Financiële economie

Financiële economie∗
Opbrengsvoet en risico van een aandeel
Financiële economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet, en de standaardafwijking (s) van de opbrengstvoet als een maatstaf van het risico (Mankiw and
Taylor, 2011, p. 579). De standaardafwijking meet hoe ver de opbrengstvoet
typisch afwijkt van de verwachte waarde.
Historische opbrengstvoeten kan je zelf berekenen aan de hand van financiële
informatie op een webstek als finance.yahoo.com. Als je bijvoorbeeld de jaarlijkse opbrengstvoet van Apple (code: AAPL) wil kennen, geef dan Apple of
AAPL in in het “Get quotes”-zoekvenster. Klik in het “More on AAPL”-menu
(links) op “Historical prices.” Kies de gewenste start- en einddatum en frequentie (dagelijks). Kies “Download to Spreadsheet” om de gegevens in een
rekenbladbestand te bewaren. Je kan dit bestand in een rekenbladprogramma
of statistisch programma openen en bewerken. Gebruik de tijdreeks “Adjusted
Close” om het jaarlijkse opbrengstpercentage te bereken. Als je bijvoorbeeld de
opbrengstvoet over 1985 wil berekenen, neem je openingskoers voor de eerste
beursdag van 1985 (dat is uiteraard de slotkoers op de laatste beursdag van
1984) (USD 3,27) en vergelijk je met de slotkoers op de laatste beursdag van
1985 (USD 2.47). De opbrengstvoet over 1985 was dus:
USD 2,47 − USD 3,27
≈ −0,2446 ≈ −24,46%
USD 3,27
Analoog was de opbrengstvoet over 1986 +84,21% (ga na!). Je ziet meteen dat
de opbrengstvoet van een aandeel zeer sterk kan variëren van jaar tot jaar.
Gebruik een rekenmachine of een rekenbladprogramma om tabel 1 te vervolledigen tot 2012.
Wat is nu—op basis van de historische gegevens—de verwachte opbrengstvoet van het Apple-aandeel? Een vaak gebruikte maatstaf is het rekenkundig
gemiddelde van de historische opbrengstvoeten. In het geval van Apple is dat
voor 1985-2013 40% (ga na met een rekenmachine, een rekenbladprogramma, of
een statistisch programma zoals SPSS). De mate waarin de opbrengstvoet afwijkt van dit gemiddelde (de standaardafwijking) is een maatstaf voor het risico.
Voor het Apple-aandeel is de standaardafwijking 77 procentpunten (ga na met
een rekenmachine, een rekenbladprogramma, of een statistisch programma zoals
SPSS). Afbeelding 1 toont de verdeling van het jaarlijkse opbrengstpercentage
∗ Handreiking bij hoofdstuk 27 in Mankiw and Taylor (2011). Bijgewerkt op 6 februari
2014.
1
Tabel 1: Jaarlijkse opbrengstvoet van het Apple-aandeel
Jaar Openingskoers Slotkoers Opbrengstvoet
(USD)
(USD)
(%)
1985
3,27
2,47
−24,26
1986
2,47
4,55
+84,21
1987
...
...
...
1988
...
...
...
1989
...
...
...
1990
...
...
...
1991
...
...
...
1992
...
...
...
1993
...
...
...
1994
...
...
...
1995
...
...
...
1996
...
...
...
1997
...
...
...
1998
...
...
...
1999
...
...
...
2000
...
...
...
2001
...
...
...
2002
...
...
...
2003
...
...
...
2004
...
...
...
2005
...
...
...
2006
...
...
...
2007
...
...
...
2008
...
...
...
2009
...
...
...
2010
...
...
...
2011
...
...
...
2012
...
...
...
2013
...
...
...
in een frequentiehistogram. De verticale as toont je de absolute frequentie (het
aantal jaren van de 28 jaren tussen 1985 en 2012 dat de opbrengstvoet in het
interval op de horizontale as valt).
De diversificatie van ideosyncratisch risico
De volgende formules—die je waarschijnlijk kent uit je cursus statistiek—zijn
nuttig in wat volgt:
E(ax + by)
var(ax + by)
sx
r
= aE(x) + bE(y)
2
2
= a var(x) + b var(y) + 2ab · cov(x,y)
p
=
var(x)
cov(x,y)
=
sx · sy )
2
(1)
(2)
(3)
(4)
10
8
Frequency
6
4
2
0
-100
-50
0
50
100
Jaarlijkse opbrengstvoet
van het Apple-aandeel (%)
150
200
250
Figuur 1: Histogram van de jaarlijkse opbrengstvoeten van het Apple-aandeel,
1985-2012
E staat voor verwachte waarde (of gemiddelde), var voor variantie, s voor standaardafwijking, en cov voor covariantie (een maatstaf van de mate waarin x en
y met elkaar gecorreleerd zijn). Zoek in je handboek statistiek op hoe je de
variantie van een variabele en de covariantie tussen twee variabelen berekent.
ax + by is de opbrengstvoet van je portefeuille, met a en b de gewichten van de
twee financiële instrumenten.
Kan je het risico verlagen door te diversifiëren? Verkleint het risico steeds
als je diversifieert? Laten we wat je geleerd hebt in je cursus statistiek toepassen
op het voorbeeld van Mankiw and Taylor (2011, pp. 578-579), zodat je begrijpt
waar afbeelding 27.2 (Mankiw and Taylor, 2011, p. 579) vandaan komt.
Stel dat je twee aandelen hebt, met opbrengstvoeten x en y. De standaardafwijking van de opbrengstvoet is een maatstaf voor het risico. Stel dat de
opbrengstvoet van beide aandelen een standaardafwijking heeft van 49%. Een
portefeuille die bestaat uit één van de twee aandelen heeft dus een standaardafwijking van 49%.
a. Stel dat uit je historische gegevens over de opbrengstvoeten van beide
aandelen blijkt dat y doorgaans boven zijn gemiddelde ligt in jaren dat
ook x boven zijn gemiddelde ligt, en y doorgaans onder zijn gemiddelde
ligt in jaren dat ook x onder zijn gemiddelde ligt. Er is dus een positief
verband of een positieve covariantie tussen x en y. Stel dat de covariantie
tussen x en y +0.238 is, wat een correlatiecoëfficiënt van +0,99 impliceert
3
(een bijna volmaakt positief lineair verband). Bereken het risico op een
portefeuille die voor de helft bestaat uit aandelen x en voor de helft uit
aandelen y.
b. Stel dat uit historische gegevens over de opbrengstvoeten van beide aandelen blijkt dat y doorgaans boven zijn gemiddelde ligt in jaren dat x
onder zijn gemiddelde ligt, en y doorgaans onder zijn gemiddelde ligt in
jaren dat x boven zijn gemiddelde ligt. Er is dus een negatief verband of
een negatieve covariantie tussen x en y. Stel dat de covariantie tussen x
en y −0,12 bedraagt. Hoeveel bedraagt de correlatiecoëfficiënt tussen de
opbrengstvoeten? Bereken het risico op een portefeuille die bestaat uit
voor de helft aandelen x en voor de helft aandelen y.
c. Vergelijk a en b. Wat besluit je? Kan je het risico verlagen door te
diversifiëren? Verkleint het risico steeds als je diversifieert?
De afweging tussen risico en opbrengst
Afbeelding 27.3 (Mankiw and Taylor, 2011, p. 582) toont de afweging tussen
risico en opbrengst voor een portefeuille bestaande uit twee types van effecten:
een gediversifieerde groep van aandelen, waarvan de gezamelijk jaarlijkse opbrengstvoet (x) gemiddeld 8% is, met een standaardafwijking 20 procent; en
een risicoloze overheidsobligatie met een vaste jaarlijkse opbrengstvoet (y) van
3% (de rentevoet) en een standaardafwijking 0 procent. De standaardafwijking
is een maatstaf voor het risico. Reken zelf de gemiddelde opbrengstvoet en het
risico na van de vijf getoonde portefeuilles (0% aandelen, 25% aandelen, 50%
aandelen, 75% aandelen, 100% aandelen). In dit geval is cov(x,y) = 0. (Opmerking: Afbeelding 27.3 gebruikt opbrengstvoeten van 3.1% in plaats van 3%
(zoals in de tekst), en 8.3% in plaats van 8%. Gebruik 3% en 8%.)
De waarde van een aandeel
De waarde van een aandeel is de actuele waarde van de toekomstige winst die
het aandeel oplevert (Mankiw and Taylor, 2011, p. 583). In 2013 was de winst
per Apple-aandeel (earnings per share, EPS) $ 42. Stel dat de volgende 20 jaar
de winst per Apple-aandeel (in prijzen van vandaag) telkens $ 42 zal zijn (en $ 0
daarna), en dat de reële rentevoet gelijk zal zijn aan 5%. Wat is de waarde van
het Apple-aandeel? (Gebruik een rekenmachine of een rekenbladprogramma
voor je berekeningen). Vergelijk de berekende waarde met de huidige beurskoers van het Apple-aandeel op nasdaq.com (de code voor het Apple-aandeel
is AAPL). Is het Apple-aandeel op basis van deze aannames over- of ondergewaardeerd?
Referenties
Mankiw, N. G. and Taylor, M. P. (2011). Economics. South-Western Cengage
Learning, Andover, 2nd edition.
4