Relativiteitstheorie Taco Visser

Relativiteitstheorie (3)
H.A. Lorentz
Tot nu toe…
• De lichtsnelheid c is onafhankelijk van
de snelheid van de waarnemer t.o.v. de
bron.
• Consequentie: de gelijktijdigheid van
twee gebeurtenissen is relatief, d.w.z.
twee waarnemers die t.o.v. elkaar
bewegen zullen er verschillend over
oordelen.
• Kan je harder gaan dan de lichtsnelheid?
Kinetische energie
• De kinetische energie K van een voorwerp met
massa m en snelheid v is
1
2
K  mv
2
• Hoe kan je een voorwerp versnellen?
• Een deeltje met een elektrische lading, zoals
een elektron, kan je versnellen met een
elektrisch veld.
CERN - Geneve
Energie en snelheid
theorie: K  1 mv 2
2
c2
experiment
• Het blijkt experimenteel dat de energie van een electron
onbeperkt kan worden opgevoerd in een versneller.
Maar v2 blijkt alleen lineair te zijn met de energie K als v<<c.
• Het lijkt alsof de massa van het elektron steeds groter
wordt, en het daardoor steeds moeilijker kan worden versneld.
• Als je de energie van het elektron laat toenemen kruipt
z’n snelheid langzaam naar de lichtsnelheid toe.
• Blijkbaar is c de maximale snelheid die een deeltje kan bereiken.
Twee waarnemers
• Een waarnemer is iemand met ‘bij zich’ de oorsprong O van een
coördinatensystem en zijn eigen klok.
• We beschouwen steeds twee waarnemers, S en S’, die t.o.v. elkaar
bewegen:
z
z’
y
S
S’
x
O
t
y’
x’
O’
v m/s
t’
• Waarnemer S’ beweegt met een snelheid v t.o.v. S naar rechts
(d.w.z. langs de x-as).
• Hoe ‘vertaal’ je de tijd en ruimte metingen van S naar die van S’?
Twee waarnemers (2)
z
z’
y
S
S’
x
O
O’
y’
x’
t’
v m/s
Neem aan dat op t = 0 de twee oorsprongen O en O’ samenvallen. De
‘vertaling’ van de tijd en ruimte metingen die S en S’ doen ligt voor
de hand:
• t = t’
• z = z’
• y = y’
• Maar S’ gaat per seconde v meter naar rechts, dus de x’ as
verschuift vt meter in t secondes t.o.v. de x as, dus:
• x = x’-vt
t
Michelson-Morley (1)
• Maar hoe verhoudt deze ‘vertaling’ zich tot de uitkomst van het
Michelson-Morley experiment?
• Op t = 0 flitst een lichtbron in O = O’. Beide waarnemers zien een
bolgolf die zich uitbreidt met voor hen dezelfde snelheid c.
• Dit kunnen we wiskundig beschrijven.
y
y
R
R
x
x
z
De vergelijking voor een cirkel
met straal R volgt uit de stelling
van Pythagoras: x2+y2=R2
Idem is de vergelijking voor een bol
met straal R:
x2+y2+z2=R2
Michelson-Morley (2)
• Beide waarnemers zien een bolgolf die zich uitbreidt met
snelheid c. De straal R van de bol is dus na t seconden gelijk aan
ct.
y
De vergelijking voor een zich uitbreidende
bolgolf is dus voor S
R = ct
x2+y2+z2=c2t2
(1)
Maar S’ ziet ook een bolgolf die zich met
x dezelfde snelheid uitbreidt:
x’2+y’2+z’2=c2t’2
(2)
Wat gebeurt er nu als we de ‘vertaling’ van
S’ naar S toepassen?
z
t = t’, z = z’, y = y’, x’ = x+vt in vgln. (2) gebruiken geeft
(x+vt)2+y2+z2=c2t2, dus x2+v2t2+2xvt+y2+z2=c2t2
(3)
Als we nu vgln. (1) aftrekken van vgln. (3) krijgen we
vt(2x+vt) = 0.
(4)
Michelson-Morley (3)
vt(2x+vt) = 0.
(4)
Voor een willekeurige waarde van x, v en t kan je niet aan vgl. (4)
voldoen. De conclusie moet wel zijn dat onze ‘intuïtieve vertaling’ van
metingen van S naar metingen van S’ niet werkt. M.a.w. het MichelsonMorley experiment dwingt je om een andere vertaling te zoeken.
Dat is op zich niet vreemd: de uitkomst van het experiment leerde ons
al dat onze intuïtieve opvatting over ruimte en tijd niet juist kan zijn.
De Lorentz transformatie
• Lorentz (en anderen) lieten zien dat de volgende
coördinatentransformatie wèl werkt:
x’ = g(x-vt)
y’ = y
z’ = z
Lorentz transformatie
t’ = g(t-vx/c2)
waarbij
1
γ
1 v c
2
2
(4)
1
• Ruimte en tijd worden nu gemengd : t’ hangt af van t én van x!
• Als v << c, dan is g ≈ 1 en reduceert de Lorentz transformatie tot
onze eerdere ‘intuïtieve’ vertaling. [Ga dit na.] Blijkbaar is die
laatste alleen geldig voor lage snelheden.
• Als je de Lorentz transformatie gebruikt in vgln. (2), krijg je nu
wel vgln. (1) terug. [Ga dit zelf na.]
• Kortom, de Lorentz transformatie is in overeenstemming met de
resultaten van het Michelson-Morley experiment.
De Lorentz transformatie van
afstanden (1)
• x’ = g(x-vt); y’ = y; z’ = z; t’ = g(t-vx/c2)
[(4)]
Vgln. (4) drukt een gebeurtenis in S (d.w.z. 4 coördinaten x,y,z,t)
uit in een gebeurtenis in S’ (nl. de 4 coördinaten x’,y’,z’t’). Als we
van S’ naar S toe willen, hoeven we alleen maar de snelheid v van
teken te laten veranderen:
x = g(x’+vt’); y = y’; z = z’; t = g(t’+vx’/c2)
(5)
• De samentrekking (‘contractie’) van lengtes
Waarnemer S meet de lengte van een staaf die in zijn
coördinatenstelsel stilligt. De staaf ligt langs de x-as.
De lengte L = x2-x1 , als x1 en x2 de x-coördinaten van de twee
uiteindes zijn (met x2 > x1, natuurlijk).
• Waarnemer S’, die een snelheid -v heeft t.o.v. S, ziet de staaf met
snelheid +v langs de x-as bewegen. Omdat de staaf niet stilligt
voor hem, is het van belang dat hij de posities van de beide
uiteindes tegelijkertijd bepaalt (zeg op het tijdstip t’).
De Lorentz transformatie van
afstanden (2)
• Waarnemer S’ bepaalt dus twee gebeurtenissen:
het ene uiteinde meet hij als x1’, t1’ (y1’ = z1’=0) en het andere
uiteinde meet hij als x2’, t2’; waarbij, omdat beide metingen
tegelijk plaatsvinden, t1’ = t2’. De door S’ gemeten lengte is
L’ = x2‘-x1’.
• Nu gaan we m.b.v. de Lorentz transformatie de meting van S’
‘vertalen’ naar de meting L = x2-x1 die S gedaan heeft:
x1 = g(x1’+vt1’)
(6)
x2 = g(x2’+vt2’)
(7)
Dus
L = x2 -x1 = g(x2’-x1’) = g L’ oftewel L’ = L / g.
(8)
• M.a.w: waarnemer S’ vindt dat de voor hem bewegende staaf een
factor 1 / g = 1-v2/c2 korter is dan de lengte die S (voor wie de
staaf stilligt) bepaald heeft.
Dit effect is de beroemde Lorentz contractie, die overigens nog
niet direct experimenteel is aangetoond.
De Lorentz transformatie van
tijdsduren (1)
De Lorentz transformatie van
tijdsduren (2)
• Waarnemer S bepaalt een tijdsduur T door twee keer op een klok
te kijken die voor hem in rust is. Hij registreert dus
twee gebeurtenissen, namelijk x1, t1 en x2, t2.
Omdat de klok vanuit S gezien stilstaat, is x1 = x2.
De door S gemeten tijdsduur is T = t2-t1. (met t2 > t1 natuurlijk)
• Waarnemer S’ ziet dat de klok een snelheid v heeft. We kunnen
weer met de Lorentz transformatie de meting van S vertalen naar
de tijdsduurmeting T’ = t2’-t1’ die S’ doet:
t1’ = g(t1-vx1/c2)
t2’ = g(t2-vx2/c2)
Dus
T’ = t2’ -t1’ = g(t2-t1) = gT. Oftewel T = T ’/g
(9)
(10)
(11)
• M.a.w: waarnemer S’ vindt dat de voor hem bewegende klok van S
langzamer loopt dan zijn eigen stilstaande klok.
Dit effect wordt tijdsdilatatie (‘tijdsuitrekking’) genoemd.
De tijdsdilatatie getest
•
•
In tegenstelling tot de Lorentz contractie, wordt
tijdsdilatatie dagelijks experimenteel geverifieerd in
bijv. deeltjesversnellers zoals CERN.
Zgn. p+ mesonen (‘pionen’) zijn elementaire deeltjes die
een gemiddelde levensduur hebben van 2,5 10-8 s.
[Daarna vervallen ze in een m+ meson en een neutrino.]
Als je een pion versnelt tot een zeer hoge energie dan
zal zijn ‘interne klok’ langzamer gaan lopen. De
levensduur van zo’n snel pion zal dan ook langer zijn
dan die van een pion in rust.
Het is gelukt om ‘snelle’ pionen te maken die 10000
keer langer leven, nl. gemiddeld 10-4 s. Deze waarde is
precies in overeenstemming met de voorspelling van de
relativiteitstheorie.
Tot nu toe…
• De lichtsnelheid c blijkt experimenteel de uiterste snelheid te
zijn tot welke je een deeltje kunt versnellen. Wel kan je de
energie van het deeltje blijven opvoeren.
• De ‘intuïtieve’ vertaling van de tijd en ruimte metingen van twee
waarnemers die t.o.v. elkaar bewegen is alleen geldig als hun
onderlinge snelheid laag is (<<c).
• Bij hogere snelheden moet je de Lorentz transformatie
gebruiken. Deze is wél in overeenstemming met het MichelsonMorley experiment.
• Het is een direct gevolg van de Lorentz transformatie dat
a) bewegende voorwerpen ‘krimpen.’ (lengte contractie)
b) bewegende klokken langzamer lopen (tijdsdilatatie)
De tijdsdilatatie is uitgebreid geverifieerd.