Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs

Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
Blok 10 : 15:45 uur t/m 16:25 uur
Blok 11 : 16:30 uur t/m 17:10 uur
Lesweek 04
Oefentoets over behandelde stof in lesweek 03
Naam + studentennummer.
Tijd ca. 30 minuten
Daarna klassikaal behandeling
Theorie
Goniometrie
We kennen twee tekendriehoeken, de halve gelijzijdige driehoek en het halve vierkant.
De verhoudingen van de zijden is te berekenen met de stelling van pythagoras en blijkt te zijn:
1 : √3 : 2
1 : 1 : √2
Voor de halve gelijkzijdige driehoek
Voor het halve vierkant
In rechthoekige driehoeken waarin de hoeken van 30°, 60° en 45° voorkomen, zullen deze
verhoudingen bestaan.
In elke driehoekige rechthoek is het mogelijk om met de verhoudingen van de zijden, de
hoeken te berekenen. Men noemt dit goniometrie of hoekmeting.
Noemt men de zijden van een rechthoekige driehoek a, b en c dan zijn er 6 verschillende
verhoudingen mogelijk.
Sinus β = a / b
Cosecans β = a / b
Cosinus β = c / a
Secans β = a / c
Tangens β = b / c
Cotangens β = c / b
Marc Roos
Pagina 1 van 13
24-7-2017
Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
sin β = overstaande rechthoekszijde
C
schuine zijde
cos β = aanliggende rechthoekszijde
schuine zijde
a
b
tan β = overstaande rechthoekszijde
aanliggende rechtshoekszijde
cotan β = aanliggende rechthoekszijde
overstaande rechthoekszijde
c
A
B
Het verband tussen sinus, cosinus en tangens
sin α = a / b en ook cos γ = a / b
C
cos α = c / b en ook sin γ = c / b
b
a
Hieruit blijkt dat de sinus van een hoek even groot is
Als de cosinus van het complement van die hoek.
Dus bijv. sin 35° = cos 55 °
A
B
c
sin α = cos ( 90° - α )
cos α = sin ( 90° - α )
Uit bovenstaande blijkt verder dat :
sin α / cos α = a / b : c / b = a / c = tan α
tan α = sin α / cos α
Goniometrische verhoudingen in de eenheidscircel.
a.
b.
c.
d.
e.
Marc Roos
Elke hoek wordt ingesloten door twee benen, het vaste – en het draaibeen
Elke hoek kan met zijn hoekpunt in de oorsprong van het assenstelsel geplaatst
worden en met het vaste been langs de x-as
De hoek waarover gedraaid wordt heet α, deze wordt uitgedrukt in graden.
De positieve richting van de draaihoek is tegen de wijzers van de klok in
De grootte van de hoek wordt volledig bepaald door de verhouding van de
coordinaten van een punt op de draaibeen (x, p).
Pagina 2 van 13
24-7-2017
Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
y-as
P (x,y)
1
y
x-as
x
O
In de eenheidscircel geldt voor de hoeken van 0° tot 360°;
sin α = y
cos α = x
tan α = y / x
Pythagoras
x^2 + y^2 = 1
Of
cos2 α + sin2 α = 1
y-as
90
120
135
150
0,87
0,71
60
0,5
180
45
30
0
x-as
O
In bovenstaand figuur geven we enkele sinussen van bekende hoeken tussen 0° en 180°, dus
in het eerste en tweede kwadrant van de eenheidscircel.
sin α = y
sin 180° = sin 0° = 0
sin 150° = sin 30° = 0,5
sin 135° = sin 45° = 0,71 (of 1/2√2)
sin 120° = sin 60° = 0,87 (of 1/2√3)
sin 90° = 1
Marc Roos
Pagina 3 van 13
24-7-2017
Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
y-as
90
120
60
135
45
30
150
180
0
-1
-0,87 -0,71 -0,5
O
0,5
0,71 0,87 1
x-as
In het bovenstaand figuur geven we enkele cosinussen van bekende hoeken tussen 0° en 180°:
cos α = x
cos 180° = -cos 0° = -1
cos 150° = -cos 30° = -0,87
cos 135° = -cos 45° = -0,71
cos 120° = - cos 60 = -0,5
Voor een hoek α in het tweede kwadrant geldt:
sin α = sin ( 180° - α )
cos α = - cos ( 180° - α )
tan α = - tan (180° - α )
Radialen
De omtrek van de eenheidscircel = 2 π r = 2 π 1 = 2 π = 6,28
Zo zal op elk punt van de circelomtrek een reel getal tussen 0 en 6,28 zijn afgebeeld.
Na een periode van 2π zal het zelfde punt weer worden bereikt, we noemen dit een periodieke
functie met een periode van 2π.
Een radiaal is de grootte van een circelboog waarvan de lengte gelijk is aan de straal van de
circel.
In eenheidscircel bevat 2π radialen = 6,28 radialen.
Éen radiaal is gelijk aan 360° / 2π = 57,3° = 57° 18’
Ook de middelpuntshoek α die op de boog staat van één radiaal, noemen we een radiaal.
De radiaal kunnen we dus beschouwen als een maateenheid voor het meten van circelbogen
en hoeken.
Marc Roos
Pagina 4 van 13
24-7-2017
Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
y-as
Bijv. 90°/360° * 2π = 1,57 →
1,57 / π = 0,5 →
1,57 = 0,5π
90
1/2
1,57
120
2/3
60
2,09
1/3
1,05
rad = α / 360 * 2π
150
5/6
30
2,62
1/6
0,52
180
0
3,14
2
O
1 1/6
1 5/6
3,66
210
1 1/3
1 2/3
4,18
x-as
0
6,28
360
1 1/2π = 4,71 →
4,71 / 2π * 360° = 270°
α = rad / 2π * 360°
5,76
330
5,23
300
240
1 1/2
4,71
270
We hebben de sinus nu op twee manieren leren kennen: als verhouding in een rechthoekige
driehoek en als de lengte van een lijnstuk op de eenheidscircel.
In beide gevallen wordt een hoek afgebeeld op een getal.
In het eerste geval wordt een hoek in graden uitgedrukt: sin 30° = 0,5.
In het tweede geval wordt de grootte van de hoek bij voorkeur in radialen uitgedrukt:
sin 5/6 rad = 0,5
Heel vaak beschouwt men de sinus echter als een functie die een getal afbeeldt op een getal.
Men bereikt dit door in het tweede geval de hoekmaat rad. weg te laten. Men schrijft dan
Sin π/6 = 0,5
Natuurlijk geldt dit ook voor cosinus en tangens.
Sin 1/6π = sin 0,52 = 0,5
Sin 1/2π = sin 1,57 = 1
Sin π
= sin 3,14 = 0
Sin 1 1/6π = sin 3,66 = - 0,5
Sin 1 1/2π = sin 4,71 = -1
Sin 2π
= sin 6,28 = 0
Marc Roos
(π/6 / 2π * 360° = 30° → sin 30° = 0,5)
Pagina 5 van 13
24-7-2017
Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
Door de functie sinus worden de reële
getallen afgebeeld op het interval [-1 , + 1]
van de y-as.
y-as
1
1/2
0,5
1/6
0
x-as
2
-0,5
1 1/6
1 1/2
-1
Door de functie cosinus worden de reële
getallen op het interval [-1 , +1] van de xas afgebeeld.
y-as
1/2
1/3
-1
1
0
-0,5
0,5
2
x-as
360
1 1/3
1 1/2
Cos 1/3π = cos 1,05 = 0,5
Cos 1/2π = cos 1,57 = 0
Cos π
= cos 3,14 = -1
Cos 1 1/3π = cos 4,18 = -0,5
Cos 1 1/2π = cos 4,71 = 0
Cos 2π
= cos 6,28 = 1
Marc Roos
Pagina 6 van 13
24-7-2017
Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
Tabel van de functie f(x) = sin x
0
1/6π 1/3π 1/2π 2/3π 5/6π π
x
f(x)
0
0,5
0,9
1
0,9
0,5
1
1
1
1
1
2π
1/6π 1/3π 1/2π 2/3π 5/6π
-0,5 -0,9 -1
-0,9 -0,5 0
0
f(x) = sin x
1
0,5
0
1/6
1/3
1/2
2/3
5/6
1 1/6
1 1/3
1 1/2
1 2/3
1 5/6
2
-0,5
-1
Tabel van de functie f(x) = cos x
0
1/6π 1/3π 1/2π 2/3π 5/6π π
x
f(x)
1
0,9
0,5
0
-0,5
-0,9
-1
1
1
1
1
1
2π
1/6π 1/3π 1/2π 2/3π 5/6π
-0,9 -0,5 0
0,5
0,9
1
f(x) = cos x
1
0,5
0
1/6
1/3
1/2
2/3
5/6
1 1/6
1 1/3
1 1/2
1 2/3
1 5/6
2
-0,5
-1
De cosinusfunctie ijlt dus een ½ π (of een kwart periode ) na.
(Men kan de cosinus beschouwen als een sinusfunctie waarvan de grafiek een ½ π (naar links)
verschoven is.)
Marc Roos
Pagina 7 van 13
24-7-2017
Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
Verdubbelingsformules en de sinus- en cosinusregel
α
sin2α
cos2α
cos2α
1/6π
0,25
0,75
0,5
1/4π
0,5
0,5
0
1/3π
0,75
0,25
-0,5
1 1/6π
0,25
0,75
0,5
-3/8π
0,854
0,146
-0,708
3 1/4π
0,5
0,5
0
Uit bovenstaande tabel blijkt:
Cos2α = cos2α – sin2α
α
sinα
cosα
sin2α
1/6π
0,5
1/2√3
1/2√3
1/4π
1/2√2
1/2√2
1
1/3π
1/2√3
0,5
1/2√3
1 1/6π
-0,5
-1/2√3
1/2√3
-3/8π
-0,924
0,382
-0,707
3 1/4π
-1/2√2
-1/2√2
1
Uit bovenstaande tabel blijkt:
Sin2α = 2*sinα * cosα (2 * 0,5 * 0,5√3 = 0,5√3)
Sinusregel
C
b
h
a
c
A
B
Bewijs:
Sin α = h / b → h = b sin α
Sin β = h / a → h = a sin β
a sin β = b sin α
a : sin α = b : sin β
a
b
sin α = sin β
Marc Roos
c
= sin γ
Pagina 8 van 13
24-7-2017
Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
De verhoudingen tussen de lengte van een zijde en de sinus van de tegenoverliggende
hoek zijn aan elkaar gelijk.
De oppervlakte van een driehoek
C
b
A
h
a
c
B
Voor de oppervlakte van driehoek ABC geldt : ABC = ½ c h.
Met behulp van goniometrie is het mogelijk berekeningen in driehoeken uit te voeren met
behulp van natuurlijke gegevens.
sin α = h / b, dus h = b sin α
Voor de oppervlakte van ∆ ABC vinden we nu door substitutie van h in ½ ch:
ABC = ½ b c sin α
Uit de gevonden formule kan men door cyclische verwisseling de twee anderen afleiden.
ABC = ½ a c sin β
ABC = ½ a b sin γ
De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden ,
vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek.
Marc Roos
Pagina 9 van 13
24-7-2017
Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
cosinusregel
C
b
a
h
p
A
c
B
Bewijs:
b2 = h2 + (c – p)2
a2 = h2 + p2
b2 – a2 = (c – p)2 – p2
→
b2 = a2 + c2 – 2 c p
regel 1
p = a cos β
regel 2
regel 2 in regel 1
b2 = a2 + c2 – 2 a c cos β
Het kwadraat van een zijde is gelijk aan de som van het kwadraat van de andere zijden
verminderd met het dubbele product van de andere zijden en de cosinus van hun
ingesloten hoek.
Zo ook:
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
c2 = a2 + b2 – 2 a b cos γ
Marc Roos
Pagina 10 van 13
24-7-2017
Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
De som- en verschilformules
De oppervlakte van ∆ POR is ook gelijk aan de som van de twee rechthoekige driehoeken
PRS en QRS, waarin RS zowel gelijk is aan pcosβ als aan qcosα
Afleiding:
R
q
p
h
P
S
Opp. ∆ PQR = ½ pq sin (α + β)
Q
( h = q ( sin α + β)
Opp. ∆ RSQ = ½pq sin β cos α
Opp. ∆ PRS = ½pq sinα cos β
Gelijkstellen:
∆PQR = ∆RSQ + ∆PRS
½ pq sin (α + β) = ½pq sin β cos α + ½pq sinα cos β
Hieruit volgt na deling van beide leden door ½ pq:
sin (α + β) = sin β cos α + sinα cos β
En voor een cosinus van een verschil van beide hoeken met
cos α = sin ( 90° - α ) en sin α = cos ( 90° - α ) :
cos (α – β) = sin (90 – (α – β)) = sin ((90 – α) + β) =
sin(90 – α) cos β + cos(90 – α) sin β =
Marc Roos
Pagina 11 van 13
24-7-2017
Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
cos α cos β + sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Op dezelfde wijze vindt men de formules voor de sinus van een verschil en de cosinus van
een som van twee hoeken.
R
q
p
P
S
Q
De oppervlakte van ∆ POR is nu:
½ pq sin (α – β )
Maar deze oppervlakte is ook gelijk aan het verschil van de twee rechthoekige driehoeken
PRS en QRS, waarin RS zowel gelijk is aan pcosβ als aan qcosα. Dit levert dus op:
½ pq sin ( α – β ) = ½ pq sin α cos β – ½ pq cos α sin β
Hieruit volgt na deling door ½ pq:
sin ( α – β ) = sin α cos β – cos α sin β
en met behulp van: sin α = cos ( 90° - α ), cos α = sin ( 90° - α )
cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β
Indien men in de somformule, sin (α + β) = sin β cos α + sinα cos β, β = α neemt dan krijgt
men de verdubbelingsformule sin2α = 2*sinα * cosα.
En voor, cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β, krijgt men de verdubbelingsformule
cos2α = cos2α – sin2α
Vervangt men hierin cos2α door ( 1 – sin2α ) dan is:
cos2α = 1 – 2 sin2α
2 sin2α = 1 - cos2α
Marc Roos
Pagina 12 van 13
24-7-2017
Hogeschool Rotterdam – Cluster Ribacs
Module: ribWIS01t – 2e kwartaal 2005/2006
Toegepaste wiskunde / Propedeuseprogramma 1e jaar
Vervangt men sin2α door ( 1 – cos2α ) dan ontstaat:
cos 2α = 2 cos2α -1
2 cos2α = cos 2α + 1
De bovenstaande nevenformules stellen ons in staat van een enkele hoek naar een dubbele
hoek over te stappen of van een kwadratische vorm een niet-kwadratische te maken.
Natuurlijk mogen we in deze formules de dubbele hoek vervangen door een enkele, een
vierdubbele enzovoorts.
De formule sin2α = 2*sinα * cosα kan dan bijvoorbeeld worden:
sinα = 2*sin ½ α * cos ½ α
of
sin4α = 2*sin 2α * cos 2α
en ook
sin ½α = 2*sin ¼ α * cos ¼ α
zelfs
sin 3 ½ α = 2*sin 1 ¾ α * cos 1 ¾ α, enzovoorts
Marc Roos
Pagina 13 van 13
24-7-2017