Oefeningen Wiskunde: Voortgezette Analyse

2de Bachelor Ingenieurswetenschappen: Architectuur
Academiejaar 2010-2011
1ste semester
31 januari 2011
Oefeningen Wiskunde: Voortgezette Analyse
1. Beschouw de volgende afbeelding f :

R3 −→ R3 ;



x
x + 2y
 y  7→  3x + 4z 
z
2x + y + 2z
(a) Ga na dat f lineair is.
(b) Bepaal de kern en het beeld van f , alsook de dimensie van elk van deze twee ruimten.
(c) Bestaat de inverse van f ? Zo ja; construeer deze, zo nee; leg uit waarom deze niet
bestaat.
(d) Stel de matrix van f op t.o.v. de standaardbasis van R3 .
(e) Is f diagonaliseerbaar? Verklaar je antwoord.
2. Zij V een reële vectorruimte en {e~1 , e~2 , e~3 } een basis van V . Beschouw nu volgende vectoren
~a, ~b, ~c in V :

 ~a = µe~1 + µe~2 + 2e~3
~b = µe~1 − µe~2 + 2µe~3

~c = e~1 − 2e~2 + e~3
Voor welke waarden van µ ∈ R geldt dat {~a, ~b, ~c} een lineair onafhankelijke verzameling in
V is?
3. Toon aan dat de volgende reeks uniform convergeert over elk open interval (a, b) ⊂ R,
waarbij 0 ≤ a < b.
∞
X
x+2
.
2 (n + x + 1)
(n
+
x)
n=1
4. Beschouw de reële functie f , gedefinieerd op het open interval (−π, π) als volgt:
0
−π <x≤0
f (x) =
sin(x)
0≤x<π
(a) Zet f periodiek verder, met periode 2π. Noem deze periodieke verderzetting f˜. Maak
ook een schets van de grafiek van f˜ op het interval (−3π, 3π).
(b) Bereken de Fourrierreeks van f˜.
(c) Convergeert de Fourrierreeks van f˜ puntsgewijs naar de functie f op het interval (−π, π)?
Verklaar kort je antwoord.
5. Los volgende differentiaalvergelijking op:
y 00 − 4y = xe3x .
Het examen duurt 3 uur 30 minuten; Enkel het gebruik van het theorieboek is toegestaan. Puntenverdeling
voor het oefeningenexamen (goed voor 45% van het totale eindresultaat); vraag 1: 15 ptn, vraag 2: 5 ptn, vraag
3: 5 ptn , vraag 4: 10 ptn, vraag 5: 10 ptn. Veel succes!
2
2de Bachelor Ingenieurswetenschappen: Architectuur
Academiejaar 2010-2011
1ste semester
31 januari 2011
Wiskunde: Voortgezette Analyse: MATLAB
1. Schrijf een functie examen1(rij,k) die telkens k elementen neemt uit rij en de volgorde omdraait. Dit gebeurt dus met elke ‘blok’ van k elementen. Ook in de laatste, mogelijk
onvolledige blok, moet de volgorde van de elementen worden omgedraaid.
Voorbeeld:
>> draaiom([0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13],4)
ans =
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 13 12
2. Schrijf een functie examen2(n) die voor een natuurlijk getal n een rijmatrix genereert
bestaande uit alle kwadraten (van natuurlijke getallen) kleiner of gelijk aan n.
Het examen duurt 2 uur. Dit examen telt mee voor 10% van het eindresultaat. Veel succes!
2de Bachelor Ingenieurswetenschappen: Architectuur
Academiejaar 2010-2011
2de zittijd
25 augustus 2011
Oefeningen Wiskunde: Voortgezette Analyse
1. Beschouw de volgende afbeelding f :


x
2x − y
 y →
7
x+y−z
z
R3 −→ R2 ;
(a) Ga na dat f lineair is.
(b) Bepaal de kern en het beeld van f , alsook de dimensie van elk van deze twee ruimten.
(c) Stel de matrix van f op t.o.v. de standaardbasissen van R3 en R2 .
2. Zijn volgende beweringen juist of fout? Indien ze juist zijn; bewijs. Zoniet; geef tegenvoorbeeld.
(a) Hom(R2 [X], R) en R3 zijn isomorfe vectorruimten.
(b) De afbeelding g:
a b
M2,2 (R) −→ R;
7→ ad − bc
c d
is een lineaire afbeelding.
(c) De matrix A, gegeven door
√ 

3
1 0 0
 0 2 0 0 

A=
 1 1 1 1 
√
3 0 0 3
heeft 4 verschillende eigenwaarden en is diagonaliseerbaar.
3. Toon aan dat de volgende reeks uniform convergeert over elk open interval (a, b) ⊂ R.
∞
X
x2n−1
n=1
(2n + 1)! + x2
4. Bepaal het convergentiegebied van de volgende machtreeks. Bespreek ook het gedrag in de
grenspunten.
∞
X
(n + 1)xn
n=1
6n
5. Integreer volgende differentiaalvergelijkingen:
(a) y 00 − 8y 0 + 16y = e3x .
(b) y 00 − 8y 0 + 16y = e4x .
Enkel het gebruik van het theoriegedeelte van de cursus is toegestaan. Puntenverdeling voor het oefeningenexamen (goed voor 45% van het totale eindresultaat); vraag 1: 10 ptn, vraag 2: 10 ptn, vraag 3: 5 ptn , vraag 4:
5 ptn, vraag 5: 15 ptn.