Vragen gesteld op het examen Wiskunde 08/06/2012 voormiddag

Vragen gesteld op het examen Wiskunde
08/06/2012
voormiddag:
*OEFENINGEN
1. oneigenlijke integraal
integraal van 0 tot 1 van 1/sqrt(1-x^4)
2. reeks (convergent, voorwaardelijk convergent, divergent)
de som van 0 tot oneindig voor 100cos(nPI)/(2n+3)
3. stel vergelijking op van een bol met middelpunt de oorsprong en met straal 4, schrijf de
drie dubbele integraal in cartesisiche, cilindrische en sferische coordinaten uit voor het
volume van de bol, bereken hem met de sferische coor.
4. bereken de oppervlakte van een paraboloïde (2z=x²+y²) , buiten een kegel (z =
sqrt(x²+y²))
*THEORIE
1. leg de methode van lagrange vermenigvuldigers uit voor een functie van drie variabelen
en twee gelijkheidsbeperkingen
2. gegeven een oplossing van een lineaire tweede orde differentiaalvergelijking, zoek
hiervan de opgave (dus diff vergelijking achterwaarts oplossen)
C1 e^x * cos(x) + C2 e^x * sin(x) + e^x
NAMIDDAG(15u)
1. oneigenlijke integraal
-integraal van nul tot oneindig van sin(exp(-x))en exp(-sinx)
2.machtreeks; convergentie interval
(x-1)^n/sqrt(4n^2-nog iets..
3.f(x,y,z)=x^2*y*z en dan twee gelijkheidsbeperkingen z=3 en x^2+y^2+z^2=21, vind het
max en min
4. x^2+y^2=a^2 en o<=z<=h voor de cilindermantel en x^2+y^2=a^2, z=h gegeven voor
de bovenkant. En dan hadden we ook nog een functie gegeven dat ik niet meer weet. We
moesten daar eerst de rotor van berekenen en dan daarvan de flux.
de hint was: denk aan de stelling van Stokes
THEORIE
1. hoe kan je met een dubbele en drievoudige integraal de oppervlakte van een bol
berekenen. Leg uit.
2. wat is een exacte differentiaal vergelijking? Wat is de integrerende factor? Geef de
afleiding van u(y).
9/6/12
VOORMIDDAG:
Theorie:
1.Leg uit wat een wisselreeks is. Welke convergentietest is typisch bij een wisselreeks?
Hoe kunnen we convergentie testen?(leg gedetailleerd uit!) Bewijs met voorbeelden dat de
reeks aan alle voorwaarden moet voldoen.(dwz: geef voobeelden waarbij telkens één
voorwaarde niet is voldaan en de reeks dus divergeert)
2. Leg uit waarom dV = p^2 sin(fi) dp d(fi) d(theta)
Oefeningen:
1. oneigenlijke integraal : Bepaal een waarde voor C zodat de integraal convergeert +
reken uit:integraal van 2 tot oneindig van ( Cx/(1+x^2) - (1/1+2x) ) dx
2. y(x) = integraal van 0 naar 2Pi van (tan^-1 (x/t)) dt : bereken f '(x) & geef de formule die
je hiervoor gebruikt
3. lijnintegraal D van ( xy^2-y^4)dx + (x(^2)y-4xy^3)dy en iets me een kromme met
begin en einde (1,0) en (2,1) (volgens mij kloppen die functies ni helemaal meer ,
geheugen laat me in de steek), F is conservatief dus phi(2,1)-phi(1,0)!
4. y"+16y = 4cos(4x) zoek een algemene vergelijking hiervoor.
Vragen gesteld op het examen Wiskunde
11/06: voormiddag
Theorie:
1. Wat is eeen vectorveld? Wat is een conservatief vectorveld? Hoe onderzoek je
praktisch of een vectorveld conservatief is? Wat is een lijnintegraal van een vectorveld?
Hoe bereken je de lijnintegraal van een conservatief vectorveld?
2. Kunnen y= e^x*sinx en y=cos oplossingen zijn van eenzelfde homogene lineaire tweede
orde differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten?
Oefeningen:
1. De integraal van 0 tot oneindig van exp(-bgtan(x))/sqrt(x), is deze convergent of
divergent?
2. Gegeven is K(x) is de integraal van 1 tot x+1 van ln(t)/t+1. Bereken K'(x) en stel daar de
Maclaurinveelterm van op. Bereken vervolgens ook de Maclaurinveelterm van K(x).
Bepaal voor beide Maclaurinveeltermen het convergentie-interval.
3. Bereken met behulp van een drievoudige integraa het volume van het viervlak dat
begrensd is door (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,4).
4. Gegeven is de f(x,y)= x^4+y^4 -4*x*y. Bereken de kritische punten en bepaal hun aard.
Vragen gesteld examen 11 juni 13u:
Theorie:
Wat is een oneigelijke integraal? Welke types zijn er? en Hoe kan je die testen op
divergentie/convergentie?
Wat zijn stroomlijnen? wat is een equipotentiaalvlak? wat is het verband tussen de 2?
oef:
A: de som van (4^n - 2^n )/5^n, bewijs dat dit convergent is en bereken de som
B: bereken het volume binnenin de kegel en de bol
(ik dacht cilinder en bol) bol: x^2+y2+z^2=4a^2, cilinder: x^2+y^2= 2ay
C: je krijgt nen integraal (met 2 veranderlijken x en t) en je moet daar de f'(1) van
berekenen ( zie die speciale formule voor berekenen van afgeleiden van integralen)
de integraal word genomen van (x-6) tot x^2 en f(x,t) = e^(-tx)/t
D: DE: x^2 + x+ y^2 + xyy'=0, welke integrerende factor heb je nodig? en bereken f(1)=1
Vragen 14juni voormiddag:
Oefeningen:
1. oneigenlijke integraal : Bepaal een waarde voor C zodat de integraal convergeert +
reken uit : integraal van 4 tot oneindig van ( Cx/(1+x^2) - (1/1+4x) ) dx
2.Toon aan dat de som van n=1 tot oneindig van (2^(n+3)/e^(n-3)) en bereken de som.
3.Bereken de gesloten integraal van xy dx+yz dy+zx dz rond de driehoek met hoekpunten
(1; 0; 0), (0; 1; 0) en (0; 0; 1) doorlopen in wijzerzin gezien vanuit het punt (1; 1; 1).
4. Diff vergelijking oplossen : xy’-y=6xlnx
Theorievragen:
1. Leg uit waarom dV = p^2 sin(fi) dp d(fi) d(theta)
2.Leg uit hoe extrema kunt zoeken bij f(x,y) van twee variabelen en hoe je de aard van de
van dan die punten kunt bepalen ofzoiets( het kwam er dus op neer dat je moest uitleggen
hoe je de aard van kritische punten kon bepalen dus of dat het een
minimum/maximum/zadelpunt is) en vergelijk dit met het zoeken van extrema bij een
functie met 1 variabele.
Vragen 14 juni namiddag:
OEFENINGEN
1. Oneigenlijke integraal: Integraal van 0 tot oneindig van (exp(-tan(x)^(-1))/sqrt(x)), is
deze convergent of divergent?
2. Bereken de flux van F=...i+...j+...k boven het xy-vlak tot z=x^2+y^2 met projectie op xyvlak = x^2+y^2 kleiner of gelijk aan 4. Denk aan de divergentiestelling (was de tip).
3. Bereken het minimum/maximum van een functie f(x,y,z)=x over het snijden van 2
volumes... (ma da weet ik al ni meer, gewoon lagrangevermenigvuldigers).
4. Los het beginwaardeprobleem op: y'' + 4y = -12cos(2x), y(0)=1, y'(0)=2.
THEORIE
1.wat is een wisselreeks, welke test wordt hiervoor gebruikt om convergentie te bewijzen?
Wat zijn absoluut en voorwaardelijke wisselreeksen en geef van elk een voorbeeld
2.Hoe kan men een oppervlakte berekenen van een funtie die niet to R^2 hoort (een
gekromd vlak)
15/06
Oefeningen
oneigenlijke integraal van 0 tot oneindig van (e^-sin(x)) en oneigenlijke integraal van 0 tot
oneindig van sin(e^-x)
drievoudige integraal berekenen van het viervlak met de punten (1,0,0) (0,2,0) (0,0,0)
(0,4,0)
x+2y+3z=13 Zoek op dit vlak het punt het dichst bij (1,1,1)
differentiaalvergelijking (ik weet niet juist meer welke) ...= 2 cosh x
theorie
wat is een machtreeks? wann is deze convergent? wat is de convergentiestraal? Hoe
bereken je de convergentiestraal? Hoe tel je een machtreeks op en hoe vermenigvuldig je
ze? Wat is een eigenschap voor het integreren en het afleideng van een machtreeks?
hoe bereken je van een vectorveld een oppervlakte met een lijnintegraal? geef een
voorbeeld!