Lesgeheel 3: Hoeken

advertisement
3
Hoeken
Dit kun je al
1 een hoek meten
2 de verschillende soorten hoeken
(op basis van hun grootte) herkennen
3 de verschillende soorten hoeken
(op basis van hun grootte) tekenen
Test jezelf
Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel.
Achter elke vraag staat een verwijzing naar je vademecum.
A
1
Hoe groot is hoek A?
B
| A | = 65°
C
| A | = 115°
Verder
oefenen?
| A | = 35°
ad
A
2
Hoek B is …
een gestrekte hoek
een nulhoek
een volle hoek
B
3
Welke hoek is een stompe
hoek?
ad
A
C
ad
B
Dit heb je nodig
Inhoud
•
•
•
•
•
•
•
M12
M13
M14
M15
M16
M17
M18
leerwerkboek p. 43 - 72
oefenboek nr. 702 - 773
passer
geodriehoek
groene en rode pen
rekenmachine
kleurpotloden
Indeling van de hoeken volgens hun som
Indeling van de hoeken volgens hun ligging
Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn
Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn
De som van de hoeken in een driehoek
Bewijs: de eigenschap van overstaande hoeken
Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door
evenwijdige rechten en een snijlijn
M19 Bewijs: de eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek
p. 44
p. 46
p. 50
p. 54
p. 58
p. 60
p. 62
p. 70
43
Indeling van de hoeken volgens hun som
M12
Op verkenning
a
Complementaire hoeken
• Vul aan.
42°
20°
B
18°
86°
4°
48°
E
A
|A| + |B| =
•
1
D
70°
1
2
90°
Wat stel je vast?
| D | + | E | = . 90°
.............................
2
G
F
..............................
72°
| F | + | F | = . 90°
............................
1
2
De som van de hoeken is steeds 90°.
| G1 | + | G2 | = . 90°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Wiskundetaal – definitie
DEFINITIE
Complementaire hoeken zijn twee
hoeken waarvan de som 90° is.
B
26°
A en B zijn complementair.
A
!
Je zegt: hoek A en hoek B zijn elkaars
complement.
64° | A | + | B | = 90°
A en B zijn complementaire hoeken.
b
Supplementaire hoeken
• Vul aan.
70°
D
134°
B
110°
46°
•
F
C
A
|A| + |B| =
98°
180°
..............................
Wat stel je vast?
56°
E
82°
124°
1 2
G
180°
180°
| F | + | E | = ...............................
| G1 | + | G2 | = . . 180°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
De som .van
.......................
. . . . . . . . . . . . beide
. . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . .steeds
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .180°.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .
|D| + |C| =
.............................
Wiskundetaal – definitie
Supplementaire hoeken zijn twee
hoeken waarvan de som 180° is.
Je zegt: hoek A en hoek B zijn elkaars
supplement.
A
A en B zijn supplementair.
78°
102°
!
DEFINITIE
B
| A | + | B | = 180°
A en B zijn supplementaire hoeken.
Oefeningen
WEER?
702
703
1
|A|
MEER?
704 - 706
44
Vul aan zodat A en B complementaire hoeken zijn.
|B|
Hoeken
24°
65°
66°
25°
33°
57°
108°
/
79°
11°
0°
90°
2
WEER?
707
Teken B zodat deze het complement is van A.
60°
B
A
3
30°
WEER?
708
Teken het complement van A, zonder A te meten.
A
4
WEER?
709
Complementaire hoeken
a
b
Neen
Heeft elke hoek een complement?
Welke hoeken hebben altijd een complement?
.........................................................................................................................
De nulhoek, scherpe hoeken en een rechte hoek
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
5
|A|
|B|
WEER?
717
6
WEER?
710 - 712
Vul aan zodat A en B supplementaire hoeken zijn.
85°
22°
95°
158°
109°
37°
143°
71°
7
Teken B zodat deze het supplement is van A.
148°
180°
0°
32°
Teken het supplement van A, zonder A te meten.
135°
MEER?
713 - 716
WEER?
718
A
A
B 8
45°
Supplementaire hoeken
a
b
Heeft elke hoek een supplement?
Welke hoeken hebben altijd een supplement?
Neen
WEER?
719
........................................................................................................................
Hoeken
die kleiner zijn dan....................................................
of gelijk aan een gestrekte
. . . ........................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
Wat moet je kunnen?
! de definitie van complementaire hoeken verwoorden
! de definitie van supplementaire hoeken verwoorden
! het complement van een hoek tekenen en berekenen
! het supplement van een hoek tekenen en berekenen
45
Indeling van de hoeken volgens hun ligging
M13
Op verkenning
a
Aanliggende hoeken
• Bekijk aandachtig A1 en A2, B1 en B2 , C1 en C2 .
C
1
A
1
2
E
2
1
1
2
1
2
F
B
2
•
Wat hebben deze hoeken gemeenschappelijk?
•
Teken op dezelfde manier twee hoeken met hoekpunt E en twee hoeken met hoekpunt F.
Het zijn hoeken die één been en het hoekpunt gemeenschappelijk hebben.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
Wiskundetaal – definitie
DEFINITIE
Aanliggende hoeken zijn hoeken die het hoekpunt
en een been gemeenschappelijk hebben. Het
gemeenschappelijke been ligt tussen de twee andere
benen.
A
1
2
A1 en A2 zijn aanliggende hoeken.
b
Nevenhoeken
• Vul aan.
100°
135°
1
A
2
•
2
2
1
80° 1 B
45°
180°
| A | + | A | = ...........................
1
C
2
49°
54° 1
131°
D
2
126°
180°
| B | + | B | = ............................
1
2
|C | + |C | =
1
2
180°
..........................
|D | + |D | =
1
2
180°
...................... . . .
Wat stel je vast i.v.m. de ligging en i.v.m. de som?
De
hoeken zijn steeds aanliggend
en supplementair.
. . . ........................................................................
....................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Wiskundetaal – definitie
Nevenhoeken zijn aanliggende
hoeken die samen een gestrekte
hoek vormen.
A1 en A2 zijn nevenhoeken.
!
DEFINITIE
A1 en A2 zijn aanliggende hoeken
en
| A | + | A | = 180°
1
2
46
Hoeken
2
1
A
A1 en A2 zijn nevenhoeken.
c
Overstaande hoeken
• Meet de grootte van de getekende hoeken.
1
2
A
B
1
1
•
1
C
D
2
1
100°
100°
| A | = .......................................
2
|A | =
2
.......................................
2
62°
62° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| B | = ............
2
|B | =
1
............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30°
150°
| D1 | = ...................................
....
30°
150°
| C | = .......................................
| D | = ...................................
....
2
2
|C | =
1
.......................................
Vergelijk de grootte van de hoeken 1 en 2 die ‘tegenover elkaar staan’. Wat stel je vast?
De hoeken zijn even groot.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Wiskundetaal – definitie
DEFINITIE
Overstaande hoeken zijn hoeken waarvan de benen in
elkaars verlengde liggen.
1
A
2
A1 en A2 zijn overstaande hoeken.
Eigenschap – overstaande hoeken
Overstaande hoeken zijn even
groot.
A1 en A2 zijn overstaande hoeken.
55°
A
1
2
55°
"
|A | = |A |
1
2
A1 en A2 zijn overstaande hoeken.
Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M17.
Oefeningen
9
Teken van de gegeven hoek …
a een overstaande hoek.
Hoeveel mogelijkheden zijn er?
Eén
.................................
b
een aanliggende hoek.
Hoeveel mogelijkheden zijn er? Oneindig
.............................veel
....
WEER?
720
MEER?
721
B
A
47
M13
Indeling van de hoeken volgens hun ligging (vervolg)
c
een nevenhoek.
Hoeveel mogelijkheden zijn er?
Twee
.................................
C
WEER?
722
10 Zet een kruisje in de juiste kolommen. Welke hoeken zijn…
B
1
A 1
2
b1 en b2
c1 en c2
d1 en d2
f1 en f2
X
X
X
X
Nevenhoeken
X
X
X
11 Duid op de tekening (met een boogje)
a 1 paar overstaande hoeken aan in het groen. Â2 en Â5 of Â1 en Â4 of Â3 en Â6
b 1 paar aanliggende hoeken aan in het zwart. Â1 en Â2 of Â2 en Â3 of Â3 en Â4 of Â4 en Â5 of Â5 en Â6 of Â6 en Â1
c 1 paar nevenhoeken aan in het rood.
Â7 en Â4 of Â7 en Â1
80°
4
3
2
5
A
1
48
e1 en e2
X
Overstaande hoeken
1
2
1
a1 en a2
WEER?
723 - 725
F
2
E
2
Aanliggende hoeken
1
2
D
1
C
2
Hoeken
6
7
d
WEER?
726
12 Zet een kruisje in de juiste kolom(men). Welke hoeken zijn …
1
2
1
E
1
A
2
MEER?
727
728
C
2
B
a1 en a2
aanliggende hoeken
D
b en e
X
supplementaire hoeken
nevenhoeken
X
c1 en c2
d1 en d2
X
X
X
X
X
complementaire hoeken
13 Duid in het rood één paar nevenhoeken aan.
Duid in het groen één paar complementaire hoeken aan.
Duid in het zwart één paar aanliggende hoeken aan die geen nevenhoeken zijn.
WEER?
729
Wat moet je kunnen?
! de definitie van aanliggende hoeken verwoorden
! de definitie van nevenhoeken verwoorden
! de definitie van overstaande hoeken verwoorden
! de eigenschap van overstaande hoeken verwoorden
! aanliggende hoeken, nevenhoeken en overstaande
hoeken herkennen en tekenen
49
M14
Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn
Op verkenning
c
buiten
buiten
1
4
binnen
2
3
4
3
4
1
a
A
2
3
binnen
2
buiten
4
b
•
1
B
1
3
2
buiten
Deze hoeken ken je al. Vul aan.
–
A1 en A3 zijn . . . . . . . . . . . . . . . .overstaande
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken.
Welke hoeken zijn nog overstaande hoeken?
–
 en  , B en B , B en B
. . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
A1 en A2 zijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . neven
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken.
Welke hoeken zijn nog nevenhoeken? Â1 en Â4 , Â2 en Â3. .,. .Â
. . . .3. .en
. . . . . . .Â
. . .4. .,. . B
. . . .1. . en
. . . . . . .B
. . . .2. .,. .B
. . . 2. . .en
. . . . . . .B
. . .3. .,. . B
. . . .3. . .en
. . . . . .B
. . . .4. .,. .B
. . . 1. . .en
. ..... B 4
Wat weet je over deze hoeken?
•
Ze
. . . . . . . .zijn
. . . . . . . . . . . supplementair
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(samen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180°).
. . . . . . . . . .....
Welke hoeken vind je binnen de oevers van de rivier?
.Â
. . . .2. . ,. . . Â
. . . .3
. . .,. . .B
. . . .1. . ,. . . B
. . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Deze hoeken noem je binnenhoeken.
– Welke hoeken vind je binnen de rivier aan dezelfde kant van de boomstam?
 en B ,  en B
.................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
2
1
3
4
–
Deze hoeken noem je binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
Welke hoeken vind je binnen de rivier, maar aan weerskanten van de boomstam?
 en B ,  en B
.................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
2
4
3
1
Deze hoeken noem je verwisselende binnenhoeken.
•
Welke hoeken vind je buiten de oevers van de rivier?
 ,B , ,B
. . . ........................................................................
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
1
2
4
3
Deze hoeken noem je buitenhoeken.
– Welke hoeken vind je buiten de rivier aan dezelfde kant van de boomstam?
 en B ,  en B
.................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
1
2
4
3
–
Deze hoeken noem je buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
Welke hoeken vind je buiten de rivier, maar aan weerskanten van de boomstam?
 en B ,  en B
.................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
1
3
4
2
Deze hoeken noem je verwisselende buitenhoeken.
50
Hoeken
•
Kun je twee hoeken vinden met een verschillend hoekpunt die aan dezelfde kant van de boomstam liggen,
maar waarbij de ene hoek een binnenhoek is en de andere hoek een buitenhoek? Geef een voorbeeld.
 en B ,  en B ,  en B ,  en B
. . . ........................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
1
1
2
2
3
3 ....................................................
4
4
Deze hoeken noem je overeenkomstige hoeken.
Wiskundetaal – begrippen
Als twee rechten worden gesneden De rechten a en b worden
door een derde rechte dan bekom je gesneden door de rechte c.
acht verschillende hoeken.
A is het snijpunt van a en c.
B is het snijpunt van b en c.
4
a
b
Binnenhoeken aan dezelfde kant
van de snijlijn zijn hoeken die
tussen de rechten a en b liggen en
aan dezelfde kant van de snijlijn c.
A2 en B1, A3 en B4
zijn binnenhoeken aan dezelfde kant
van de snijlijn.
A
1
3
2
4
1
B
3
2
c
c
A
3
a
4
2
B 1
b
Verwisselende binnenhoeken zijn A en B , A en B
2
4
3
1
hoeken die tussen de rechten a en
zijn verwisselende binnenhoeken.
b liggen en aan weerskanten van de
snijlijn c.
c
A
3
a
4
2
B 1
b
Buitenhoeken aan dezelfde kant
van de snijlijn zijn hoeken die niet
tussen de rechten a en b liggen en
aan dezelfde kant van de snijlijn c.
A1 en B2, A4 en B3
zijn buitenhoeken aan dezelfde kant
van de snijlijn.
4
A 1
c
a
B
b
Verwisselende buitenhoeken zijn A en B , A en B
1
3
4
2
hoeken die niet tussen de rechten a zijn verwisselende buitenhoeken.
en b liggen en aan weerskanten van
de snijlijn c.
3
2
4
A 1
c
a
B
b
Overeenkomstige hoeken zijn
A1 en B1, A2 en B2, A3 en B3, A4 en B4
hoeken die aan dezelfde kant van de zijn overeenkomstige hoeken.
snijlijn liggen en waarbij één hoek
een binnenhoek is en de andere
hoek een buitenhoek.
3
2
4
3
a
4
b
3
A 1
c
2
1
B
2
51
M14
Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn (vervolg)
Oefeningen
WEER?
730
MEER?
731
14 a en b zijn twee rechten gesneden door een derde rechte c. Benoem de gevraagde hoeken.
a
c
1 2
A4 3
a
B 1 2
4 3
b
A4 en B1
A2 en B2
A1 en B3
A3 en A2
A2 en B3
A3 en B1
B1 en B3
A3 en B2
Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
Overeenkomstige
..............................................
. . . . . . hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verwisselende buitenhoeken
..............................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nevenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..............................................
Buitenhoeken aan
..............................................
. . . . . . . . .dezelfde
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant
. . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .snijlijn
. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verwisselende
binnenhoeken
.............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Overstaande hoeken
..............................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Binnenhoeken
aan
.............................................. . . . . . . . . . . dezelfde
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kant
. . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .snijlijn
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
c
A
4 1
3 2
a
B
b
A3 en B1
A2 en B1
A3 en A2
A1 en B1
A3 en B4
A1 en B3
A4 en B3
B4 en B2
c
4 1
3 2
Verwisselende
binnenhoeken
..............................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Binnenhoeken
aan
..............................................
. . . . . . . . . .dezelfde
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant
. . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .snijlijn
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nevenhoeken
.............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Overeenkomstige
.............................................. . . . . . .hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Binnenhoeken
aan
..............................................
. . . . . . . . . .dezelfde
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant
. . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .snijlijn
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verwisselende
buitenhoeken
..............................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Buitenhoeken
aan
..............................................
. . . . . . . .dezelfde
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant
. . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . snijlijn
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Overstaande
hoeken
..............................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B4 en . .Â
. . .2
. . . zijn verwisselende binnenhoeken.
a
A3 en .B
. . . .3. . . zijn overeenkomstige hoeken.
B4 en . .B
. . .2
. . . zijn overstaande hoeken.
A4 en .B
. . . .1. . . zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
A3 en .B
. . . .1. . . zijn verwisselende buitenhoeken.
A2 en .B
. . . .3. . . zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
A1 en . Â
. . . .2
. . . zijn nevenhoeken.
Â1 en Â4 zijn ook nevenhoeken.
52
Hoeken
c
A
4 1
3 2
4
B
1
3 2
b
WEER?
732
15 Vul aan en verklaar.
| A | = 30°
1
| B | = 45°
3
|A | =
3
|B | =
1
30°
45°
............................
 en  zijn overstaande hoeken.
B1 en B3 zijn
.........................
. . . . . . . . . . . .overstaande
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
............................
.........................
1
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Zijn de verwisselende binnenhoeken even groot?
Neen, | Â | = 30° en | B | = 45°.
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
3
1
c
2
1
A
3
4
a
4
b
B
1
3
2
16 Gegeven AB // DC
a
AB
WEER?
733
a
A
1
1
D
B
2
2
E
C
binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
A en D zijn ...............................................................................................................................
binnenhoeken aan. . . . .dezelfde
A en B1 zijn ..........................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kant
. . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .snijlijn.
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
overeenkomstige hoeken.
D en E2 zijn ............................................................
................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
samen 180°, supplementair (binnenhoeken aan dezelfde kant AB//CD).
even groot (verwisselende binnenhoeken AB//CD).
| B | en | E | zijn ...............................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
1
2
| B | en | E | zijn
1
1
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Wat moet je kunnen?
! overeenkomstige hoeken herkennen
! verwisselende binnenhoeken herkennen
! verwisselende buitenhoeken herkennen
! binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn herkennen
! buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn herkennen
53
M15
Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn
Op verkenning
c
4
Gegeven:
a
a // b en c a
A is het snijpunt van a en c.
B is het snijpunt van b en c.
3
4
•
63°
.............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63°
......................................................................................... . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
nevenhoeken. .........................
A1 en A2 zijn .................................................
|B | =
2
117°
B1 en B2 zijn . .nevenhoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
| A | = . .63°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................
|B | =
..............................................................................................
A1 en A3 zijn . overstaande
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken.
. . . . . . . . . . . . ........................
overstaande hoeken.
B1 en B3 zijn ...................................................................................
3
| A | = . .117°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................
4
A1 en A4 zijn . nevenhoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................
•
|B | =
1
Vul aan en verklaar.
117°
| A | = .............................................................
.........................
2
•
2
Meet.
|A | =
1
•
3
2
1
B
b
1
A
3
63°
117°
B1 en B4 zijn .nevenhoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
|B | =
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Welke hoeken zijn overeenkomstige hoeken?
 en B ,  en B ,  en B ,  en B
. . . ........................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
1
1
2
2
3
3 ....................................................
4
4
–
Vergelijk de hoekgrootten.
De
hoekgrootten zijn telkens
.................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . gelijk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
–
Wat stel je vast?
De
overeenkomstige hoeken
.................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . .zijn
. . . . . . . . . . . telkens
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . even
. . . . . . . . . . . .. . .groot.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Welke hoeken zijn verwisselende binnenhoeken?
 en B ,  en B
. . . ........................................................................
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
2
4
3
1
–
Vergelijk de hoekgrootten.
–
Wat stel je vast?
(.................................................................
| Â2 | = | B4 | = 117°, | Â3 | =. . |. .B. . . .1. . .|. . .=. . . . .63°)
. . . . . . . . . . . . .De
. . . . . . . . .hoekgrootten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn
. . . . . . . . . . . .telkens
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gelijk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
De
verwisselende binnenhoeken
.................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn
. . . . . . . . . . . telkens
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . even
.. . . . . . . . . . . . . .groot.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Welke hoeken zijn verwisselende buitenhoeken?
 en B ,  en B
. . . ........................................................................
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
1
3
4
2
–
Vergelijk de hoekgrootten.
–
Wat stel je vast?
(.................................................................
| Â1 | = | B3 | = 63°, | Â4 | = |.B. . . .2. . .|. . =. . . . . .117°)
. . . . . . . . . . . . . . .De
. . . . . . . . .hoekgrootten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn
. . . . . . . . . . .telkens
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gelijk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
De
verwisselende buitenhoeken
.................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn
. . . . . . . . . . .telkens
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . even
. . .. . . . . . . . . . . .groot.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Welke hoeken zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn?
 en B ,  en B
. . . ........................................................................
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
2
1
3
4
–
Vergelijk de hoekgrootten. Zijn deze hoeken even groot?
Neen
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
54
Hoeken
–
Maak de som van deze hoeken.
–
Wat stel je vast?
| Â | + | B | = 117° + 63° = 180°, | Â | + | B | = 63° + 117° = 180°
.................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
. . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
2
1
Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn supplementair.
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Welke hoeken zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn?
 en B ,  en B
. . . ........................................................................
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
1
2
4
3
Vergelijk de hoekgrootten. Zijn deze hoeken even groot?
–
Neen
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
–
Maak de som van deze hoeken.
–
Wat stel je vast?
| Â | = | B | = 63° + 117° = 180°, | Â | + | B | = 117° + 63° = 180°
.................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
1
2
Buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn supplementair.
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Controleer op de onderstaande tekeningen of …
– de verwisselende binnenhoeken even groot zijn.
Ĉ2 | = | D4 | | Ŝ2 | = | T4 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
|.................................................................
Ĉ3 | = | D1 | | Ŝ1 | = | T3 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
|.................................................................
de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn.
–
Ĉ1 | + | D2 | = 180° | Ŝ4 |. . +
|.................................................................
. . . . . .|. .T
. . .1. . .|. .=
. . . . . .180°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Ĉ4 | = | D3 | = 180° | Ŝ3 |. .+
|.................................................................
. . . . . .|. .T
. . .2. . .|. .=
. . . . . .180°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
c
4 C
a
3
v
1
4
S 1
3
2
2
b
4 D
1
3
2
T 1
3
2
a // b c
s
a
t
C is het snijpunt van a en c.
D is het snijpunt van b en c.
s // t v
s
S is het snijpunt van s en v.
T is het snijpunt van t en v.
Teken op een apart blad twee evenwijdige rechten e en f en een rechte g die e en f snijdt.
Noem de snijpunten E en F.
– Zijn de verwisselende buitenhoeken even groot?
Ja
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
–
Zijn de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair?
Ja
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Eigenschap – hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn
Twee rechten die worden gesneden
door een derde rechte zijn
evenwijdig
a // b en a c
A is het snijpunt van a en c.
B is het snijpunt van b en c.
a.s.a.
!
•
4
de overeenkomstige hoeken
dezelfde hoekgrootte hebben.
|A | = |B |
1
1
|A | = |B |
2
2
|A | = |B |
3
3
|A | = |B |
4
4
c
1
A
a
2
3
1
4 B
b
3
2
4
55
M15
Hoeken gevormd door evenwijdige rechten
en een snijlijn (vervolg)
Twee rechten die worden gesneden
door een derde rechte zijn
evenwijdig
a // b en a c
A is het snijpunt van a en c.
B is het snijpunt van b en c
!
a.s.a.
3
Twee rechten die worden gesneden
door een derde rechte zijn
evenwijdig
!
4
Twee rechten die worden gesneden
door een derde rechte zijn
evenwijdig
Twee rechten die worden gesneden
door een derde rechte zijn
evenwijdig
!
de buitenhoeken aan dezelfde
kant van de snijlijn supplementair
zijn.
| A | + | B | = 180°
1
2
| A | + | B | = 180°
4
4
2
c
A
3
1
2
4
a
4
c
B 1
b
2
A 1
3
2
4
1
3 B
4
a // b en a c
A is het snijpunt van a en c.
B is het snijpunt van b en c
a.s.a.
a
2
| A | + | B | = 180°
2
1
| A | + | B | = 180°
3
1
3
!
de binnenhoeken aan dezelfde
kant van de snijlijn supplementair
zijn.
2
4
b
a // b en a c
A is het snijpunt van a en c.
B is het snijpunt van b en c
a.s.a.
A 1
3
1
|A | = |B |
1
3
|A | = |B |
de verwisselende buitenhoeken
dezelfde hoekgrootte hebben.
c
3 B
a // b en a c
A is het snijpunt van a en c.
B is het snijpunt van b en c
a.s.a.
4
b
|A | = |B |
2
4
|A | = |B |
de verwisselende binnenhoeken
dezelfde hoekgrootte hebben.
a
a
4
c
A
3
b
4
3
3
2
1
2
B 1
2
Enkele van deze eigenschappen worden bewezen in les M18.
Oefeningen
WEER?
734 - 736
17 a // b
c a
A is het snijpunt van a en c.
B is het snijpunt van b en c.
Bereken de grootte van de ontbrekende hoeken als telkens 1 hoek gegeven is.
MEER?
737
738
c
A
3
2
B
3
56
Hoeken
| A | = 34°
| A | = . . .133°
..........
| A | = . . 125°
...........
| A | = . . .146°
..........
| A | = . . .133°
..........
3
| A | = . . . . . .55°
.......
2
| A | = . . . . . 34°
........
2
| A | = . . . . . 47°
........
4
| A | = . . .125°
..........
3
| A | = . . .146°
..........
3
| B | = . . .133°
..........
1
| A | = . . . . . .55°
.......
4
| B | = . . .146°
..........
1
| B | = . . . . . .47°
.......
2
| B | = . . . . . .55°
.......
2
| B | = . . . . . .34°
.......
2
| B | = . . .133°
..........
3
| B | = . . .125°
..........
3
| B | = . . .146°
..........
3
| B | = . . . . . .47°
.......
4
| B | = . . . . . .55°
.......
4
| B | = . . . . . .34°
.......
4
1
1
4
b
| B | = 125°
2
4
a
| A | = 47°
1
2
1
1
4
1
18 Gegeven parallellogram ABCD, met | D | = 65°.
a Bereken | A |.
A
B
|. .Â
| = 180° – | D | = 180° – 65°.....................
= 115°
. ........................................................................
WEER?
739
MEER?
740 - 742
. . . ........................................................................ .....................
b
Noteer de eigenschap die je toepast.
| |
65°
D
en D = 180°: binnenhoeken aan.....................
. . .Â
........................................................................
| |
kant van de snijlijn AB // DC......................
.dezelfde
. . ........................................................................
19 Gegeven trapezium ABCD, met | C1 | = 32°
en diagonaal [AC].
a Bereken | A1 |.
C
A
2
| Â | = | Ĉ | = 32°
WEER?
743
B
1
MEER?
744 - 750
. . . ........................................................................
......................
1
1
. . . ........................................................................ ......................
b
2
Noteer de eigenschap die je toepast.
Aangezien
.Â
. . ........................................................................
......................
1 en Ĉ1 zijn verwisselende binnenhoeken.
1
D
C
// DC (def. trapezium), zijn Â1 en Ĉ1......................
even groot.
.AB
. . ........................................................................
c
| A | =? | C |
2
2
Neen, Â en Ĉ zijn verwisselende binnenhoeken maar AD
20 Gegeven rechten a en b met snijlijn c.
A is het snijpunt van a en c.
Juist of fout? Is de uitspraak fout, verklaar dan waarom.
B is het snijpunt van b en c.
c
1
4 A
3 2
a
b
a
BC.
................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
2
2
A1 en A3 zijn overstaande hoeken en zijn even groot.
WEER?
751
4 B1
3 2
Juist
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
b
A3 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken en zijn even groot.
Fout,
het zijn wel verwisselende
binnenhoeken. . . . . maar
. . . ........................................................................
....................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . ze
. . . . . . . .zijn
. . . . . . . . . . .niet
. . . . . . . . . . . .even
. . . . . . . . . . . . . . .groot,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
want
a is niet evenwijdig met
b.
. . . ........................................................................
....................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
c
B1 en B2 zijn nevenhoeken en zijn dus complementair.
Fout,
het zijn nevenhoeken....................................................
en dus zijn ze supplementair.
. . . ........................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
d
A1 en B2 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
Juist
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
e
A4 en A3 zijn overeenkomstige hoeken.
Fout,
het zijn nevenhoeken..................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
. . . ........................................................................
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
f
A4 en B4 zijn overeenkomstige hoeken en zijn even groot.
Fout,
het zijn wel overeenkomstige
hoeken, maar
. . . ........................................................................
....................................................
. . . . . . . . . . . . .ze
. . . . . . .zijn
. . . . . . . . . . . niet
. . . . . . . . . . . . .even
. . . . . . . . . . . . . . groot,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .want
. . . . . . . . . . . . .....
a. . . ........................................................................
is niet evenwijdig met b. .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Wat moet je kunnen?
! de eigenschap van hoeken, gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn, verwoorden
! hoekgrootten berekenen door eigenschappen van
hoeken, gevormd door twee evenwijdige rechten en
een snijlijn, toe te passen
57
M16
De som van de hoeken in een driehoek
Op verkenning
Teken een scherphoekige, een stomphoekige en een
rechthoekige driehoek op een blad papier.
– Knip deze driehoeken uit.
– Kleur de hoekpunten.
– Knip de hoeken een eind verder uit dan het deel dat je
gekleurd hebt, zoals aangegeven op de figuur.
– Leg telkens de drie stukken met de gekleurde hoekpunten
tegen elkaar en laat alle stukjes mooi aansluiten.
•
Wat stel je vast?
•
De drie hoeken vormen telkens samen een gestrekte hoek.
Vul aan. De som van de hoeken in de driehoeken is telkens
. 180°.
...................................................................................
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Is er iemand in de klas die een driehoek kan tekenen waarvan
de som van de hoeken niet gelijk is aan 180°?
Neen
....................................................................................
Eigenschap – de som van de hoeken in een driehoek
De som van de hoeken in een
driehoek is gelijk aan 180°.
ABC is een driehoek.
A
"
73°
| A | + | B | + | C | = 180°
42°
C
65°
B
| A | + | B | + | C | = 73° + 65° + 42° = 180°
Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M19.
Oefeningen
WEER?
752
753
21 Bereken de ontbrekende hoekgrootte in driehoek ABC.
Toon je berekening.
| B | = 65°
|C| =
180° – 45° – 65° = 70°
a
| A | = 45°
b
Als je een ladder tegen een muur plaatst, staat die veilig als de hoek, gevormd door
de ladder en de grond, een hoek is van 75°. Hoe groot zijn de andere hoeken?
..............................................................................................................
De hoek tussen de muur en de grond is 90°.
hoek tussen de ladder en
de muur is
.De
. . ........................................................................
....................................................
........................................
– 90° – 75° = 15°
.180°
. . ........................................................................
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER?
754
58
22 Vul de ontbrekende hoek aan van ΔABC.
Hoeken
ΔABC
|A|
|B|
|C|
a
70°
15°
95°
b
15°
125°
40°
c
90°
45°
45°
d
134°
16°
30°
e
85°
73°
22°
WEER?
755
23 Bereken de grootte van de ontbrekende hoek in de gegeven driehoeken.
80°
35°
55°
42°
180° – 90° – 35° = 55°
180° – 80° – 55° = 45°
........ .....................................................
180° – 42° – 64° = 74°
.............................................................
24 Driehoek ABC is rechthoekig in hoek A. Bereken de grootte
van hoek C.
In
∆ABD | B | = 180° – 90° – 65° =
....................................................................................
. . . . . .25°
..................................
|
|
In
∆ABC Ĉ = 180° – 90° – 25° =. . . . .65°
....................................................................................
...................................
|
|
of
in ∆ADC: CÂD = 90° – 65° =. . . . .25°
....................................................................................
...................................
| Ĉ | = 180° – 90° – 25° = 65°
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
WEER?
756
757
65°
MEER?
758 - 760
B
C
25 Bereken | A | als je weet dat | C1 | = | D1 |.
In
∆BCD | D2 | = 180° – 42° – 26° . =
....................................................................................
. . . . . .112°
.................................
D1 | = 180° – | D2 | = 180° – 112° =. . . . .68°
|....................................................................................
...................................
(eig.
nevenhoeken)
....................................................................................
........................................
In ∆ACD | Â | = 180° – | D1 | – | Ĉ1 |
= 180° – 68° – 68° = 44°
D
WEER?
761
A
MEER?
762 - 766
1
1
C
D
2
26°
42°
B
WEER?
767
| B | = | A | + 14°
| C | = | A | – 8°
als
| Â | + | B | + | Ĉ | = 180°
.................................................................................... . (eig.
. . . . . . . . . .som
. . . . . . . . . .hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . .driehoek)
...
"#
| B | = | Â | + 14°
.................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| Ĉ | = | Â | – 8°
.................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weetje
26 Gegeven ∆ABC
Bereken | A |, | B | en | C |
64°
MEER?
768
In een d
rieh
is de som oek op een bol
v
niet geli an de hoeken
jk aan 18
0°.
|Â
| + | Â | + 14° + | Â | – 8° = 180°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................
3| Â | = 180° – 14° + 8°
3| Â | = 174° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................
| Â | = 174° :. .3
....................................................................................
......................................
|
|
 = 58° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................
|B
| = | Â | + 14° = 58° + 14° = 72°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................
|Ĉ
| = | Â | – 8° = 58° - 8° = 50° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................
| . . . .|. . .=
Antwoord
: | Â | = 58°, | B | = 72° en
....................................................................................
. . . . . . . . . .Ĉ
. . . . . 50°
..................
Controle:
58° + 72° + 50° = 180°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................
.................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90°
90°
90°
.................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wat moet je kunnen?
! de som van de hoeken in een driehoek berekenen
59
M17
Bewijs: de eigenschap van overstaande hoeken
Op verkenning
Een eigenschap is een uitspraak over gekende
begrippen die altijd waar is. Als je één tegenvoorbeeld
kunt vinden, heb je geen eigenschap.
Omdat je onmogelijk alle voorbeelden kunt controleren
moet je een eigenschap bewijzen. Bewijzen is de
waarheid aantonen van de eigenschap.
Hoe ga je hierbij te werk?
Bewijzen gebeurt door te verkennen, te analyseren en
het bewijs te geven.
eigenschap
Overstaande hoeken zijn even groot
STAP 1 Verkennen
•
Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor?
Overstaande hoeken.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Maak een schets en noem de overstaande hoeken A1 en A2.
1
•
STAP 2
A
Je kunt de eigenschap ook anders formuleren:
Als twee hoeken overstaand zijn, dan zijn deze hoeken even groot.
–
Wat na ‘als’ staat, noem je het gegeven.
Noteer het gegeven van deze eigenschap:
Â
. . . .1. . . en
. . . . . . . . .Â
. . . .2. . . zijn
. . . . . . . . . . . .overstaande
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
–
Wat na ‘dan’ staat, noem je het te bewijzen.
Noteer het te bewijzen van deze eigenschap:
|. .Â. . . .1. . .|. .=. . . . . .|. .Â. . . .2. . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
b
3
2 A 1
a
60
Hoeken
2
vraag
antwoord
verklaring
Â1 en Â2 zijn overstaande hoeken.
Wat is gegeven?
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid wat bewezen moet
worden in het rood aan op de
figuur.
| Â1 | = | Â2 |
Kijk naar de figuur.
Welk soort hoeken zijn A1 en A3?
Nevenhoeken
Hoe groot is | A1 | + | A3 |?
| A | + | A | = 180°
1
3
Is in de figuur ook een nevenhoek
getekend voor A2?
| Â3 |
Hoe groot is | A2 | + | A3 |?
| A | + | A | = 180°
2
Wat kun je uit ! en " besluiten?
Is dit wat je moet bewijzen?
Def. nevenhoeken
!
Def. nevenhoeken
Def. nevenhoeken
"
3
Def. nevenhoeken
Als | Â1 | + | Â3 | = 180°
en | Â2 | + | Â3 | = 180°
dan is | Â1 | = | Â2 |
Eig. van een gelijkheid
beide leden –| Â3 |
Ja
Overstaande hoeken zijn
even groot.
Bewijs
STAP 3 Bij het uitschrijven van een bewijs is het absoluut noodzakelijk dat je een verklaring geeft voor elke stap die je zet.
Bewijs – overstaande hoeken zijn even groot
Gegeven:
A1 en A2 zijn overstaande hoeken.
b
3
2 A 1
Te bewijzen: | A1 | = | A2 |
Bewijs:
a
! | A1 | + | A3 | = 180° (def. nevenhoeken)
" | A2 |+ | A3 | = 180° (def. nevenhoeken)
"#!"
|A | + |A | = |A | + |A |
1
3
2
3
"#Eig. van een gelijkheid: beide leden – | A3 |
|A | = |A |
1
2
Wat moet je kunnen?
! De eigenschap van overstaande hoeken bewijzen.
61
M18
Bewijs: de eigenschappen van hoeken
gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn
Op verkenning
eigenschap
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door
een derde rechte, dan hebben de overeenkomstige hoeken dezelfde grootte
STAP 1 Verkennen
•
Lees de eigenschap aandachtig en maak een schets.
Noem de overeenkomstige hoeken A1 en B1.
c
A 1
a
B1
b
•
Welke meetkundige elementen komen erin voor?
a // b
a c
A is het snijpunt van a en c.
is het snijpunt van b en c.....................................................
Â1 en B1 zijn overeenkomstige
.B
. . ........................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Wat wordt er beweerd?
Overeenkomstige hoeken hebben dezelfde grootte.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
c
A
1
a
B
1
b
vraag
62
Hoeken
antwoord
verklaring
Wat is gegeven?
Noteer dit in symbolen.
a // b Â1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken.
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid wat bewezen moet
worden in het rood aan op de
figuur.
| Â1 | = | B1 |
Hoe kun je A1 op B1 afbeelden?
Door de verschuiving
met vector AB
Wat is het schuifbeeld van de
rechte a?
t"
AB#(a) = b
Elke verschuiving beeldt een rechte
af op een evenwijdige rechte.
Wat is het schuifbeeld van de
rechte c?
t"
AB#(c) = c
c = AB
Wat weet je over de hoekgrootte
bij een verschuiving?
| Â1 | = | B1 |
De hoekgrootte blijft bewaard.
Is dit wat je moet bewijzen?
Ja
Overeenkomstige hoeken
hebben dezelfde grootte.
STAP 3
Bewijs
Bewijs – als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan hebben
de overeenkomstige hoeken dezelfde grootte
Gegeven:
a // b en a c
A is het snijpunt van a en c.
B is het snijpunt van b en c.
A1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken.
a
c
A
B
1
1
b
Te bewijzen: | A1 | = | B1 |
Bewijs:
"
! Verschuif a volgens AB.#Je bekomt b.
t"
#(a) = b
Eig. het schuifbeeld van een rechte is een evenwijdige rechte
AB
(
)
"
" Verschuif c volgens AB#
. Je behoudt c.
t"
#
(c)
=
c
AB
(
)
"#Eig. elke verschuiving bewaart de hoekgrootte
|A | = |B |
1
1
63
M18
Bewijs: de eigenschappen van hoeken
gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn (vervolg)
#
eigenschap
Als twee overeenkomstige hoeken dezelfde grootte hebben,
dan zijn de rechten waardoor ze worden gevormd evenwijdig
STAP 1 Verkennen
•
Lees de eigenschap aandachtig en maak een schets.
Kleur de overeenkomstige hoeken groen.
A
a
B
b
•
c
1
1
Welke meetkundige elementen komen erin voor?
Twee rechten en een snijlijn.
hoeken zijn
even groot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
.Overeenkomstige
. . ........................................................................
....................................................
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Wat wordt beweerd?
De dragers van de benen van de hoeken zijn evenwijdig.
// b
.a
. . ........................................................................
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Welke mogelijkheden zijn er voor de rechten a en b?
a // b of a
b
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Je verkent hier een andere bewijsvorm in de meetkunde. In plaats van de eigenschap rechtstreeks te bewijzen,
ga je bewijzen dat elke andere mogelijkheid niet kan.
De andere mogelijkheden leiden tot een tegenspraak met het gegeven. Dit soort bewijsvorm noem je ‘een bewijs
uit het ongerijmde’.
•
Stel je eens de vraag:
Als je weet dat | A1 | = | B1 | , zou het dan kunnen dat a niet evenwijdig is met b?
•
Welke andere mogelijkheid heb je dan?
a snijdt b.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
a
A
b1
B 2
b
c
64
Hoeken
1
1
vraag
verklaring
Wat is gegeven?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid het gegeven in het groen
aan op de figuur.
Â1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken.
|Â | = |B |
1
1
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
a // b
Zou het kunnen dat a niet
evenwijdig is met b?
Teken door B de rechte b1
evenwijdig met a.
STAP 3
antwoord
a
b
Door elk punt kun je een rechte tekenen die evenwijdig is
met een gegeven rechte.
a // b1
Wat weet je over | B1 | en | B2 |?
Noteer dit in symbolen
| B1 | ≠ | B2 |
!
b ≠ b1
Wat weet je over | A 1 | en | B1 |?
| Â1 | = | B1 |
"
Gegeven
Wat weet je over | A 1 | en | B2 |?
| Â1 | = | B2 |
$
Als twee rechten evenwijdig zijn, dan hebben overeenkomstige hoeken dezelfde hoekgrootte.
Noteer !, " en $ samen.
Wat stel je vast?
!#
# | B1 | ≠ | B2 |
| | = | B1 |
$#
| Â1 | = | B2 |
"#
# Â1
Is het mogelijk dat a en b
snijdende rechten zijn?
Neen
Dat betekent
a // b
Dit is
onmogelijk.
Uitdrukking (1) is in tegenspraak met uitdrukkingen (2)
en (3).
Er zijn maar twee mogelijkheden.
Bewijs
Bewijs – als twee overeenkomstige hoeken, gevormd door twee rechten en een snijlijn even groot zijn, dan
zijn deze twee rechten evenwijdig
Gegeven:
a, b en c; c a en c b
A is het snijpunt van a en c.
B is het snijpunt van b en c.
A1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken.
|A | = |B |
1
1
a
A
b1
Te bewijzen: a // b
Bewijs:
B 2
b
1
1
c
Uit het ongerijmde
Stel dat a niet evenwijdig is met b, dan kun je een rechte b1 tekenen door B die evenwijdig is met a.
(Door elk punt kun je een rechte tekenen evenwijdig met een gegeven rechte.)
! | B1 | ≠ | B2 |
" | A1 | = | B1 |
$ | A1 | = | B2 |
(b a en b1 // a)
(gegeven)
(eig. overeenkomstige hoeken: a // b1 met snijlijn c)
Uitdrukking ! is in tegenspraak met uitdrukkingen " en $.
Er blijft dus maar één mogelijkheid over: a // b.
65
M18
Bewijs: de eigenschappen van hoeken
gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn (vervolg)
eigenschap
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte,
dan hebben de verwisselende binnenhoeken dezelfde grootte
STAP 1 Verkennen
•
Lees de eigenschap aandachtig en maak een schets.
c
A
a
b
•
A
a
3
c
1
3
1
B
b
B
1
Welke meetkundige elementen komen erin voor?
Twee evenwijdigen en een snijlijn.
binnenhoeken.
.Verwisselende
. . ........................................................................
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Wat wordt er beweerd?
|Â | = |B |
De verwisselende binnenhoeken hebben dezelfde grootte.
. . . ........................................................................
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
3
1
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
c
A
1
3
a
1
B
b
vraag
Wat is gegeven?
• Noteer dit in symbolen.
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid wat moet bewezen worden
in het rood aan op de figuur.
66
Hoeken
antwoord
verklaring
a // b
Â3 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken.
| Â3 | = | B1 |
Welke hoek met hoekpunt A heeft
dezelfde grootte als B1?
• Noteer de gelijkheid.
• Duid deze hoek aan op de figuur
en noem deze hoek A1.
| Â1 | = | B1 |
Welke hoek met hoekpunt A heeft
dezelfde grootte als A1?
• Noteer de gelijkheid.
| Â1 | = | Â3 |
!
"
Overeenkomstige hoeken bij
evenwijdige rechten en een
snijlijn zijn even groot.
Overstaande hoeken zijn
even groot.
Wat kun je uit ! en " besluiten?
Is dit wat je moet bewijzen?
STAP 3
| Â3 | = | B1 |
Beide hoeken hebben dezelfde grootte als Â1.
Ja
De verwisselende binnenhoeken hebben dezelfde grootte.
Bewijs
Bewijs – als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan hebben de
verwisselende binnenhoeken dezelfde grootte
Gegeven:
a // b, a c
A is het snijpunt van a en c.
B is het snijpunt van b en c.
A3 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken.
c
A
3
a
1
1
B
b
Te bewijzen: | A3 | = | B1 |
Bewijs:
!#| A1 | = | B1 |
"#| A1 | = | A3 |
(eig. overeenkomstige hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn)
(eig. overstaande hoeken zijn even groot)
"! en "
|A | = |B |
3
1
67
M18
Bewijs: de eigenschappen van hoeken
gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn (vervolg)
eigenschap
Als twee verwisselende binnenhoeken dezelfde grootte hebben, dan zijn
de rechten waardoor ze gevormd worden evenwijdig
STAP 1 Verkennen
•
Lees de eigenschap aandachtig en maak een schets.
c
A
a
b
B
•
Welke meetkundige elementen komen erin voor?
•
Wat wordt er beweerd?
Twee rechten en een snijlijn. Verwisselende binnenhoeken zijn even groot.
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
De dragers van de benen van de hoeken zijn evenwijdig.
a // b
. . . ........................................................................ .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
STAP 2
Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
c
A
1
3
a
1
B
b
vraag
68
Hoeken
antwoord
verklaring
Wat is gegeven?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid het gegeven in het groen
aan op de figuur.
Â3 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken.
!
| Â3 | = | B1 |
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
a // b
Welke hoek met hoekpunt A heeft
dezelfde grootte als A1?
• Noteer de gelijkheid.
• Duid deze hoek aan op de figuur.
Â3
| Â3 | = | Â1 |
"
Overstaande hoeken zijn even
groot.
Wat kun je uit ! en " besluiten?
| Â1 | = | B1 |
Beide hoeken hebben dezelfde grootte als Â3.
Is dit wat je moet bewijzen?
Neen, je moet nog
een stap zetten.
Als overeenkomstige hoeken even
groot zijn, dan zijn a en b evenwijdig.
STAP 3
Bewijs
Bewijs – als twee verwisselende binnenhoeken dezelfde grootte hebben, dan zijn de rechten waardoor ze
gevormd worden evenwijdig
Gegeven:
|A | = |B |
(verwisselende binnenhoeken.)
3
1
a, b, c
c a en c b
A is het snijpunt van a en c.
B is het snijpunt van b en c.
c
A
3
a
1
1
B
b
Te bewijzen: a // b
Bewijs:
!#| A3 | = | B1 |
"#| A1 | = | A3 |
(gegeven)
(eig. overstaande hoeken zijn even groot)
"#! en "
|A | = |B |
1
1
"#Eig. als overeenkomstige hoeken even groot zijn, dan zijn a en b evenwijdig.
a // b
Oefeningen
27 Als twee evenwijdigen gesneden worden door een derde rechte, dan zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van
de snijlijn supplementair.
Bewijs.
c
MEER?
771
772
A 1
2
a
b
WEER?
769
770
1
B
Gegeven: a//b, a c en b c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c.
de snijlijn.
Te
bewijzen: | Â2 | + | B1 | = 180° . . . . . .Â. . . .2. . .+
....................................................................................
. . . . . .B
. . . .1. . .zijn
. . . . . . . . . . . binnenhoeken
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan
. . . . . . . . . . . . dezelfde
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kant
. . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . .....
! | Â1 | + | Â2 | = 180° (def.
Bewijs:
....................................................................................
. . . . . . . . . .nevenhoeken)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
" | Â1 | = | B1 | (eig. overeenkomstige
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . bij
. . . . . . . evenwijdige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .rechten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .en
. . . . . . . een
. . . . . . . . . . snijlijn)
. . . . . . . . . . . . . . . .....
.................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
" en of eigenschap van een gelijkheid
| Â2 | + | B1 | = 180°
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
!
"
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Wat moet je kunnen?
! eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn bewijzen
69
M19
Bewijs: de eigenschap van de som van de hoeken in
een driehoek
Op verkenning
eigenschap
De som van de hoeken in een driehoek is 180°
STAP 1 Verkennen
•
Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor?
Driehoek
ABC.
. . . ........................................................................
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
•
Wat wordt beweerd?
•
In les M16 knipte je de hoeken van een driehoek af en bracht je ze samen. In het bewijs wil je dit knippen en
plakken nabootsen.
Hoe kun je dit doen? Je tekent door het punt C een rechte a evenwijdig met AB.
De
som van de hoeken in een
driehoek is 180°.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
. . . ........................................................................
....................................................
–
–
180°, ze vormen
samen een gestrekte hoek.
Wat is de som van C1, C2 en C3?
...................................................................................
.....
Wat is je vermoeden over de som van de hoeken in een driehoek?
De
som van de hoeken .in
.................................................................
. . . . . . .een
. . . . . . . . . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . . 180°.
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
STAP 2
Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken.
a
3
C
1
2
B
vraag
Wat is gegeven?
Hoeken
antwoord
verklaring
Driehoek ABC
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
| Â | + | B | + | Ĉ | = 180°
• Kleur door het punt C een
rechte a evenwijdig met AB.
Welke hoeken ontstaan op
deze figuur in punt C (onder de
rechte a)?
Ĉ1 Ĉ2 Ĉ3
Wat is de som van deze hoeken?
• Noteer dit in symbolen.
70
A
drie hoeken vormen
| Ĉ1 | + | Ĉ2 | + | Ĉ3 | = 180° De
samen een gestrekte hoek.
Welke hoek is even groot als C1?
• Noteer de gelijkheid.
Ĉ
Welke hoek is even groot als C3?
• Noteer de gelijkheid.
B
!
|Ĉ| = |Ĉ
1
|
B en Ĉ3 zijn verwisselende binnenhoeken.
" a // AB en snijlijn BC
Welke hoek is even groot als C2?
• Noteer de gelijkheid.
Â
Welke stap moet je nog zetten
om te komen tot wat je moet
bewijzen?
|A| + |B| + |C|
=
=
Is dit wat je moet bewijzen?
STAP 3
$
| Ĉ2 | + | Ĉ3 | + | Ĉ1 |
180°
 en Ĉ2 zijn verwisselende binnenhoeken. a // AB en snijlijn AC
|Â| = |Ĉ |
2
|Ĉ| = |Ĉ
1|
|B| = |Ĉ
3
|
De som van de hoeken in een
driehoek is 180°.
Ja
Bewijs
Bewijs – de som van de hoeken in een driehoek is 180°
Gegeven:
driehoek ABC
a
3
C
2
1
B
A
Te bewijzen: | A | + | B | + | C | = 180°
Bewijs:
Teken door C een rechte a evenwijdig met AB.
De hoeken die ontstaan in punt C noem je C1, C2 en C3.
! | C1 | = | C |
" | C2 | = | A |
$ | C3 | = | B |
(C = C1)
(Eig. verwisselende binnenhoeken: a // AB en snijlijn AC)
(Eig. verwisselende binnenhoeken: a // AB en snijlijn BC)
| C | + | C | + | C | = 180° (de hoeken vormen samen een gestrekte hoek)
1
2
3
"#!, " en $
| C | + | A | + | B | = 180°
"#Het optellen is commutatief in q.
| A | + | B | + | C | = 180°
|Â|
|B|
|Ĉ|
Oefeningen
28 Als in driehoek ABC één hoek A even groot is als de som van de andere twee hoeken, dan is de driehoek rechthoekig in A.
Gegeven: ∆ABC
|A| = |B| + |C|
| A | = 90°
TB:
WEER?
773
| ..............................................................
 | + | B | + | Ĉ | = 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ."
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
|
|
2 Â = 180°
" het optellen is associatief
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . .in
. . . . . . Q.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Bewijs:
[
]
|....................................................................................
"
 | + | B | + | Ĉ | = 180°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
" gegeven | Â | = | B + Ĉ .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|..Â. . . .|. . .=. . . . . 90°
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
|....................................................................................
 | + |  | = 180°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Wat moet je kunnen?
! de eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek bewijzen
71
Problemsolving
1
Lotte wil de kapstokken in de gang van de school versieren. Ze hangt
boven enkele van de 17 hangers een hartje. Dat doet zij bij de eerste
kapstok, de derde, de vijfde, … Na de les gaat Lotte verder met versieren. Dit keer start ze bij hanger 17 en plakt ze een hartje bij de eerste
kapstok, de vierde, de zevende, … Hoeveel hangers krijgen geen hartje?
1....................................................................................
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . .12
. . . . . . . . . . .13
. . . . . . . . . .14
. . . . . . . . . .15
. . . . . . . . .. .16
. . . . . . . . . .17
.........
% % %
%
% % %
%
%
%
%
%
.................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vijf
hangers krijgen geen hartje.
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Een kangoeroe maakt sprongen van grootte 1 in het eerste kwadrant.
Hij begint in de oorsprong (0,0) en springt naar punt (1,0), daarna
naar (1,1), (0,1), (0,2), (1,2), …
Naar welk punt springt de kangoeroe na zijn 120ste sprong?
3
4
(0,10)
Sprong
1: 1 $ (0,1)
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36 37 38 39 40 41 42
2
Sprong
9: 3 $ (0,3)
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35. . . . .34
33 32 31 30 43
2
16
6
17
$#(0,5)
…
Sprong
25:
5
.................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .18
. . . . . . . . .19
. . . . . . . . .20
. . . . . . . . .29
.. . . . . . . 44
..............
15
21
28
45
5
14
13
12
2
Sprong
121: 11 $ (0,11)
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 . . . . . . 5. . . . . . . . . 6. . . . . . . .11
1 22 27 46
dus
sprong 120 is het hokje 3 . . . . . . 2. . . . . . . . .7. . . . . . . .10
....................................................................................
. .0
. . . . . . .23
. . . . . . . . .26
.. . . . . . . .47
. . . . . . . . 50
.....
1
8
9
24
25
48
49
0
ervoor: (0,10)
2
Vanuit een regelmatige negenhoek (alle zijden zijn even lang en alle hoeken zijn even groot) worden twee zijden doorgetrokken tot ze snijden. Hoe groot is de hoek bij het vraagteken?
In een negenhoek zijn alle hoeken gelijk aan 140°.
Redenering:
Som van de hoeken van een driehoek:
...............................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . .180°
......
vierhoek: 180° · 2 = 360°
............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
40°
vijfhoek: 180° · 3 = 540°
...............................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . ......
zeshoek: 180° · 4 = 920°
140° 220°
$
n- hoek: 180° · (n – 2)
............................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
40°
negenhoek = 180° · 7 = 1260°
...............................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . ......
Bijgevolg
zijn alle hoeken van een regelmatige. . . . .negenhoek
=
360° – 220° – 40° – 40° = 60°
1260° : 9 = 140°
Hoeveel witte vierkantjes telt de tiende figuur uit deze rij?
Een nevenhoek van 140° = 180° – 140° = 40°.
In
de drie figuren zie je 20, 28 en
....................................................................................
. . . . . . .36
. . . . . . . . witte
. . . . . . . . . . . . . . . .vierkantjes,
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .telkens
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
. . . . .meer.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
In
de tiende figuur zie je dus nog
....................................................................................
. . . . . . . . .7
. . . . keer
. . . . . . . . . . . . . .8
. . . . .meer
. . . . . . . . . .. . . . . witte
. . . . . . . . . . . . . . . .vierkantjes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Figuurnummer
1 2 3
n
10
36
+ 7 · 8 = 36 + 56 = 92
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Witte vierkantjes 20 28 36 8n + 12 8.10 + 12 = 92
De
tiende figuur heeft 92 witte. . .vierkantjes.
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Je kunt in de oplossing ook vertrekken van de eerste figuur:
20 + (10 - 1) · 8 = 20 + 9 · 8 = 92
72
Problemsolving
Download