Relativiteitstheorie Taco Visser

Speciale Relativiteitstheorie
Taco D. Visser
http://www.nat.vu.nl/~tvisser
Einstein’s gedachtenexperiment
lichtsnelheid
Als je je met precies de lichtsnelheid van de klokkentoren
af beweegt, dan zie je de klok stilstaan.
Maar staat de tijd dan ook stil?
Relativiteitstheorie
• Deze theorie gaat over ruimte en tijd.
• Zijn tijd en ruimte absolute grootheden? Nee!
Zijn tijdsduur en lengte voor alle waarnemers
hetzelfde? Nee!
• Zijn tijd en ruimte oneindig uitgestrekt of
zijn ze begrensd?
Wat is tijd?
Als niemand het mij vraagt, dan weet ik het.
Als ik het moet uitleggen, dan weet ik het niet…
Augustinus
Tijd is …….
Verandering
Beweging
Relatief
Onomkeerbaar…
Want de drager van causaliteit,
de verbinding tussen oorzaak en gevolg.
Tijd heeft een richting (“de pijl van de tijd”),
Want ‘wanorde’ neemt spontaan toe.
Soorten tijd en tijdsduur
• Psychologische tijd ~ 1 s tot 100 jaar;
is subjectief
• Culturele tijd ~ 1 dag tot 5000 jaar;
minder subjectief, documentatie
• Fysische tijd ~ 10-20 s tot 1010 jaar;
is meetbaar met klokken en daarom objectief
• Operationele definitie van tijd:
‘de tijdsduur van een proces is het verschil van twee tijdstippen die
een waarnemer met zijn eigen klok bepaalt.’ Omdat iedere
waarnemer zijn eigen klok heeft, opent deze definitie de weg naar
verschillende metingen van de tijdsduur van een proces door
verschillende waarnemers.
Soorten ruimte en afstanden
• ‘Psychologische’ afstanden:
10-3 m tot 100 km
• Fysische afstanden:
10-16 m tot 1010 lichtjaar.
Een lichtjaar is de afstand die licht in 1 jaar tijd aflegt.
1 lichtjaar ~ 9,4 1012 km
• Met onze zintuigen ‘zien’ we maar een heel klein stukje van de
werkelijkheid. Onze huis-, tuin- en keukenlogica (`intuïtie’) hoeft dus
helemaal niet juist te zijn voor de rest van de werkelijkheid.
Relativiteitstheorie geeft daarvan verschillende voorbeelden.
• I.t.t. alle andere wetenschappen laat Natuurkunde ons het hele
kleine en snelle, en het hele grote en langzame van de werkelijkheid
zien.
Hoe bepaal je posities?
• Een fysische meting betreft altijd een
visuele waarneming.
• Licht speelt dus altijd een rol.
• Maar hoe snel gaat het licht?
• Het experiment van Foucault
De lichtsnelheid is eindig…
Alhoewel c = 300000 km/s heel snel is, is het wel eindig.
Dat betekent dat je altijd naar iets uit het verleden kijkt.
Dit speelt vooral op astronomische schaal: het licht van sterren dat
ons nu bereikt is miljoenen jaren geleden uitgezonden –
je kijkt in het verleden.
Bijv: het licht van een ster op 1000 lichtjaren afstand doet er
1000 jaar over om ons te bereiken.
De ster die je nu ziet, bestaat die nog wel?
Supernova
Definities van tijd en ruimte
• Tijd is een coördinaat waarmee je verandering
vastlegt.
• Tijd is 1 van de 4 coördinaten van een
gebeurtenis. Zoals lengte, breedte en hoogte de
tijd
ruimtelijke positie
van een gebeurtenis
vastleggen, geeft een tijdstip aan waar een
gebeurtenis
gebeurtenis zich op de
tijdsas bevindt.
• Vandaar dat men spreekt over de vierdimensionale ruimte-tijd. lengte
Een gebeurtenis is dus
een punt met coördinaten (t,x,y,z) in de
ruimtetijd.
Definitie seconde
Het element Cesium heeft een overgang
waarvoor
f = 9 192 631 770 s-1
= 9.192….. GHz,
een microgolf frequentie.
1 sec = 9 192 631 770 perioden
van deze overgang.
Dit aantal perioden kan je makkelijk tellen met
behulp van electronica, en definieert tijdsduren.
Ruimtelijke afstanden
• Engeland ~1400: 1 yard is de omvang van de taille van de koning
• Académie Française (1791) : 1 meter = 1/10 000 000-ste deel van
een vierde van de omtrek van de Aarde.
• 1889: 1 meter is de lengte van een metalen staaf die in Sèvres
wordt bewaard.
• Het meten van de lichtsnelheid is nu zo precies [299792458 m/s];
dat c gewoon is vastgelegd (‘gedefinieerd’), omdat de seconde ook
vastligt, is de meter secondair is geworden.
c is dus niet meer te meten, de meter weer wel!
• Sinds 1983: 1 meter is gedefinieerd als het 1/ 299792458-ste deel
van de afstand die licht (in vacuüm) in 1 seconde aflegt.
Vragen
• Stel dat twee waarnemers t.o.v. elkaar bewegen (bijv. een
astronaut die naar Mars reist, en iemand die op Aarde
acherblijft), en ze bepalen beiden met hun eigen klok de
tijdsduur tussen twee lichtflitsen van een quasar.
Meten ze dezelfde tijdsduur?
• Stel dat er een komeet langs vliegt. Meten beide
waarnemers dan ook dezelfde lengte van de komeetstaart?
Reference frames
• Reference frame = waarnemer, iemand met een klok
en een lengtemaat
• Intertial reference frame = waarnemer waarvoor de
1ste wet van Newton geldt
• De aarde is slechts bij benadering een ‘intertial
frame’: de sterren die ver weg staan bewegen voor
ons niet rechtlijnig…
De ether
• Een watergolf laat het water trillen
• Een geluidsgolf veroorzaakt een trilling in de
lucht
• Ergo: er moet wel een oneindig verdund
medium zijn waardoor het licht reist. Dit
alomtegenwoordige, gewichtsloze,
wrijvingsloze en transparante medium noemde
men ‘de ether.’
• Maar als er een ether bestaat, dan kan de
lichtsnelheid niet absoluut zijn!
Roeien in de rivier (1)
• Twee roeiers bewegen met 5 m/s t.o.v. het water. Nummer 1 gaat
van A naar B en terug; nummer 2 gaat van A naar C en terug.
Beiden leggen in totaal 180 m af. Hoelang zijn ze onderweg?
B
90 m
P
4
1
Q
5
A
•
•
•
•
•
Stroomsnelheid 4 m/s
90 m 2
C
Roeier 1 moet z’n boot in de richting AP sturen om in B te komen.
Pythagoras: (AQ)2+42= 52; dus (AQ )2 = 9; -> AQ = 3 meter.
Roeier 1 gaat dus met 3 m/s van A naar B.
De afstand AB is 90 meter, de heenreis duurt dus 90:3 = 30 s.
De terugreis duurt ook 30 s; roeier 1 is dus in totaal
30+30 = 60 s onderweg.
Roeien in de rivier (2)
• Roeier 1 gaat van A naar B en terug. Zijn reis duurt 60 s.
B
90 m
P
4
5
•
•
•
•
•
4 m/s
1
Q
90 m 2
C
A
Roeier 2 gaat eerst met de stroom mee van A naar C.
Z’n snelheid is 4+5 = 9 m/s;
De heenreis van A naar C duurt dus 90:9 = 10 s.
De terugreis van C naar A is tegen de stroom in en gaat met
5-4 = 1 m/s. De terugreis duurt dus 90:1 = 90 s.
De totale reisduur voor roeier 2 is dus 10+90 = 100 s.
Is de lichtsnelheid absoluut?
• Licht reist door de ether met 300 000 km/s.
• Net als in het voorbeeld van de twee roeiers
in de rivier maakt het voor de lichtsnelheid
die je meet uit of het licht met de ether
meebeweegt of juist niet.
• M.a.w. c moet wel relatief zijn en niet
absoluut!
•
Maar is dat ook zo?
Michelson-Morley ~1881
Michelson en Morley splitsten een lichtbundel in twee delen, en
laten het ene deel loodrecht op het andere deel reizen.
Als de ene helft met de ether mee zou bewegen, moest de andere
helft wel dwars op de ether bewegen.
Net als bij de roeiers in de rivier, verwacht je dat de
ene lichtbundel sneller dan reist dan de andere.
Maar dat bleek niet zo te zijn…
Dit alleen betekent nog niet dat er geen ether bestaat: het kan zijn
dat de Aarde stilstaat ten opzichte van de ether.
Michelson-Morley (2)
Maar als het geval is, beweegt de Zon wel t.o.v. de ether, want
de Zon beweegt immers t.o.v. de Aarde.
Als je nu het Michelson en Morley experiment een paar maanden
laat duren, beweeg je bijv. eerst van de zon af, en enkele maanden
later naar de zon toe:
Positie Aarde nu
Zon
Positie Aarde 4 maanden geleden
Je kunt nu in plaats van een lichtbron op Aarde, het licht van de Zon
zelf gebruiken om c te bepalen.
Michelson-Morley (3)
De snelheid van zonlicht blijkt hetzelfde te zijn in verschillende
jaargetijden. Het blijkt datc onafhankelijk is van de snelheid van
de bron t.o.v. waarnemer!
Beweging tegen zonlicht in
Zon
Beweging met zonlicht mee
Blijkbaar is er niet zoiets als ‘beweging ten opzichte van de ether’.
Daarmee is het hele bestaan van de ether niet meer nodig! Licht kan
‘gewoon’ door vacuüm reizen.
Einstein’s postulaten
1.
2.
Absolute, rechtlijnige beweging kan niet worden
vastgesteld. [Galilei’s boot!]
De lichtsnelheid is onafhankelijk van de snelheid van
de bron: alle waarnemers in verschillende
inertiaalstelsels meten dezelfde waarde voor c.
Galileï Transformatie
Hoe ‘vertaal’ je een ruimte-tijd meting van waarnemer S
naar die van een tweede waarnemer S’ ?
S meet (t, x, y, z) en S’ meet (t’, x’, y’, z’).
Hun onderlinge snelheid is v m/s, langs de x-as,
en op t = 0 vallen hun coördinaat-oorsprongen samen.
(zie Fig. 39-2, p. 1270). We proberen dus als transformatie
(als `vertaling’ van de meting van S naar die van S’):
t = t’, x = x’ + v t , y = y’, z = z’,
Snelheid van een voorwerp volgens S’ is dx’/dt’ = ux’ ,
Snelheid volgens S is ux = dx/dt = dx’/dt + v = ux’+ v.
Galileï Transformatie (2)
Snelheid volgens S’: dx’/dt’ = ux’,
Snelheid volgens S: ux = ux’+ v
Versnelling volgens S’ is ax’ = dux’/dt’ = dux’/dt
Versnelling volgens S is ax = dux’/dt
Conclusie: S en S’ meten verschillende snelheden van
een voorwerp; maar wel dezelfde versnelling!
Lorentz Transformatie
Snelheid volgens S’: dx’/dt’ = ux’,
Snelheid volgens S: ux = ux’+ v.
Alhoewel dit in overeenstemming is met onze alledaagse
metingen, is het strijdig met Einstein’s postulaten:
S meet c voor de lichtsnelheid, net als S’;
en niet c + v !
Blijkbaar is de Galileï-transformatie niet algemeen
geldig…
Lorentz Transformatie (2)
We proberen een andere ‘vertaling’, nl.
x = g (x’ + vt’ ) met als inverse
x’ = g (x - vt)
De factor g moet nu bepaald worden. Beschouw een
lichtpuls langs de x-as vanuit de oorsprong van S
op t = 0. [Op t = t’ = 0 vallen de beide coördinaatoorsprongen samen.] Dus: S’ ziet een lichtpuls in zijn
oorsprong op t’ = 0. Beiden meten iets later de positie
van het licht:
S meet: x = ct
dus: ct = g (ct’ + vt’) = g (c + v) t’
S’ meet: x’ = ct’
en ct’ = g (ct - vt) = g (c - v) t
Lorentz Transformatie voor x
ct = g (c + v) t’
ct’ = g (c - v) t
g
Elimineer ct/ t’ om g te bepalen:
1
1- v / c
2
[Ga na]
2
Nu weten we het transformatiegedrag van x:
x
( x'vt' )
1- v2 / c2

Lorentz Transformatie voor t
x  g ( x' vt' )
x'  g  x - vt)
Los de laatste uitdrukking
op voor t in termen van
x’ en t’.
x'  g g  x' vt' ) - vt]
t  g (t '-vx' / c )
2
[Ga na!]
Transformatie van Ruimte en Tijd
x  g ( x'vt' )
y  y'
z  z'
t  g (t 'vx' / c 2 )
g
1
1- v2 / c2
• De coördinaat x hangt af van x’ en t’. Hetzelfde geldt
voor het tijdstip t. Ruimte en tijd zijn nu gekoppeld
(ruimtetijd ).
• Tijdstippen en posities zijn niet meer absoluut,
maar relatief.
De Inverse Transformatie
x  g ( x'vt' )
y  y'
z  z'
‘Voorwaartse’ Lorentz transformatie,
van S’ naar S.
t  g (t 'vx' / c 2 )
• De inverse transformatie (die van S naar S’) volgt door
het teken van v om te draaien:
x'  g ( x - vt)
y'  y
z'  z
t '  g (t - vx / c 2 )
Alternatief: druk x’ en t’ ieder uit
in x en t mbv. de voorwaartse
transformatie. [Ga na.]
Tijdsduren en Lengtes
De operationele definitie van de tijdsduur van een proces
zegt dat je dat bij aanvang van het proces een tijdsmeting
doet (t1 voor S, t1’ voor S’), en een tweede meting bij
afloop van het proces (t2 voor S, t2’ voor S’). Ook doen beiden
een positiemeting van de twee ‘events’ [event 1 = aanvang
proces, event 2 = afloop proces]. De tijdsduur Dt = t2- t1.
Hoe transformeert deze tijdsduur?
t2  g (t2 'vx2 ' / c )
t2 - t1  g [t2 '-t1 '( x2 '- x1 ' )v / c 2 ]
t1  g (t1 'vx1 ' / c 2 )
Dt  g (Dt 'D x' v / c 2 )
2
Conclusie: het transformatiegedrag van een tijdsduur is
hetzelfde als dat van een tijdstip.
Hetzelfde geldt ook voor afstanden [Ga na].