Grote theorievragen

Grote theorievragen
1. Wat is een oneigenlijke integraal? Welke types bestaan er? Hoe kan je onderzoeken of
een oneigenlijke integraal convergeert of divergeert?
Een eigenlijke integraal wordt genomen van een continue functie op een eindig en gesloten
interval. Als het interval niet begrensd is, of de functie nadert naar oneindig op 1 van de grens
punten, dan spreekt men van een oneigenlijke integraal, Een oneigenlijke integraal verwijst (voor
positieve f) naar een gebied in het vlak dat naar oneindig gaat in sommige richtingen en hierdoor
onbegrensd is. Deze integralen kunnen al dan niet eindige waarden hebben.
Type 1: onbegrensd interval
-> als de limiet bestaat (= eindig getal) zeggen we dat de oneigenlijke integraal convergeert
-> als de limiet niet bestaat, zeggen we dat de oneigenlijke integraal divergeert
-> als de limiet naar (-)oneindig gaat, zeggen we dat de oneigenlijke integraal divergeert naar
(-)oneindig
Type 2: onbegrensde functie
-> kunnen convergeren, divergeren en divergeren naar (-)oneindig
Onderzoeken
Type 1: -> integraal opsplitsen: convergeert pas als beide delen convergeren
-> p-integralen
P<0 integrand is stijgend
integraal divergeert
P=0 integrand is constant
integraal divergeert
p>0 integrand is dalend
integraal kan convergeren of divergeren
0<p<1
integraal divergeert
p>1
integraal convergeert
Type 2: -> p-integralen
P<0 integrand is begrensd in 0
integraal convergeert
P=0 integrand is constant
integraal convergeert
p>0 integrand is onbegrensd in 0
integraal kan convergeren of divergeren
0<p<1
integraal convergeert
p>1
integraal divergeert
Beide: -> vergelijken met een eenvoudigere integraal
0<f(x) ≤ g(x) : f(x) divergeert  divergeert g(x) ook
g(x) convergeert  convergeert f(x) ook
2. Wat is een machtreeks? Wanneer convergeert een machtreeks? Wat is de
convergentiestraal? Wat is het convergentie-interval? Hoe bereken je de
convergentiestraal?
Een reeks van de vorm:
∑ An (x-c)n= a0 + a1(x-c) + a2(x-c)2 + a3(x-c)3+…
is een machtreeks met machten van x-c, ook wel de machtreeks rond c genoemd. a 0,a1,a2,a3… zijn
de coëfficiënten. C wordt ook ‘the centre of convergence’ genoemd, de reeks convergeert zeker
(naar a0 ) in x=c.
Een machtreeks convergeert:
a) alleen voor x=c
b) voor elk reëel getal
c) voor elke x die voldoet aan |x-c|<R en divergeert voor elke x die voldoet aan |x-c|>R
 de reeks kan al dan niet convergeren in de randpunten x=c+-R
In elk van deze gevallen is de convergentie absoluut behalve voor de randpunten van c, daar is die
conditioneel.
Convergentie-interval
->de waarden waarvoor de machtreeks convergeert zijn gecentreerd rond x=c, we noemen dit het
convergentie-interval en het is een van de volgende vormen:
a) het geïsoleerde punt x=c ( [c,c] )
b) de hele lijn ( (-∞,∞) )
c) het eindig interval rond c ( [c-R,c+R] of (c-R,c+R] of [c-R,c+R) of (c-R,c+R) )
Convergentiestraal (R)
In geval a: R=0 en in b: R=∞ en in c: L= limn->∞ |an+1/an| als de limiet bestaat en dan is R=1/L
3. z = f(x, y) en F(x, y, z) = 0 bepalen allebei een oppervlak in R3. Leg voor beide
mogelijkheden uit hoe je het raakvlak in een punt P van dat oppervlak berekent.
De vergelijking van een raakvlak voor z= f(x,y) in (a,b,f(a,b)):
z= f(a,b) + f1(a,b)(x-a) + f2(a,b)(y-b)
of
(x-a)/ f1(a,b) = (y-b)/ f2(a,b) = (z-f(a,b))/-1
Je moet dus de partiële afgeleiden naar x (f1(a,b)) en naar y (f2(a,b)) zoeken en invullen in de
formule. Ook het punt P (a,b,f(a,b)) kan je in de formule invullen.
Voor F(x,y,z)=0 -> 3partieel afgeleiden zoeken?
f(x,y) is een functie van 2 veranderlijken. De grafiek is een oppervlak in R3. Het raakvlak kan
bepaald worden dmv de normaal aan het oppervlak: f1(a,b)I+f2(a,b)J-K. Deze invullen in de vgl
(zie hierboven).
Het raakvlak aan F(x,y,z)=0 kan bepaald worden dmv de gradient. Als F afleidbaar is in (x,y,z) en
gradient≠0, dan is dit de normaal aan het niveau-oppervlak van F door (x,y,z). En via die normaal
dan weer de vgl opstellen.
Overgaan van situatie 1 nr situatie 2: Herschrijf z=f(x,y) als f(x,y)-z=0. Dit is dan een niveau-opp
van de functie F(x,y,z)=f(x,y)-z.
4. Bespreek de methode van de Lagrangevermenigvuldigers voor het zoeken van
extremen van een functie van 3 veranderlijken met 2 gelijkheidsbeperkingen.
We zoeken kritische punten met de Lagrange funtie :
L(x,y,z,λ,μ) = f(x,y,z) + λg(x,y,z) + μh(x,y,z)
Dan stellen we de partieel afgeleiden van L gelijk aan 0. Dan lossen we de vergelijkingen op
waardoor we punten krijgen, deze vullen we in de vergelijking in en de waarden die we dan
uitkomen zijn de minima en maxima.
5. Wat is een conservatief vectorveld? Hoe onderzoek je praktisch of een vectorveld
conservatief is? Hoe bereken je de lijnintegraal van een conservatief vectorveld?
Als f(x,y,z) =▼φ (x,y,z) in elk punt van het domein D, spreken we van een conservatief vectorveld
F met potentiaalfunctie φ .
-> Slechts wanneer Ə/ Əy F1(x,y) = Ə/ Əx F2(x,y) voldaan is in elk punt van D,
kan men zeggen dat F(x,y)= F1(x,y) i + F2(x,y) j een conservatief vectorveld is in domein D.
-> Wanneer F(x,y,z)= F1(x,y,z) i + F2(x,y,z) j + F3(x,y,z) k moet voldaan zijn aan:
Ə F1/ Əy = Ə F2 / Əx ,
Ə F1 / Əz = Ə F3/ Əx,
Ə F2/ Əz = Ə F3/ Əy
Lijnintegraal van de rakende component aan een conservatief vectorveld:
-> niet rakend aan het vectorveld zelf omdat het dan een vector waarde kan zijn en als we aan een
component laten raken kan het enkel een scalaire waarde zijn
∫C F . dr = ∫C dφ = φ(P1) – φ(P0)
Of Ə F1/ Əy = Ə F2 / Əx ,
Ə F1 / Əz = Ə F3/ Əx,
Ə F2/ Əz = Ə F3/ Əy
6.Wat is de gradiënt? Welke eigenschappen heeft deze? Wat is een richtingafgeleide?
Wat is het verband tussen beide?
In elk punt (x,y) waar de eerste partiële afgeleide van de functie f(x,y) bestaat, definiëren we de
gradiënt vector als:
▼f(x,y) = grad f(x,y) = f1(x,y) i + f2(x,y) j
Eigenschappen
- een functie stijgt het snelst in de richting van de gradiënt (loodrecht op de niveaulijnen)
-> de steilste helling is |▼f(x,y) |
- een functie daalt het snelst in de tegengestelde richting dan de gradiënt
-> de steilste daling is |▼f(x,y) |
- er is geen verandering in de richting van de raaklijn aan de niveaulijnen
De richtingsafgeleide is de mate van verandering van een functie f(x,y), rekening houdend met de
afstand gemeten in (a,b) volgens een rechte u in het xy-vlak.
-> u=ui + vj en u2 + v2 = 1
Du f(a,b) = limh->0+ (f(a+hu,b+hv) – f(a,b))/h
Du f(a,b) = d/dt f(a+tu,b+tv)|t=0
Verband
De richtingsafgeleide kan berekend worden mbv de gradiënt :
Du f(a,b) = u . ▼f(a,b)
met u is een eenheidsvector
Dv/|v| f(a,b) = v/|v| . ▼f(a,b)
met v is een vector
Kleine theorievragen
1. Zijn volgende uitspraken waar of vals? Toon aan.
(a) Als een functie f continu is op [a, ∞) en limx->∞ f(x)=0, dan convergeert
Niet waar, je moet andere randpunten en kritische punten ook controleren, als deze
allemaal dezelfde limiet hebben dan convergeert de functie;
(b) De reeks ∑ 1/n1/2 convergeert want limx->∞ 1/ n1/2 =0
Niet waar, de waarde in het randpunt n=2 is niet 0 dus dus de limiet bestaat niet. Dan
convergeert de reeks ook niet. Die eigenschap geldt alleen omgekeerd: ALS de som
convergeert, DAN lim=0.
(c) rot F = curl F bestaat alleen voor 3-dimensionale vectorvelden.
Niet waar, ze kunnen ook voor 2-dimensionale vectorvelden bestaan.
Curl F = (Ə F2/ Əx - Ə F1/ Əy) k
-> maar in principe is dit nog steeds een 3-dimensionaal vectorveld waarvan z=0
Is dit dan waar of niet waar?
(d) De lijnintegraal van een vectorveld is onafhankelijk van de kromme die begin en
eindpunt verbindt.
Waar, Als F een glad vectorveld is in het open samenhangend gebied D, dan volgt dat
volgende uitspraken equivalent zijn:
a) F is conservatief in D
b) ∫ C F . dr = 0 voor elke stuksgewijze zachte gesloten kromme C in D
c) voor elke punten P1 en P0 in D heeft ∫C F(r) . dr dezelfde waarde voor elke stuksgewijze
zachte kromme in D die begint in P0 en eindigt in P1
2. Wat is impliciet afleiden? Geef voor- en nadelen.
Impliciet afleiden is de afgeleide zoeken van de functie naar x en y zien in functie van x met
als afgeleide (dy/dx).
Voordelen:
- je moet de functie niet eerst naar y oplossen. Dit is voor sommige functies onmogelijk. Bij
andere (vb een cirkel) zouden er 2 expliciete vgl’n ontstaan die allebij efgeleid moeten
worden.
Nog meer?
Nadelen:
- als je de rico van een rechte in een punt wil kennen moet je beide coördinaten van het
punt kennen
- Je moet rekening houden met de kettingregel bij het afleiden van y.
- De uitkomst moet nog omgevormd worden naar de vorm: dy/dx=…
Nog meer?
3. Hoe bereken je de oppervlakte van een gebied θ1 ≤ θ ≤ θ2, f1(θ) ≤ r ≤ f2(θ)
gegeven in poolcoördinaten?
De oppervlakte van een gebied begrensd door r=f(θ) en de lijnen θ=α en θ=β, (α<β):
A= ½ ∫αβ (f(θ))2 dθ
Kzou nog wa uitleggen hoe je aan die formule komt. Da staat in u boek net bove de formule.
4. Leg uit waarom in sferische coördinaten dV=ρ2 sinφ dρ dφ dθ
Een figuur begrensd door de coördinaatvlakken die overeen komen met de waarden
ρ, ρ+dρ, φ, φ+dφ, θ, θ+dθ heeft dimensies dρ, ρ dφ, ρ sinφ dθ. Om het volume te krijgen
moet je deze dimensies vermenigvuldigen en dan krijg je dV=ρ2 sinφ dρ dφ dθ
Ook wa uitgebreider uitleggen. Volgens beernaert kunt ge da doen me een tekeningetje, of met
die ene determinant (kweet ni precies hoe, want zover zit k nog ni :p)
5. Wat is een irrationeel vectorveld?
Een vectorveld F is irrationeel in een gebied D wanneer rot F = 0