cos α

IBB
ribPWI
Toegepaste wiskunde - Goniometrie
Lesweek 6
Opleiding: Bouwkunde / Civiele
techniek Propadeuse, kernprogramma
2e kwartaal
1
Goniometrie

We kennen twee tekendriehoeken, de halve gelijkzijdige
driehoek en het halve vierkant.

De verhoudingen van de zijden is te berekenen met de stelling
van pythagoras en blijkt te zijn:

Voor de halve gelijkzijdige driehoek
Voor het halve vierkant


2
1 : √3 : 2
1 : 1 : √2
In rechthoekige driehoeken waarin de hoeken van 30°, 60° en
45° voorkomen, zullen deze verhoudingen bestaan.
Rechthoekige driehoeken
3
Verhoudingen van zijden

In elke driehoekige rechthoek is het mogelijk om met de
verhoudingen van de zijden, de hoeken te berekenen.

Men noemt dit goniometrie of hoekmeting.

Noemt men de zijden van een rechthoekige driehoek a, b en c
dan zijn er 6 verschillende verhoudingen mogelijk.



4
Sinus α = b / a
Cosinus α = c / a
Tangens α = b / c
Cosecans α = a / b
Secans α = a / c
Cotangens α = c / b
Sinus
C
Overstaande rechtshoekzijde
Sinus β =
Schuine zijde
a
b
Sin β =
a
β
A
5
c
b
B
Cosinus
C
Aanliggende rechtshoekzijde
Cosinus β =
Schuine zijde
a
b
Cos β =
a
β
A
6
c
c
B
Cosinus
C
Overstaande rechtshoekzijde
Tangens β =
Aanliggende rechtshoekzijde
a
b
Tan β =
c
β
A
7
c
b
B
Verband tussen cos, sin en tan
C
α = 90°
γ
► sinβ = b / a = 4/5 
β = 53,13°
► cosγ = b / a = 4/5 
5
4
γ = 36,87°
sin 53,13° = cos 36,87°
α
A
8
β
3
► sinβ = cos(90° - 53,13°) = 4/5
B
sinβ = cos(90° - β)
Verband tussen cos, sin en tan
C
α = 90°
γ
► cosβ = c / a = 3/5 
β = 53,13°
► sinγ = c / a = 3/5 
5
4
γ = 36,87°
cos 53,13° = sin 36,87°
α
A
9
β
3
► cosβ = sin(90° - 53,13°) = 3/5
B
cosβ = sin(90° - β)
Verband tussen cos, sin en tan
sin  b c b a b
 :  x   tan 
cos  a a a c c
10
Eenheidscircel
y-as
P (x,y)
1
O
11
y
x
x-as
Goniometrische verhoudingen in de
eenheidscircel





12
Elke hoek wordt ingesloten door twee benen,
het vaste – en het draaibeen
Elke hoek kan met zijn hoekpunt in de
oorsprong van het assenstelsel geplaatst
worden en met het vaste been langs de x-as
De hoek waarover gedraaid wordt heet α, deze
wordt uitgedrukt in graden.
De positieve richting van de draaihoek is tegen
de wijzers van de klok in
De grootte van de hoek wordt volledig bepaald
door de verhouding van de coordinaten van
een punt op de draaibeen (x, p).
y-as
P (x,y)
1
O
y
x
x-as
Goniometrische verhoudingen in de
eenheidscircel
•
In de eenheidscircel geldt voor de hoeken
y-as
van 0° tot 360°;
•
•
•
sin α = y
cos α = x
tan α = y / x
P (x,y)
1
O
x2  y2  1
Of
cos2 α + sin2 α = 1
13
Pythagoras
y
x
x-as
Goniometrische verhoudingen in de
eenheidscircel
•
Voor een hoek α in het tweede kwadrant
geldt:
•
sin α = sin ( 180° - α )
cos α = - cos ( 180° - α )
tan α = - tan (180° - α )
•
•
y-as
90
120
60
135
45
30
150
14
180
0
-1
-0,87 -0,71 -0,5
O
0,5
0,71 0,87 1
x-as
Radialen
y-as
90
1/2
1,57
120
2/3
150
5/6
60
2,09
1/3
1,05
30
2,62
1/6
0,52
180
0
3,14
2
O
1 1/6
1 5/6
3,66
210
1 1/3
1 2/3
4,18
5,23
300
240
15
1 1/2
270
4,71
x-as
0
6,28
5,76
330
360
Radialen


16
De omtrek van de eenheidscircel;
= 2 π r = 2 π 1 = 2 π = 6,28

Zo zal op elk punt van de circelomtrek een reel getal tussen 0
en 6,28 zijn afgebeeld.

Na een periode van 2π zal het zelfde punt weer worden bereikt,
we noemen dit een periodieke functie met een periode van 2π.

Een radiaal is de grootte van een circelboog waarvan de lengte
gelijk is aan de straal van de circel.
Radialen
17

In eenheidscircel bevat 2π radialen = 6,28 radialen.

.Éen radiaal is gelijk aan 360° / 2π = 57,3° = 57° 18’

Ook de middelpuntshoek α die op de boog staat van
één radiaal, noemen we een radiaal.

De radiaal kunnen we dus beschouwen als een
maateenheid voor het meten van circelbogen en
hoeken.
Radialen
Graden  Radialen
y-as
90°/360° * 2π = 1,57 →
1,57 / π = 0,5 →
1,57 = 0,5π
90
1/2
1,57
120
2/3
150
5/6
60
2,09
1/3
1,05
30
2,62
1/6
0,52
rad = α / 360 * 2π
180
0
3,14
2
O
1 1/6
1 5/6
3,66
210
1 1/3
1 2/3
4,18
1 1/2
270
18
4,71
6,28
5,76
330
360
Radialen  Graden
1 1/2π = 4,71 →
4,71 / 2π * 360° = 270°
5,23
300
240
x-as
0
α = rad / 2π * 360°
Radialen - sinus
Sin 1/6π = sin 0,52 = 0,5
(π/6 / 2π * 360° = 30° → sin 30° = 0,5)
y-as
Zo ook:
1
Sin 1/2π = sin 1,57 = 1
Sin π
= sin 3,14 = 0
Sin 1 1/6π = sin 3,66 = - 0,5
Sin 1 1/2π = sin 4,71 = -1
Sin 2π
= sin 6,28 = 0
19
Sinα = y
1/2
0,5
1/6
0
2
-0,5
1 1/6
1 1/2
-1
x-as
Radialen - cosinus
Cos 1/3π = cos π/3 =
cos 1,05 = cos 60° = 0,5
cosα = x
y-as
1/2
Zo ook:
Cos 1/2π = cos 1,57 = cos 90° = 0
Cos π
= cos 3,14 = cos 180° = -1
Cos 1 1/3π = cos 4,18 = cos 240° = - 0,5
Cos 1 1/2π = cos 4,71 = cos 270° = 0
Cos 2π
= cos 6,28 = cos 360° = 1
20
1/3
-1
1
0
-0,5
0,5
1 1/3
1 1/2
2
x-as
360
Tabel van de functie f(x) = sinx
0
1/6
π
1/3
π
1/2
π
2/3
π
5/6
π
π
1
1/6
π
1
1/3
π
1
1/2
π
1
2/3
π
1
5/6
π
2π
0
0,5
0,9
1
0,9
0,5
0
-0,5
-0,9
-1
-0,9
-0,5
0
x
f(x)
f(x) = sin x
y-as
1
1/2
1
0,5
0,5
0
0
-0,5-0,5
1 1/6
21
1 1/2
-1
-1
1/6
2
1/6
x-as
1/3
1/2
2/3
5/6
1 1/6
1 1/3
1 1/2
1 2/3
1 5/6
2
Tabel van de functie f(x) = cosx
0
1/6π
1/3π
1/2π
2/3π
5/6π
π
1
1/6π
1
1/3π
1
1/2π
1
2/3π
1
5/6π
2π
1
0,9
0,5
0
-0,5
-0,9
-1
-0,9
-0,5
0
0,5
0,9
1
x
f(x)
f(x) = cos x
1
0,5
0
-0,5
22
-1
1/6
1/3
1/2
2/3
5/6
1 1/6
1 1/3
1 1/2
1 2/3
1 5/6
2
Onderscheidt tussen de cos- en sinfunctie
23

De cosinusfunctie ijlt dus een ½ π (of een
kwart periode ) na.

(Men kan de cosinus beschouwen als een
sinusfunctie waarvan de grafiek een ½ π
(naar links) verschoven is.)
Sinusregel
Sin α = h / b → h = b sin α
C
Sin β = h / a → h = a sin β
b
h
a
a sin β = b sin α
a : sin α = b : sin β
A
c
a
b
c


sin  sin  sin 
24
B
De verhoudingen tussen
de lengte van een zijde en
de sinus van de
tegenoverliggende hoek
zijn aan elkaar gelijk.
Oppervlakte van een driehoek
C
b
A
sin α = h / b
h
h = b sin α
a
c
B
Voor de oppervlakte van ∆ ABC vinden we nu door substitutie van h in:
½ * basis * hoogte = ½ * c*h
ABC = ½ b c sin α
25
Oppervlakte van een driehoek

Uit de gevonden formule kan men door
cyclische verwisseling de twee anderen
afleiden.

ABC = ½ a c sin β
ABC = ½ a b sin γ

26
Oppervlakte van een driehoek
De oppervlakte van een driehoek is
gelijk aan het halve product van twee
zijden , vermenigvuldigd met de
sinus van de ingesloten hoek.
27
Cosinusregel
C
b
b2 = h2 + (c – p)2
a2 = h2 + p2
a
h
b2 – a2 = (c – p)2 – p2
b2 = a2 + c2 – 2 c p
p = a cos β
p
A
c
B
regel 2 in regel 1
b2 = a2 + c2 – 2 a c cos β
28
→
regel 1
regel 2
Cosinusregel
Het kwadraat van een zijde is gelijk aan de som van
het kwadraat van de andere zijden verminderd met
het dubbele product van de andere zijden en de
cosinus van hun ingesloten hoek.
Zo ook:
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
c2 = a2 + b2 – 2 a b cos γ
29
EINDE
Docent: M.J.Roos
WWW.HRO.MROOS.COM
30