Wiskundige analyse: samenvatting

Wiskundige analyse: samenvatting
Preliminaries
Driehoeksongelijkheid: |a ± b|
Even functie:
Oneven functie:
|a| + |b|
f(-x) = f(x)
f(-x) = -f(x)
symmetrisch t.o.v. y-as
symmetrisch t.o.v. oorsprong
Samengestelde functie: f ◦ g (x) = f(g(x))
Trinomial factoring:
(x+p)(x+q) = x² + (p+q)x + pq
(x-p)(x-q) = x² - (p+q)x + pq
(x+p)(x-q) = x² + (p-q)x – pq
Chapter 1: Limits and continuity
Insluitstelling: Als
Continuiteit:
voor alle x in een interval rond a en
f is continu in c
f is continu in c
f is rechts-continu en links-continu in c
Een continue functie op een gesloten en begrensd interval bereikt een maximum en minimum.
Tussenwaardestelling: Als f(x) continu is over het interval [a,b] en s is een getal tussen f(a) en
f(b), dan bestaat er een getal c in [a,b] zodat f(c)=s.
Chapter 2: Differentiation
Niet-verticale raaklijn: Veronderstel dat f continu is in x=x0 en dat
bestaat. Dan is de rechte met rico m door het punt P =(x0,f(x0)) de raaklijn aan
de kromme y=f(x) in P. De raaklijn heeft als vergelijking: y = m(x-x0) + y0.
Verticale raaklijn:
Als m = ± dan is de verticale rechte x = x0 de raaklijn aan de kromme y=f(x)
in het punt P.
Rico van de normaal =
Afgeleide:
=
Als f’(x) bestaat dan is f differentieerbaar in x.
Differentiaal van y:
dy =
dx = f’(x)dx
Belangrijke goniometrische limiet:
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 1
Tussenwaardestelling: average rate of change =
onmiddelijke rate of change = f’(a) =
Middelwaardestelling van Lagrange:
f is continu op een gesloten en begrensd interval [a,b] en is
differentieerbaar op het open interval (a,b). Dan bestaat er
een punt c in het open interval (a,b) zodat:
Stelling van Rolle:
g is continu op een gesloten en begrensd interval [a,b] en is differentieerbaar
op het open interval (a,b). Als g(a) = g(b) dan bestaat er een punt c in het
open interval (a,b) zodat g’(c) = 0.
Veralgemeende middelwaardestelling: f en g zijn beiden continu over [a,b] en differentieerbaar over
(a,b), en g’(x)≠0 voor elke x in (a,b), dan bestaat er een
getal c in (a,b) zodat
Chapter 3: Transcendental functions
1-1-duidig:
f(x1) = f(x2)  x1 = x2
Inverse:
y = f-1(x)  x = f(y)
f-1(f(x)) = x
x in dom f
-1
f(f (x)) = x
x in dom f-1
(f-1)-1(x) = f(x) x in dom f
Zelf-inverse:
f-1 = f  f(f(x)) = x
x in dom f
Afgeleide van de inverse:
Limieten van exponentiële functies:
a>1
0<a<1
Logaritme:
y = logax  x = ay
(a > 0, a ≠ 1)
x
loga(a ) = x
aloga x = x
(x > 0)
Rekenregels:
loga 1 = 0
loga (xy) = loga x + loga y
loga
= - loga x
loga
= loga x - loga y
loga (xy) = y loga x
loga x =
Limieten van logaritmes:
a>1
0<a<1
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 2
Natuurlijk logaritme:
Rekenregels:
Voor x > 0, Ax is het gebied begrensd door y=1/t, de t-as, t=1 en t=x.
ln (xy) = ln x + ln y
ln
= -ln x
ln
= ln x – ln y
ln (xr) = r ln x
Limieten van ln:
Limieten voor e:
ax = ex ln a
Algemene exponentiële:
Afgeleide:
Stelling:
(a > 0, x reëel)
loga x =
Als x > 0, dan ln x
x-1.
Gemengde limieten:
Exponentiële: ex =
e=
=1+
Inverse goniometrische functies:
y = sin-1 x  x = sin y
y = tan-1 x  x = tan y
y = cos-1 x  x = cos y
sec-1 x = cos-1
csc-1 x = sin-1
cot-1 x = tan-1
Complexe getallen:
x≠0
eix = cos x + i sin x
e-ix = cos x – i sin x
Chapter 4: More applications of differentiation
Onbepaalde vormen:
00
0/0
Goed om te weten:
0
0,
Extreme waarden:
0
0
wordt 0/0 door op gelijke noemer te zetten (dan l’Hôptial toepassen)
en : neem het logaritme.
Een functie die continu is op een gesloten en begrensd interval bereikt daar
een globaal maximum en een globaal minimum.
Lokaliseren van extremen:
Een lokaal maximum of minimum van een interval wordt bereikt in
een kritisch punt, een singulier punt of in een eindpunt.
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 3
De eerste afgeleide test:
I Interne kritieke en singuliere punten
f is continu in x0 en x0 is geen eindpunt
(a) Als er een open interval (a,b) bestaat met x0 zodat f’(x) > 0 over
(a,x0) en f’(x) < 0 over (x0,b) dan heeft f een lokaal maximum in x0.
(b) Als er een open interval (a,b) bestaat met x0 zodat f’(x) < 0 over
(a,x0) en f’(x) > 0 over (x0,b) dan heeft f een lokaal minimum in x0.
II Eindpunten van het domein
a is linkereindpunt en f is rechtcontinu in a
(c) Als f’(x) > 0 over een interval (a,b) dan heeft f een lokaal minimum
in a.
(d) Als f’(x) < 0 over een interval (a,b) dan heeft f een lokaal
maximum in a.
b is rechtereindpunt en f is linkscontinu in b
(e) Als f’(x) > 0 over een interval (a,b) dan heeft f een lokaal
maximum in b.
(f) Als f’(x) < 0 over een interval (a,b) dan heeft f een lokaal minimum
in b.
Convex:
Concaaf:
De tweede afgeleide test:
(a) f’(x0) = 0 en f’’(x0) < 0  lokaal maximum in x0
(b) f’(x0) = 0 en f’’(x0) > 0  lokaal minimum in x0
(c) f’(x0) = 0 en f’’(x0) = 0  geen conclusie (lok max/min of buigpunt)
Verticale asymptoot:
Horizontale asymptoot:
Schuine asymptoot:
Asymptoten van rationele functies:
(a) verticaal waar Qn(x) = 0
(b) tweezijdig horizontaal y=0 als m < n
(c)tweezijdig horizontaal y=L als m = n (L is breuk van de
coëfficiënten van de termen met hoogste graad)
(d) tweezijdig schuin y=ax+b als m = n + 1
(e) geen horizontale of schuine als m > n + 1
Lineaire benadering:
Error: E(x) =
f(x)
L(x) = f(a) + f’(a)(x – a)
(s tussen a en x)
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 4
Gevolgen:
(a) f’’(t) > 0 (t tussen a en x)  f(x) > L(x)
f’’(t) < 0 (t tussen a en x)  f(x) < L(x)
(b) |f’’(t)| < K (t tussen a en x)  |E(x)| < K/2(x–a)²
(c) M < f’’(t) < N (t tussen a en x)  L(x) + (x–a)² < L(x) + (x–a)²
M en N hetzelfde teken  f(x)
|Error| <
L(x) +
(x–a)²
(x–a)²
Nth-order Taylor polynomial:
Error:
Taylor’s formula with Lagrange remainder (& Big-O notatie):
Chapter 5: Integration
Sommatie formules:
Riemann som:
Bepaalde integraal:
Stelling:
Als een functie f continu is op [a,b] is ze ook integreerbaar op [a,b].

Driehoeksongelijkheid:
Integraal oneven functie:
Integraal even functie:
Middelwaardestelling:
Gemiddelde waarde:
Fundamentele stelling van de integraalrekening:
Part I
Part II
G’(x)=f(x)
Chain Rule into Part I:
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 5
Oppervlakte tussen 2 krommen:
Chapter 6: Techniques of integration
Integration by parts:
U en dV kiezen?
(1) integrand is een veelterm vermenigvuldigd met een exponentiële, sinus,
cosinus of een andere gemakkelijk integreerbare functie, probeer
U=veelterm
(2) integrand bevat een logaritme, inverse goniometrische functie of een
andere moeilijk integreerbare functie maar waarvan de afgeleide makkelijk is
berekend, probeer die functie=U
(3) soms meerdere keren na elkaar, maak de 2e keer dezelfde keuze voor U
Integratie van rationale functies:
Goniometrische substituties:
Hyperbolische substituties:
Ad-hoc oplossingen:
Substitutie:
Zie ander blad (paragraaf 6.2)!!!
als
voorkomt: probeer met x = a sin
als
voorkomt: probeer met x = a tan
als
voorkomt: probeer met x = a cosh u
tekening!
meer dan 1 macht in de vorm van een breuk: probeer x = un (met n kleinst
gemene veelvoud)
rationale functie van sin x of cos x: probeer x = tan
p-integralen:
Chapter 7: Applications of integration
Volume van een lichaam:
A(x) = oppervlakte loodrechte doorsnede
scheefheid heeft geen effect op het volume (V=Ah)
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 6
Volume omwentelingslichaam:
Als gebied R 
Is geroteerd rond

x-as
Gebruik een vlakke snede
Gebruik cilindervormige schillen
y-as
Gebruik cilindervormige schillen
Gebruik een vlakke snede
Booglengte:
Oppervlakte van een omwentelingsoppervlak: dS = 2 rds
Als kromme 
y = f(x)
x = g(y)
Is geroteerd rond

x-as
y-as
Chapter 8: Conics, parametric curves and polar curves
Parabool:
Focus
(a,0)
(-a,0)
(0,a)
(0,-a)
Ellips:
Richtlijn
x = -a
x=a
y = -a
y=a
Vergelijking
y² = 4ax
y² = -4ax
x² = 4ay
x² = -4ay
focus = c =
Samenvatting Wiskundige Analyse
excentriciteit =
Pagina 7
Hyperbool:
focus = c =
excentriciteit =
asymptoten:
Parameterisatie:
rechthoekige hyperbool: loodrechte asymptoten: a=b
afbeelding van R naar R²
Keerpunt:
Stelling:
(er kan een keerpunt zijn maar dat is niet noodzakelijk)
Parameterisatie
, f’(t) en g’(t) zijn continu op I.
Als f’(t) ≠ 0 op I, is de parameterisatie zachtverlopend en rico raaklijn =
Als g’(t) ≠ 0 op I, is de parameterisatie zachtverlopend rico normaal =
Raaklijn van een parameterisatie:
Normaal van een parameterisatie:
Booglengte van een parameterisatie:
Cardioïde:
r = a (1 – cos
r = a (1 + cos
r = a (1 – sin
r = a (1 + sin
)
)
)
)
Lemniscaat:
Kromme van punten P zodat het product van de afstanden van P tot vaste punten
constant is. (r² = cos (2 ))
Spiralen:
gelijkhoekig (r = )
exponentieel (r =
)
Oppervlakte in poolcoördinaten:
Booglengte in poolcoördinaten:
Chapter 9: Sequences, series and power series
Limiet van een rij:
Een rij {an} convergeert naar de limiet L,
, als voor elk positief
getal een geheel getal N (wat van kan afhangen) bestaat zodat als n N,
dan
.
.
.
.
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 8
Stelling:
Als {an} convergeert, dan is {an} begrensd.
Stelling:
Als {an} (ultimately) stijgend, dan is ze ofwel naar boven begrensd en convergent,
ofwel niet naar boven begrensd en divergent naar oneindig.
Stelling:
(a) Als |x| < 1, dan
.
(b) Als x een reëel getal is, dan
Convergentie van een reeks:
.
De reeks
convergeert naar de som s,
, waarbij sn de n-de partieelsom van
sn = a1 + a2 + a3 + … + an =
.
, als
is:
Een serie convergeert als en slechts als de rij van zijn partieelsommen
convergeert.
Geometrische reeks:
common ratio = r =
=
n = 1, 2, 3, …
sn = a + ar + ar² + … + arn-1 =
Telescopische reeks:
partieelsommen vouwen op tot een simple vorm
Harmonische reeks:
Stelling:
Als
convergeert, dan
bestaat maar niet 0 is, dan is
. Dus als
divergent.
niet bestaat, of
convergeert als en slechts als
convergeert voor elk geheel getal
N 1. (convergentie hangt enkel af van de staart van de reeks)
Als {an} ultimately positief is, dan moet
naar oneindig.
ofwel convergeren ofwel divergeren
p-reeksen:
Absolute convergentie:
Stelling:
is absoluut convergent als
convergeert.
Als een reeks absoluut convergeert, dan convergeert ze.
Voorwaardelijke convergentie: Als
convergent is, maar niet absoluut, dan is ze
voorwaardelijk convergent.
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 9
Goed om weten:
cos(n ) = (-1)n
Error voor een alternerende reeks:
Als de alternerende reeks convergeert naar de som s dan:
Veranderen van de volgorde van de termen:
(a) absoluut convergente reeks: som blijft hetzelfde
(b) voorwaardelijk convergente reeks: som verandert,
men kan om het even welke som bekomen, kan
convergeren, kan divergeren naar
of gewoon
divergeren.
Machtreeks rond c:
Centrum van convergentie = c.
Convergentie-interval: (I) x = c
(II)
(III) [c – R , c + R], [c – R , c + R), (c – R , c + R], (c – R , c + R)
Convergentie is absoluut, behalve mogelijk in de eindpunten bij (III).
Convergentiestraal:
Stelling:
R=1/L
en
zijn 2 machtreeksen met convergentiestraal Ra en Rb
respectievelijk, en c is een constante.
(I)
heeft convergentiestraal Ra
(II)
heeft convergentiestraal R
Cauchy product:
min{Ra,Rb}.
met R
min{Ra,Rb}.
Goed om weten:
Abel’s stelling: De convergentiestraal verandert niet door integreren of afleiden.
Randpunten: integreren kan convergentie bijwinnen (termen worden kleiner)
afleiden kan convergentie verliezen (termen worden groter)
Taylorreeks rond c:
Analytische functie:
Een functie f is analytisch als f een Taylorreeks heeft rond c en als deze reeks
convergeert naar f(x) in een open interval dat c bevat.
Voorbeeld:
met
Binomiaalreeks:
(-1 < x < 1)
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 10
Chapter 10: Vectors and coordinate geometry in 3-space
Scalair product:
u•v=|u||v|cos
Scalaire projectie:
Vectorieel product:
|u|cos
|u x v| = |u||v|sin
Vergelijking van een vlak:
normaalvector n = Ai + Bj + Ck en door het punt P0 = (x0,y0,z0)
n • ( r - r0 ) = 0
A (x – x0) + B (y – y0) + C (z – z0) = 0
Bol:
(x – x0)² + (y – y0)² + (z – z0)² = a²
Cilinder:
x² + y² = a²
Kegel:
x² + y² = a²z²
cirkelvormig of parabolisch
Ellipsoïde:
Paraboloïde:
z=
elliptisch
z=
hyperbolisch
Hyperboloïde:
eenbladig
tweebladig
Sferische coördinaten:
² = x² + y² + z² = r² + z²
tan
=
r=
=
Chapter 11: Vector functions and curves
Afgeleide:
u(t) ≠ 0
Booglengte:
Booglengte parameterisatie:
r = r(s)
 v(s)=1  unit speed
 t = t(s)
 r = r(t(s))
Chapter 12: Partial differentiation
Grafiek:
De grafiek van een functie van n variabelen, is een n-dimensionaal oppervlak in Rn+1.
Niveaulijnen:
van een oppervlak z = f(x,y):
Samenvatting Wiskundige Analyse
f(x,y) = C
Pagina 11
Limiet:
op voorwaarde dat
(I)elke omgeving van (a,b) punten van het domein van f anders dan (a,b) bevat.
(II) voor elk positief getal er een positief getal
bestaat, zodat |f(x,y) – L|
standhoudt wanner (x,y) ligt in het domein van f en voldoet aan
.
(f(x,y) benadert hetzelfde nummer L afhankelijk van hoe (x,y) (a,b) benadert.)
Continu:
De functie f(x,y) is continu in (a,b) als
Raakvlak:
z = f(a,b) + f1(a,b)(x – a) + f2(a,b)(y – b)
Normaalvector:
.
n = f1(a,b)I + f2(a,b)j –k
Normal:
Horizontaal raakvlak:
Kettingregel:
schema maken!
Linearisatie:
f(x,y)
L(x,y) = f(a,b) + f1(a,b)(x – a) + f2(a,b)(y – b)
Differentieerbaar:
Jacobiaan matrix:
afgeleide van de transfromatie f: RnRm
Df(x) =
Kettingregel voor composities van transformaties:
Gradiënt:
D(g◦f)(x) = Dg(f(x))Df(x)
Als f(x,y) differentieerbaar is in een punt (a,b) en f(a,b) ≠ 0, dan staat f(a,b)
loodrecht op de niveaulijn van f door (a,b).
Richtingsafgeleide:
De richtingsafgeleide van f in (a,b) in de richting u = ui + vj (=eenheidsvector):
= u• f(a,b)
Afgeleide van impliciete functies:
Jacobiaan:
van 2 functies u(x,y) en v(x,y):
Samenvatting Wiskundige Analyse
 met de nodige interpretatie:
van 2 functies F(x,y) en G(x,y):
Pagina 12
De impliciet functie stelling:
Een systeem van n vergelijkingen in n + m variabelen
en een punt P0 = (a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn) dat hieraan voldoet.
Het systeem oplossen voor y1,y2,…,yn in functie van x1,x2,…,xm rond P0:
.
Verder,
Formule:
Chapter 13: Applications of derivatives
Een tweede afgeleide test:
Hessiaan matrix:
a is een kritiek punt van f en inwendig:
(a) H(a) is positief definiet (alle eigenwaarden positief): lok min in a
(b) H(a) is negatief definiet (alle eigenwaarden negatief): lok max in a
(c) H(a) is indefiniet (minstens 1 positief en 1 negatief): zadelpunt in a
(d) geen van bovenstaande (een eigenwaarde is 0): geen info
(a)
(b)
(c)
(d)
Alle determinanten positief OF B² - AC < 0 en A > 0
Determinanten afwisselend neg/pos OF B² - AC < 0 en A< 0
Niet voorgaande en laatste determinant ≠ 0 OF B² - AC > 0
Niet voorgaande OF B² - AC = 0
Lagrange vermenigvuldigers:
L(x,y,z, λ) = f(x,y,z) + λg(x,y,z) + h(x,y,z)
Differentiatie door integraal:
Onder bepaalde voorwaarden geldt:
Formule:
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 13
Chapter 14: Multiple integration
Volume:
Als f(x,y)
0 op D:
V is het volume van het lichaam verticaal boven D en onder het oppervlak z = f(x,y).
Als f(x,y)
op D:
V is het volume van het lichaam verticaal onder D en boven het oppervlak z = f(x,y).
I = 0:
Een oneven functie integreren over een symmetrisch integratiegebied, is 0.
Regulier gebied:
zowel een enkelvoudig x-gebied als een enkelvoudig y-gebied
Gemiddelde waarde:
van een functie over een gebied D:
Veranderen van variabelen:
Drievoudige integraal: Hypervolume ven een gebied in 4d met D als de 3-dimensionele basis en met
de top op het hyperoppervlak w = (x,y,z)  densiteit, massa, volume…
Veranderen van variabelen:
Chapter 15: Vector fields
Vectorveld:
F:
F(x,y,z) = F(r) = F1(x,y,z)I + F2(x,y,z)j + F3(x,y,z)k
Scalair veld:
Rn  R (= functie)
Veldlijnen:
Conservatief vectorveld:
Nodige voorwaarde:
Veld dat te schrijven is als de gradiënt van een potentiaalfunctie.
mag geen singuliere punten in D hebben
Als F(x,y) = F1(x,y)I + F2(x,y)j conservatief is, dan geldt:
Als F(x,y,z) = F1(x,y,z)I + F2(x,y,z)j + F3(x,y,z)k conservatief is, dan geldt:
Equipotentiaal oppervlakken:
niveauoppervlakken van de potentiaalfunctie:
(x,y,z) = C
stroomlijnen van F(x,y,z)
Lijnintegraal van scalaire velden:
onafhankelijk van de gekozen parameterisatie
onafhankelijk van de gekozen oriëntatie
 massa, massacentrum van een gekromde draad,
moment,…
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 14
Stappenplan: 1. parameterisatie opstellen van de kromme (met grenzen!)
2. Lengte van de raakvector berekenen
3. Functie uitrekenen langs de kromme
4. Product van 2. en 3. integreren over interval van de parameterisatie
Lijnintegraal van vectorvelden:
W=
arbeid berekenen: krachtenveld projecteren op
eenheidsraakvector
onafhankelijk van de gekozen parameterisatie
afhankelijk van de gekozen oriëntatie (tekenwissel)
Circulatie over een gesloten kromme:
Stappenplan: 1. Parameterisatie opstellen van de kromme (met grenzen!)
2. Raakvector berekenen
3. Vectorveld uitrekenen langs de kromme
4. Scalair product van 2. en 3. integreren over interval van de parameterisatie
Onafhankelijkheid van de weg:
D is een open, samenhangend gebied en F is een glad
vectorveld op D. Volgende uitspraken zijn equivalent:
(I) F is conservatief op D
(II)
= 0 voor elke stuksgewijze zachte gesloten
kromme C in D
(III) Voor elke 2 punten P0 en P1 in D heeft
dezelfde waarde voor elke stuksgewijze kromme C in D
die begint in P0 en eindigt in P1.
Gevolg:
Normaalvector:
n=
Oppervlakte van S:
S=
Oppervlakte-integraal van een functie:
Stappenplan: 1. Parameterisatie opstellen van het oppervlak (met grenzen!)
2. Lengte van de normaalvector berekenen
3. Functie uitrekenen langs het oppervlak
4. Product van 2. en 3. integreren: dubbele integraal over gebied van de
parameterisatie
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 15
Unit vector field:
Flux:
flux van een vloeistof beschreven door een vectorveld F door een oppervlak S
flux uit/in een gesloten oppervlak:
Stappenplan:
1. Parameterisatie opstellen van het oppervlak (met grenzen!)
2. Normaalvector berekenen en goede oriëntatie bepalen
3. Vectorveld uitrekenen langs het oppervlak
4. Scalair product van 2. en 3. integreren: dubbele integraal over gebied van de
parameterisatie
Chapter 16: Vector Calculus
Gradiënt:
Maat van verandering van een 3-dimensionaal scalair veld:
grad f(x,y,z) =
f(x,y,z) =
scalair veld  vectorveld
Divergentie:
Hoe alles zich verspreidt:
•F=
div F =
vectorveld  scalair veld
Rotor:
Hoe alles ronddraait:
rot F = curl F =
xF=
vectorveld  vectorveld
2-dimensionaal:
grad f(x,y) =
div F =
f(x,y) =
•F=
rot F = curl F =
xF=
Laplaciaan:
Onsamendrukbaar:
div F = 0
Irrotationeel:
curl F = 0
Rekenregels:
div curl = 0 
curl grad = 0 
Stelling:
Een glad irrotationeel vectorveld op een enkelvoudig samenhangend gebied is
conservatief.
Samenvatting Wiskundige Analyse
 De rotor van een vectorveld is onsamendrukbaar.
 Elk conservatief vectorveld is irrotationeel.
Pagina 16
Stelling van Green in het vlak: C positief georiënteerd
Je kan een lijnintegraal gebruiken i.p.v. een dubbel integraal om een
oppervlakte te berekenen.  goede keuzen voor vectorveld maken:
F = xj
F = -yi
F = (-yi +xj)
toepassing: oppervlakte binnen een gesloten kromme
Stelling van Gauss in de ruimte: normaalvector wijst naar buiten
D = gebied in 3d,
S = de rand van D (oppervlak dat D omsluit)
toepassing: flux
Stelling van Stokes in de ruimte:
let op de oriëntatie van C
Als rot F = 0  lijnintegraal = 0 ( vectorveld irrotationeel
 enkelvoudig samengesteld gebied dan ook conservatief)
toepassing: veranderen van oppervlak met dezelfde rand
Chapter 17: Ordinary differential equations
1-orde:
 Scheidbare differentiaalvergelijkingen
 Lineaire differentiaalvergelijkingen
• methode 1: integrerende factor
IF =
• methode 2: veranderlijke coëfficiënt
Los de homogene vergelijking op.
Vervang in de oplossing van de homogene differentiaalvergelijking de
constante door een functie(1) van de onafhankelijke veranderlijke.
Druk uit dat dit een oplossing is van de differentiaalvergelijking door deze in
de differentiaalvergelijking in te vullen. Bepaal hieruit de functie(1).
 Exacte differentiaalvergelijkingen
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Exact?
Niet exact? Exact maken door te vermenigvuldigen met een IF
= integraalfunctie van de differentiaalvergelijking
oplossingskrommen van de differentiaalvergelijking
2-orde:
 Reduceerbaar naar differentiaalvergelijking van 1-orde
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 17
 Lineaire differentiaalvergelijkingen
Algemene oplossing: y(x) = yh(x) + yp(x)
Homogene oplossing: zie verder
Particuliere oplossing: methode van de variatie van de parameter:
Hogere orde:
Oplossen van de homogene vergelijking:
Stel
Bepaal de nulpunten van
(
noemen we de karakteristieke vergelijking)
Als a een k-voudig nulpunt is van
(reëel) dan vormen
k lineair onafhankelijke oplossingen.
Als
complex toegevoegde nulpunten (a + ib en a - ib) heeft die
samen 2k keer voorkomen, dan vormen
2k lineair onafhankelijke oplossingen.
Particuliere oplossing: methode van de onbepaalde coëfficiënten:
f(x) =
yp(x) = xmAn(x)
m=# keer dat 0 nulpunt is van
de karakteristieke vergelijking
m
f(x)=
 yp(x) = x An(x)
m=# keer dat a nulpunt is van
de karakteristieke vergelijking
f(x)=
 yp(x) = xmAn(x)
cosx + xmBn(x)
sinx
m=# keer dat a±bi nulpunt is
vd karakteristieke vergelijking
Samenvatting Wiskundige Analyse
Pagina 18