Lesgeheel 3: Hoeken
advertisement
3 Hoeken Dit kun je al 1 een hoek meten 2 de verschillende soorten hoeken (op basis van hun grootte) herkennen 3 de verschillende soorten hoeken (op basis van hun grootte) tekenen Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar je vademecum. A 1 Hoe groot is hoek A? B | A | = 65° C | A | = 115° Verder oefenen? | A | = 35° ad A 2 Hoek B is … een gestrekte hoek een nulhoek een volle hoek B 3 Welke hoek is een stompe hoek? ad A C ad B Dit heb je nodig Inhoud • • • • • • • M12 M13 M14 M15 M16 M17 M18 leerwerkboek p. 43 - 72 oefenboek nr. 702 - 773 passer geodriehoek groene en rode pen rekenmachine kleurpotloden Indeling van de hoeken volgens hun som Indeling van de hoeken volgens hun ligging Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn De som van de hoeken in een driehoek Bewijs: de eigenschap van overstaande hoeken Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn M19 Bewijs: de eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek p. 44 p. 46 p. 50 p. 54 p. 58 p. 60 p. 62 p. 70 43 Indeling van de hoeken volgens hun som M12 Op verkenning a Complementaire hoeken • Vul aan. 42° 20° B 18° 86° 4° 48° E A |A| + |B| = • 1 D 70° 1 2 90° Wat stel je vast? | D | + | E | = . 90° ............................. 2 G F .............................. 72° | F | + | F | = . 90° ............................ 1 2 De som van de hoeken is steeds 90°. | G1 | + | G2 | = . 90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Wiskundetaal – definitie DEFINITIE Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 90° is. B 26° A en B zijn complementair. A ! Je zegt: hoek A en hoek B zijn elkaars complement. 64° | A | + | B | = 90° A en B zijn complementaire hoeken. b Supplementaire hoeken • Vul aan. 70° D 134° B 110° 46° • F C A |A| + |B| = 98° 180° .............................. Wat stel je vast? 56° E 82° 124° 1 2 G 180° 180° | F | + | E | = ............................... | G1 | + | G2 | = . . 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... De som .van ....................... . . . . . . . . . . . . beide . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . .steeds . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . |D| + |C| = ............................. Wiskundetaal – definitie Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 180° is. Je zegt: hoek A en hoek B zijn elkaars supplement. A A en B zijn supplementair. 78° 102° ! DEFINITIE B | A | + | B | = 180° A en B zijn supplementaire hoeken. Oefeningen WEER? 702 703 1 |A| MEER? 704 - 706 44 Vul aan zodat A en B complementaire hoeken zijn. |B| Hoeken 24° 65° 66° 25° 33° 57° 108° / 79° 11° 0° 90° 2 WEER? 707 Teken B zodat deze het complement is van A. 60° B A 3 30° WEER? 708 Teken het complement van A, zonder A te meten. A 4 WEER? 709 Complementaire hoeken a b Neen Heeft elke hoek een complement? Welke hoeken hebben altijd een complement? ......................................................................................................................... De nulhoek, scherpe hoeken en een rechte hoek . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 5 |A| |B| WEER? 717 6 WEER? 710 - 712 Vul aan zodat A en B supplementaire hoeken zijn. 85° 22° 95° 158° 109° 37° 143° 71° 7 Teken B zodat deze het supplement is van A. 148° 180° 0° 32° Teken het supplement van A, zonder A te meten. 135° MEER? 713 - 716 WEER? 718 A A B 8 45° Supplementaire hoeken a b Heeft elke hoek een supplement? Welke hoeken hebben altijd een supplement? Neen WEER? 719 ........................................................................................................................ Hoeken die kleiner zijn dan.................................................... of gelijk aan een gestrekte . . . ........................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... Wat moet je kunnen? ! de definitie van complementaire hoeken verwoorden ! de definitie van supplementaire hoeken verwoorden ! het complement van een hoek tekenen en berekenen ! het supplement van een hoek tekenen en berekenen 45 Indeling van de hoeken volgens hun ligging M13 Op verkenning a Aanliggende hoeken • Bekijk aandachtig A1 en A2, B1 en B2 , C1 en C2 . C 1 A 1 2 E 2 1 1 2 1 2 F B 2 • Wat hebben deze hoeken gemeenschappelijk? • Teken op dezelfde manier twee hoeken met hoekpunt E en twee hoeken met hoekpunt F. Het zijn hoeken die één been en het hoekpunt gemeenschappelijk hebben. . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... Wiskundetaal – definitie DEFINITIE Aanliggende hoeken zijn hoeken die het hoekpunt en een been gemeenschappelijk hebben. Het gemeenschappelijke been ligt tussen de twee andere benen. A 1 2 A1 en A2 zijn aanliggende hoeken. b Nevenhoeken • Vul aan. 100° 135° 1 A 2 • 2 2 1 80° 1 B 45° 180° | A | + | A | = ........................... 1 C 2 49° 54° 1 131° D 2 126° 180° | B | + | B | = ............................ 1 2 |C | + |C | = 1 2 180° .......................... |D | + |D | = 1 2 180° ...................... . . . Wat stel je vast i.v.m. de ligging en i.v.m. de som? De hoeken zijn steeds aanliggend en supplementair. . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Wiskundetaal – definitie Nevenhoeken zijn aanliggende hoeken die samen een gestrekte hoek vormen. A1 en A2 zijn nevenhoeken. ! DEFINITIE A1 en A2 zijn aanliggende hoeken en | A | + | A | = 180° 1 2 46 Hoeken 2 1 A A1 en A2 zijn nevenhoeken. c Overstaande hoeken • Meet de grootte van de getekende hoeken. 1 2 A B 1 1 • 1 C D 2 1 100° 100° | A | = ....................................... 2 |A | = 2 ....................................... 2 62° 62° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | B | = ............ 2 |B | = 1 ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30° 150° | D1 | = ................................... .... 30° 150° | C | = ....................................... | D | = ................................... .... 2 2 |C | = 1 ....................................... Vergelijk de grootte van de hoeken 1 en 2 die ‘tegenover elkaar staan’. Wat stel je vast? De hoeken zijn even groot. . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Wiskundetaal – definitie DEFINITIE Overstaande hoeken zijn hoeken waarvan de benen in elkaars verlengde liggen. 1 A 2 A1 en A2 zijn overstaande hoeken. Eigenschap – overstaande hoeken Overstaande hoeken zijn even groot. A1 en A2 zijn overstaande hoeken. 55° A 1 2 55° " |A | = |A | 1 2 A1 en A2 zijn overstaande hoeken. Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M17. Oefeningen 9 Teken van de gegeven hoek … a een overstaande hoek. Hoeveel mogelijkheden zijn er? Eén ................................. b een aanliggende hoek. Hoeveel mogelijkheden zijn er? Oneindig .............................veel .... WEER? 720 MEER? 721 B A 47 M13 Indeling van de hoeken volgens hun ligging (vervolg) c een nevenhoek. Hoeveel mogelijkheden zijn er? Twee ................................. C WEER? 722 10 Zet een kruisje in de juiste kolommen. Welke hoeken zijn… B 1 A 1 2 b1 en b2 c1 en c2 d1 en d2 f1 en f2 X X X X Nevenhoeken X X X 11 Duid op de tekening (met een boogje) a 1 paar overstaande hoeken aan in het groen. Â2 en Â5 of Â1 en Â4 of Â3 en Â6 b 1 paar aanliggende hoeken aan in het zwart. Â1 en Â2 of Â2 en Â3 of Â3 en Â4 of Â4 en Â5 of Â5 en Â6 of Â6 en Â1 c 1 paar nevenhoeken aan in het rood. Â7 en Â4 of Â7 en Â1 80° 4 3 2 5 A 1 48 e1 en e2 X Overstaande hoeken 1 2 1 a1 en a2 WEER? 723 - 725 F 2 E 2 Aanliggende hoeken 1 2 D 1 C 2 Hoeken 6 7 d WEER? 726 12 Zet een kruisje in de juiste kolom(men). Welke hoeken zijn … 1 2 1 E 1 A 2 MEER? 727 728 C 2 B a1 en a2 aanliggende hoeken D b en e X supplementaire hoeken nevenhoeken X c1 en c2 d1 en d2 X X X X X complementaire hoeken 13 Duid in het rood één paar nevenhoeken aan. Duid in het groen één paar complementaire hoeken aan. Duid in het zwart één paar aanliggende hoeken aan die geen nevenhoeken zijn. WEER? 729 Wat moet je kunnen? ! de definitie van aanliggende hoeken verwoorden ! de definitie van nevenhoeken verwoorden ! de definitie van overstaande hoeken verwoorden ! de eigenschap van overstaande hoeken verwoorden ! aanliggende hoeken, nevenhoeken en overstaande hoeken herkennen en tekenen 49 M14 Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn Op verkenning c buiten buiten 1 4 binnen 2 3 4 3 4 1 a A 2 3 binnen 2 buiten 4 b • 1 B 1 3 2 buiten Deze hoeken ken je al. Vul aan. – A1 en A3 zijn . . . . . . . . . . . . . . . .overstaande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken. Welke hoeken zijn nog overstaande hoeken? –  en  , B en B , B en B . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... A1 en A2 zijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . neven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken. Welke hoeken zijn nog nevenhoeken? Â1 en Â4 , Â2 en Â3. .,. . . . . .3. .en . . . . . . . . . .4. .,. . B . . . .1. . en . . . . . . .B . . . .2. .,. .B . . . 2. . .en . . . . . . .B . . .3. .,. . B . . . .3. . .en . . . . . .B . . . .4. .,. .B . . . 1. . .en . ..... B 4 Wat weet je over deze hoeken? • Ze . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . . supplementair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(samen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180°). . . . . . . . . . ..... Welke hoeken vind je binnen de oevers van de rivier? . . . . .2. . ,. . .  . . . .3 . . .,. . .B . . . .1. . ,. . . B . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Deze hoeken noem je binnenhoeken. – Welke hoeken vind je binnen de rivier aan dezelfde kant van de boomstam?  en B ,  en B ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 2 1 3 4 – Deze hoeken noem je binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. Welke hoeken vind je binnen de rivier, maar aan weerskanten van de boomstam?  en B ,  en B ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 2 4 3 1 Deze hoeken noem je verwisselende binnenhoeken. • Welke hoeken vind je buiten de oevers van de rivier?  ,B , ,B . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 1 2 4 3 Deze hoeken noem je buitenhoeken. – Welke hoeken vind je buiten de rivier aan dezelfde kant van de boomstam?  en B ,  en B ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 1 2 4 3 – Deze hoeken noem je buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. Welke hoeken vind je buiten de rivier, maar aan weerskanten van de boomstam?  en B ,  en B ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 1 3 4 2 Deze hoeken noem je verwisselende buitenhoeken. 50 Hoeken • Kun je twee hoeken vinden met een verschillend hoekpunt die aan dezelfde kant van de boomstam liggen, maar waarbij de ene hoek een binnenhoek is en de andere hoek een buitenhoek? Geef een voorbeeld.  en B ,  en B ,  en B ,  en B . . . ........................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 1 1 2 2 3 3 .................................................... 4 4 Deze hoeken noem je overeenkomstige hoeken. Wiskundetaal – begrippen Als twee rechten worden gesneden De rechten a en b worden door een derde rechte dan bekom je gesneden door de rechte c. acht verschillende hoeken. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. 4 a b Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn hoeken die tussen de rechten a en b liggen en aan dezelfde kant van de snijlijn c. A2 en B1, A3 en B4 zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. A 1 3 2 4 1 B 3 2 c c A 3 a 4 2 B 1 b Verwisselende binnenhoeken zijn A en B , A en B 2 4 3 1 hoeken die tussen de rechten a en zijn verwisselende binnenhoeken. b liggen en aan weerskanten van de snijlijn c. c A 3 a 4 2 B 1 b Buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn hoeken die niet tussen de rechten a en b liggen en aan dezelfde kant van de snijlijn c. A1 en B2, A4 en B3 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. 4 A 1 c a B b Verwisselende buitenhoeken zijn A en B , A en B 1 3 4 2 hoeken die niet tussen de rechten a zijn verwisselende buitenhoeken. en b liggen en aan weerskanten van de snijlijn c. 3 2 4 A 1 c a B b Overeenkomstige hoeken zijn A1 en B1, A2 en B2, A3 en B3, A4 en B4 hoeken die aan dezelfde kant van de zijn overeenkomstige hoeken. snijlijn liggen en waarbij één hoek een binnenhoek is en de andere hoek een buitenhoek. 3 2 4 3 a 4 b 3 A 1 c 2 1 B 2 51 M14 Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn (vervolg) Oefeningen WEER? 730 MEER? 731 14 a en b zijn twee rechten gesneden door een derde rechte c. Benoem de gevraagde hoeken. a c 1 2 A4 3 a B 1 2 4 3 b A4 en B1 A2 en B2 A1 en B3 A3 en A2 A2 en B3 A3 en B1 B1 en B3 A3 en B2 Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn Overeenkomstige .............................................. . . . . . . hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verwisselende buitenhoeken .............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nevenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................. Buitenhoeken aan .............................................. . . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verwisselende binnenhoeken .............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Overstaande hoeken .............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binnenhoeken aan .............................................. . . . . . . . . . . dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kant . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .snijlijn . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b c A 4 1 3 2 a B b A3 en B1 A2 en B1 A3 en A2 A1 en B1 A3 en B4 A1 en B3 A4 en B3 B4 en B2 c 4 1 3 2 Verwisselende binnenhoeken .............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binnenhoeken aan .............................................. . . . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nevenhoeken .............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Overeenkomstige .............................................. . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binnenhoeken aan .............................................. . . . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verwisselende buitenhoeken .............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Buitenhoeken aan .............................................. . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . snijlijn . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Overstaande hoeken .............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B4 en . . . . .2 . . . zijn verwisselende binnenhoeken. a A3 en .B . . . .3. . . zijn overeenkomstige hoeken. B4 en . .B . . .2 . . . zijn overstaande hoeken. A4 en .B . . . .1. . . zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. A3 en .B . . . .1. . . zijn verwisselende buitenhoeken. A2 en .B . . . .3. . . zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. A1 en .  . . . .2 . . . zijn nevenhoeken. Â1 en Â4 zijn ook nevenhoeken. 52 Hoeken c A 4 1 3 2 4 B 1 3 2 b WEER? 732 15 Vul aan en verklaar. | A | = 30° 1 | B | = 45° 3 |A | = 3 |B | = 1 30° 45° ............................  en  zijn overstaande hoeken. B1 en B3 zijn ......................... . . . . . . . . . . . .overstaande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ............................ ......................... 1 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Zijn de verwisselende binnenhoeken even groot? Neen, |  | = 30° en | B | = 45°. .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 3 1 c 2 1 A 3 4 a 4 b B 1 3 2 16 Gegeven AB // DC a AB WEER? 733 a A 1 1 D B 2 2 E C binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... A en D zijn ............................................................................................................................... binnenhoeken aan. . . . .dezelfde A en B1 zijn .......................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kant . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .snijlijn. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... overeenkomstige hoeken. D en E2 zijn ............................................................ ................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... samen 180°, supplementair (binnenhoeken aan dezelfde kant AB//CD). even groot (verwisselende binnenhoeken AB//CD). | B | en | E | zijn ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 1 2 | B | en | E | zijn 1 1 .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Wat moet je kunnen? ! overeenkomstige hoeken herkennen ! verwisselende binnenhoeken herkennen ! verwisselende buitenhoeken herkennen ! binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn herkennen ! buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn herkennen 53 M15 Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn Op verkenning c 4 Gegeven: a a // b en c a A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. 3 4 • 63° .............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63° ......................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... nevenhoeken. ......................... A1 en A2 zijn ................................................. |B | = 2 117° B1 en B2 zijn . .nevenhoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... | A | = . .63° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ |B | = .............................................................................................. A1 en A3 zijn . overstaande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken. . . . . . . . . . . . . ........................ overstaande hoeken. B1 en B3 zijn ................................................................................... 3 | A | = . .117° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ 4 A1 en A4 zijn . nevenhoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ • |B | = 1 Vul aan en verklaar. 117° | A | = ............................................................. ......................... 2 • 2 Meet. |A | = 1 • 3 2 1 B b 1 A 3 63° 117° B1 en B4 zijn .nevenhoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... |B | = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... Welke hoeken zijn overeenkomstige hoeken?  en B ,  en B ,  en B ,  en B . . . ........................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 1 1 2 2 3 3 .................................................... 4 4 – Vergelijk de hoekgrootten. De hoekgrootten zijn telkens ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . gelijk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... – Wat stel je vast? De overeenkomstige hoeken ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . . telkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . even . . . . . . . . . . . .. . .groot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • Welke hoeken zijn verwisselende binnenhoeken?  en B ,  en B . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 2 4 3 1 – Vergelijk de hoekgrootten. – Wat stel je vast? (................................................................. | Â2 | = | B4 | = 117°, | Â3 | =. . |. .B. . . .1. . .|. . .=. . . . .63°) . . . . . . . . . . . . .De . . . . . . . . .hoekgrootten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . . . . .telkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gelijk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... De verwisselende binnenhoeken ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . . telkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . even .. . . . . . . . . . . . . .groot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • Welke hoeken zijn verwisselende buitenhoeken?  en B ,  en B . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 1 3 4 2 – Vergelijk de hoekgrootten. – Wat stel je vast? (................................................................. | Â1 | = | B3 | = 63°, | Â4 | = |.B. . . .2. . .|. . =. . . . . .117°) . . . . . . . . . . . . . . .De . . . . . . . . .hoekgrootten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .telkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gelijk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... De verwisselende buitenhoeken ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .telkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . even . . .. . . . . . . . . . . .groot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • Welke hoeken zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn?  en B ,  en B . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 2 1 3 4 – Vergelijk de hoekgrootten. Zijn deze hoeken even groot? Neen ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 54 Hoeken – Maak de som van deze hoeken. – Wat stel je vast? |  | + | B | = 117° + 63° = 180°, |  | + | B | = 63° + 117° = 180° ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 2 1 Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn supplementair. ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • Welke hoeken zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn?  en B ,  en B . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 1 2 4 3 Vergelijk de hoekgrootten. Zijn deze hoeken even groot? – Neen ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... – Maak de som van deze hoeken. – Wat stel je vast? |  | = | B | = 63° + 117° = 180°, |  | + | B | = 117° + 63° = 180° ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 1 2 Buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn supplementair. ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • Controleer op de onderstaande tekeningen of … – de verwisselende binnenhoeken even groot zijn. Ĉ2 | = | D4 | | Ŝ2 | = | T4 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... |................................................................. Ĉ3 | = | D1 | | Ŝ1 | = | T3 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... |................................................................. de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn. – Ĉ1 | + | D2 | = 180° | Ŝ4 |. . + |................................................................. . . . . . .|. .T . . .1. . .|. .= . . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Ĉ4 | = | D3 | = 180° | Ŝ3 |. .+ |................................................................. . . . . . .|. .T . . .2. . .|. .= . . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... c 4 C a 3 v 1 4 S 1 3 2 2 b 4 D 1 3 2 T 1 3 2 a // b c s a t C is het snijpunt van a en c. D is het snijpunt van b en c. s // t v s S is het snijpunt van s en v. T is het snijpunt van t en v. Teken op een apart blad twee evenwijdige rechten e en f en een rechte g die e en f snijdt. Noem de snijpunten E en F. – Zijn de verwisselende buitenhoeken even groot? Ja ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... – Zijn de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair? Ja ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Eigenschap – hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn Twee rechten die worden gesneden door een derde rechte zijn evenwijdig a // b en a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. a.s.a. ! • 4 de overeenkomstige hoeken dezelfde hoekgrootte hebben. |A | = |B | 1 1 |A | = |B | 2 2 |A | = |B | 3 3 |A | = |B | 4 4 c 1 A a 2 3 1 4 B b 3 2 4 55 M15 Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn (vervolg) Twee rechten die worden gesneden door een derde rechte zijn evenwijdig a // b en a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c ! a.s.a. 3 Twee rechten die worden gesneden door een derde rechte zijn evenwijdig ! 4 Twee rechten die worden gesneden door een derde rechte zijn evenwijdig Twee rechten die worden gesneden door een derde rechte zijn evenwijdig ! de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn. | A | + | B | = 180° 1 2 | A | + | B | = 180° 4 4 2 c A 3 1 2 4 a 4 c B 1 b 2 A 1 3 2 4 1 3 B 4 a // b en a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c a.s.a. a 2 | A | + | B | = 180° 2 1 | A | + | B | = 180° 3 1 3 ! de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn. 2 4 b a // b en a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c a.s.a. A 1 3 1 |A | = |B | 1 3 |A | = |B | de verwisselende buitenhoeken dezelfde hoekgrootte hebben. c 3 B a // b en a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c a.s.a. 4 b |A | = |B | 2 4 |A | = |B | de verwisselende binnenhoeken dezelfde hoekgrootte hebben. a a 4 c A 3 b 4 3 3 2 1 2 B 1 2 Enkele van deze eigenschappen worden bewezen in les M18. Oefeningen WEER? 734 - 736 17 a // b c a A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. Bereken de grootte van de ontbrekende hoeken als telkens 1 hoek gegeven is. MEER? 737 738 c A 3 2 B 3 56 Hoeken | A | = 34° | A | = . . .133° .......... | A | = . . 125° ........... | A | = . . .146° .......... | A | = . . .133° .......... 3 | A | = . . . . . .55° ....... 2 | A | = . . . . . 34° ........ 2 | A | = . . . . . 47° ........ 4 | A | = . . .125° .......... 3 | A | = . . .146° .......... 3 | B | = . . .133° .......... 1 | A | = . . . . . .55° ....... 4 | B | = . . .146° .......... 1 | B | = . . . . . .47° ....... 2 | B | = . . . . . .55° ....... 2 | B | = . . . . . .34° ....... 2 | B | = . . .133° .......... 3 | B | = . . .125° .......... 3 | B | = . . .146° .......... 3 | B | = . . . . . .47° ....... 4 | B | = . . . . . .55° ....... 4 | B | = . . . . . .34° ....... 4 1 1 4 b | B | = 125° 2 4 a | A | = 47° 1 2 1 1 4 1 18 Gegeven parallellogram ABCD, met | D | = 65°. a Bereken | A |. A B |. . | = 180° – | D | = 180° – 65°..................... = 115° . ........................................................................ WEER? 739 MEER? 740 - 742 . . . ........................................................................ ..................... b Noteer de eigenschap die je toepast. | | 65° D en D = 180°: binnenhoeken aan..................... . . . ........................................................................ | | kant van de snijlijn AB // DC...................... .dezelfde . . ........................................................................ 19 Gegeven trapezium ABCD, met | C1 | = 32° en diagonaal [AC]. a Bereken | A1 |. C A 2 |  | = | Ĉ | = 32° WEER? 743 B 1 MEER? 744 - 750 . . . ........................................................................ ...................... 1 1 . . . ........................................................................ ...................... b 2 Noteer de eigenschap die je toepast. Aangezien . . . ........................................................................ ...................... 1 en Ĉ1 zijn verwisselende binnenhoeken. 1 D C // DC (def. trapezium), zijn Â1 en Ĉ1...................... even groot. .AB . . ........................................................................ c | A | =? | C | 2 2 Neen,  en Ĉ zijn verwisselende binnenhoeken maar AD 20 Gegeven rechten a en b met snijlijn c. A is het snijpunt van a en c. Juist of fout? Is de uitspraak fout, verklaar dan waarom. B is het snijpunt van b en c. c 1 4 A 3 2 a b a BC. ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 2 2 A1 en A3 zijn overstaande hoeken en zijn even groot. WEER? 751 4 B1 3 2 Juist . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... b A3 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken en zijn even groot. Fout, het zijn wel verwisselende binnenhoeken. . . . . maar . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ze . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .niet . . . . . . . . . . . .even . . . . . . . . . . . . . . .groot, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... want a is niet evenwijdig met b. . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... c B1 en B2 zijn nevenhoeken en zijn dus complementair. Fout, het zijn nevenhoeken.................................................... en dus zijn ze supplementair. . . . ........................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... d A1 en B2 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. Juist . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... e A4 en A3 zijn overeenkomstige hoeken. Fout, het zijn nevenhoeken..................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . ........................................................................ . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... f A4 en B4 zijn overeenkomstige hoeken en zijn even groot. Fout, het zijn wel overeenkomstige hoeken, maar . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . .ze . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . . niet . . . . . . . . . . . . .even . . . . . . . . . . . . . . groot, . . . . . . . . . . . . . . . . . . .want . . . . . . . . . . . . ..... a. . . ........................................................................ is niet evenwijdig met b. .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Wat moet je kunnen? ! de eigenschap van hoeken, gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn, verwoorden ! hoekgrootten berekenen door eigenschappen van hoeken, gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn, toe te passen 57 M16 De som van de hoeken in een driehoek Op verkenning Teken een scherphoekige, een stomphoekige en een rechthoekige driehoek op een blad papier. – Knip deze driehoeken uit. – Kleur de hoekpunten. – Knip de hoeken een eind verder uit dan het deel dat je gekleurd hebt, zoals aangegeven op de figuur. – Leg telkens de drie stukken met de gekleurde hoekpunten tegen elkaar en laat alle stukjes mooi aansluiten. • Wat stel je vast? • De drie hoeken vormen telkens samen een gestrekte hoek. Vul aan. De som van de hoeken in de driehoeken is telkens . 180°. ................................................................................... . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • Is er iemand in de klas die een driehoek kan tekenen waarvan de som van de hoeken niet gelijk is aan 180°? Neen .................................................................................... Eigenschap – de som van de hoeken in een driehoek De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan 180°. ABC is een driehoek. A " 73° | A | + | B | + | C | = 180° 42° C 65° B | A | + | B | + | C | = 73° + 65° + 42° = 180° Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M19. Oefeningen WEER? 752 753 21 Bereken de ontbrekende hoekgrootte in driehoek ABC. Toon je berekening. | B | = 65° |C| = 180° – 45° – 65° = 70° a | A | = 45° b Als je een ladder tegen een muur plaatst, staat die veilig als de hoek, gevormd door de ladder en de grond, een hoek is van 75°. Hoe groot zijn de andere hoeken? .............................................................................................................. De hoek tussen de muur en de grond is 90°. hoek tussen de ladder en de muur is .De . . ........................................................................ .................................................... ........................................ – 90° – 75° = 15° .180° . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . WEER? 754 58 22 Vul de ontbrekende hoek aan van ΔABC. Hoeken ΔABC |A| |B| |C| a 70° 15° 95° b 15° 125° 40° c 90° 45° 45° d 134° 16° 30° e 85° 73° 22° WEER? 755 23 Bereken de grootte van de ontbrekende hoek in de gegeven driehoeken. 80° 35° 55° 42° 180° – 90° – 35° = 55° 180° – 80° – 55° = 45° ........ ..................................................... 180° – 42° – 64° = 74° ............................................................. 24 Driehoek ABC is rechthoekig in hoek A. Bereken de grootte van hoek C. In ∆ABD | B | = 180° – 90° – 65° = .................................................................................... . . . . . .25° .................................. | | In ∆ABC Ĉ = 180° – 90° – 25° =. . . . .65° .................................................................................... ................................... | | of in ∆ADC: CÂD = 90° – 65° =. . . . .25° .................................................................................... ................................... | Ĉ | = 180° – 90° – 25° = 65° . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A WEER? 756 757 65° MEER? 758 - 760 B C 25 Bereken | A | als je weet dat | C1 | = | D1 |. In ∆BCD | D2 | = 180° – 42° – 26° . = .................................................................................... . . . . . .112° ................................. D1 | = 180° – | D2 | = 180° – 112° =. . . . .68° |.................................................................................... ................................... (eig. nevenhoeken) .................................................................................... ........................................ In ∆ACD |  | = 180° – | D1 | – | Ĉ1 | = 180° – 68° – 68° = 44° D WEER? 761 A MEER? 762 - 766 1 1 C D 2 26° 42° B WEER? 767 | B | = | A | + 14° | C | = | A | – 8° als |  | + | B | + | Ĉ | = 180° .................................................................................... . (eig. . . . . . . . . . .som . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . .driehoek) ... "# | B | = |  | + 14° .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | Ĉ | = |  | – 8° .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weetje 26 Gegeven ∆ABC Bereken | A |, | B | en | C | 64° MEER? 768 In een d rieh is de som oek op een bol v niet geli an de hoeken jk aan 18 0°. | | + |  | + 14° + |  | – 8° = 180°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................... 3|  | = 180° – 14° + 8° 3|  | = 174° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................... |  | = 174° :. .3 .................................................................................... ...................................... | |  = 58° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................... |B | = |  | + 14° = 58° + 14° = 72°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................... |Ĉ | = |  | – 8° = 58° - 8° = 50° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................... | . . . .|. . .= Antwoord : |  | = 58°, | B | = 72° en .................................................................................... . . . . . . . . . .Ĉ . . . . . 50° .................. Controle: 58° + 72° + 50° = 180°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................... .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90° 90° 90° .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wat moet je kunnen? ! de som van de hoeken in een driehoek berekenen 59 M17 Bewijs: de eigenschap van overstaande hoeken Op verkenning Een eigenschap is een uitspraak over gekende begrippen die altijd waar is. Als je één tegenvoorbeeld kunt vinden, heb je geen eigenschap. Omdat je onmogelijk alle voorbeelden kunt controleren moet je een eigenschap bewijzen. Bewijzen is de waarheid aantonen van de eigenschap. Hoe ga je hierbij te werk? Bewijzen gebeurt door te verkennen, te analyseren en het bewijs te geven. eigenschap Overstaande hoeken zijn even groot STAP 1 Verkennen • Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor? Overstaande hoeken. . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • Maak een schets en noem de overstaande hoeken A1 en A2. 1 • STAP 2 A Je kunt de eigenschap ook anders formuleren: Als twee hoeken overstaand zijn, dan zijn deze hoeken even groot. – Wat na ‘als’ staat, noem je het gegeven. Noteer het gegeven van deze eigenschap:  . . . .1. . . en . . . . . . . . . . . . .2. . . zijn . . . . . . . . . . . .overstaande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... – Wat na ‘dan’ staat, noem je het te bewijzen. Noteer het te bewijzen van deze eigenschap: |. .Â. . . .1. . .|. .=. . . . . .|. .Â. . . .2. . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken b 3 2 A 1 a 60 Hoeken 2 vraag antwoord verklaring Â1 en Â2 zijn overstaande hoeken. Wat is gegeven? Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. | Â1 | = | Â2 | Kijk naar de figuur. Welk soort hoeken zijn A1 en A3? Nevenhoeken Hoe groot is | A1 | + | A3 |? | A | + | A | = 180° 1 3 Is in de figuur ook een nevenhoek getekend voor A2? | Â3 | Hoe groot is | A2 | + | A3 |? | A | + | A | = 180° 2 Wat kun je uit ! en " besluiten? Is dit wat je moet bewijzen? Def. nevenhoeken ! Def. nevenhoeken Def. nevenhoeken " 3 Def. nevenhoeken Als | Â1 | + | Â3 | = 180° en | Â2 | + | Â3 | = 180° dan is | Â1 | = | Â2 | Eig. van een gelijkheid beide leden –| Â3 | Ja Overstaande hoeken zijn even groot. Bewijs STAP 3 Bij het uitschrijven van een bewijs is het absoluut noodzakelijk dat je een verklaring geeft voor elke stap die je zet. Bewijs – overstaande hoeken zijn even groot Gegeven: A1 en A2 zijn overstaande hoeken. b 3 2 A 1 Te bewijzen: | A1 | = | A2 | Bewijs: a ! | A1 | + | A3 | = 180° (def. nevenhoeken) " | A2 |+ | A3 | = 180° (def. nevenhoeken) "#!" |A | + |A | = |A | + |A | 1 3 2 3 "#Eig. van een gelijkheid: beide leden – | A3 | |A | = |A | 1 2 Wat moet je kunnen? ! De eigenschap van overstaande hoeken bewijzen. 61 M18 Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn Op verkenning eigenschap Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan hebben de overeenkomstige hoeken dezelfde grootte STAP 1 Verkennen • Lees de eigenschap aandachtig en maak een schets. Noem de overeenkomstige hoeken A1 en B1. c A 1 a B1 b • Welke meetkundige elementen komen erin voor? a // b a c A is het snijpunt van a en c. is het snijpunt van b en c..................................................... Â1 en B1 zijn overeenkomstige .B . . ........................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • Wat wordt er beweerd? Overeenkomstige hoeken hebben dezelfde grootte. . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken c A 1 a B 1 b vraag 62 Hoeken antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. a // b Â1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken. Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. | Â1 | = | B1 | Hoe kun je A1 op B1 afbeelden? Door de verschuiving met vector AB Wat is het schuifbeeld van de rechte a? t" AB#(a) = b Elke verschuiving beeldt een rechte af op een evenwijdige rechte. Wat is het schuifbeeld van de rechte c? t" AB#(c) = c c = AB Wat weet je over de hoekgrootte bij een verschuiving? | Â1 | = | B1 | De hoekgrootte blijft bewaard. Is dit wat je moet bewijzen? Ja Overeenkomstige hoeken hebben dezelfde grootte. STAP 3 Bewijs Bewijs – als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan hebben de overeenkomstige hoeken dezelfde grootte Gegeven: a // b en a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. A1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken. a c A B 1 1 b Te bewijzen: | A1 | = | B1 | Bewijs: " ! Verschuif a volgens AB.#Je bekomt b. t" #(a) = b Eig. het schuifbeeld van een rechte is een evenwijdige rechte AB ( ) " " Verschuif c volgens AB# . Je behoudt c. t" # (c) = c AB ( ) "#Eig. elke verschuiving bewaart de hoekgrootte |A | = |B | 1 1 63 M18 Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn (vervolg) # eigenschap Als twee overeenkomstige hoeken dezelfde grootte hebben, dan zijn de rechten waardoor ze worden gevormd evenwijdig STAP 1 Verkennen • Lees de eigenschap aandachtig en maak een schets. Kleur de overeenkomstige hoeken groen. A a B b • c 1 1 Welke meetkundige elementen komen erin voor? Twee rechten en een snijlijn. hoeken zijn even groot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .Overeenkomstige . . ........................................................................ .................................................... . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • Wat wordt beweerd? De dragers van de benen van de hoeken zijn evenwijdig. // b .a . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • Welke mogelijkheden zijn er voor de rechten a en b? a // b of a b . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Je verkent hier een andere bewijsvorm in de meetkunde. In plaats van de eigenschap rechtstreeks te bewijzen, ga je bewijzen dat elke andere mogelijkheid niet kan. De andere mogelijkheden leiden tot een tegenspraak met het gegeven. Dit soort bewijsvorm noem je ‘een bewijs uit het ongerijmde’. • Stel je eens de vraag: Als je weet dat | A1 | = | B1 | , zou het dan kunnen dat a niet evenwijdig is met b? • Welke andere mogelijkheid heb je dan? a snijdt b. . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken a A b1 B 2 b c 64 Hoeken 1 1 vraag verklaring Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen. • Duid het gegeven in het groen aan op de figuur. Â1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken. | | = |B | 1 1 Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. a // b Zou het kunnen dat a niet evenwijdig is met b? Teken door B de rechte b1 evenwijdig met a. STAP 3 antwoord a b Door elk punt kun je een rechte tekenen die evenwijdig is met een gegeven rechte. a // b1 Wat weet je over | B1 | en | B2 |? Noteer dit in symbolen | B1 | ≠ | B2 | ! b ≠ b1 Wat weet je over | A 1 | en | B1 |? | Â1 | = | B1 | " Gegeven Wat weet je over | A 1 | en | B2 |? | Â1 | = | B2 | $ Als twee rechten evenwijdig zijn, dan hebben overeenkomstige hoeken dezelfde hoekgrootte. Noteer !, " en $ samen. Wat stel je vast? !# # | B1 | ≠ | B2 | | | = | B1 | $# | Â1 | = | B2 | "# # Â1 Is het mogelijk dat a en b snijdende rechten zijn? Neen Dat betekent a // b Dit is onmogelijk. Uitdrukking (1) is in tegenspraak met uitdrukkingen (2) en (3). Er zijn maar twee mogelijkheden. Bewijs Bewijs – als twee overeenkomstige hoeken, gevormd door twee rechten en een snijlijn even groot zijn, dan zijn deze twee rechten evenwijdig Gegeven: a, b en c; c a en c b A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. A1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken. |A | = |B | 1 1 a A b1 Te bewijzen: a // b Bewijs: B 2 b 1 1 c Uit het ongerijmde Stel dat a niet evenwijdig is met b, dan kun je een rechte b1 tekenen door B die evenwijdig is met a. (Door elk punt kun je een rechte tekenen evenwijdig met een gegeven rechte.) ! | B1 | ≠ | B2 | " | A1 | = | B1 | $ | A1 | = | B2 | (b a en b1 // a) (gegeven) (eig. overeenkomstige hoeken: a // b1 met snijlijn c) Uitdrukking ! is in tegenspraak met uitdrukkingen " en $. Er blijft dus maar één mogelijkheid over: a // b. 65 M18 Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn (vervolg) eigenschap Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan hebben de verwisselende binnenhoeken dezelfde grootte STAP 1 Verkennen • Lees de eigenschap aandachtig en maak een schets. c A a b • A a 3 c 1 3 1 B b B 1 Welke meetkundige elementen komen erin voor? Twee evenwijdigen en een snijlijn. binnenhoeken. .Verwisselende . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • Wat wordt er beweerd? | | = |B | De verwisselende binnenhoeken hebben dezelfde grootte. . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 3 1 STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken c A 1 3 a 1 B b vraag Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen. Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. • Duid wat moet bewezen worden in het rood aan op de figuur. 66 Hoeken antwoord verklaring a // b Â3 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken. | Â3 | = | B1 | Welke hoek met hoekpunt A heeft dezelfde grootte als B1? • Noteer de gelijkheid. • Duid deze hoek aan op de figuur en noem deze hoek A1. | Â1 | = | B1 | Welke hoek met hoekpunt A heeft dezelfde grootte als A1? • Noteer de gelijkheid. | Â1 | = | Â3 | ! " Overeenkomstige hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn zijn even groot. Overstaande hoeken zijn even groot. Wat kun je uit ! en " besluiten? Is dit wat je moet bewijzen? STAP 3 | Â3 | = | B1 | Beide hoeken hebben dezelfde grootte als Â1. Ja De verwisselende binnenhoeken hebben dezelfde grootte. Bewijs Bewijs – als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan hebben de verwisselende binnenhoeken dezelfde grootte Gegeven: a // b, a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. A3 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken. c A 3 a 1 1 B b Te bewijzen: | A3 | = | B1 | Bewijs: !#| A1 | = | B1 | "#| A1 | = | A3 | (eig. overeenkomstige hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn) (eig. overstaande hoeken zijn even groot) "! en " |A | = |B | 3 1 67 M18 Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn (vervolg) eigenschap Als twee verwisselende binnenhoeken dezelfde grootte hebben, dan zijn de rechten waardoor ze gevormd worden evenwijdig STAP 1 Verkennen • Lees de eigenschap aandachtig en maak een schets. c A a b B • Welke meetkundige elementen komen erin voor? • Wat wordt er beweerd? Twee rechten en een snijlijn. Verwisselende binnenhoeken zijn even groot. . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... De dragers van de benen van de hoeken zijn evenwijdig. a // b . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken c A 1 3 a 1 B b vraag 68 Hoeken antwoord verklaring Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen. • Duid het gegeven in het groen aan op de figuur. Â3 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken. ! | Â3 | = | B1 | Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. a // b Welke hoek met hoekpunt A heeft dezelfde grootte als A1? • Noteer de gelijkheid. • Duid deze hoek aan op de figuur. Â3 | Â3 | = | Â1 | " Overstaande hoeken zijn even groot. Wat kun je uit ! en " besluiten? | Â1 | = | B1 | Beide hoeken hebben dezelfde grootte als Â3. Is dit wat je moet bewijzen? Neen, je moet nog een stap zetten. Als overeenkomstige hoeken even groot zijn, dan zijn a en b evenwijdig. STAP 3 Bewijs Bewijs – als twee verwisselende binnenhoeken dezelfde grootte hebben, dan zijn de rechten waardoor ze gevormd worden evenwijdig Gegeven: |A | = |B | (verwisselende binnenhoeken.) 3 1 a, b, c c a en c b A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. c A 3 a 1 1 B b Te bewijzen: a // b Bewijs: !#| A3 | = | B1 | "#| A1 | = | A3 | (gegeven) (eig. overstaande hoeken zijn even groot) "#! en " |A | = |B | 1 1 "#Eig. als overeenkomstige hoeken even groot zijn, dan zijn a en b evenwijdig. a // b Oefeningen 27 Als twee evenwijdigen gesneden worden door een derde rechte, dan zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair. Bewijs. c MEER? 771 772 A 1 2 a b WEER? 769 770 1 B Gegeven: a//b, a c en b c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. de snijlijn. Te bewijzen: | Â2 | + | B1 | = 180° . . . . . .Â. . . .2. . .+ .................................................................................... . . . . . .B . . . .1. . .zijn . . . . . . . . . . . binnenhoeken . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan . . . . . . . . . . . . dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kant . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . ..... ! | Â1 | + | Â2 | = 180° (def. Bewijs: .................................................................................... . . . . . . . . . .nevenhoeken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... " | Â1 | = | B1 | (eig. overeenkomstige .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . .. . . . . . . . . . bij . . . . . . . evenwijdige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . . . een . . . . . . . . . . snijlijn) . . . . . . . . . . . . . . . ..... .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... " en of eigenschap van een gelijkheid | Â2 | + | B1 | = 180° .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ! " .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Wat moet je kunnen? ! eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn bewijzen 69 M19 Bewijs: de eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek Op verkenning eigenschap De som van de hoeken in een driehoek is 180° STAP 1 Verkennen • Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor? Driehoek ABC. . . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • Wat wordt beweerd? • In les M16 knipte je de hoeken van een driehoek af en bracht je ze samen. In het bewijs wil je dit knippen en plakken nabootsen. Hoe kun je dit doen? Je tekent door het punt C een rechte a evenwijdig met AB. De som van de hoeken in een driehoek is 180°.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . ........................................................................ .................................................... – – 180°, ze vormen samen een gestrekte hoek. Wat is de som van C1, C2 en C3? ................................................................................... ..... Wat is je vermoeden over de som van de hoeken in een driehoek? De som van de hoeken .in ................................................................. . . . . . . .een . . . . . . . . . . . .driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . . 180°. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken. a 3 C 1 2 B vraag Wat is gegeven? Hoeken antwoord verklaring Driehoek ABC Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. |  | + | B | + | Ĉ | = 180° • Kleur door het punt C een rechte a evenwijdig met AB. Welke hoeken ontstaan op deze figuur in punt C (onder de rechte a)? Ĉ1 Ĉ2 Ĉ3 Wat is de som van deze hoeken? • Noteer dit in symbolen. 70 A drie hoeken vormen | Ĉ1 | + | Ĉ2 | + | Ĉ3 | = 180° De samen een gestrekte hoek. Welke hoek is even groot als C1? • Noteer de gelijkheid. Ĉ Welke hoek is even groot als C3? • Noteer de gelijkheid. B ! |Ĉ| = |Ĉ 1 | B en Ĉ3 zijn verwisselende binnenhoeken. " a // AB en snijlijn BC Welke hoek is even groot als C2? • Noteer de gelijkheid.  Welke stap moet je nog zetten om te komen tot wat je moet bewijzen? |A| + |B| + |C| = = Is dit wat je moet bewijzen? STAP 3 $ | Ĉ2 | + | Ĉ3 | + | Ĉ1 | 180°  en Ĉ2 zijn verwisselende binnenhoeken. a // AB en snijlijn AC |Â| = |Ĉ | 2 |Ĉ| = |Ĉ 1| |B| = |Ĉ 3 | De som van de hoeken in een driehoek is 180°. Ja Bewijs Bewijs – de som van de hoeken in een driehoek is 180° Gegeven: driehoek ABC a 3 C 2 1 B A Te bewijzen: | A | + | B | + | C | = 180° Bewijs: Teken door C een rechte a evenwijdig met AB. De hoeken die ontstaan in punt C noem je C1, C2 en C3. ! | C1 | = | C | " | C2 | = | A | $ | C3 | = | B | (C = C1) (Eig. verwisselende binnenhoeken: a // AB en snijlijn AC) (Eig. verwisselende binnenhoeken: a // AB en snijlijn BC) | C | + | C | + | C | = 180° (de hoeken vormen samen een gestrekte hoek) 1 2 3 "#!, " en $ | C | + | A | + | B | = 180° "#Het optellen is commutatief in q. | A | + | B | + | C | = 180° |Â| |B| |Ĉ| Oefeningen 28 Als in driehoek ABC één hoek A even groot is als de som van de andere twee hoeken, dan is de driehoek rechthoekig in A. Gegeven: ∆ABC |A| = |B| + |C| | A | = 90° TB: WEER? 773 | ..............................................................  | + | B | + | Ĉ | = 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ." . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... | | 2  = 180° " het optellen is associatief .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .in . . . . . . Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Bewijs: [ ] |.................................................................................... "  | + | B | + | Ĉ | = 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... " gegeven |  | = | B + Ĉ .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|..Â. . . .|. . .=. . . . . 90° .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... |....................................................................................  | + |  | = 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Wat moet je kunnen? ! de eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek bewijzen 71 Problemsolving 1 Lotte wil de kapstokken in de gang van de school versieren. Ze hangt boven enkele van de 17 hangers een hartje. Dat doet zij bij de eerste kapstok, de derde, de vijfde, … Na de les gaat Lotte verder met versieren. Dit keer start ze bij hanger 17 en plakt ze een hartje bij de eerste kapstok, de vierde, de zevende, … Hoeveel hangers krijgen geen hartje? 1.................................................................................... 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . .12 . . . . . . . . . . .13 . . . . . . . . . .14 . . . . . . . . . .15 . . . . . . . . .. .16 . . . . . . . . . .17 ......... % % % % % % % % % % % % .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vijf hangers krijgen geen hartje. .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Een kangoeroe maakt sprongen van grootte 1 in het eerste kwadrant. Hij begint in de oorsprong (0,0) en springt naar punt (1,0), daarna naar (1,1), (0,1), (0,2), (1,2), … Naar welk punt springt de kangoeroe na zijn 120ste sprong? 3 4 (0,10) Sprong 1: 1 $ (0,1) .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 37 38 39 40 41 42 2 Sprong 9: 3 $ (0,3) .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. . . . .34 33 32 31 30 43 2 16 6 17 $#(0,5) … Sprong 25: 5 .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .18 . . . . . . . . .19 . . . . . . . . .20 . . . . . . . . .29 .. . . . . . . 44 .............. 15 21 28 45 5 14 13 12 2 Sprong 121: 11 $ (0,11) .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . 5. . . . . . . . . 6. . . . . . . .11 1 22 27 46 dus sprong 120 is het hokje 3 . . . . . . 2. . . . . . . . .7. . . . . . . .10 .................................................................................... . .0 . . . . . . .23 . . . . . . . . .26 .. . . . . . . .47 . . . . . . . . 50 ..... 1 8 9 24 25 48 49 0 ervoor: (0,10) 2 Vanuit een regelmatige negenhoek (alle zijden zijn even lang en alle hoeken zijn even groot) worden twee zijden doorgetrokken tot ze snijden. Hoe groot is de hoek bij het vraagteken? In een negenhoek zijn alle hoeken gelijk aan 140°. Redenering: Som van de hoeken van een driehoek: ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . .180° ...... vierhoek: 180° · 2 = 360° ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 40° vijfhoek: 180° · 3 = 540° ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... zeshoek: 180° · 4 = 920° 140° 220° $ n- hoek: 180° · (n – 2) ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 40° negenhoek = 180° · 7 = 1260° ............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . ...... Bijgevolg zijn alle hoeken van een regelmatige. . . . .negenhoek = 360° – 220° – 40° – 40° = 60° 1260° : 9 = 140° Hoeveel witte vierkantjes telt de tiende figuur uit deze rij? Een nevenhoek van 140° = 180° – 140° = 40°. In de drie figuren zie je 20, 28 en .................................................................................... . . . . . . .36 . . . . . . . . witte . . . . . . . . . . . . . . . .vierkantjes, . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .telkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 . . . . .meer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... In de tiende figuur zie je dus nog .................................................................................... . . . . . . . . .7 . . . . keer . . . . . . . . . . . . . .8 . . . . .meer . . . . . . . . . .. . . . . witte . . . . . . . . . . . . . . . .vierkantjes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... Figuurnummer 1 2 3 n 10 36 + 7 · 8 = 36 + 56 = 92 .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... Witte vierkantjes 20 28 36 8n + 12 8.10 + 12 = 92 De tiende figuur heeft 92 witte. . .vierkantjes. .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... Je kunt in de oplossing ook vertrekken van de eerste figuur: 20 + (10 - 1) · 8 = 20 + 9 · 8 = 92 72 Problemsolving
