Financiële economie

Financiële economie∗
Luc Hens
7 maart 2016
Opbrengsvoet en risico van een aandeel
Financiële economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet, en de standaardafwijking (s) van de opbrengstvoet als een maatstaf van het risico (Mankiw and Taylor, 2014, p. 545). De standaardafwijking meet hoe ver een variabele
(in dit geval: de opbrengstvoet) typisch afwijkt van de verwachte waarde.
Historische opbrengstvoeten kan je zelf berekenen aan de hand van financiële
informatie op een webstek als finance.yahoo.com. Als je bijvoorbeeld de jaarlijkse opbrengstvoet van Apple (ticker : AAPL) wil kennen, geef dan Apple of
AAPL in in het “Get quotes”-zoekvenster. Klik Klik in het “More on AAPL”menu (links) op “Historical Prices.” Kies de gewenste start- en einddatum en
frequentie (dagelijks). Kies “Download to Spreadsheet” om de gegevens in een
rekenbladbestand te bewaren. Je kan dit bestand in een rekenbladprogramma
of statistisch programma openen en bewerken. Gebruik de tijdreeks “Adjusted
Close” om het jaarlijkse opbrengstpercentage te bereken. Als je bijvoorbeeld
de (nominale) opbrengstvoet over 1985 wil berekenen, neem je de slotkoers op
de laatste beursdag van 1984 (USD 0,45) en vergelijk je met de slotkoers op de
laatste beursdag van 1985 (USD 0,34). De opbrengstvoet over 1985 was dus:
USD 0,34 − USD 0,45
≈ −0,2444 ≈ −24,44%
USD 0,45
Analoog was de opbrengstvoet over 1986 +82,34% (ga na). Je ziet meteen dat
de opbrengstvoet van een aandeel zeer sterk kan variëren van jaar tot jaar.
Gebruik een rekenmachine of een rekenbladprogramma om tabel 1 te vervolledigen tot 2015.
Wat is nu—op basis van de historische gegevens—de verwachte nominale
opbrengstvoet van het Apple-aandeel? Een vaak gebruikte maatstaf is het rekenkundig gemiddelde van de historische opbrengstvoeten. In het geval van
Apple is dat voor 1985–2016 37% (ga na met een rekenmachine, een rekenbladprogramma, of een statistisch programma zoals SPSS of R). De mate waarin
de opbrengstvoet afwijkt van dit gemiddelde (de standaardafwijking) is een
maatstaf voor het risico. Voor het Apple-aandeel is de standaardafwijking 73
procentpunten (ga na met een rekenmachine, een rekenbladprogramma, of een
statistisch programma zoals SPSS of R). Afbeelding 1 toont de verdeling van
∗ Bijlage
bij hoofdstuk 25 in Mankiw and Taylor (2014)
1
Tabel 1: Beurskoers en jaarlijkse opbrengstvoet van het Apple-aandeel
Jaar Slotkoers Opbrengstvoet
(USD)
(%)
1984
0,45
—
1985
0,34
−24,44
1986
0,62
+82,34
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2
12
10
Frequentie (%)
8
6
4
2
0
-100
-50
0
50
100
Jaarlijkse opbrengstvoet
van het Apple-aandeel (%)
150
200
250
Figuur 1: Histogram van de jaarlijkse opbrengstvoeten van het Apple-aandeel,
1985-2016
het jaarlijkse opbrengstpercentage in een frequentiehistogram. De verticale as
toont je de absolute frequentie (het aantal jaren van de 32 jaren tussen 1985 en
2016 dat de opbrengstvoet in het interval van het balkje op de horizontale as
valt).
Diversificatie van ideosyncratisch risico
De volgende formules—die je waarschijnlijk kent uit je cursus statistiek—zijn
nuttig in wat volgt (E staat voor verwachte waarde; var voor variantie; s voor
standaardafwijking, en cov voor covariantie, een maatstaf van de mate waarin
x en y met elkaar gecorreleerd zijn):
E(ax + by)
var(ax + by)
sx
r
= aE(x) + bE(y)
2
2
= a var(x) + b var(y) + 2ab · cov(x,y)
p
var(x)
=
cov(x,y)
=
sx · sy
(1)
(2)
(3)
(4)
(Je hoeft voor deze cursus deze formules uiteraard niet van buiten te kennen;
je moet ze wel kunnen toepassen.) Zoek in je handboek statistiek op hoe je de
variantie van een variabele en de covariantie tussen twee variabelen berekent.
3
ax + by is de opbrengstvoet van je portefeuille, met a en b de gewichten van de
twee financiële instrumenten.
Kan je het risico verlagen door te diversifiëren? Verkleint het risico steeds
als je diversifieert? Laten we wat je geleerd hebt in je cursus statistiek toepassen
op het voorbeeld van Mankiw and Taylor (2014, pp. 544-546), zodat je begrijpt
waar figuur 25.2 (Mankiw and Taylor, 2014, p. 545) vandaan komt.
Stel dat je twee aandelen hebt, met opbrengstvoeten x en y. De standaardafwijking van de opbrengstvoet is een maatstaf voor het risico. Stel dat de
opbrengstvoet van beide aandelen een standaardafwijking heeft van 49 procentpunten. Een portefeuille die bestaat uit één van de twee aandelen heeft dus een
standaardafwijking van 49 procentpunten.
a. Stel dat uit je historische gegevens over de opbrengstvoeten van beide
aandelen blijkt dat y doorgaans boven zijn gemiddelde ligt in jaren dat ook
x boven zijn gemiddelde ligt, en y doorgaans onder zijn gemiddelde ligt in
jaren dat ook x onder zijn gemiddelde ligt. Er is dus een positief verband
of een positieve covariantie tussen x en y. Stel dat de covariantie tussen
x en y gelijk is aan +0,238, wat (bij de gegeven standaardafwijkingen van
49 procentpunten) een correlatiecoëfficiënt van +0,99 impliceert:
r=
0,238
cov(x,y)
≈ 0,99
=
sx · sy
0,49 × 0,49
Er is dus een bijna volmaakt positief lineair verband tussen de opbrengstvoeten x en y. Bereken het risico op een portefeuille die voor de helft
bestaat uit aandelen x en voor de helft uit aandelen y.
b. Stel dat uit historische gegevens over de opbrengstvoeten van beide aandelen blijkt dat y doorgaans boven zijn gemiddelde ligt in jaren dat x
onder zijn gemiddelde ligt, en y doorgaans onder zijn gemiddelde ligt in
jaren dat x boven zijn gemiddelde ligt. Er is dus een negatief verband of
een negatieve covariantie tussen x en y. Stel dat de covariantie tussen x
en y −0,12 bedraagt. Hoeveel bedraagt de correlatiecoëfficiënt tussen de
opbrengstvoeten? Bereken het risico op een portefeuille die bestaat uit
voor de helft aandelen x en voor de helft aandelen y.
c. Vergelijk a en b. Wat besluit je? Kan je het risico verlagen door te
diversifiëren? Verkleint het risico steeds als je diversifieert?
De afweging tussen risico en opbrengst
Figuur 25.3 (Mankiw and Taylor, 2014, p. 546) toont de afweging tussen risico en opbrengst voor een portefeuille bestaande uit twee types van effecten:
een gediversifieerde groep van aandelen, waarvan de gezamelijk jaarlijkse opbrengstvoet (x) gemiddeld 8% is, met een standaardafwijking 20 procent; en
een risicoloze overheidsobligatie met een vaste jaarlijkse opbrengstvoet (y) van
3% (de rentevoet) en een standaardafwijking 0 procent. De standaardafwijking
is een maatstaf voor het risico. Reken zelf de gemiddelde opbrengstvoet en het
risico na van de vijf getoonde portefeuilles (0% aandelen, 25% aandelen, 50%
4
aandelen, 75% aandelen, 100% aandelen). In dit geval is cov(x,y) = 0. Opmerking: Afbeelding 25.3 gebruikt opbrengstvoeten van 3,1% in plaats van 3%
(zoals in de tekst), en 8,3% in plaats van 8%. Gebruik 3% en 8%.
De waarde van een aandeel
De waarde van een aandeel is de actuele waarde van de toekomstige winst die
het aandeel oplevert (Mankiw and Taylor, 2014, p. 549). In maart 2016 bedroeg
de winst per Apple-aandeel (earnings per share, EPS) over de voorgaande 12
maanden $ 9,41. Je vindt gegevens over aandelen (zoals de earnings per share en
de beurskoers) op www.google.com/finance; geef in het zoekvenster de ticker
van het Apple-aandeel (AAPL) in.
Veronderstel dat de volgende 20 jaar de winst per Apple-aandeel (in prijzen
van vandaag) telkens $ 9,41 zal zijn, en $ 0 daarna. Veronderstel ook dat de reële
rentevoet gelijk zal zijn aan 2% (dat was ongeveer het gemiddelde van de Amerikaanse reële rentevoet tussen 1984 en 2015). Wat is onder deze aannames de
waarde van het Apple-aandeel? (Gebruik een rekenmachine of een rekenbladprogramma voor je berekeningen.) Vergelijk de berekende waarde met de huidige
beurskoers van het Apple-aandeel. Is de beurskoers van het Apple-aandeel overof ondergewaardeerd op basis van de gemaakte aannames?
Referenties
Mankiw, N. G. and Taylor, M. P. (2014). Economics. Cengage Learning, Andover, 3rd edition.
5