EM2006_magnetostatica

Elektrostatica
Magnetostatica
Elektromagnetisme  Licht
Inhoud Magnetostatica
Magnetostatica (5 colleges)
I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)
II. Wet van Ampere
 
 
III. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Bdl   0 I &   B  0
IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie
V. Toepassingen/Practikum: Hall effect, Toroide met spleet.
Griffiths:
 Lorentz Foce Law: §5.1 t/m §5.2 (Niet stroomdichtheden K, J)
Magneet: experiment
geen monopolen!
noord/zuid
N
Z
N
Z
F
N
Z
N
Z
nieuwe kracht:
Fmagnetisch >> Fgravitatie
noord: “N” & zuid: “Z”
NN & ZZ: afstotend
NZ & ZN: aantrekkend
Eenheden:
- Stroom [I]: Ampère A=C/s
- Magneetveld [B]:
Tesla T=N/Am=Ns/Cm=kg/Cs
N
Z
N
N
N
Z
Z
Z N
Z
N
N
N
Z
Z N
N
Z N
Z
Z
Z N
Z
N
N
Z
Z N
Z
geen monopolen!
dipolen: “kleinste”
Anders dan elektrostatica:
1. beweging lading q in B-veld
2. B-veld als gevolg van stroom I
In twee draden lopen stromen, in dezelfde richting.
Er geldt:
A De draden stoten elkaar af
B De draden trekken elkaar aan
C Er zijn geen krachten tussen de
draden
Constant B-veld
 Lorentzkracht
 bewegingsvergelijking voor q
Lorentzkracht
De Lorentzkracht
Voorbeelden
Het Hall effect
Kracht op stroomdraad
Moment op stroomlus
q>0
y
B
Lorentzkracht
v

Experiment
x
q
• F  veld B
q<0
• F  lading q
F
 Fv
F
 Fsin
180o

• F  sinus ( v , B )
• F  v en F  B
v
90o
• F  snelheid v
  
F  qvB
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap21/cd533capp.htm
http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/emField/emField.html
V.b. kracht op een stroomdraad
y
z
I
x
L B

F
Situatie:
• uniform B-veld
• draadstuk L stroom I
Gevraagd:
• kracht F op draadstuk

B  Bkˆ ,



ˆ
I  I j en I   v
 : lijnlading C/m 
met :  
v : snelheid m/s 

 
F   q v  B

 
 l  v  B  l  vBiˆ  F iˆ  vBdl iˆvBLiˆIBL
 lijnstuk


Samenvatte nd: F  Il  B en

F  IBL
V.b. draaimoment stroomlus
Situatie:
• uniform B-veld
• draadlus LL stroom I
Gevraagd:
• Kracht op draadlus
• moment  op draadlus
y
z
x
 F L  BILzˆ
Kracht : 
FLFR 0
 F R  BILzˆ
Draaimoment:   2|F |( L / 2cos  )  BI L 2 cos 
FL
Bovenaanzicht
L / 2 cos( )
m  I *oppervlak stroomlus
1
2
  BI L 2 cos  BI L 2 sin(  ) | m  B |
I
B
Magnetisch moment:
Formeel:
FR

B

m
FL
FR
Toepassing
  m B
Galvano (stroom) meter
0
FR
B
FL
m
Spoeltje wil loodrecht op B veld staan
TV (elektrisch principe)
Hoogspanning
Hoe maak je een TV met een magnetisch principe?
Ontdekking elektron (1897 J.J. Thomson)
Y
v0
X
t=l/v0
t=0
B
E

E 0
Afbuiging voor 


B 0
( begin snelheid)
v x,t  0 v x,0
v y,t  0 v y (0) 0
Hoe bepaal je v0 ?
v
d
Geen afbuiging voor E  B
L
l
Zelf doen: bereken uitwijking d
t=(l +L)/v0
tijd voor stukje in E- veld: t  l / vx,0
t
vy  
0
Fy
t
eE
eE l
dt  
dt 
m
mv x,0
0 m
F=mdv/dt
2
eEl L
e v 0d
d v yt l l  L 


mv x,0 v x,0
m ElL
Geen afbuiging voor E  B  0  eE  ev 0  B
Combinatie levert e/m voor het elektron!
 v0 
E
B
Voorbeeld: deeltje in uniform B-veld
Zie de animatie van een deeltje in een uniform magnetic field, 2D
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/
Nadenken: Lorentzkracht zorgt voor
centripetale kracht: F=qvB=mv2/R
Dus deeltje beschrijft cirkelbaan met (vB):
straal R=mv/|q|B periode T= 2m/|q|B
Leidt dit nu zelf formeel x(t) en y(t)
af, uitgaande van F=ma=mdv/dt

r (t )
OPGAVE: deeltje in uniform B-veld
Deeltje met:
• lading q, massa m en snelheid v.
•Bepaal x(t) en y(t)
 
 r 0
t  0:  
v viˆ

B  Bkˆ
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B


dv

Newton : F  ma  m
dt
iˆ
ˆj
  
F  qv  B  q v x v y
0 0
y
z
x

v t 0viˆ
 d v x qB
 dt   m v y
dvy
d vx
ˆj  
iˆ  m
v z  qB v y iˆ  qB v x ˆj  m
d v y qB
dt
dt

B
 dt   m v x
X(0)=0
kˆ
2
2
t
mv  qBt 
qBt 
d v x  qB 



sin 

t
d
)
t
(

)
t
(
x

cos
v

)
t
(



x(t) b.v. :
v
v
v



  x
 x
x
2
m
qB
m
m




 
dt
0
qBt  mv
mv

y (t )  cos

qB
 m  qB
Voorbeeld: deeltje in E,B-veld
Zie de animatie van een deeltje in een E/B veld
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/
Bespreek/begrijp de baan van het deeltje t.g.v.
het electrische en magnetische veld
I=constant gegeven  B-veld
Wet van Biot-Savart
De elektrische stroom I
Het verband tussen stroom I en veld B
Voorbeelden
V.b. kracht tussen stroomdraden
Experiment A
Experiment B
I
F
F
F
I
Observatie:
• afstoting
Uitleg:
• elektrisch?
Observatie:
• aantrekking!
Uitleg:
• niet elektrisch!
• Magnetisch? Ja!
Wet van Biot-Savart: experiment
Elektrische stroom  magnetisch veld!
P

r
dl



 0 I dl rˆ
0
I rˆ
BP 


 dl 2
2
4 lijn r
4 lijn r
I
Samenhang:
• elektrostatica: ladingen
• magnetostatica: stromen
– permeabiliteit:
7 N
 0  4  10
2
A
– permittiviteit:
1
2
C
0 
4 107 c 2 N m2
1/00=c2
[m2/s2]
V.b. B-veld  lange draad
I
z
O
x
y

sin   sin   

z
r
P
r
r z
2
2
BP
Berekening B-veld:
Nadenken:
•Cilindersymmetrie: (rz)
•B in azimuthale () richting
Rekenen:
 0 I  dz


B P   d B 
 2 2 sin 
4  r  z 
lijn

 0I
B
ˆ
2r
http://home.a-city.de/walter.fendt/phe/mfwire.htm
 0 I  dz
r

 2 2
4  r  z  r 2  z 2
 2  I  I
 0I
z
0
0

|


4 r r 2  z 2  4 r 2 r
z
V.b. kracht tussen stroomdraden
O
x
y
B1
I1
I2
Situatie:
• stroomdraden met I1 en I2
• afstand R12, draadlengten L>>R12
Gevraagd:
• kracht op draad 2
R12
F1
F2
B2
Slim/snel antwoord:
• B-veld draad 1 op draad 2:
•
B1
B1=0I1/2R12
kracht op draad 2 door B1
F2= B1I2L=0I1I2L/2R12
Eleganter :
 
  I


 0 I 1I 2 L ˆ
0 1 ˆ  0 I 1I 2
ˆ

d
l


d
l



d
l




I
I
F2 2 
B1 2 
R12

2

2

2

R
R
R
draad 2
draad 2
12
12 draad 2
12
V.b. B-veld 1 stroomkring
x
z
O
y
I
R
B
2

R z
2

90o-
I
cos  
Berekening B-veld:
Nadenken:
– Cilindersymmetrie
z
d
P
R
R z

Bz =Bcos

BP 
Rd
2
90o
2
2

 0I
R
BP 
zˆ
3
/
2
2 R 2 z 2 
– B // as stroomkring
Rekenen:
Rd = dl
 0 I 2 Rd
 2 2 cos
 d Bz 
4 0 R  z 
kring
 0 I 2 Rd
R


4 0 R 2 z 2  R 2  z 2
cos
2
 0 I R 2 2  0 I
R

|
3/ 2
2
2
4 R  z 
2 R 2 z 2 3 / 2
0
I Wat heb ik geleerd?
Magneet N of Z
N
Kracht, B-veld
Z

F 
 
 
 I  Bdl  I  dl  B
stroom
Lorentzkracht
stroom


  0I
0
I rˆ
dl rˆ
B


 dl 2
2
4 stroom r
4 stroom r
  
F  qvB
stroomdraad
I
B
 0I
B
ˆ
2r
z-as
stroomkring
I
2

 0I
R
B z as 
zˆ
2 R 2 z 2 3 / 2
B
Inhoud Magnetostatica
Magnetostatica (5 colleges)
I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)
II. Wet van Ampere
 
 
III. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Bdl   0 I &   B  0
IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie
V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.
Griffiths:
 Currents: §5.1.3 (stroomdichtheden K, J)
 Divergence of B: §5.3.1, §5.3.3
Stroomelementen: I,K en J
Lijn:
 
I  v

I

IC/sA (Ampère)

F 
lijn
Oppervlak:

I


dI

K 
v
dl 
lijn

F

I

lijn
KA/m
dl 
Volume:


dI

J 
 v
do

 
 
 I  Bdl  I  dl  B
 
 v  Bdl 
 
 v  Bdo 
oppervlak
 
 K  Bdo
oppervlak
JA/m2
do

F 
 
 v  BdV 
volume
 
 J  BdV
volume
Wet van Ampère
De wet van Ampère
Voorbeelden
Wet van Ampère
B-veld:
wet van Ampère
Vergelijk E-veld:
wet van Gauss
+Q
z
stroomdraad
E
 0I
B ˆ
2r
x
I
y
B
r
puntlading

E
1
Q
2 rˆ
4  0 r

1
 E doˆ 
oppervlak O

 0 omsloten
Qi
   0 I 2 1
 B  dl 
 rd
2 0 r
kring
 
  0 I   0  J do
schijf
V.b. Ampère dunne draad (flauw)
I
Dunne draad:
z
– stroom: I [AC/s]
– symmetrie: B // 
– “Ampère lus”: cirkeltje
  2
 0 I   Bdl   Brd
kring
0
 0I
 2rB  B 
2 r
  0I
B
ˆ
2 r

r
r
B
B
r
V.b. Ampère dikke draad
I
R
Dikke draad, =2R
– stroomdichtheid: J=I/R2 [A/m2=C/sm2]
– symmetrie: B // 
– “Ampère lus”: cirkeltjes
z
r
 
 Bdl  2rB

r
B
r
kring
2

 0 Ir
r
 r  R:  0 I 2  B 
2
2

R
R


 0I
 r  R:
 0 I  B

2 r
B
R
r
We beschouwen een holle metalen buis met straal R. In de wand
loopt een stroom. Welke figuur geeft het magnetisch veld als
functie van de afstand tot de as van de buis?
B
R
R
R
r
C
B
B
B
A
D
B
r
r
R
r
V.b. Ampère vlakke plaat
Vlakke plaat:
– stroomdichtheid: K [A/m=C/sm]
z
– symmetrie: B // vlak, B  K
– “Ampère lus”: rechthoekje
x
 
 Bdl   0 I  aB  aB   0 Ka
B
kring
 2 aB  B 
K
 0K
2
 0K

x 0: 
zˆ

 
2
B
 x 0:   0 K zˆ

2
B
B
a
X=0
x
X=0
Overzicht toepassingen
wet van Ampère
 
 B  dl   0 I omsloten   0
rand
 
 J do
oppervlak
I
Essentie:
Symmetrie!
I
B
B
B
I
K
Draad
Plaat
Solenoïde
Toroïde
Wat heb ik geleerd?
Volume:


dI

J 
 v
do

I

JA/m2
do

F 
 
 v  BdV 
volume
 
 B  dl   0 I omsloten   0
rand
 
 J  BdV
volume
 
 J do
oppervlak
Inhoud Magnetostatica
Magnetostatica (5 colleges)
I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)
II. Wet van Ampere
 
 
III. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Bdl   0 I &   B  0
IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie
V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.
Griffiths:
 Vektor: §1.2.5 en §1.3.5
Divergence of B: §5.3.2 tot vergelijking 5.48 doorlezen
 Comparison E, B: §5.3.4
Stelling van Stokes
(wiskunde)
De rotatie
De stelling van Stokes
Voorbeeld
Rotatie:
   Ez E y   Ex Ez 
 E y Ex 
iˆ  
 kˆ
  E  



 ˆj  
 y z   z x 
 x y 
Beschouw lokaal de uitdrukking:
 
 Edl  0
kring
E(x+dx,y,z)
E(x,y,z)
0  dxE x ( x , y )  dyE y ( x  dx , y )  dxE x ( x , y  dy )  dyE y ( x , y )
dy
E y
y
x
dx
 Ez E y 
E E
  dzdx  x  z 
YZ en XZ : 0  dydz 

 z x 
 y z 
XY
“rotatie”:
Dus:
 E y Ex 
Ex

 0  dydx
 dxdy
 0  dxdy 

x
y
 x y 
 
 Ez E y 
ˆ
 
  E  i 

 y z 
 E y Ex 
E 
ˆj  x  E z   kˆ 
   x

 z x 
 x y 
Ex
 
  
 Edl  0    E  0
kring
iˆ
ˆj
kˆ
y
z
Ey
Ez
Rotatie van vectorvelden
voorbeelden/discussievragen
Je fietst naar het café en via een andere weg weer terug bij
gelijke windsterkte en richting. Heeft het windsnelheidsvectorveld rotatie?
Je fietst een rondje Ijselmeer, waar een lagedrukgebied zich
bevindt. Heeft het windsnelheids-vectorveld rotatie?
Wel of geen rot?
Wel of geen div?
y
y
A(x,y,z)
x
x
z
z
Stelling van Stokes (wiskunde)
Er volgt meer!
A(x,y,z)
dy
A(x+dx,y,z)
 
  
 
  Ax  A y 
  do  A z    A  do

 Adl  dxdy
rand
 y x 
 
  
  Adl 
  Ado
Opmerking:
consistentie keuze
oriëntaties vereist!
do
dx
rand
  ...   ...   
 Adl    Adl     Ado 
Willekeurige kromme:
i 1 i
rand
rand
i
n
n+1
n+2
globaal
oppervlak
lokaal
i 1 i
  
  Ado
oppervlak
Stelling van Stokes :
 
  
 Adl 
  Ado
rand
oppervlak

Let op : willekeurige A
V.b. rotatie en Stokes

(  y , x ,0)
A( x , y , z ) 
2
x  y2
expliciet voorbeeld:
rekenen:
iˆ
kˆ
ˆj
 
  A  x
y
z 
Ax
Ay
Az
iˆ
ˆj
kˆ
x
y
y
x
z
x y
2

 kˆ 
 x
Stokes:
 
 Adl 
rand
  
  Ado
oppervlak
2
x y
2
2
0
A(x,y,z)
x
z

y 
kˆ
kˆ

 2 2
2
2
2 y
2
x y
x y  x y r
x
 
 Adl   dl  2R
cirkel
y
cirkel
   2 R 1
  Ado    rdrd  2R
schijf
0 0r
z
y
A(x,y,z)
x
Rotatie van vectorvelden
voorbeelden/discussievragen
Er drijven kurkjes (met orientatiepijltje) in wild stromend water.
Hoe kun je zien of het (snelheids)vectorveld rotatie ongelijk nul
heeft?
Heeft het snelheids vectorveld op een grammofoonplaat rotatie?
Heeft het snelheids vectorveld van een leeglopende wasbak (v
radieel) rotatie?
Heeft het snelheids vectorveld van een draaikolk rotatie? Heeft
dit veld divergentie?
Veldvergelijkingen voor B
De rotatie van B
De divergentie van B
Voorbeeld: solenoïde
B=0J via:
stelling van Stokes & wet van Ampere
Wet van Ampère
 
 B  dl   0
rand
Dus:
 
 J do
oppervlak
Stelling van Stokes:
 
 Bdl 
rand
Natuurkunde:
Ampère
0
 
 
 J do   B  dl 
oppervlak
rand
  
 0 J    B
  
 Bdo
oppervlak
Wiskunde:
Stokes
  
  Bdo
oppervlak
B=0J als:
voorbeeld bij een dikke stroomdraad
I
z
y

 0 Ir
 0I  
r  R: B
2 ˆ 
2  x 
2 R
2 R  
 0 
x
y
1
 
̂   0 
 0
 
iˆ
ˆj
kˆ
 
  0 Ir

0I
2 0I ˆ
B  
 y z 
2 ˆ 
2 x
2 k  0 J
2 R
2 R
2 R
 y x 0

Ikˆ
J 
 R2
B
 0
 
̂   1 
 0
 
B=0 als:
voorbeeld bij een dikke stroomdraad
y

 0 Ir
 0I  
r  R: B
2 ˆ 
2  x 
2 R
2 R  
 0 

I

z
x B
y
 
  0 Ir
 0I
B  
2 ˆ 
2  x y   y x  0
2 R
2 R
y
  0I
 0I  
r  R: B
ˆ 
 x 
2r
2 r 2  
 0 
 
  I
 I
  B    0 ˆ  0
2r
2


  y   x   0
 x r2 y r2 


  0I
Maar: ook in r=0
Vraag:
B
ˆ
geldt .B=0
2r
Waarom dikke stroomdraad?
Antwoord:
Omdat B-veld voor dunne stroomdraad in r=0 singulier is!
B=0 via:
stelling van Gauss & magnetische flux B
I
Magnetische flux:
 
 Bdo
B 
oppervlak
 
 Bdo  0
Gebruik nu: stelling van Gauss:
 
 Bdo 
oppervlak
 
 Bdv
volume
oppervlak
 
  B  0
I Figuur I is mogelijk patroon van magnetische veldlijnen
II Figuur II is mogelijk patroon van elektrische veldlijnen
A I en II zijn juist
I
B alleen I is juist
C alleen II is juist
D I en II zijn onjuist
II
B-veld solenoïde
Solenoïde
- diameter: 2R
- lengte: L>>R
- stroom: I
- windingen/m: N
x
z
y
1.
I
R

 
 Bdo  0  B r  0 3.
r=
3.
1.
l
r=r
2.
L
buiten : 0  B z 0
  

2.    r  R: 0  B 0
B

d
l

binnen
:
0

l

NIl
B
0


z


rechthoek

 Bdl  

 B z  NI  0
cirkel
 r  R: 0  B 0

pillendoos je
Wat heb ik geleerd?
Rotatie
    Az  A y    Ax  Az 
  A y  Ax 
ˆ
ˆ
i  
 kˆ
  A  



 j  
 y z   z x 
 x y 
 
  
Stelling van Stokes :  Adl 
  Ado
  
 
 Bdo   Bdl   0
oppervlak
kring
  oppervlak
 

 J do    B   0 J
kring
oppervlak
Natuurkunde:
Ampère
Wiskunde:
Stokes
 
 
 Bdo  0    B  0
oppervlak
Detector voor deeltjesfysica
Moderne spoordetectie
Inhoud Magnetostatica
Magnetostatica (5 colleges)
I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)
II. Wet van Ampere
 
 
III. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Bdl   0 I &   B  0
IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie
V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.
Griffiths:
 Magnetization: §6.1
 Bound currents: §6.2.2, §6.2.3
Auxiliary Field H: §6.3
Linear and NonLinear Media: § 6.4
Magnetisatie
Magnetisatie microscopisch bekeken
Magnetisatie en “gebonden” stroom
Het veld “H”
Lineaire materialen
Voorbeelden
Elektron tolt=spint om zijn as!
m
e-
 
B 0
Elektron: - lading qe=-1.610-19 C
- spint om zijn as
Dit leer
je later!
qe
 magnetisch dipoolmoment: m  2m  1023 A m2
e
Voor B=0: oriëntatie m willekeurig
Voor B0: oriëntatie m // B
B


  m    B
 
B0
Elektron draait rond kern (I)
e-
ve
R
m
kern
Elektron: - lading qe = -1.610-19 C
- draait rond kern; R  10-10 m
- snelheid ve  107 m/s
 magnetisch dipoolmoment:
q e ve
2
2
 22

R

R
m
mI

 10 A
2R
2
 
B 0
Voor B=0: oriëntatie m random
Voor B0: oriëntatie m // B


  m    B
B
 
B0
Elektron draait rond kern (II)
Maar, er gebeurt meer!
B=0: FC houdt elektron in baan
B0: FC+FL houdt elektron in baan
FL
e-
B
m
m
B
ve
FL
FC
Elektron snelheid neemt af 
magnetisch moment kleiner
(kwalitatieve redenering;
FC
ve
e-
Elektron snelheid neemt toe 
magnetisch moment groter
berekening zeer lastig)
m t.g.v. ve > m t.g.v. mxB


  m    B
Dia- & para-magnetisme
Elektron baan beweging:
Elektron spin beweging:
Wie wint: baan of spin?
mspin
e-
Afhankelijk van # elektronen!
Para-magnetisch:
mbaan
Waterstof
e-
mspin


 m    B


 m    B
mbaan
 # elektronen oneven
 spin component wint
 m // +B
Dia-magnetisch:
emspin
Helium
 # elektronen even
 baan component wint
  m // -B
Dia- & para-magnetisme
Hoef je niet numeriek te weten; slechts als illustratie dat
er twee soorten magnetisme bestaan
Macroscopisch: magnetisatie
Bextern
Brok materie (para-magnetisch)
Karakteristieken in B-veld:
- magnetiseert d.w.z.
atomaire dipooltjes m
- magnetisatie op te vatten als:
oppervlakte stroom
- deze stroom genereert B-veld:
tegengesteld externe B-veld
Originele B-veld verandert!
m
K
Bmagnetisatie
MicroscopischMacroscopisch
(analoog elektrische polarisatie)
dipoolmoment/volume  Magnetisatie M
m
M
[m] = Ampèremeter2
De ‘gebonden’ stroom t.g.v.
magnetisatie is gegeven door:
[M] = Ampère/meter
K mag  M  nˆ
“Eenvoudige” lineaire relatie tussen:
magnetisatie M en resulterend veld B

M
m 
B
 01  m 
Magnetisatie en Gebonden stroom
Controle relatie:
K mag  M  nˆ
We gaan uit van (constant) gemagnetiseerde cilinder
met oppervlakte stroom K
Oppervlak A
-Magnetisatie=dipoolmoment/Volume
M  m /( LA)
-Voor het dipoolmoment schrijven we m=IA
| M | IA /( LA)  I / L | K |
m
L
Dus gemagnetiseerde materie in cilinder
‘Magnetisch’ equivalent aan
oppervlakte stroom K in ‘lege’ ruimte
K
K
Spoel met kern van lineair materiaal
Veld in lege spoel:

Bmag
Stroom I, lengte L, N windingen

M

K vrij

K mag
Een gemagnetiseerde cilinder van
lineair materiaal

B0
K vrij  IN / L


Ampere’s law: B0   0 K vrij z
Gevolgen(en) kern:
Kern wordt gemagnetiseerd
en er gaat dus een
gebonden stroom lopen,
dus:
B  B0  Bmag
 0 ( K vrij  K mag ) zˆ
Volgende stap: Wat is Kmag?
Spoel met kern (vervolg)
We hebben
We weten
B  B0  Bmag
 0 ( K vrij  K mag ) zˆ


K mag  M  nˆ
en

M
Door (in feite eenvoudig) invullen en
combineren vinden we veld in spoel:


Bmag   0 K mag z
Wat is Kmag?

m
B
 01  m 


Bmag   m B0
 


B  Bmag  B0  (1   m ) B0
Ga na!


Bmet kern  100 Bleeg
Het veld H
Extra stof
B-veld wordt bepaald door totale stroomverdeling. Gebruik daarom i.p.v.
magnetisatie equivalente oppervlakte Kmag en volume Jmag dichtheden!
Voor B-veld (via rotatie):





 

 

  B   0 J   0 J vrij  J mag   0 J vrij M




 
1 
 J vrij 
  B   0 M     H
Ivrij
0
Veld H=B/0 - M
Kmag
(Jmag)
R
Para
dia
Voor H-veld:

 
  H  J vrij
 
 H dl  
rand
oppervlak
Stelling van Ampere

 omsloten
J vrijdo  I vrij
B=0H
B0H
H=I/2r
Lineaire materialen




M  H  M  m H
Lineaire relatie tussen M en H:
Nu volgt overal B uit H:
para
m
I





B  0 H  0 M  0 H  0  m H


  0 1   m H  H met    0 1   m
J=I/R2
R
M
H=I/2r
H=Ir/2R2
Extra stof



 r  R: 2rH  I  H  I

2r

2

Ir
r
 r  R: 2rH  I

H


 R2
2 R2
r  R: M 0

r  R : M   H   Ir
m
m
2

2

R

 0I

 r  R: B   0 H  2r

Ir
 r  R: B  H 

2 R 2

Para- en diamagnetische materialen
PARA-MAGNETISCH
m > 0
DIA-MAGNETISCH
m < 0
Element Z
m
------------------------Helium
2
?
Zuurstof 8 +2x10-6
Neon
10
?
Aluminium 13 +21x10-6
Argon
18
?
Element Z
m
------------------------Waterstof 1
0
Koper
29 -10x10-6
Zilver
47 -25x10-6
Goud
79 -30x10-6
Terminologie:
χ
 m

1 χ m  K m

1 χ m  0  

 χ m0 dia
susceptibi liteit 
 χ m 0 para
relatieve permeabili teit
permeabili teit
In de (oneindig doorlopende) rechterplaat loopt een
oppervlaktestroom in de aangegeven richting. De (oneindig
doorlopende) linkerplaat is van paramagnetisch materiaal. In punt
P geldt voor het magnetisch veld:
A dat is groter dan in Q
B dat is kleiner dan in Q
C dat is even groot als in Q
D dat is gelijk aan nul
P
Q
Ferromagnetisme
Principe & hysterese
Permanente magneet?
Ferro-magnetisme
Para-magnetisme
dia-magnetisme
(temperatuur afhankelijk!)
T<TCurie: orde
T>TCurie: chaos
“Weiss”
gebiedjes
Voor ferro-magneet:
spontane alignering atomaire
dipool momenten!
0MB-0HB
Hysterese:
maximaal
gealigneerd
1T
I
ijzer
10-3 T
N
Z
0H0NI
Spontane alignering
Spoel met ijzeren kern
Curie punt Nikkel
Hysterese
VI Wat heb ik geleerd?
Materialen
– Magnetisatie


K mag  M  nˆ

M
– Mogelijkheden:
• Dia-magnetisme
• Para-magnetisme
• Ferro-magnetisme
Voor gemagnetiseerd
materiaal t.g.v. een een
extern veld B0

m
B
 01  m 
m
M // - B
M // + B
M permanent (hysterese)


Bmag   0 K mag z


Bmag   m B0
 


B  Bmag  B0  (1   m ) B0
(I) Magnetisatie M
“gebonden” stroom
Voor liefhebbers
Iplak
 K rand
I rand

M
d
Md  opp  I plak  opp
 I plak  Md

M equivalent


K mag  M  nˆ
d
algemeen :

 
J mag    M
M
I rand  I plak  Md
Dipoolmoment/“plakje”:
M Kmag=Mxn
n
n
M
Imag=0
d
Inhoud Magnetostatica
Magnetostatica (5 colleges)
I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)
II. Wet van Ampere
 
 
III. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Bdl   0 I &   B  0
IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V.
V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.
Hall effect (ter voorbereiding practikum)
I
-
+
v+ B

B

F  qv  B
d
a
B
v-
- pool
d̂
VHall
+ pool



F  qv  B
 afbuiging q=+/-  E-veld: EHall
Voor q=+/-:
 

ˆ  qv Bdˆ


q
d
E
F
0

F
- dichtheid: N
Hall
magn
elec
- lading: q
qv
I B
IB
- snelheid: v
 E Hall  B 
 V Hall  d E Hall 
q
Nad q
Nqa
 I=Nqadv [C/s]
Waarom beweegt stroomdraad?
Niet FLorentz:
elektronen zwemmen
vrijelijk door draad!
Hall effect:
Elektronen naar
onderkant draad!
I
B
I
eFL
 E-veld:
E-veld trekt rooster ionen
(+) en daarmee de draad
naar beneden!
E
I
FE
Voor labjournaal: Toroïde met spleet
B
I
Zelf doen (kan zonder H veld)
zonder materiaal:
* stroom I
H
* N windingen
* straal R H
s
s
"binnen": 2 πrB μ0 NI
Ampere : 
μ0 NI
 B

2 πr
(cirkel) 
"buiten": 2πrB0  B 0
met materiaal:  0( 1+m) & spleet s

"binnen": ( 2πr  s ) H  s H s  NI
Ampere : 
"buiten": 2πrH 0  H 0

Voor B : B s   0 H s en B  H
 
 
B  0 
 Bdo  0
oppervlak
cilindertj e  B  B s
( 2πr  s )
B Bs 
B Bs


NI
s Bs
0
s
 2πr  s
0
 NI 

 0 NI

s  0 2πr  s 

Inhoud Magnetostatica
Magnetostatica (5 colleges)
I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)
II. Wet van Ampere
 
 
III. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Bdl   0 I &   B  0
IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V.
V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.
Einde
Electro- & magnetostatica in vacuüm
Electrostatica: Coulomb
Magnetostatica: Biot-Savart
J(r’)
(r’)
z
z
r-r’
r’
O
r’
P
r
x
r-r’
O
y
P
r
x
Gevraagd: E(r)
Gevraagd: B(r)
y
Electro- & magnetostatica in vacuüm
Electrostatica: Coulomb
 

 
1 N q i r  r i 
E P  E (r ) 
  3
4  0 i 1 r  r
i

1


4  0 volume
 
 ( r ') r  r ' 
 3
r r '
dv '

 
  E dl 0
 kring

  Qomsloten
 E   E do 
(Gauss)

0
oppervlak

  
  
 E  0 &  E 
0
Magnetostatica: Biot-Savart
  

 
 0 I  r  r ' 
BP  B(r ) 
   3 dl '
4 lijn r  r '
   
0
J ( r ') r  r ' 

dv '



3
4 volume
r r '

 
  Bdl   0 I omsloten (Ampere)
 kring
 

 B   Bdo 0
oppervlak


 

 
  B  0 J &   B  0
Electro- & magnetostatica met materie
Polarisatie: P
Magnetisatie: M

M equivalent met :


 K mag  M nˆ
 

 J mag M
Introducee r " hulpveld" :

 
D  0 E  P
 
   
  D  0  E    P
Introducee r " hulpveld" :



H  B / 0  M
   
 
  H    B / 0    M




 J vrij  J mag  J mag  J vrij
 
omsloten
  H dl  I vrij

P equivalent met :

 pol  Pnˆ
 

  pol  P


  vrij   pol   pol   vrij
 
omsloten
  Ddo  Qvrij
oppervlak


Lineair medium : P   e 0 E


lijn


Lineair medium : M   m H
Elektrostatica
Inhoud
I. Elektrische kracht, - veld en - potentiaal
 
 
II. Veldvergelijkingen nader bekeken:
 Edl  0 &   E 
III. Elektrische velden in materie: polarisatie
 / 0
Magnetostatica
IV. Lorentz kracht en magnetisch veld
 

 
  B  0 J &   B  0
V. Veldvergelijkingen nader bekeken:
VI. Magnetische velden in materie: magnetisatie
Elektromagnetisme
VII. Parallel Elektrostatica & Magnetostatica
VIII. Inductie
IX. Maxwell vergelijkingen
X. Elektromagnetische golven
Grafisch: rotatie en divergentie
Elektrisch veld
Magnetisch veld
I
Q

E
  1
 E do 
oppervlak
  0 Iˆ
B
2r
Qrˆ
4  0 r 2
 

 Bdo  0    B  0
 1

 dv    E 
 0 volume
0
 

 E dl  0    E  0
kring
E: rotatie vrij
oppervlak
 
 Bdl   0
kring

 

 J do    B   0 J
oppervlak
B: divergentie vrij
Grensvlakken
De velden B & H
De velden E & D
B- and H-fields at interface
1 1
B1
B2
Gauss box
Circuit:
2
Given: B1 ; 1 ; 2
Question: Calculate B2
Needed: “Interface-crossing relations”:
 H  dl  I free and  B  dA  0
2
Relation H and B: B = 0 r H
: B1.Acos 1 - B2.Acos 2 =0  B1 = B2
: no I : H1.Lsin 1 - H2.Lsin 2 =0
B1 1 A B2 1 A

H1 tan 1 L H 2 tan  2 L
 H1// = H2//
 r1 tan 1

 r 2 tan  2
E-field at interface
1
E1
1
Given: E1 ; 1 ; 2 
Question: Calculate E2
Needed: “Interface-crossing relations”:
E2
 E  dl  0
2
2
Gauss box
Circuit:
and
 D  dA  Q free, encl.
Relation D and E: D = 0 r E
(empty!): D1.Acos 1 - D2.Acos 2 =0  D1 = D2
E1.Lsin 1 - E2.Lsin 2 =0
D1 1 A D2 1 A

E1 tan1 L E2 tan 2 L
 E1// = E2//
 r1 tan1

 r 2 tan 2
Electret and Magnet
P
Electret
E = (D-P)/0
D = 0 E + P
 E  dl  0
 D  dS  Q
f
0
Magnet
 H  dl  I  0
 B  dS  0
f
D
H
B
+++
--M
H = B / 0 -M
B = 0 H + M
E
  
 E  0
Puntlading:

E
P
Q
r
1
Q
2 rˆ
4  0 r
ˆj kˆ
iˆ

 
Q  rˆ
Q  r
Q
E 
 2 
 3 
x  y z
4  0
4  0
4  0
r
r
x y z
3
3
3
r r r
  z
 ˆ y
  
Q   z
y
x
x

iˆ  y 3  z 3  ˆj   x 3  z 3  k   x 3  y 3    0
4  0   r
r   r
r   r
r  
  
 E  0
Uniform
geladen bol:

E
P
Q
r
1
Q
2 rˆ
4  0 r
ˆj kˆ
iˆ

 
Q  rˆ
Q  r
Q
E 
 2 
 3 
x  y z
4  0
4  0
4  0
r
r
x y z
3
3
3
r r r
  z
 ˆ y
  
Q   z
y
x
x

iˆ  y 3  z 3  ˆj   x 3  z 3  k   x 3  y 3    0
4  0   r
r   r
r   r
r  