Elektromagnetisme en Licht

Elektrostatica
Magnetostatica
Elektromagnetisme  Licht
1
Elektrostatica
Magnetostatica
Slides magnetostatica college I t/m III
(de rest wordt later uitgedeeld)
2
Inhoud Magnetostatica
Magnetostatica (5 colleges)
I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)
II. Wet van Ampere
 
 
III. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Bdl   0 I &   B  0
IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie
V. Toepassingen/Practikum: Hall effect, Toroide met spleet.
Griffiths:
 Lorentz Foce Law: §5.1 t/m §5.2 (Niet stroomdichtheden K, J)
UP:
 Magnetic field and forces §27.1 , §27.2 , §27.4 t/m §27.7
 Biot-Savart §28.2 t/m §28.5
3
Magneet: experiment
geen monopolen!
noord/zuid
N
Z
N
Z
F
N
Z
N
Z
nieuwe kracht:
Fmagnetisch >> Fgravitatie
noord: “N” & zuid: “Z”
NN & ZZ: afstotend
NZ & ZN: aantrekkend
Eenheden:
- Stroom [I]: Ampère A=C/s
- Magneetveld [B]:
Tesla T=N/Am=Ns/Cm=kg/Cs
N
Z
N
N
N
Z
Z
Z N
Z
N
N
N
Z
Z N
N
Z N
Z
Z
Z N
Z
N
N
Z
Z N
Z
geen monopolen!
dipolen: “kleinste”
Anders dan elektrostatica:
1. beweging lading q in B-veld
2. B-veld als gevolg van stroom I
5
In twee draden lopen stromen, in dezelfde richting.
Er geldt:
A De draden stoten elkaar af
B De draden trekken elkaar aan
C Er zijn geen krachten tussen de
draden
7
Constant B-veld
 Lorentzkracht
 bewegingsvergelijking voor q
Lorentzkracht
De Lorentzkracht
Voorbeelden
Het Hall effect
Kracht op stroomdraad
Moment op stroomlus
8
q>0
y
B
Lorentzkracht
v

Experiment
x
q
• F  veld B
q<0
• F  lading q
F
 Fv
F
 Fsin
180o

• F  sinus ( v , B )
• F  v en F  B
v
90o
• F  snelheid v
  
F  qvB
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap21/cd533capp.htm
http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/emField/emField.html
9
V.b. kracht op een stroomdraad
y
z
I
x
L B

F
Situatie:
• uniform B-veld
• draadstuk L stroom I
Gevraagd:
• kracht F op draadstuk

B  Bkˆ ,



ˆ
I  I j en I   v
 : lijnlading C/m 
met :  
v : snelheid m/s 

 
F   q v  B

 
 l  v  B  l  vBiˆ  F iˆ  vBdl iˆvBLiˆIBL
 lijnstuk


Samenvatte nd: F  Il  B en

F  IBL
11
12
V.b. draaimoment stroomlus
y
z
FR

x
B
I
FL

 F L   BILkˆ
Kracht :  
 F R   BILkˆ
Situatie:
• uniform B-veld
• draadlus LL stroom I
Gevraagd:
• moment  op draadlus
Galvano (stroom) meter



FL  FR  0
Draaimomen t:   BI L2 cos ( A&F:   )
   
(  m B, m  I oppervlak stroomlus)
 draadlus wil  BVeld
13
14
Ontdekking elektron (1897 J.J. Thomson)
Y
v0
X
t=0
t=a/v0
B
E
a
t=(a+L)/v0
v
d
L
Zelf doen: bereken uitwijking d
 
 E 0
 
F=ma
Afbuiging voor   
Geen afbuiging voor E  B
B

0
=mdv/dt

   


 0eE  ev 0 B
v t 0 v 0 v0iˆ (begin snelheid)

E
a /v

ˆj
eE
eE
a


 v0  
ˆj
dt v0iˆ 
v t  a / v v  v0iˆ  
B
m
mv0
0
0
0
2
eEa L
e v0 d
d v yt a a  L 


mv0 v0
m EaL
Combinatie levert e/m
voor het elektron!
15

r (t )
OPGAVE: deeltje in uniform B-veld
Deeltje met:
• lading q, massa m en snelheid v.
•Bepaal x(t) en y(t)
 
 r 0
t  0:  
v viˆ

B  Bkˆ
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B


dv

Newton : F  ma  m
dt
iˆ
ˆj
  
F  qv  B  q v x v y
0 0
y
z
x

v t 0viˆ
 d v x qB
 dt   m v y
dvy
d vx
ˆj  
iˆ  m
v z  qB v y iˆ  qB v x ˆj  m
d v y qB
dt
dt

B
 dt   m v x
X(0)=0
kˆ
2
2
t
mv  qBt 
qBt 
d v x  qB 



sin 

t
d
)
t
(

)
t
(
x

cos
v

)
t
(



x(t) b.v. :
v
v
v



  x
 x
x
2
m
qB
m
m




 
dt
0
Beschrijft cirkelbaan met (vB):
qBt  mv
mv

y (t )  cos

qB
straal R=mv/|q|B periode T= 2m/|q|B
 m  qB
Algemeen geldt: R=mv/|q|B p/|q|B
16
I=constant gegeven  B-veld
Wet van Biot-Savart
De elektrische stroom I
Het verband tussen stroom I en veld B
Voorbeelden
17
18
V.b. kracht tussen stroomdraden
Experiment A
Experiment B
I
F
F
F
I
Observatie:
• afstoting
Uitleg:
• elektrisch?
Observatie:
• aantrekking!
Uitleg:
• niet elektrisch!
• Magnetisch? Ja!
19
Wet van Biot-Savart: experiment
Elektrische stroom  magnetisch veld!
P

r
dl



 0 I dl rˆ
0
I rˆ
BP 


 dl 2
2
4 lijn r
4 lijn r
I
Samenhang:
• elektrostatica: ladingen
• magnetostatica: stromen
– permeabiliteit:
7 N
 0  4  10
2
A
– permittiviteit:
1
2
C
0 
4 107 c 2 N m2
1/00=c2
[m2/s2]
20
V.b. B-veld  lange draad
I
z
O
x
y

sin   sin   

z
r
P
r
r z
2
2
BP
Berekening B-veld:
Nadenken:
•Cilindersymmetrie: (rz)
•B in azimuthale () richting
Rekenen:
 0 I  dz


B P   d B 
 2 2 sin 
4  r  z 
lijn

 0I
B
ˆ
2r
http://home.a-city.de/walter.fendt/phe/mfwire.htm
 0 I  dz
r

 2 2
4  r  z  r 2  z 2
 2  I  I
 0I
z
0
0

|


4 r r 2  z 2  4 r 2 r
21
22
z
V.b. kracht tussen stroomdraden
O
x
y
B1
I1
I2
Situatie:
• stroomdraden met I1 en I2
• afstand R12, draadlengten L>>R12
Gevraagd:
• kracht op draad 2
R12
F1
F2
B2
Slim/snel antwoord:
• B-veld draad 1 op draad 2:
•
B1
B1=0I1/2R12
kracht op draad 2 door B1
F2= B1I2L=0I1I2L/2R12
Eleganter :
 
  I


 0 I 1I 2 L ˆ
0 1 ˆ  0 I 1I 2
ˆ

d
l


d
l



d
l




I
I
F2 2 
B1 2 
R12

2

2

2

R
R
R
draad 2
draad 2
12
12 draad 2
12
23
V.b. B-veld 1 stroomkring
x
z
O
y
I
R
B
2

R z
2

90o-
I
cos  
Berekening B-veld:
Nadenken:
– Cilindersymmetrie
z
d
P
R
R z

Bz =Bcos

BP 
Rd
2
90o
2
2

 0I
R
BP 
zˆ
3
/
2
2 R 2 z 2 
– B // as stroomkring
Rekenen:
Rd = dl
 0 I 2 Rd
 2 2 cos
 d Bz 
4 0 R  z 
kring
 0 I 2 Rd
R


4 0 R 2 z 2  R 2  z 2
cos
2
 0 I R 2 2  0 I
R

|
3/ 2
2
2
4 R  z 
2 R 2 z 2 3 / 2
0
24
25
I Wat heb ik geleerd?
Magneet N of Z
N
Kracht, B-veld
Z

F 
 
 
 I  Bdl  I  dl  B
stroom
Lorentzkracht
stroom


  0I
0
I rˆ
dl rˆ
B


 dl 2
2
4 stroom r
4 stroom r
  
F  qvB
stroomdraad
I
B
 0I
B
ˆ
2r
z-as
stroomkring
I
2

 0I
R
B z as 
zˆ
2 R 2 z 2 3 / 2
B
26
Inhoud Magnetostatica
Magnetostatica (5 colleges)
I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)
II. Wet van Ampere
 
 
III. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Bdl   0 I &   B  0
IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie
V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.
Griffiths:
 Currents: §5.1.3 (stroomdichtheden K, J)
 Divergence of B: §5.3.1, §5.3.3
UP:
 Pas op: Stroomdichtheden worden niet in UP behandeld!
 Ampere’s law §28.6 t/m §28.7
28
Stroomelementen: I,K en J
Lijn:
 
I  v

I

IC/sA (Ampère)

F 
lijn
Oppervlak:

I


dI

K 
v
dl 
lijn

F

I

lijn
KA/m
dl 
Volume:


dI

J 
 v
do

 
 
 I  Bdl  I  dl  B
 
 v  Bdl 
 
 v  Bdo 
oppervlak
 
 K  Bdo
oppervlak
JA/m2
do

F 
 
 v  BdV 
volume
 
 J  BdV
volume
29
Wet van Ampère
De wet van Ampère
Voorbeelden
30
Wet van Ampère
B-veld:
wet van Ampère
Vergelijk E-veld:
wet van Gauss
+Q
z
stroomdraad
E
 0I
B ˆ
2r
x
I
y
B
r
puntlading

E
1
Q
2 rˆ
4  0 r

1
 E doˆ 
oppervlak O

 0 omsloten
Qi
   0 I 2 1
 B  dl 
 rd
2 0 r
kring
 
  0 I   0  J do
schijf
31
V.b. Ampère dunne draad (flauw)
I
Dunne draad:
z
– stroom: I [AC/s]
– symmetrie: B // 
– “Ampère lus”: cirkeltje
  2
 0 I   Bdl   Brd
kring
0
 0I
 2rB  B 
2 r
  0I
B
ˆ
2 r

r
r
B
B
r
32
V.b. Ampère dikke draad
I
R
Dikke draad, =2R
– stroomdichtheid: J=I/R2 [A/m2=C/sm2]
– symmetrie: B // 
– “Ampère lus”: cirkeltjes
z
r
 
 Bdl  2rB

r
B
r
kring
2

 0 Ir
r
 r  R:  0 I 2  B 
2
2

R
R


 0I
 r  R:
 0 I  B

2 r
B
R
r
33
We beschouwen een holle metalen buis met straal R. In de wand
loopt een stroom. Welke figuur geeft het magnetisch veld als
functie van de afstand tot de as van de buis?
B
R
R
R
r
C
B
B
B
A
D
B
r
r
R
r
34
V.b. Ampère vlakke plaat
Vlakke plaat:
– stroomdichtheid: K [A/m=C/sm]
z
– symmetrie: B // vlak, B  K
– “Ampère lus”: rechthoekje
x
 
 Bdl   0 I  aB  aB   0 Ka
B
kring
 2 aB  B 
K
 0K
2
 0K

x 0: 
zˆ

 
2
B
 x 0:   0 K zˆ

2
B
B
a
X=0
x
X=0
35
Overzicht toepassingen
wet van Ampère
 
 B  dl   0 I omsloten   0
rand
 
 J do
oppervlak
I
Essentie:
Symmetrie!
I
B
B
B
I
K
Draad
Plaat
Solenoïde
Toroïde
36
Wat heb ik geleerd?
Volume:


dI

J 
 v
do

I

JA/m2
do

F 
 
 v  BdV 
volume
 
 B  dl   0 I omsloten   0
rand
 
 J  BdV
volume
 
 J do
oppervlak
37
Inhoud Magnetostatica
Magnetostatica (5 colleges)
I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)
II. Wet van Ampere
 
 
III. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Bdl   0 I &   B  0
IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie
V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.
Griffiths:
 Vektor: §1.2.5 en §1.3.5
Divergence of B: §5.3.2 tot vergelijking 5.48 doorlezen
 Comparison E, B: §5.3.4
UP:
 Pas op: rotatie en divergentie van B worden niet in UP behandeld
 §27.3 (Gauss law for Magnetism)
38
Stelling van Stokes
(wiskunde)
De rotatie
De stelling van Stokes
Voorbeeld
39
Rotatie:
   Ez E y   Ex Ez 
 E y Ex 
iˆ  
 kˆ
  E  



 ˆj  
 y z   z x 
 x y 
Beschouw lokaal de uitdrukking:
 
 Edl  0
kring
E(x+dx,y,z)
E(x,y,z)
0  dxE x ( x , y )  dyE y ( x  dx , y )  dxE x ( x , y  dy )  dyE y ( x , y )
dy
E y
y
x
dx
 Ez E y 
E E
  dzdx  x  z 
YZ en XZ : 0  dydz 

 z x 
 y z 
XY
“rotatie”:
Dus:
 E y Ex 
Ex

 0  dydx
 dxdy
 0  dxdy 

x
y
 x y 
 
 Ez E y 
ˆ
 
  E  i 

 y z 
 E y Ex 
E 
ˆj  x  E z   kˆ 
   x

 z x 
 x y 
Ex
 
  
 Edl  0    E  0
kring
iˆ
ˆj
kˆ
y
z
Ey
Ez
40
Stelling van Stokes (wiskunde)
Er volgt meer!
A(x,y,z)
dy
A(x+dx,y,z)
 
  
 
  Ax  A y 
  do  A z    A  do

 Adl  dxdy
rand
 y x 
 
  
  Adl 
  Ado
Opmerking:
consistentie keuze
oriëntaties vereist!
do
dx
rand
  ...   ...   
 Adl    Adl     Ado 
Willekeurige kromme:
i 1 i
rand
rand
i
n
n+1
n+2
globaal
oppervlak
lokaal
i 1 i
  
  Ado
oppervlak
Stelling van Stokes :
 
  
 Adl 
  Ado
rand
oppervlak

Let op : willekeurige A
41
V.b. rotatie en Stokes

(  y , x ,0)
A( x , y , z ) 
2
x  y2
expliciet voorbeeld:
rekenen:
iˆ
kˆ
ˆj
 
  A  x
y
z 
Ax
Ay
Az
iˆ
ˆj
kˆ
x
y
y
x
z
x y
2

 kˆ 
 x
Stokes:
 
 Adl 
rand
  
  Ado
oppervlak
2
x y
2
2
0
A(x,y,z)
x
z

y 
kˆ
kˆ

 2 2
2
2
2 y
2
x y
x y  x y r
x
 
 Adl   dl  2R
cirkel
y
cirkel
   2 R 1
  Ado    rdrd  2R
schijf
0 0r
z
y
A(x,y,z)
x
42
Veldvergelijkingen voor B
De rotatie van B
De divergentie van B
Voorbeeld: solenoïde
43
B=0J via:
stelling van Stokes & wet van Ampere
Wet van Ampère
 
 B  dl   0
rand
Dus:
 
 J do
oppervlak
Stelling van Stokes:
 
 Bdl 
rand
Natuurkunde:
Ampère
0
 
 
 J do   B  dl 
oppervlak
rand
  
 0 J    B
  
 Bdo
oppervlak
Wiskunde:
Stokes
  
  Bdo
oppervlak
44
B=0J als:
voorbeeld bij een dikke stroomdraad
I
z
y

 0 Ir
 0I  
r  R: B
2 ˆ 
2  x 
2 R
2 R  
 0 
x
y
1
 
̂   0 
 0
 
iˆ
ˆj
kˆ
 
  0 Ir

0I
2 0I ˆ
B  
 y z 
2 ˆ 
2 x
2 k  0 J
2 R
2 R
2 R
 y x 0

Ikˆ
J 
 R2
B
 0
 
̂   1 
 0
 
45
B=0 als:
voorbeeld bij een dikke stroomdraad
y

 0 Ir
 0I  
r  R: B
2 ˆ 
2  x 
2 R
2 R  
 0 

I

z
x B
y
 
  0 Ir
 0I
B  
2 ˆ 
2  x y   y x  0
2 R
2 R
y
  0I
 0I  
r  R: B
ˆ 
 x 
2r
2 r 2  
 0 
 
  I
 I
  B    0 ˆ  0
2r
2


  y   x   0
 x r2 y r2 


  0I
Maar: ook in r=0
Vraag:
B
ˆ
geldt .B=0
2r
Waarom dikke stroomdraad?
Antwoord:
Omdat B-veld voor dunne stroomdraad in r=0 singulier is!
46
B=0 via:
stelling van Gauss & magnetische flux B
I
Magnetische flux:
 
 Bdo
B 
oppervlak
 
 Bdo  0
Gebruik nu: stelling van Gauss:
 
 Bdo 
oppervlak
 
 Bdv
volume
oppervlak
 
  B  0
47
I Figuur I is mogelijk patroon van magnetische veldlijnen
II Figuur II is mogelijk patroon van elektrische veldlijnen
A I en II zijn juist
I
B alleen I is juist
C alleen II is juist
D I en II zijn onjuist
II
48
B-veld solenoïde
Solenoïde
- diameter: 2R
- lengte: L>>R
- stroom: I
- windingen/m: N
x
z
y
1.
I
R

 
 Bdo  0  B r  0 3.
r=
3.
1.
l
r=r
2.
L
buiten : 0  B z 0
  

2.    r  R: 0  B 0
B

d
l

binnen
:
0

l

NIl
B
0


z


rechthoek

 Bdl  

 B z  NI  0 49
cirkel
 r  R: 0  B 0

pillendoos je
50
Wat heb ik geleerd?
Rotatie
    Az  A y    Ax  Az 
  A y  Ax 
ˆ
ˆ
i  
 kˆ
  A  



 j  
 y z   z x 
 x y 
 
  
Stelling van Stokes :  Adl 
  Ado
  
 
 Bdo   Bdl   0
oppervlak
kring
  oppervlak
 

 J do    B   0 J
kring
oppervlak
Natuurkunde:
Ampère
Wiskunde:
Stokes
 
 
 Bdo  0    B  0
oppervlak
51
Detector voor deeltjesfysica
52
Moderne spoordetectie
53
Inhoud Magnetostatica
Magnetostatica (5 colleges)
I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)
II. Wet van Ampere
 
 
III. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Bdl   0 I &   B  0
IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie
V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.
Griffiths:
 Magnetization: §6.1
 Bound currents: §6.2.2, §6.2.3
Auxiliary Field H: §6.3
Linear and NonLinear Media: § 6.4
UP:
 Magnetic Materials: §28.8
 Het Auxiliary Field H uit Griffiths en de transparanten is in UP: B0=H/0
54
Magnetisatie
Magnetisatie microscopisch bekeken
Magnetisatie en “gebonden” stroom
Het veld “H”
Lineaire materialen
Voorbeelden
55
Elektron tolt=spint om zijn as!
m
e-
 
B 0
Elektron: - lading qe=-1.610-19 C
- spint om zijn as
Dit leer
je later!
qe
 magnetisch dipoolmoment: m  2m  1023 A m2
e
Voor B=0: oriëntatie m willekeurig
Voor B0: oriëntatie m // B
 
B0
B


  m    B
56
Elektron draait rond kern (I)
e-
ve
R
m
kern
Elektron: - lading qe = -1.610-19 C
- draait rond kern; R  10-10 m
- snelheid ve  107 m/s
 magnetisch dipoolmoment:
q e ve
2
2
 22

R

R
m
mI

 10 A
2R
2
 
B 0
Voor B=0: oriëntatie m random
Voor B0: oriëntatie m // B


  m    B
B
 
B0
57
Elektron draait rond kern (II)
Maar, er gebeurt meer!
B=0: FC houdt elektron in baan
B0: FC+FL houdt elektron in baan
FL
e-
B
m
m
B
ve
FL
FC
Elektron snelheid neemt af 
magnetisch moment kleiner
(kwalitatieve redenering;
berekening zeer lastig)
FC
ve
e-
Elektron snelheid neemt toe 
magnetisch moment groter
m t.g.v. ve > m t.g.v. mxB


  m    B
58
Dia- & para-magnetisme
Elektron baan beweging:
Elektron spin beweging:
Wie wint: baan of spin?
mspin
e-
Afhankelijk van # elektronen!
Para-magnetisch:
mbaan
Waterstof
e-
mspin


 m    B


 m    B
mbaan
 # elektronen oneven
 spin component wint
 m // +B
Dia-magnetisch:
emspin
Helium
 # elektronen even
 baan component wint
  m // -B
59
Dia- & para-magnetisme
Hoef je niet numeriek te weten; slechts als illustratie dat
er twee soorten magnetisme bestaan
60
Macroscopisch: magnetisatie
Bextern
Brok materie (para-magnetisch)
Karakteristieken in B-veld:
- magnetiseert d.w.z.
atomaire dipooltjes m
- magnetisatie op te vatten als:
oppervlakte stroom
- deze stroom genereert B-veld:
tegengesteld externe B-veld
Originele B-veld verandert!
m
K
Bmagnetisatie
61
MicroscopischMacroscopisch
(analoog elektrische polarisatie)
dipoolmoment/volume
 Magnetisatie M
[M] = Ampère/meter
m
M
[m] = Ampèremeter2
“Eenvoudige” lineaire relatie tussen:
magnetisatie M en resulterend veld B

M
m 
B
 01  m 
62
(I) Magnetisatie M
“gebonden” stroom
Iplak
 K rand
I rand

M
d
Md  opp  I plak  opp
 I plak  Md

M equivalent


K mag  M  nˆ
d
algemeen :

 
J mag    M
M
I rand  I plak  Md
Dipoolmoment/“plakje”:
M Kmag=Mxn
n
n
M
Imag=0
d
63
Magnetisatie van een materiaal in
uniform
B
veld


Lineair materiaal: M 
Bmag

M

B0

m
B
 01  m 
 

Let op: B  Bmag  B0
Fysich equivalent aan rechte
spoel met stroomdichtheid:


K mag  M  nˆ

K mag
Een gemagnetiseerde cilinder van
lineair materiaal
Dus veld in ‘spoel’ t.g.v. ‘K ’

(als spoel

Bewijs zelf: Bmag   0 K mag z oneindig
lang):


Bepaal zelf: Bmag   m B0
64
Spoel met kern van lineair materiaal
Veld in lege spoel:

Bmag
Stroom I, lengte L, N windingen
K vrij  IN / L


Ampere’s law: B0   0 K vrij z

M

B0

K vrij


Bmag   m B0
We weten:
 


B  Bmag  B0  (1   m ) B0


Als kern=weekijzer: Bmet kern  100 Bleeg

K mag
Een gemagnetiseerde cilinder van
lineair materiaal
Gevolgen(en) kern:
65
Het veld H
Voor liefhebbers
B-veld wordt bepaald door totale stroomverdeling. Gebruik daarom i.p.v.
magnetisatie equivalente oppervlakte Kmag en volume Jmag dichtheden!
Voor B-veld (via rotatie):





 

 

  B   0 J   0 J vrij  J mag   0 J vrij M




 
1 
 J vrij 
  B   0 M     H
Ivrij
0
Veld H=B/0 - M
Kmag
(Jmag)
R
Para
dia
Voor H-veld:

 
  H  J vrij
 
 H dl  
rand
oppervlak
Stelling van Ampere

 omsloten
J vrijdo  I vrij
B=0H
B0H
H=I/2r
66
Lineaire materialen




M  H  M  m H
Lineaire relatie tussen M en H:
Nu volgt overal B uit H:
para
m
I





B  0 H  0 M  0 H  0  m H


  0 1   m H  H met    0 1   m
J=I/R2
R
M
H=I/2r
H=Ir/2R2
Voor liefhebbers



 r  R: 2rH  I  H  I

2r

2

Ir
r
 r  R: 2rH  I

H


 R2
2 R2
r  R: M 0

r  R : M   H   Ir
m
m
2

2

R

 0I

 r  R: B   0 H  2r

Ir
 r  R: B  H 

2 R 2

67
Para- en diamagnetische materialen
PARA-MAGNETISCH
m > 0
DIA-MAGNETISCH
m < 0
Element Z
m
------------------------Helium
2
?
Zuurstof 8 +2x10-6
Neon
10
?
Aluminium 13 +21x10-6
Argon
18
?
Element Z
m
------------------------Waterstof 1
0
Koper
29 -10x10-6
Zilver
47 -25x10-6
Goud
79 -30x10-6
Terminologie:
χ
 m

1 χ m  K m

1 χ m  0  

 χ m0 dia
susceptibi liteit 
 χ m 0 para
relatieve permeabili teit
permeabili teit
68
In de (oneindig doorlopende) rechterplaat loopt een
oppervlaktestroom in de aangegeven richting. De (oneindig
doorlopende) linkerplaat is van paramagnetisch materiaal. In punt
P geldt voor het magnetisch veld:
A dat is groter dan in Q
B dat is kleiner dan in Q
C dat is even groot als in Q
P
Q
D dat is gelijk aan nul
69
Ferromagnetisme
Principe & hysterese
70
Permanente magneet?
Ferro-magnetisme
Para-magnetisme
dia-magnetisme
(temperatuur afhankelijk!)
T<TCurie: orde
T>TCurie: chaos
“Weiss”
gebiedjes
Voor ferro-magneet:
spontane alignering atomaire
dipool momenten!
0MB-0HB
Hysterese:
maximaal
gealigneerd
1T
I
ijzer
10-3 T
N
Z
0H0NI
71
Spontane alignering
72
Spoel met ijzeren kern
73
Curie punt Nikkel
74
Hysterese
75
VI Wat heb ik geleerd?
Materialen
– Magnetisatie


 K mag  M nˆ

 
M  
 J mag M
m
– Mogelijkheden:
• Dia-magnetisme
• Para-magnetisme
• Ferro-magnetisme
Nu volgt overal B uit H:
M // -H
M // +H
M permanent (hysterese)





B  0 H  0 M  0 H  0  m H


  0 1   m H  H met    0 1   m




76
Inhoud Magnetostatica
Magnetostatica (5 colleges)
I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)
II. Wet van Ampere
 
 
III. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Bdl   0 I &   B  0
IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V.
V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.
78
Hall effect (ter voorbereiding practikum)
I
-
+
v+ B

B

F  qv  B
d
a
B
v-
- pool
d̂
VHall
+ pool



F  qv  B
 afbuiging q=+/-  E-veld: EHall
Voor q=+/-:
 

ˆ  qv Bdˆ


q
d
E
F
0

F
- dichtheid: N
Hall
magn
elec
- lading: q
qv
I B
IB
- snelheid: v
 E Hall  B 
 V Hall  d E Hall 
q
Nad q
Nqa
 I=Nqadv [C/s]
79
Waarom beweegt stroomdraad?
Niet FLorentz:
elektronen zwemmen
vrijelijk door draad!
Hall effect:
Elektronen naar
onderkant draad!
I
B
I
eFL
 E-veld:
E-veld trekt rooster ionen
(+) en daarmee de draad
naar beneden!
E
I
FE
80
Voor labjournaal: Toroïde met spleet
B
I
Zelf doen (kan zonder H veld)
zonder materiaal:
* stroom I
H
* N windingen
* straal R H
s
s
"binnen": 2 πrB μ0 NI
Ampere : 
μ0 NI
 B

2 πr
(cirkel) 
"buiten": 2πrB0  B 0
met materiaal:  0( 1+m) & spleet s

"binnen": ( 2πr  s ) H  s H s  NI
Ampere : 
"buiten": 2πrH 0  H 0

Voor B : B s   0 H s en B  H
 
 
B  0 
 Bdo  0
oppervlak
cilindertj e  B  B s
( 2πr  s )
B Bs 
B Bs


NI
s Bs
0
s
 2πr  s
0
 NI 

 0 NI

s  0 2πr  s 

81
Inhoud Magnetostatica
Magnetostatica (5 colleges)
I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)
II. Wet van Ampere
 
 
III. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Bdl   0 I &   B  0
IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V.
V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.
Einde
82
Electro- & magnetostatica in vacuüm
Electrostatica: Coulomb
Magnetostatica: Biot-Savart
J(r’)
(r’)
z
z
r-r’
r’
O
r’
P
r
x
r-r’
O
y
P
r
y
x
Gevraagd: E(r)
Gevraagd: B(r)
83
Electro- & magnetostatica in vacuüm
Electrostatica: Coulomb
 

 
1 N q i r  r i 
E P  E (r ) 
  3
4  0 i 1 r  r
i

1


4  0 volume
 
 ( r ') r  r ' 
 3
r r '
dv '

 
  E dl 0
 kring

  Qomsloten
 E   E do 
(Gauss)

0
oppervlak

  
  
 E  0 &  E 
0
Magnetostatica: Biot-Savart
  

 
 0 I  r  r ' 
BP  B(r ) 
   3 dl '
4 lijn r  r '
   
0
J ( r ') r  r ' 

dv '



3
4 volume
r r '

 
  Bdl   0 I omsloten (Ampere)
 kring
 

 B   Bdo 0
oppervlak


 

 
  B  0 J &   B  0
84
Electro- & magnetostatica met materie
Polarisatie: P
Magnetisatie: M

M equivalent met :


 K mag  M nˆ
 

 J mag M
Introducee r " hulpveld" :

 
D  0 E  P
 
   
  D  0  E    P
Introducee r " hulpveld" :



H  B / 0  M
   
 
  H    B / 0    M




 J vrij  J mag  J mag  J vrij
 
omsloten
  H dl  I vrij

P equivalent met :

 pol  Pnˆ
 

  pol  P


  vrij   pol   pol   vrij
 
omsloten
  Ddo  Qvrij
oppervlak


Lineair medium : P   e 0 E


lijn


Lineair medium : M   m H 85
Elektrostatica
Inhoud
I. Elektrische kracht, - veld en - potentiaal
 
 
II. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Edl  0 &   E 
III. Elektrische velden in materie: polarisatie
 / 0
Magnetostatica
IV. Lorentz kracht en magnetisch veld
 

 
  B  0 J &   B  0
V. Veldvergelijkingen nader bekeken:
VI. Magnetische velden in materie: magnetisatie
Elektromagnetisme
VII. Parallel Elektrostatica & Magnetostatica
VIII. Inductie
IX. Maxwell vergelijkingen
X. Elektromagnetische golven
86
Grafisch: rotatie en divergentie
Elektrisch veld
Magnetisch veld
I
Q

E
  1
 E do 
oppervlak
  0 Iˆ
B
2r
Qrˆ
4  0 r 2
 

 Bdo  0    B  0
 1

 dv    E 
 0 volume
0
 

 E dl  0    E  0
kring
E: rotatie vrij
oppervlak
 
 Bdl   0
kring

 

 J do    B   0 J
oppervlak
B: divergentie vrij
87
Grensvlakken
De velden B & H
De velden E & D
88
B- and H-fields at interface
1 1
B1
B2
Gauss box
Circuit:
2
Given: B1 ; 1 ; 2
Question: Calculate B2
Needed: “Interface-crossing relations”:
 H  dl  I free and  B  dA  0
2
Relation H and B: B = 0 r H
: B1.Acos 1 - B2.Acos 2 =0  B1 = B2
: no I : H1.Lsin 1 - H2.Lsin 2 =0
B1 1 A B2 1 A

H1 tan 1 L H 2 tan  2 L
 H1// = H2//
 r1 tan 1

 r 2 tan  2
89
E-field at interface
1
E1
1
Given: E1 ; 1 ; 2 
Question: Calculate E2
Needed: “Interface-crossing relations”:
E2
 E  dl  0
2
2
Gauss box
Circuit:
and
 D  dA  Q free, encl.
Relation D and E: D = 0 r E
(empty!): D1.Acos 1 - D2.Acos 2 =0  D1 = D2
E1.Lsin 1 - E2.Lsin 2 =0
D1 1 A D2 1 A

E1 tan1 L E2 tan 2 L
 E1// = E2//
 r1 tan1

 r 2 tan 2
90
Electret and Magnet
P
Electret
E = (D-P)/0
D = 0 E + P
 E  dl  0
 D  dS  Q
f
0
Magnet
E
D
H
B
+++
--M
H = B / 0 -M
B = 0 H + M
 H  dl  I  0
 B  dS  0
f
91
De rotatie van E
De rotatie van E
Voorbeeld: uniform geladen bol
Voorbeeld: puntlading
92
E=0 via stelling van Stokes
93
  
 E  0
Puntlading:

E
P
Q
r
1
Q
2 rˆ
4  0 r
ˆj kˆ
iˆ

 
Q  rˆ
Q  r
Q
E 
 2 
 3 
x  y z
4  0
4  0
4  0
r
r
x y z
3
3
3
r r r
  z
 ˆ y
  
Q   z
y
x
x

iˆ  y 3  z 3  ˆj   x 3  z 3  k   x 3  y 3    0
4  0   r
r   r
r   r
r  
94
  
 E  0
Uniform
geladen bol:

E
P
Q
r
1
Q
2 rˆ
4  0 r
ˆj kˆ
iˆ

 
Q  rˆ
Q  r
Q
E 
 2 
 3 
x  y z
4  0
4  0
4  0
r
r
x y z
3
3
3
r r r
  z
 ˆ y
  
Q   z
y
x
x

iˆ  y 3  z 3  ˆj   x 3  z 3  k   x 3  y 3    0
4  0   r
r   r
r   r
r  
95