VDD tentamen 19jan2016 - Faculteit Technische Natuurkunde

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit Technische Natuurkunde
Eindtoets Variabelen, Dimensies en Dynamica (3AKX1)
dinsdag 19 januari 2016, 18.00-21.00 uur.
De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
opgeschreven te worden. Motiveer al uw antwoorden en werk netjes!
Het gebruik van boeken, aantekeningen, (grafische) rekenmachines en andere
hulpmiddelen is niet toegestaan.
Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is
aangegeven.
Opgave 1 (7 ptn)
Beantwoord de volgende vragen met “ja” of “nee” en geef daarbij een korte argumentatie.
(a) Is het waar dat het dynamisch systeem
ẋ = −y + 5 sin(y),
ẏ = x + 3y,
(1a)
(1b)
chaotisch gedrag kan vertonen?
[1 ptn]
(b) Is het waar dat de faseruimte van systeem (1) uit onderdeel (a) tweedimensionaal is?
[1 ptn]
(c) Is het waar dat het gekoppelde systeem
ẋ = z(z + 1),
ẏ = x,
ż = −az − by + x
met a en b constanten kan worden geschreven als
...
z + az̈ + (b − 1)z(z + 1) = 0?
(
(d) Is het waar dat het dynamisch systeem
dy
dx
[1 ptn]
)2
2
= ey een autonoom systeem
is van de tweede-orde?
[1 ptn]
(e) De snelheid v (dimensie [m s−1 ]) van een massa als functie van de tijd t
(dimensie [s]) wordt beschreven door de volgende evolutievergelijking:
dv
= −γv + a sin(ωt),
dt
1
met γ en a constanten. Is het waar dat deze vergelijking in de volgende
dimensieloze vorm kan worden geschreven:
dṽ ω
+ ṽ = sin(t̃),
γ
dt̃
met ṽ en t̃ nu de dimensieloze snelheid respectievelijk dimensieloze tijd?
[1 ptn]
(f) Gegeven is dat de Taylorreeks van een functie F (x) in de buurt van x = x1
wordt gegeven door:
1 d2 F dF (x − x1 ) +
(x − x1 )2 + . . . .
F (x) = F (x1 ) +
2
dx x=x1
2 dx x=x1
Beschouw nu het systeem
ẋ = 2x − x2 − y,
ẏ = sin(x − 1).
Is het waar dat het punt (x, y) = (1, 1) een elliptisch punt is in de faseruimte
van dit systeem?
[2 ptn]
Opgave 2 (2 ptn)
Beschouw een scheepsschroef met diameter D die roteert met hoekfrequentie Ω
in water met massadichtheid ρ. Leid met behulp van een dimensieanalyse een
verband af tussen de stuwkracht T ([N]) van de schroef en de relevante variabelen
in dit probleem.
[2 ptn]
Opgave 3 (9 ptn)
Beschouw een voorwerp met massa m waarop een constante kracht F̂ > 0 ([N])
werkt. Daarnaast ondervindt het voorwerp ook een wrijvingskracht Fw . Zie figuur
1.
Figuur 1: Tekening bij Opgave 3
2
(a) Stel de evolutievergelijking op die de verandering van de snelheid v van het
voorwerp relateert aan de krachten ( dv
= · · · ).
[2 ptn]
dt
Er is gegeven
√ dat de wrijvingskracht afhangt van de snelheid van het voorwerp:
Fw (v) = γ v, met γ een positieve constante.
(b) Bepaal de dimensie van de constante γ.
[1 ptn]
Na enige tijd beweegt het voorwerp met constante snelheid v = V0 .
(c) Bepaal deze snelheid V0 .
√ [2 ptn]
De kracht F̂ wordt nu uitgeschakeld [de wrijvingskracht blijft Fw (v) = γ v ]. Op
t = 0 is de snelheid van het voorwerp V0 .
(d) Leid af dat de snelheid van het voorwerp afneemt volgens:
(√
γ )2
v(t) =
V0 −
t .
2m
(e) Hoe lang duurt het tot het voorwerp tot stilstand is gekomen?
[3 ptn]
[1 ptn]
Opgave 4 (12 ptn)
Beschouw het volgende niet-lineaire systeem
d2 x
ax
= F (x) = 2
− x,
2
dt
x +1
(2)
met a een positieve constante.
[2 ptn]
(a) Bepaal de stationaire punten van dit systeem.
(b) Laat zien dat dit systeem bifurcatiegedrag vertoont als a verandert van kleiner dan 1 naar groter dan 1 en schets het bijbehorende bifurcatiediagram.
[3 ptn]
We nemen nu a = 2. Één van de evenwichtspunten wordt dan gegeven door
x1 = 1.
(c) Onderzoek de stabiliteit van dit evenwichtspunt door de functie F (x) in
een Taylorreeks te ontwikkelen rond x = 1 (zie ook Opgave 1 onderdeel (f))
en aldus de vergelijking te lineariseren voor kleine verstoringen rond x = 1
(Hint: introduceer de nieuwe afhankelijke variabele z = x − 1)
[4 ptn]
Merk op dat het niet-lineaire systeem (2) ook kan worden geschreven als (a = 2)
ẋ = y,
ẏ = −
dV
,
dx
met V (x) = 12 x2 − ln (x2 + 1) .
dy
(d) Gebruik dx
= ẏ/ẋ = − dV
/y om een vergelijking af te leiden voor de trajecdx
toriën van dit systeem in een fasediagram.
[3 ptn.]
3