college onderwerpen

CTB2210 : SPANNINGS – REK RELATIE
COLLEGE ONDERWERPEN
1
Spanningstensor
Spanningsdefinitie
Spanningstoestanden en voorbeelden
2
3
Rektensor
Relatieve verplaatsingen
Rekdefinities
Rektensor
Tensoreigenschappen
4
Introductie van tensoren
Transformatieregels
Cirkel van Mohr
Voorbeeld
Spannings-rek relatie
Cirkel van Mohr voor spanning en rek
Voorbeelden
5
Bezwijktoestanden
Spanningen in 3D
Von Mises en Tresca
Ir J.W. Welleman
jan 2017
bladnr 1
SPANNINGS – REK RELATIE
SPANNINGEN
σ zz
σxx
σyy
σyz
σzx
σxy
z
x
Ir J.W. Welleman
y
jan 2017
bladnr 2
REKKEN
εzz
εxx
ε yy
γ xy
γ zx
γyz
z
x
y
1  ∂ui ∂u j 
ε ij = 
+
 i , j = x, y , z
∂i 
2  ∂j
Ir J.W. Welleman
jan 2017
bladnr 3
SPANNINGEN EN REKKEN
ε xx

ε = ε yx
ε zx

σ xx σ xy σ xz 
ε xy ε xz 



ε yy ε yz  en σ = σ yx σ yy σ yz 
σ zx σ zy σ zz 
ε zy ε zz 


Verband tussen spanning en rek ?
4e orde tensor (9x9=81 onbekende elementen)
Ir J.W. Welleman
jan 2017
bladnr 4
SPANNINGEN EN REKKEN
ε xx 
ε 
 yy 
ε zz 
ε =   of
ε xy 
ε yz 
 
ε zx 
ε xx

ε = ε xy
ε xz

ε xy
ε yy
ε yz
6 REKKEN
Ir J.W. Welleman
σ xx 
σ 
 yy 
ε xz 
σ zz 

ε yz  σ =   of
σ xy 

ε zz 
σ yz 
 
σ zx 
σ xx σ xy σ xz 


σ = σ xy σ yy σ yz 
σ xz σ yz σ zz 


6 SPANNINGEN
jan 2017
bladnr 5
MATERIAALGEDRAG
6*6 = 36 onbekende elementen
matrix is symmetrisch >> 21 onbekende elementen
aeolotropie : het materiaal heeft in verschillende richtingen
verschillende eigenschappen
orthotropie : het materiaal heeft verschillende eigenschappen in
3 onderling loodrechte richtingen
anisotropie : aeolotropie en orthotropie
isotropie : het materiaal heeft in alle richtingen dezelfde
eigenschappen
homogeen : het materiaal heeft in ieder punt dezelfde
eigenschappen
Ir J.W. Welleman
jan 2017
bladnr 6
STANDAARD TREKPROEF
REK = Specifieke verlenging
d
l + ∆l
Lengte-richting :
εl =
∆l
l
Dwars-richting :
εd =
∆d
d
Insnoering :
∆d
d = const = ν
∆l
l
d ' = d − ∆d
dwarscontractie-coëfficiënt of de constante van Poisson
VERLENGING DOOR TREK IN EEN RICHTING VEROORZAAKT EEN
VERKORTING IN EEN RICHTING LOODRECHT DAAROP
Ir J.W. Welleman
jan 2017
bladnr 7
REK - SPANNINGS RELATIE
1
σ zz
Normaalrekken - normaalspanningen
σ yy
ε xx
y
x
z
=
ε yy = −
σ xx
ε zz
= −
σ xx
E
jan 2017
E
νσ xx
σ yy
E
E
νσ xx
E
ε xx 
1
  1
ε yy  = − ν
ε  E  − ν
 zz 

Ir J.W. Welleman
−
νσ yy
−
−
νσ zz
−
νσ zz
E
E
νσ yy
σ zz
E
E
−ν
1
−ν
− ν  σ xx 
 
− ν  . σ yy 
1  σ zz 
bladnr 8
REK - SPANNINGS RELATIE
2
Afschuifhoek - schuifspanning
σ yx
x
ε yx
σ xy
σ xy
γ xy = 2ε xy
σ xy = Gγ xy
ε xy
dus :
σ yx
y
2ε xy
Ir J.W. Welleman
jan 2017
1
= σ xy
G
bladnr 9
VERBAND TUSSEN E, G en ν
σ
x
x
xy
σ
σ
σ
x
y
σ
y
CIRKEL VAN MOHR
CONSTANTE
SCHUIFSPANNING OP
DE VLAKKEN ONDER 45
GRADEN
(0,σ )
RC
(− σ , 0)
(σ , 0)
(0,σ )
yx
y
DUS :
ZUIVERE AFSCHUIVING
Ir J.W. Welleman
jan 2017
bladnr 10
xx
yy
BIJBEHORENDE REKKEN
OORSPRONKELIJKE ASSENSTELSEL
( BUITENKANT VAN HET BLOK )
GEROTEERDE ASSENSTELSEL
( BLOKJE OP PURE AFSCHUIVING )
σ xx = σ
σ xy = 0
ε xx = 0
σ yy = −σ
σ yx = 0
ε yy = 0
dus :
ε xx
ε yy
ε xy
1
1 +ν
σ
= (σ xx − νσ yy ) =
E
E
1
1 +ν
σ
= (σ yy − νσ xx ) = −
E
E
=0
Ir J.W. Welleman
jan 2017
ε xy =
ε yx =
σ xy
2G
σ yx
2G
=
=
σ
2G
σ
2G
bladnr 11
REKCIRKEL
x
xy
REKCIRKEL VAN MOHR
 σ 
 0,

2
G


xx
yy
x
σ
1 +ν
σ =
E
2G
E
G=
2(1 + ν )
 1 +ν
σ , 0 

 E

y
 1 +ν
σ , 0 
−
 E

STRAAL VAN DE
CIRKEL IS UITERAARD
CONSTANT
 σ 
 0,

 2G 
yx
y
Ir J.W. Welleman
jan 2017
bladnr 12
AFSCHUIVING
σ ij = Gγ ij = G 2ε ij
E
G=
2(1 + ν )
met : i ≠ j
2(1 + ν )
⇒ 2ε ij =
σ ij
E
DUS :
0
0  σ xy 
2ε xy 
2(1 + ν )
 

 1

2(1 + ν )
0  σ yz 
2ε yz  =  0
2ε  E  0
σ 

0
2
(
1
+
)
ν
zx
  zx 



Ir J.W. Welleman
jan 2017
bladnr 13
REK – SPANNINGSRELATIE
3
ISOTROOP LINEAIR ELASTISCH MATERIAAL
( WET VAN HOOKE )
 ε xx 
1
ε 
−ν
 yy 

 ε zz  1 −ν

= 
2ε xy  E  0
2ε yz 
0



2ε zx 
 0
−ν
−ν
0
0
1
−ν
−ν
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2(1 + ν )
0
0
2(1 + ν )
0
0
 σ xx 
0  σ yy 
0  σ zz 
 
0  σ xy 
0  σ yz 
 
2(1 + ν ) σ zx 
0
FLEXIBILITEITSRELATIE
Ir J.W. Welleman
jan 2017
bladnr 14
REK – SPANNINGSRELATIE
4
ISOTROOP LINEAIR ELASTISCH MATERIAAL
( WET VAN HOOKE )
 1 −ν
 ν
σ xx 

σ 
 ν
 yy 

σ zz 
 0
E
 =

σ
+
ν
−
ν
(1
)(1
2
)
 xy 

σ yz 
 0
 

σ zx 

 0

ν
1 −ν
ν
ν
ν
1 −ν
0
0
0
0
0
0
1 − 2ν
2
0
0
0
0
0
1 − 2ν
2
0
0
0
0
positief voor
−1 < ν < 0,5
Ir J.W. Welleman
0
0 
0 
0 

0 


0 

1 − 2ν 

2 
 ε xx 
ε 
 yy 
 ε zz 


2
ε
 xy 
 2ε yz 


 2ε zx 
STIJFHEIDSRELATIE
jan 2017
bladnr 15
REK – SPANNINGSRELATIE
VLAKSPANNINGSTOESTAND (b.v. x-y vlak)
ε xx
ε yy
1
= (σ xx − νσ yy )
E
1
= (σ yy − νσ xx )
E
ε xy =
σ xy
σ xx
σ yy
5
( σ zz = 0 σ xz = 0 σ zy = 0 )
E
(ε xx + νε yy )
=
2
1 −ν
E
(ε yy + νε xx )
=
2
1 −ν
σ xy = 2Gε xy
2G
FLEXIBILITEIT
STIJFHEID
E
G=
2(1 + ν )
Ir J.W. Welleman
jan 2017
bladnr 16
REK – SPANNINGSRELATIE
VLAKSPANNINGSTOESTAND (b.v. x-y vlak)
5b
( σ zz = 0 σ xz = 0 σ zy = 0 )
flexibiliteit :
ε xx 
1
  1
ε yy  =  −ν
ε  E  0

 xy 
−ν
1
0
0  σ xx 
 

0  σ yy 
1 + ν  σ xy 
stijfheid :
σ xx 
E
 
σ yy  =
2
1
ν
−
σ 
 xy 
Ir J.W. Welleman
0  ε xx 
1 ν
 
ν 1

0
ε


 yy 
 0 0 (1 −ν )  ε xy 
jan 2017
bladnr 17
HOOFDREKRICHTING VERSUS HOOFDSPANNINGSRICHTING
tan 2α stress =
tan 2α strain =
1
2
1
2
(σ
(ε
σ xy
xx
− σ yy )
ε yy
ε xy
xx
1
σ xx −νσ yy )
(
E
1
= (σ yy −νσ xx )
E
ε xx =
ε xy =
− ε yy )
σ xy
2G
σ xy
tan 2α strain
1
E
2
G
=
=
×
×
1
2G 1 +ν
2 E ( (1 + ν )σ xx − (1 + ν )σ yy )
2(1 + ν )
E
×
×
2E
1 +ν
Ir J.W. Welleman
jan 2017
σ xy
1
2
(σ
xx
− σ yy )
=
σ xy
1
2
(σ
σ xy
1
2
(σ
E
2(1 + ν )
G=
xx
− σ yy )
xx
− σ yy )
=
= tan 2α stress
bladnr 18
VOORBEELD
(zie ook rektensor vorig college)
x
C
y
1m
Gegeven:
u x = 0, 2 × 10 −4 + 0,3 × 10−4 x
D
u y = 2 × 10−4 x + 1,8 × 10 −4 y
materiaal : E = 50000 N/mm 2 ; ν = 0, 25
y-as
3m
Gevraagd :
x
• Spanningen op alle zijden
y
A
1m
Ir J.W. Welleman
B
x-as
2m
jan 2017
bladnr 19
VAN REK NAAR SPANNING
Rekken
(ε
(ε
xx
; ε xy
yy ; ε yx
Spanning
(σ
(σ
) = (0,3 ×1
) = (1,8 ×1
−4
−4
[N/mm2]
xx
;σ xy ) = (4; 4 )
yy
;σ yx ) = (10; 4 )
; 1,0 × 10
)
)
−4
; 1,0 × 10− 4
σ yy
σ xy
Ir J.W. Welleman
jan 2017
E
(ε xx + νε yy )
2
1 −ν
E
(ε yy + νε xx )
=
2
1 −ν
E
=
ε xy
1 +ν
σ xx =
bladnr 20
(σ xx ; σ xy )
σ yx
CIRKEL VAN MOHR (SPANNING)
(σ yy ;σ yx ) = (10;4)
1,0 N/mm 2
1
y
2
// y-as
x
m
σ1
σ2
σ xx
σ yy
r
// x-as
RC
(σ xx ;σ xy ) = ( 4; 4)
σ xy
Ir J.W. Welleman
α
(σ xx ;σ xy )
jan 2017
bladnr 21
VERGELIJK REKCIRKEL MET SPANNINGSCIRKEL
VOOR HOMOGEEN ISOTROOP MATERIAAL GELDT :
• HOOFDRICHTINGEN ZIJN GELIJK (zie bewijs blz 48)
• DUS PLAATS VAN HET R.C. IS IN BEIDE CIRKELS GELIJK
ALTERNATIEVE BEPALING SPANNINGSCIRKEL
• BEPAAL HOOFDSPANNINGEN UIT HOOFDREKKEN
• TEKEN SPANNINGSCIRKEL
• NEEM HOOFDRICHTINGEN (EN R.C.) UIT REKCIRKEL
OVER
Ir J.W. Welleman
jan 2017
bladnr 22
2
SPANNINGEN OP DE VLAKKEN [ N/mm ]
7
5
1m
C
D
4
4
• ZELF KRACHTEN EN
MOMENTENEVENWICHT
CONTROLEREN !
3m
7
5
A
B
4
10
1m
Ir J.W. Welleman
jan 2017
2m
bladnr 23