
(k + 1)(a +
k
) = 2m
2
Hieruit volgt dat
k + 1 = 2u , en 2a + k = 2v+1
waarbij u + v = m. Uit de eerste vergelijking volgt dat k oneven moet zijn,
maar 2a + k kan dan onmogelijk even zijn.
1.2
Puzzel 6.2
Is 55074427 de som van 12 opeenvolgende (positieve) natuurlijke getallen?
Oplossing
De som van 12 opeenvolgende getallen is altijd even!
1.3
Puzzel 6.3
Neem 0
x=1
y
1. Zoek het grootste getal c zodat
r
r
1
1
x+ + y+
c
x
y
en ga na wanneer de gelijkheid optreedt.
Oplossing
1
We bekijken de functie
f (x) =
r
x+
1
,0
x
x
1
p
Deze functie daalt van 1 (voorpx = 0) tot 2 (voor x = 1).
De functie f (1 x) stijgt van 2 (in x = 0) tot 1 (voor x = 1).
De som g(x) = f (x) + f (1 x) is symmetrisch rond x = 1=2 en bereikt
(maak een schets!) haar minimum voor x = 1=2.
Het mimimum is gelijk aan
p
p
c = 2f (1=2) = 2 5=2 = 10
2