Stroom door een CPA-element G.P. Leendertse

Stroom door een CPA-element
G.P. Leendertse
16-10-1992
Chapter 1
Numerieke aanpak
Voor een CPA-element geldt het volgende relatie tussen spanning V en stroom I:
dν
ICP A (t)
dtν
Hierin is t de tijd en p de voor het element karakteristieke phasance. In het rechterlid is sprake van
een fractionele afgeleide. De definitie van de ν-e fractionele afgeleide – i.c. naar de tijd – van een
functie f (t) luidt:
Z t
dν
f (x)dx
1
f
(t)
=
ν
dt
Γ(−ν) 0 (t − x)ν+1
VCP A (t) = p
Wordt een CPA-element (indien eenmaal opgeladen en op grond daarvan startend met een gegeven
initiële stroom op t = 0 van I0 ) ontladen over een weerstand R dan geldt voor de ontlading:
VCP A (t) = ICP A (t)R
We zullen de notatie vereenvoudigen tot:
V (t) = RI(t)
De vergelijking voor de stroom I(t) wordt daarmee:
p
Γ(−ν)
Z t
0
I(x)dx
− RI(t) = 0
(t − x)ν+1
met:
I(0) = I0
Bovenstaande vergelijking is een integraalvergelijking, meer specifiek: een Volterra integraalvergelijking van de tweede soort met een singuliere kern. Het laatste verwijst naar het nul worden van de
noemer (t − x)ν+1 in de integrand. Binnen de numerieke bibliotheken NAG en IMSL zijn geen routines beschikbaar voor het integreren van de onderhavige integraalvergelijking (in NAG wordt deze
leemte voor singuliere kern expliciet vermeld). Daarom is gekozen voor de volgende simplistische
aanpak voor het bepalen van de numerieke oplossing.
Stap 1
We discretiseren het probleem door ons op het beschouwde interval van (0, tmax ) te beperken tot
tmax
de equidistante punten: 0, ∆t, 2∆t, . . . , n∆t (met ∆t =
) We noteren de (onbekende) waarden
n
van de stroom ten tijde k∆t als Ik .
1
CHAPTER 1. NUMERIEKE AANPAK
2
Stap 2
We splitsen de integraal over een interval (0, tk ) als volgt:
Z tk
0
I(x)dx
=
(t − x)ν+1
Z tk−1
0
I(x)dx
+
(t − x)ν+1
Z tk
tk−1
I(x)dx
(t − x)ν+1
Noemen we de betreffende integralen T, L, U dan hebben we dus:
T =L+U
Voor het berekenen van L zullen we de trapeziumregel toepassen; U , waarin zich nog de singulariteit
voordoet, benaderen we m.b.v. de integrand-waarde in het voorlaatste punt tk−1 . Specifiek,
voor L (indien k > 1):
k−1(∗)
X
L=
∆t
j=0
of:
k−1(∗)
L=
X
j=0
en voor U:
U = ∆t
U=
P(∗)
I(tj )
(k − j)ν+1 ∆tν
I(tk−1 )
(tk − tk−1 )ν+1
ofwel:
(
I(tj )
(tk − tj )ν+1
I(tk−1 )
∆tν
geeft aan dat de eerste en de laatste term met 0.5 moeten worden vermenigvuldigd).
Ook voor het tweede deel van de integraal, U, zouden we een hogere orde integratieformule kunnen
toepassen door de integrand niet constant maar lineair te verondertsellen over het laatst interval.
In het lineaire geval nemen we als helling s die van het vorige interval, d.w.z.:
s=
I(tk−1 ) − I(tk−2 )
∆t
U=
3I(tk−1 ) − I(tk−2 )
2∆tν
Op deze wijze vinden we: