Hertentamen Banach en Hilbert Ruimtes

Hertentamen Banach en Hilbert Ruimtes
maart 2002 (openboek tentamen)
Onderdelen aangeven met een * zijn lastiger, schroom niet om ze over te slaan. U hoeft lang niet
alle opgaven op te lossen om in aanmerking te komen voor een 10. Een voldoende kunt u halen
door één van de twee langeren opgaven 1, 3 behoorlijk goed op te lossen.
Opgave 1.
Definieer l∞ ⊆ RN is de verzameling van vectoren x van aftelbaar-oneindig-veel reeële
componenten xi , in absolute waarde begrensd. Dus x = (xi )i∈N , met xi ∈ R voor elke i,
en supi |xi | < ∞. We definieren kxk∞ = supi |xi |, en voor x, y ∈ l∞ en α, β ∈ R, definieren
we αx + βy ∈ l∞ door (αx + βy)i = αxi + βyi .
(a) Laat zien dat l∞ een Banach ruimte met norm k · k∞ is.
(b) Zij α ∈ l∞ . Definieer de operator A door Ax = (αi xi )i∈N . Laat zien dat A continu is.
(c) Zij i1 < i2 < . . . een stijgende rij natuurlijke getallen (dus een deelrij van {1, 2, . . . })
en zij e(i) de vector in l∞ waarvan alle componenten behalve de i’e gelijk zijn aan 0, en het
i’e gelijk is aan 1. Laat zien dat Ae(in ) , n = 1, 2, . . . , een Cauchy rij vormt dan en slechts
dan als αin → 0 voor n → ∞.
(d) Laat hieruit zien dat αi 6→ 0 voor i → ∞ impliceert dat A geen compacte operator is.
(e) Stel nu αi → 0 voor i → ∞. Stel dat x(n) , n = 1, 2, . . . , een begrensde rij vectoren in
l∞ is. Laat zien dat de rij reeële getallen verkregen door het i’e component te nemen van
(n)
de rij vectoren Ax(n) , n = 1, 2, . . . , dus de rij getallen αi xi , n = 1, 2 . . . , een convergente
deelrij heeft.
(f*) Neem nu achtereenvolgens: een deelrij van de rij vectoren y (n) = Ax(n) , n = 1, 2, . . . ,
waarlangs de 1’e component van deze vectoren convergeert, vervolgens daarvan een deelrij
waarlangs (ook) de 2’e component convergeert, etc. Stel nu een nieuwe deelrij van de
oorspronkelijke rij samen, door achtereenvolgens te nemen: eerste element eerste deelrij,
tweede element uit tweede deelrij, derde element uit derde deelrij . . . . Dit levert een rij
vectoren y (nk ) op waarvan alle componenten convergeren. Beredeneer dat deze rij vectoren
ook in de zin van k · k∞ convergeert naar een limiet. Concludeer hieruit dat αn → 0
impliceert dat A een compacte operator is.
Opgave 2.
Zij f : R2 → R+ een vaste, continue functie, en α, β ∈ R twee vaste getallen. Beschouw
het systeem van vergelijkingen x = sin log f (x, y) + α, y = cos log f (x, y) + β. Beschouw
(x, y) als punt in R2 . Laat zien dat het systeem van vergelijkingen een oplossing heeft.
Hint: herschrijf de vergelijkingen in de vorm u = Au met u ∈ R2 .
1
Opgave 3.
Voor gegeven n ∈ N = {1, 2, . . . } definieer m ∈ {0, 1, . . . } en k ∈ {1, . . . , 2m } door
2m ≤ n < 2m+1 = 2.2m = 2m + 2m ,
k = (n − 2m ) + 1.
Omgekeerd, voor gegeven m ∈ {0, 1, . . . } en k ∈ {1, . . . , 2m } definieer n = 2m + (k − 1).
Definieer het interval In = Im,k = ((k − 1)2−m , k2−m ] ⊆ (0, 1]. Merk op dat Im,k is de
disjunkte vereniging van de intervallen Im+1,2k−1 en Im+1,2k . Definieer de functies vn = vm,k
door vn = +1 op de eerste helft van het interval Im,k , vn = −1 op de tweede helft van
het interval, vn = 0 elders. De drager van vm,k , d.w.z., de verzameling van punten x waar
vm,k (x) 6= 0, is dus Im,k . Definieer tenslotte de constante functie v0 = 1 op (0, 1].
(a) Laat zien dat voor gegeven r, de 2r functies v0 , v1 , . . . , v2r −1 allemaal constant zijn op
de intervallen Ir,j , j = 1, . . . , 2r , die een partitie vormen van (0, 1].
R1
(b) Laat zien dat 0 vm,k (x)vm0 ,k0 (x)dx = 0 als (m, k) 6= (m0 , k 0 ). Hint: laat zien dat twee
intervallen Im,k en Im0 ,k0 óf aan elkaar gelijk zijn, óf disjunkt zijn, óf is een ervan bevat in
de eerste of de tweede helft van de andere.
(c) Voor vaste r, vormen de elementen van L2 (0, 1) die constant zijn op de intervallen Ir,j ,
j = 1, . . . , 2r een lineaire deelruimte van L2 (0, 1). Noem deze deelruimte Cr . Wat is de
dimensie van deze deelruimte?
(d) Definier cn = kvn k2 (L2 norm) en un = vn /cn . Laat zien dat v0 , v1 , . . . , v2r −1 een
orthonormale basis is van de lineaire deelruimte Cr beschreven in (c).
R
(e) Stel f ∈ L2 (0, 1). Definier fr door fr (x) = 2r Ir,j f (y)dy op het interval Ir,j , 0 elders.
Laat P
zienr dat fr gelijk is aan de orthogonale projectie van f op Cr . Leidt hieruit af dat
−1
(uj |f ) uj .
fr = 2j=0
(f) Stel f ∈ C[0, 1]. Laat zien dat kf − fr k∞ → 0 voor r → ∞, waar k · k∞ het supremum
norm voorstelt.
(g) Wat is de afsluiting, ten opzichte van het L2 norm, van C[0, 1]?
P
(h) Laat zien dat voor elke f ∈ L2 (0, 1), nj=0 (uj |f ) uj → f in L2 zin voor n → ∞.
Opgave 4*.
Beschouw de ruimte H = L2 ([0, 1]2 ) van kwadratisch integreerbareRmeetbare
functies van
1 R1
2
[0, 1] naar R. Het is een Hilbert ruimte onder het inproduct (f |g) = x=0 y=0 f (x, y)g(x, y)dxdy.
R1
R1
Laat zien dat de operator A gedefinieerd door (Af )(x, y) = u=0 f (u, y)du+ v=0 f (x, v)dv−
R1 R1
f (u, v)dudv de orthogonale projectie is van H op de deelruimte van functies van
u=0 v=0
de vorm (x, y) 7→ h(x) + k(y). Hint: bekijk het inproduct van f − Af met functies van de
vorm (x, y) 7→ h(x) of (x, y) 7→ k(y)
2