vectoren - TU Delft

VECTOREN en
EVENWICHT
Hoofdstuk 1, 2 en 3
Toegepaste Mechanica
deel 1
Hans Welleman
1
ONDERWERPEN
Algemene begrippen
 Hfst 1 : Werken met vectoren
 Hfst 2 : Evenwicht van een puntdeeltje
 Hfst 3 : Evenwicht van een star lichaam

Hans Welleman
2
ALGEMENE INDELING
Scalars
 Vectoren
 Tensoren

Hans Welleman
getal, alleen een grootte
grootte en een richting
grootte, richting en
transformatieregels
3
VECTOREN
Verplaatsing
 Snelheid
 Versnelling
 Kracht

a
1. Pijl geeft de richting
aan
2. Lengte is een maat
voor de grootte
Hans Welleman
4
ASSENSTELSEL

Orthonormaal

Rechtsdraaiend
- orthogonaal
- genormeerd
y
jz
- van x naar y
jy
- van z naar x
Hans Welleman
x
jx
- van y naar z
z
5
TYPEN VECTOREN
Glijdende
 Gebonden
- werklijn bekend
- aangrijpingspunt en
werklijn bekend
 Vrije vectoren

glijdende vector
gebonden vector
Hans Welleman
6
TEKENEN VAN VECTOREN
Bij voorkeur buiten het lichaam
 Bij voorkeur met als aangrijpingspunt de
punt van de vector

Hans Welleman
7
GEBONDEN OF GLIJDEND ?
Star (onvervormbaar lichaam)
 Vervormbaar lichaam

rode oortjes
(trek)
Hans Welleman
hoofdpijn
(druk)
Bron : http://www.photoshop-tutorials.nl/author/joey/
8
NOTATIE

a
Vector notatie
a

Visuele notatie
getalsgrootte (lengte) is a
FOUT
-3 kN
Hans Welleman
3 kN
9
SAMENSTELLEN VAN
VECTOREN

Parallellogramregel
c
b
a
a + b
Hans Welleman
= b +a
= c
commutatieve eigenschap van de optelling
10
OOK GELDIG BIJ ROTEREN?
Hans Welleman
11
HERHAALDE P-REGEL
a+b+c
a+b+c
c
c
b
a+b
a
b
a
krachtenveelhoek
Hans Welleman
12
KRACHTENVEELHOEK
b
a+b+c
a+b+c
c
c
b
a
a
Hans Welleman
13
VECTOR : ANALYTISCH
2
2
lengte
F

F

F

F
x
y  17
 Definieer
een
assenstelsel
 Fx   4 
F   
Fy een
 Vector
heeft
componenten,
lengte
F
1
 14
 y    richting tan  
Fx
en een richting
y
Fy=1
Hans Welleman
F
α
Fx=4
x
14
OPTELLEN : ANALYTISCH
2
2
R  Rx  Ry  34
Rx  ax  bx  5
3

a

b

3
RDefinieer
een
assenstelsel
y
y
y
tan    

5
Sommeer de componenten
 31
o
y
3
2
R
b
a
1
1
Hans Welleman
4 5
x
15
ONTBINDEN VAN EEN
VECTOR : GRAFISCH

Langs twee gegeven richtingen a en b
– Grafisch ( lengten F, F b en F a )
b
Fb
opmeten levert antwoord
F
Hans Welleman
Fa
a
16
ONTBINDEN VAN EEN
VECTOR : ANALYTISCH

Langs twee gegeven richtingen a en b
– Analytisch
2
b
1
1
y
3
1
22
4
x
a
Hans Welleman
17
Voorbeeld op bord
Doe mee met eigen aantekeningen
 Bestudeer volgende 2 sheets thuis als
uitleg voor het oplossen van twee
vergelijkingen met twee onbekenden en
de grafische interpretatie van de
oplossing
 Download en bestudeer document
“Vector in 60 min” en oefen met COZ

Hans Welleman
18
INTERMEZZO VOOR THUIS ….
STELSEL VERGELIJKINGEN
x y 3
(1)
x  4 y  0 (2)
2 onbekenden
2 vergelijkingen
oplosbaar ?
xy (2)y volgt:
 3 x (1)4 y (invullen
4)
uit
in (1) levert:
x y 3
(4

x4
x y) 4 yy  30 
(2)y  1(x 41)
y  0 Oplosbaar (snijpunt)
1
3x  0 y  12 
0
alleen als de lijnen
niet evenwijdig zijn.
x4 
y 1
x
4
Hans Welleman
19
RUIMTELIJK ONTBINDEN
Gegeven:
kracht in AC = 35 kN
Gevraagd :
De componenten van
de kracht(vector) op
het funderingsblok
t.g.v.de kracht in tui
AC ?
Hans Welleman
20
LENGTE VAN TUI AC ?
A

a 2  b2

2
 c2  a 2  b2  c 2
c
C
a 2  b2
z
Hans Welleman
b
a
x
21
Hoek tussen twee vectoren
INPRODUCT (scalair product)
cos(a, b)  cos( ) 
a b
a b
ax2  a y2 bx2  by2
 4 1
  
1
2
4  1  1 2
cos( )      

17 5
17 5
y
2

ax bx  a y by
6
   49, 4o
85
Bijzondere eigenschap :
loodrechte richtingen, inproduct is nul
b
α
1
1
Hans Welleman
werkt ook in 3D …
a
4
(let op: in 3D heb je 3 componenten)
x
22
Wat moet je kunnen met
vectoren?
Optellen (grafisch en analytisch)
 Ontbinden langs gegeven lijnen
(grafisch en analytisch)
 Lengte en richting van vector
 Hoek tussen twee vectoren (inproduct)

Werken met krachten vereist vaardig zijn
met vectoren!
Hans Welleman
23
HFST 2 : EVENWICHT VAN
EEN PUNTDEELTJE

Analytisch
Praktische notatie
F  –0 vectorvergelijking

of
algebraïsche vergelijking
nul stellen
Vergelijkingen
voor het
F

0

krachtenevenwicht
Grafisch
  F – 0gesloten krachtenveeloek
2e wet van Newton : Som van de krachten
Formele notatie
F (geen
 0 beweging)
is nul
1.
x
y
2.
Hans Welleman
z
24
Puntdeeltje, wat is dat ?
GRAFISCH EVENWICHT
R
puntdeeltje
SIR ISAAC:
SOM VAN DE
KRACHTEN IS NUL
E
Hans Welleman
KRACHTEN HEFFEN
ELKAAR NOOIT OP MAAR
MAKEN EVENWICHT.
25
MEERDERE
KRACHTEN
c
c
b
c
R
Evenwicht
Evenwicht ? !
a
b
b
E
E
a
GESLOTEN
a
KRACHTENVEELHOEK
E
Hans Welleman
26
VOORBEELD boek blz 36
Gegeven:
massa = 880 kg
Gevraagd:
y
x
Hans Welleman
De krachten F1
en F2.
27
SINUSREGEL
Hoek tussen vectoren nodig, gebruik b.v. inproduct!
Hans Welleman
28
HFST 3 : STATICA VAN EEN
STAR LICHAAM
Deeltje met niet verwaarloosbare
afmetingen.
 Krachten op het deeltje hoeven nu niet
hetzelfde aangrijpingspunt te hebben.

Hans Welleman
29
STAR LICHAAM
Translatie als mogelijke beweging
 Rotatie als mogelijke beweging

MC
Hans Welleman
MC
30
KRACHTEN OP EEN
LICHAAM
MC
MC
MC
Hans Welleman
31
NIET-EVENWIJDIGE
KRACHTEN

Glijdende krachten (lees punt 3 blz 50)
Hans Welleman
32
EVENWIJDIGE KRACHTEN
Dummy kracht
F1
F2
Hans Welleman
R
33
BIJZONDER GEVAL
F
a
F
Probeer eens met
een dummy kracht ?
Dit is een koppel : T
Moment van het
koppel :
T = Fa
Hans Welleman
34
KOPPEL
Grootte (moment van het koppel)
 Draairichting

T=Fa
F
a
=
F
Hans Welleman
35
EIGENSCHAPPEN KOPPELS

Koppel mag je verplaatsen.

Koppels mag je optellen (blz 56).

Koppels mag je vervangen door een
ander evenwijdig krachtenpaar en
loodrechte afstand mits het moment van
het koppel gelijk blijft aan T.
Hans Welleman
36