7 Kommagetallen - Noordhoff Uitgevers

© 2011 Noordhoff Uitgevers bv
7
Kommagetallen
Kommagetallen worden veel gebruikt in het dagelijks leven in de vorm van
geldbedragen en meetgetallen. Behalve dat kommagetallen een grote gebruikswaarde
hebben in het leven van alledag, zijn ze ook van belang om leerlingen een
verdergaand inzicht te geven in het decimale positionele systeem.
Met betrekking tot het domein kommagetallen verwerven kinderen het inzicht dat:
• kommagetallen een decimale structuur hebben (kerninzicht decimale structuur);
• met kommagetallen eindeloos kan worden verfijnd met de factor 10 en dat het
aantal decimalen bij meetgetallen de nauwkeurigheid van de maat aangeeft
(kerninzicht decimale verfijning).
Het kerninzicht decimale structuur
Hoewel kinderen al op jonge leeftijd ervaring opdoen met kommagetallen, onder
andere thuis en in de supermarkt, blijkt het voor de meesten niet eenvoudig om inzicht
te krijgen in de decimale structuur van kommagetallen. Kommagetallen als 2,5 en 1,75
hebben dezelfde waarde als de breuken 2 12 en 1 34 , maar een andere structuur.
Rechts van de komma staan de tienden, honderdsten, enzovoort.
Het inzicht in de decimale structuur is nodig om te kunnen rekenen met
kommagetallen. Een meetcontext kan betekenis geven aan de optelling
0,15 + 0,4 = 0,55 door de lengte van twee stroken van 15 cm en 4 dm bij elkaar te
nemen. Met benoemde kommagetallen interpreteer je de opgave 0,15 + 0,4 als
0,15 m + 0,40 m = 15 cm + 40 cm = 55 cm = 0,55 m. Het voorkomt de misvatting dat
0,15 + 0,4 = 0,19, waarbij leerlingen 15 en 4 als hele getallen optellen.
Vooral vermenigvuldigen en delen met kommagetallen kan lastig zijn voor kinderen.
Een misverstand als 4 × 0,5 = 0,20 komt veel voor. Kinderen denken dat bij
vermenigvuldigen het antwoord altijd groter wordt, maar bij vermenigvuldigen met
kommagetallen is dat niet altijd zo. Ook hier kan een context helpen: bij 4 × 0,5 kun je
denken aan 4 keer 5 dm of 4 keer een halve meter. Dat is 2 meter en niet 0,20 meter.
Voor het beklijven van het inzicht is het essentieel om zo vaak mogelijk gelijkwaardige
wiskundetaal te gebruiken. Bijvoorbeeld de volgende gelijkwaardige uitspraken:
0,5 × 0,2 = 0,1
0,2 : 2 = 0,1
5
10
10
× 102 = 100
= 101 = 0,1
de helft van 2 tienden is 1 tiende
1
2
× 0,2 = 0,1
50% van € 0,20 = € 0,10
Het kerninzicht decimale verfijning
Een getal als 5762 kun je schrijven als 5 × 1000 + 7 × 100 + 6 × 10 + 2. We kunnen
hier ook de wetenschappelijke notatie gebruiken: 5 × 10³ + 7 × 10² + 6 × 10¹ + 2 × 10º.
Deze manier van noteren kunnen we uitbreiden als we met kommagetallen aan de
0
-1
-2
-3.
slag gaan: 5,762 = 5 × 10 + 7 × 10 + 6 × 10 + 2 × 10 Kommagetallen kun je
eindeloos decimaal verfijnen.
Vanaf eind groep 6 laat men kinderen regelmatig oefenen met het vergelijken van
1
1
1
kommagetallen en gewone tiendelige breuken: 10
, 100
, 1000
en veelvouden daarvan.
Gaandeweg krijgen kinderen vertrouwen en inzicht in de verfijning van het stelsel. Ze
construeren een persoonlijk relatienetwerk van getalrelaties, zoals: 0,5 = 0,50 = 12 ;
2
0,25 = 0,250 = 14 ; 0,75 = 0,750 = 34 ; 0,2 = 0,20 = 0,200 = 10
= 15 en 0,125 = 18 .
Rekenen-wiskunde in de praktijk – Kerninzichten
1
© 2011 Noordhoff Uitgevers bv
Meetcontexten zijn geschikt om kinderen inzicht te geven in de decimale verfijning,
omdat het metrieke stelsel dezelfde decimale verfijning kent als de kommagetallen. Er
is wel verschil in gebruik tussen formele kommagetallen en kommagetallen als
meetgetallen, namelijk: in een meetgetal geeft het aantal decimalen de
nauwkeurigheid van de meting aan. Dat laatste is een lastige materie die niet voor alle
leerlingen te bevatten is.
Als leerlingen moeite hebben bij het rekenen met kommagetallen, schuilen de
moeilijkheden vaak in de verschillende betekenissen van de verfijning, vooral de
volgende drie:
• Een ‘kaal’ (formeel) kommagetal heeft oneindig veel gelijkwaardige getallen,
equivalenten. Zo is 92,7 = 92,70 = 92,700 = 92,7000 enzovoort. Die eigenschap
wordt meestal zichtbaar voor kinderen, indien de decimale breuken worden
7
70
700
geschreven als voor hen al bekende, gewone tiendelige breuken: 10
,
= 100
= 1000
enzovoort.
• Bij een concreet meetgetal zoals 92,7 km, geeft het aantal decimalen de
meetnauwkeurigheid aan. Bij zo’n getal is 92,70 km nauwkeuriger dan 92,7 km,
want de afstand van 92,70 km kan variëren van 92,695 km tot 92,705 km, terwijl de
lengte 92,7 km ligt op het interval van 92,65 km tot 92,75 km.
• De meeste kilometertellers geven geen afgeronde, maar ‘gekapte’ decimalen weer.
De stand 92,7 km op de teller kan een afstand van 92,70 km betekenen, maar
evengoed 92,79 km.
Leerlijn kommagetallen
De basis voor het leren werken met kommagetallen ligt in het inzicht in gewone
breuken. Daarom komen kommagetallen pas vanaf groep 6 aan de orde.
De eerste ervaringen met de structuur van kommagetallen
Al op jonge leeftijd doen kinderen ervaringen op met kommagetallen. Ze lezen die op
prijsstickers, op kassabonnen, in reclamefolders en zo meer. Genoteerde
geldbedragen maken kinderen vertrouwd met de notatie van getallen met een komma
erin. Maar het rekenen met geld levert geen bijdrage aan het verkrijgen van inzicht in
de structuur en de verfijning van kommagetallen en kan zelfs tot misverstanden leiden.
Vanaf de middenbouw doen kinderen ervaring op met het verdelen en vergelijken van
bijvoorbeeld de lengte van stroken, die in eerste instantie als breuken worden
benoemd: halven, kwarten, achtsten, vijfden of tienden.
De relatie met gewone breuken als basis
De introductie van gewone breuken gaat vooraf aan de introductie van
kommagetallen. Alledaagse situaties rond meten en wegen helpen leerlingen de
relatie te leggen tussen die beide verschijningsvormen van getallen. Eerst doen
leerlingen bijvoorbeeld met maatbekers ervaring op met halve, kwart, achtste en
tiende liters. Daarna is de overgang naar tiende, honderdste en duizendste liters en de
bijbehorende kommagetallen niet moeilijk meer voor de meeste kinderen. Het
beschrijven van meetsituaties en meetuitkomsten met benoemde getallen geeft
leerlingen houvast en vergroot het inzicht in de decimale structuur van kommagetallen.
Omgekeerd, bij het maken van een ‘kale’, formele som, kan bij een opgave als
3,4 – 1,50 = ... het denken aan een context van lengtemeting kinderen helpen: bij 3,4
kun je denken aan 3m 40 ofwel 3 hele meters en 40 centimeter, waardoor de
aftrekking 3,40 – 1,50 opeens betekenis krijgt.
De getallenlijn is een geschikt model om de gelijkwaardigheid van kommagetallen en
gewone breuken in beeld te brengen en het positioneren, ordenen en vergelijken van
kommagetallen te ondersteunen.
Na verloop van tijd ontstaat een netwerk van bekende relaties, zoals 0,5 = 0,50 = 12 ;
2
0,25 = 0,250 = 14 ; 0,75 = 0,750 = 34 ; 0,2 = 0,20 = 0,200 = 10
= 15 en 0,125 = 18 .
2
Rekenen-wiskunde in de praktijk – Kerninzichten
© 2011 Noordhoff Uitgevers bv
Rekenen met kommagetallen
Het rekenen met kommagetallen is gemakkelijker dan het rekenen met breuken,
omdat het veel overeenkomst vertoont met het rekenen met hele getallen. Door de
leerlingen te laten werken met tiendelige breuken en door gebruik te maken van meeten geldcontexten met benoemde getallen, is het rekenen met kommagetallen altijd
betekenisvol voor leerlingen. Hierdoor vermijd je dat rekenregels voor leerlingen
onbegrepen ‘rekentrucs’ worden.
Op het formele niveau is het belangrijk leerlingen te laten schatten, omdat daarmee de
orde van grootte van (komma)getallen bepaald kan worden. Handig rekenen is van
enorm belang voor het verkrijgen van inzicht in de structuur van kommagetallen en het
oefenen van de rekenvaardigheid met kommagetallen. Wie handig kan rekenen met
hele getallen en gewone breuken, kan dat vaak ook vrij snel met kommagetallen.
De rekenmachine is een belangrijk hulpmiddel bij het rekenen met kommagetallen,
vooral als het gaat om grote getallen en ingewikkelde berekeningen. Bedenk dat
kinderen alleen goed kunnen omgaan met de rekenmachine als zij veel inzicht hebben
in de structuur en de systematische verfijning. Ook is een hecht relatienetwerk van
relaties tussen breuken, kommagetallen, procenten en verhoudingen noodzakelijk om
de rekenmachine succesvol te kunnen gebruiken.
De samenhang tussen kommagetallen, verhoudingen, breuken en procenten
In de bovenbouw van de basisschool krijgen leerlingen steeds meer inzicht in de
samenhang tussen kommagetallen, verhoudingen, breuken en procenten. Dat gebeurt
vanuit toepassingen uit het dagelijks leven, zoals een prijs- en gewichtcontext.
Rekenen-wiskunde in de praktijk – Kerninzichten
3