Uniforme convergentie van reeksen

Uniforme convergentie
Definitie 24.2
n
Analyse: van R naar R hoorcollege
Zij (fn ) een rij reëelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn ) uniform
convergeert naar f als
Uniforme convergentie van reeksen (5)
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn (x) − f (x)| < voor alle
Gerrit Oomens
x ∈S
als n > N.
Definitie 25.3
[email protected]
We zeggen dat een rij reëelwaardige functies (fn ) op S ⊆ R uniform Cauchy is als
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
∀ > 0 ∃N ∈ N
zodat |fn (x) − fm (x)| < voor alle
x ∈S
als n, m > N.
Een rij functies convergeert uniform desda de rij uniform Cauchy is.
Als (fn ) een rij continu functies is met fn → f uniform op een verzameling S ⊆ R,
dan is f continu op R.
Als fn → f uniform op [a, b], dan geldt
Z b
Z b
Z b
lim
fn (x) dx =
f (x) dx =
lim fn (x) dx.
n→∞ a
Reeksen van functies
Stelling 25.6
P
Een reeks
gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het
uniforme Cauchy criterium: n
X
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat gk (x) < voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
gk (x).
k=0
De partiële sommen zijn nu ook functies:
sn (x) =
n
X
a n→∞
Uniforme convergentie en continuı̈teit
Zij (gk ) een rij functies op S ⊆ R en bekijk nu de reeks
∞
X
a
k=m
gk (x).
Stel dat (gk ) een rij continue functies is en bekijk
k=0
Deze rij functiesP
kan puntsgewijs of uniform convergeren naar een functie f op S. We
zeggen dan dat
gk (puntsgewijs/uniform) convergeert. We zien
X
gk convergeert uniform ⇔ (sn ) convergeert uniform
⇔
k=m
n
X
gk (x)
k=0
f (x) = lim sn (x) =
n→∞
x ∈S
k=0 gk .
continu voor alle n, dus als de reeks uniform convergeert is
(sn ) is uniform Cauchy.
Dit laatste geeft het uniforme Cauchy criterium:
n
X
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat gk (x) < voor alle
sn (x) =
P∞
als n ≥ m > N.
∞
X
k=0
een continue functie op S.
gk (x)
Dan is
Uniforme convergentie van reeksen
Stelling 25.6
P
Een reeks
gk van functies convergeert uniform op S desda hij voldoet aan het
uniforme Cauchy criterium: n
X
gk (x) < voor alle x ∈ S als n ≥ m > N.
∀ > 0 ∃N ∈ N zodat k=m
Als gevolg hiervan een simpele methode om in te zien of een reeks uniform convergeert:
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk ) een rij positieve getallen en
R zodat
P (gk ) een rij functies op S ⊆P
|gk (x)| ≤ Mk voor alle x ∈ S. Als
Mk < ∞, dan convergeert
gk uniform op S.
P
Bewijs: zij > 0. De reeks
Mk convergeert,
P dus voldoet aan het Cauchy criterium:
er is een N zodat voor n ≥ m > N geldt | nk=m Mk | < . Dan is
n
n
n
X
X
X
gk (x) ≤
|gk (x)| ≤
Mk < .
k=m
k=m
k=m
P
We zien dat
gk aan het uniforme Cauchy criterium voldoet.
Voorbeeld
Stelling 25.7 (Weierstrass M-test)
Zij (Mk ) een rij positieve getallen en
R zodat
P (gk ) een rij functies op S ⊆P
|gk (x)| ≤ Mk voor alle x ∈ S. Als
Mk < ∞, dan convergeert
gk uniform op S.
P
−k k
Bekijk de machtreeks ∞
k=0 2 x . Deze heeft convergentiestraal 2. Op [−a, a] geldt
|2−k x k | ≤ 2−k · ak =
a k
2
k
P
en voor a < 2 convergeert k 2a . Dus kunnen we de M-test toepassen met
k
Mk = 2a om te zien dat de reeks uniform convergeert op [−a, a] voor alle a < 2.
Op [−2, 2] hebben we geen uniforme convergentie, want:
Lemma
Stel dat
P
gk uniform convergeert op S. Dan geldt gk → 0 uniform op S.