Visie HEF

Deeltjes en velden
HOVO Cursus
Jo van den Brand
3 oktober 2013
[email protected]
Overzicht
• Docent informatie
• Jo van den Brand & Gideon Koekoek
• Email: [email protected] en [email protected]
• 0620 539 484 / 020 592 2000
• Rooster informatie
• Donderdag 10:00 – 13:00, HG 08A-05 (totaal 10 keer)
• Collegevrije week: 24 oktober 2013
• Boek en website
• David Griffiths, Introduction to Elementary Particles, Wiley and Sons,
ISBN 978-3-527-40601-2 (2008)
• Zie website URL: www.nikhef.nl/~jo
• Beoordeling
• Huiswerkopgaven 20%, tentamen 80%
Inhoud
• Inleiding
• Deeltjes
• Interacties
• Relativistische kinematica
• Speciale relativiteitstheorie
• Viervectoren
• Energie en impuls
• Quantumfysica
• Formalisme
• Spin van deeltjes
• Structuur van hadronen
• Symmetrieën
• Behoudwetten, quarkmodel
• Symmetriebreking
• Veldentheorie
• Lagrange formalisme
• Feynman regels
• Quantumelektrodynamica
• Diracvergelijking
• Quarks en hadronen
• Quantumchromodynamica
• Elektrozwakke wisselwerking
• Higgs formalisme
Relatieve beweging
Einstein 1905:
Alle natuurwetten blijven dezelfde (zijn invariant) voor alle
waarnemers die eenparig rechtlijnig t.o.v. elkaar bewegen.
De lichtsnelheid is invariant – heeft voor alle waarnemers
dezelfde waarde.
Einstein 1921
Inertiaalsysteem: objecten bewegen in rechte lijnen als er geen
krachten op werken (Newton’s eerste wet).
Indien een systeem met constante snelheid t.o.v. een
inertiaalsysteem beweegt, dan is het zelf ook een
inertiaalsyteem.
Schrijf de wetten van de natuurkunde in een covariante vorm:
als relaties tussen objecten die niet van het (willekeurig
gekozen) coördinatensystem afhangen
4
Differentiaaltopologie
Ruimte: verzameling met structuur
3D Euclidische ruimte
4D ruimtetijd in SRT met globaal een
Minkowski structuur
Temperatuur als scalarveld
Topologische objecten in een ruimte
Scalarveld
Vectorveld
In het algemeen: tensorveld
Tensoren: geometrische grootheden, los
staand van eventuele referentiesystemen
Relativiteitsprincipe: de natuurwetten zijn
onafhankelijk van de keuze van het
referentiesysteem
Door gebruik te maken van tensoren kan een
referentiesysteem onafhankelijke beschrijving
verkregen worden
Ruimtetijd heeft additionele structuur: metrische
tensor, waardoor we inproduct kunnen definiëren
Oppervlaktewind als vectorveld
Euclidische ruimte
• Vlakke ruimte met afstand tussen punten als invariant
2
1
2
• Vectoren
A  A e1  A e2   A e  A e
B  B  e
 1
Basisvector
Vectorcomponent
Sommatieconventie Einstein
Evenzo in 3 (of meer) dimensies
• Inproduct A  B   A e    B e   A  e  e  B  A g  B  A B
• Kies basis ex , ey   i , j 
Metrische tensor
• Voorbeeld:
A   2,3 en B  1, 4
 1 0  1 
1
A  B  A B g    2,3 

2,3
       2 1  3  4  14
 0 1  4 
 4
B  g B
Euclidische ruimte
• Vlakke ruimte met afstand tussen punten als invariant
• Pythagoras
ds 2  dx 2  dy 2
ds 2  dx  dx  g dx dx   dx dx   dx  dx
 dx 
2
ds   
 dy 
 1 0  dx 
 dx 

   (dx, dy )     dx 2  dy 2
 0 1  dy 
 dy 
ex  ex  i  j  1
P
ds
T
dy
Evenzo in 3 dimensies
 2
Contravariante vectorcomponenten a  
 3 
 
Covariante componenten a   ( 2,3)

T
O
dx
Ook geldt
 dr   1 0  dr 
 dr 
2
2
2
ds    
  (dr , d )   2   dr  r d
2 
 d   0 r  d 
 r d 
2
Metrische tensor
Minkowskiruimte
• Licht gedraagt zich onafhankelijk van de waarnemer
• Golffronten zijn behouden voor bewegende waarnemers
• Beschouw bolgolven vanuit de oorsprong
O:
dx 2  dy 2  dz 2  c 2 dt 2  0
O':
dx2  dy2  dz 2  c 2 dt 2  0
ds 2  dx  dx  g dx dx   dx dx 
 cdt 
2
ds   
 dr 
P
ds
O
cdt
T
2
  1 0  cdt 
 cdt 
2
2

   (cdt , dr )     c dt  dr
 0 1  dr 
 dr 
We hebben nu ruimtetijd en weer
een invariant (een scalar).

dr
Trouwens, elke a b is een scalar en
dus invariant!
 
e0  e0  1
Minkowskiruimte
 1 0 0 0


 0 1 0 0
• Metrische tensor
g      
0 0 1 0


 0 0 0 1


• Beschrijft de vlakke (hyperbolische) ruimte van de speciale
relativiteitstheorie
Beschouw 2D hyperbolische ruimte, cdt en dx
Stel we hebben contravariantevectorcomponenten
Wat zijn dan de covariante componenten
Wat is de lengte van

a?
Kan positief, nul of negatief zijn!
a ?
 2
a   
 3
a  (2,3)

2
a  a a   2  2  3  3  5
Metriek heeft signatuur 2: een pseudoriemannse variëteit
Minkowskiruimte
ct
• Ruimtetijd geometrie
C
C’
(s) 2  (ct ) 2  x 2
B’
Welke zijde van driehoek ABC is het langst? Welk
de kortste? Wat zijn de lengten?
A
B
A’
|AB| = 5, |BC| = 3, |AC| = wortel(-32 + 52) = 4
Wat is het kortste pad tussen punten A en C? De
rechte lijn tussen A en C, of het pad ABC?
Rechte pad AC is kortste pad tussen A en C
Idem voor driehoek A’B’C’
|A’B’| = |B’C’| = wortel(-32+32) = 0 en |A’C’| = 6
Pad is A’B’C’ met lengte 0.
x
(s) 2  (ct ) 2  x 2  0

x
c
t
Tweelingparadox
(s)2  (ct )2  x 2  (c )2
Minkowski meetkunde
Basisvectoren e met   0,1, 2,3
We hebben gevonden dat
als     0
1


 (e , e )   1
als     i 
 0 overige gevallen 


Nieuw symbool
Minkowskimetriek
 (e , e )  
Inverse
Het invariante lijnelement
Notatie bevat metriek en coordinaten
Voor cartesische coordinaten
Lijnelement uitschrijven
Dezelfde tijd: Ruimtelijke termen: Stelling van Pythagoras
Dezelfde plaats: het lijnelement is een maat voor de tijd verstreken tussen twee
gebeurtenissen voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenissen
Dan geldt
Tijddilatatie
Het invariante lijnelement
Waarnemer W1: twee gebeurtenissen op dezelfde plaats
Waarnemer W2: meet tijdverschil
We vinden
met lorentzfactor
Snelheid tussen waarnemers
Tijddilatatie is geometrisch effect in 4D ruimtetijd
Tijd tussen twee gebeurtenissen verstrijkt het snelst voor een waarnemer die in rust is ten
opzichte van deze gebeurtenissen: eigentijd
Translaties en rotaties
Minkowski meetkunde: het invariante lijnelement
Welke transformaties laten dit element invariant?
Translaties
Rotaties, bijvoorbeeld
Dit is een rotatie rond de z-as (met t en z constant, terwijl x en y mengen)
Schrijf
Invullen levert
We vinden
Rotatie rond de z-as
Evenzo voor rotaties rond de x- en y-as
   p/2
Lorentztransformaties
Welke transformaties laten dit element invariant?
Boost, bijvoorbeeld
Dit is een boost langs de x-as (met y en z constant, terwijl t en x mengen)
Schrijf
Invullen levert
We vinden
Boost langs de z-as
Evenzo voor boosts langs de x- en y-as
Wat is die hyperbolische hoek ?
Rapiditeit
We hadden
Neem differentiaalvorm, kies
Kwadrateren, delen door
en vergelijken met tijddilatatie
Dat is een kwadratische vergelijking in
Manipuleer
Gebruik de abc-formule
Ook geldt
en schrijf
Lorentztransformaties
Transformaties laten ds2 invariant
Lorentz 1902
Waarnemers in S en S’ bewegen met snelheid v t.o.v. elkaar. Systemen vallen
samen op t = t’ = 0.
Waarnemer in S kent (x, y, z, t) toe aan het event.
Waarnemer in S’ kent (x’,y ’, z’, t’) toe aan hetzelfde event.
Wat is het verband tussen de ruimtetijd coordinaten voor dit zelfde event?
Lorentztransformaties
Lorentztransformatie
Inverse transformatie
(snelheid v verandert van teken)
Relativiteit van gelijktijdigheid
Stel dat in systeem S twee events, A en B, op dezelfde tijd,
tA = tB, gebeuren, maar op verschillende plaatsen, xA  xB.
Invullen levert
Events vinden niet simultaan plaats in systeem S’
Lorentzcontractie (lengtekrimp)
Stel dat in systeem S' een staaf ligt, in rust, langs de x' as.
Een einde op x' = 0, het andere op x' = L'.
Wat is de lengte L gemeten in S?
We moeten dan de posities van de uiteinden meten op
dezelfde tijd, zeg op t = 0.
Het linker einde bevindt zich dan op x = 0.
Het rechter einde op positie x = L' / .
Langs bewegingsrichting!
Een bewegend object wordt korter met een factor 
in vergelijking tot zijn lengte in rust.
Tijddilatatie (tijdrek)
Een bewegende klok loopt langzamer met een factor 
in vergelijking tot toestand in rust.
Deeltjes hebben `ingebouwde’ klokken (verval).
Optellen van snelheden
u
'
x
Een raket is in rust in inertiaalsysteem S'
dat met snelheid v beweegt t.o.v. S.
Iemand vuurt een kogel af in systeem S'
met snelheid ux' in S'.
Wat is de snelheid van de kogel in S ?
Een kwestie van afgeleiden nemen …
Als ux' = c, dan u = c en
lichtsnelheid gelijk voor alle
systemen!!!
Het klassieke antwoord
Viervectoren
Positie-tijd viervector x, met  = 0, 1, 2, 3
Lorentztransformaties
July 23, 2017
Jo van den Brand
22
Viervectoren
Lorentztransformaties
In matrixvorm
algemeen geldig
July 23, 2017
met
Jo van den Brand
23
Lorentzinvariantie
Ruimtetijd coordinaten zijn
systeem afhankelijk
Invariantie voor
Net als r2 voor rotaties in R3
Analoog zoeken we een uitdrukking als
Hiervoor schrijven we de invariant I
als een dubbelsom
Met metrische tensor
July 23, 2017
Plaats van minteken is
kwestie van afspraak
Jo van den Brand
24
Co- en contravariante vectoren
Contravariante viervector
Covariante viervector
Invariant
Dit is de uitdrukking die we zochten.
De metriek is nu ingebouwd in de notatie!
Deze notatie wordt ook gebruikt voor niet-cartesische systemen en gekromde ruimten
(Algemene Relativiteitstheorie)
Viervectoren
Viervector a (contravariant)
transformeert als x
We associeren hiermee een
covariante viervector
Ruimte componenten
krijgen een minteken
Ook geldt
Invariant
Scalar product
Er geldt
July 23, 2017
Jo van den Brand
26
Snelheid
Snelheid van een deeltje t.o.v. het LAB: afstand gedeeld door tijd
(beide gemeten in het LAB)
Proper snelheid: afstand in LAB gedeeld door eigentijd (gemeten
met klok van het deeltje)
Een hybride grootheid. Er geldt
viersnelheid
Er geldt
July 23, 2017
Jo van den Brand
27
Impuls en energie
Klassieke impuls p = mv
Definieer relativistische impuls als
Ruimtelijke componenten
Tijdachtige component
Definieer relatv. energie
Energie-impuls viervector
Indien behouden in S dan niet in S'
Energie
Taylor expansie levert
Rustenergie van deeltje
Klassieke kinetische energie
Merk op dat enkel veranderingen in energie
relevant zijn in de klassieke mechanica!
Relativistische kinetische energie
Massaloze deeltjes (snelheid altijd c)
July 23, 2017
Jo van den Brand
29
Botsingen
Energie en impuls: behouden
grootheden!
Massa is Lorentzinvariant
July 23, 2017
Merk op dat E en p niet (Lorentz) invariant zijn!
Massa m is geen behouden grootheid!
Jo van den Brand
30
Voorbeeld 1
Massa’s klonteren samen tot 1 object
begintoestand
eindtoestand
Energiebehoud
Impulsbehoud
Er geldt
Na botsing is object in rust!
Energiebehoud levert
Na botsing hebben we een object met massa M = 5m/2. Massa is toegenomen:
kinetische energie is omgezet in rustenergie en de massa neemt toe.
Voorbeeld 2
Deeltje vervalt in 2 gelijke delen
begintoestand
eindtoestand
Energiebehoud
(zie vorige opgave)
Heeft enkel betekenis als M > 2m
Men noemt M = 2m de drempelenergie voor het verval.
Voor stabiele deeltjes is de bindingsenergie negatief. Bindingsenergie maakt net
als alle andere interne energieën deel uit van de rustmassa.
July 23, 2017
Jo van den Brand
32
Voorbeeld 3
Verval van een negatief pion (in rust): p-   + -
Vraag: snelheid van het muon
Relatie tussen energie en impuls
Dit levert
Massa van neutrino is verwaarloosbaar!
Energiebehoud
July 23, 2017
Jo van den Brand
33
Voorbeeld 3 – vervolg
Gebruik
Relatie tussen energie, impuls en snelheid
Snelheid van het muon
Invullen van de massa’s levert v = 0.271c
Voorbeeld 3 – viervectoren
Energie en impulsbehoud
Kwadrateren levert
Merk op dat
en
We vinden E
Evenzo
Er geldt
Hiermee hebben we weer E en p gevonden en
weten we de snelheid.
Minkowskiruimte: causale structuur
tijdachtig: ds2 negatief
lichtachtig: ds2 = 0
toekomst
ruimteachtig: ds2 positief
P
verleden
Binnen de lichtkegel kunnen gebeurtenissen causaal
verbonden zijn met gebeurtenis P.
Er buiten kan geen causaal verband bestaan.
Minkowskiruimte
• Bewegende waarnemers
s 2  c 2 t 2  x 2
v
ct '   (ct  x)
c
x'   ( x  vt)
Voor de x’ as: stel ct’=0. Dan volgt ct = x.
Voor de schaal op de x’ as: stel x’=1 en ct’=0.
Dan volgt x=.
Voor de ct’ as: stel x’=0. Dan volgt ct = x/.
Voor de schaal op de ct’ as: stel ct’=1 en x’=0.
Dan volgt ct=.
Ruimtetijd van de ART
Het belang van fotonen m.b.t. structuur van ruimte
tijd: empirisch vastgestelde universaliteit van de
voortplanting in vacuum
Onafhankelijk van
bewegingstoestand van de bron
golflengte
intensiteit
polarisatie van EM golven
ct
deeltje in rust
deeltje met willekeurige snelheid
deeltje naar rechts bewegend
met constante snelheid
deeltje met lichtsnelheid
45o
x
Minkowskiruimte – dopplerfactor
Waarnemers A en B hebben geijkte
standaardklokken en lampjes
 = tijd tussen pulsen van lampje van A,
ct
gemeten met de klok van A
waarnemer A
’= tijd tussen pulsen van lampje van A,
waarnemer B
gemeten met de klok van B
 '  k
met dopplerfactor k
 '  k

45o
x
Minkowskiruimte – dopplerfactor
Vanuit punt P bewegen waarnemers A
en B ten opzichte van elkaar (constante
snelheid v van B tov A)
waarnemer A
Lampje van A flitst na tijd  gemeten met
de klok van A (in E)
R
B ziet de flits van A na tijd k (in Q)
waarnemer B
B flitst zijn lampje in Q. Waarnemer A ziet
dat in R, op tijd
k 2
Afstand van Q tot A:
(vluchttijd radarpuls x lichtsnelheid)/2
d
 ER  c c (k  1)

2
2
M is gelijktijdig met Q als
2
 EM   RM
 EM   M   RM  k 2   M
 2
2
 M    k    M  M  (k  1)
k 2
M
E
2
afstand
d
1 v / c
v

k 
tijd
M
1 v / c
Q
M
P
k

waarnemer
Minkowskiruimte – inproduct
O
2
We kennen de vector PQ toe aan de
geordende events P en Q
Definitie:
Q
P
 ( PQ, PQ)  c 1 2
2
1
Afspraak:
tijden voor P negatief
tijden na P positief
E
Dankzij het bestaan van een metriek (inproduct) kunnen we nu
afstanden bepalen. Ruimtetijd heeft een metriek
P
2
Q
2
 0
1
P
Q
1
Q

 0
  c 2 2
2
 0
P
P
Q
1  0
2
Q
P
1
 0
P en Q gelijktijdig als  1
  2
Lorentzinvariantie Minkowski-metriek
Dat wil zeggen  ( PQ, PQ) is onafhankelijk van de inertiele waarnemer door P
Definitie:  ( PQ, PQ)  c 2 1 2
Met afspraak over het teken!
Volgens A:
 ( PQ, PQ)  c 1 2
Volgens B:
 ( PQ, PQ)  c 1' 2'
Er geldt
Waarnemer A
B2
2
2
 PA  k 1 PB  1  k 11'
 PA  k PB   2  k 2'
1
2
Waarnemer B
A2
2
 2'
1
2
P
1
1 2  1' 2'
1'
A1
Scalair product is Lorentzinvariant
B1
Q
Lorentzcoördinaten
Definieer basisvector
Er geldt
e0  OE
 (e0 , e0 )  1
 2s
E is verzameling puntgebeurtenissen die
gelijktijdig zijn met O (t.o.v. A)
Dat is de 3-dim euclidische ruimte op   0 t.o.v. A
E is verzameling puntgebeurtenissen die
gelijktijdig zijn met 
M

Er geldt

Q   OE, OQ  0 (lA  )
Er geldt
 (e1 , e1 )  1
En ook
 (e0 , ei )  0
en
 1 s
 0 s
  1 s
Orthonormaal stelsel vectoren
in E met beginpunt O
e , e , e 
1
2
Waarnemer A
(inertieel)
3
 (ei , e j )   ij
  2 s
lA
E
e0
O
e1
Lorentzcontractie
Het invariante lijnelement
Kies x-as als bewegingsrichting
Er geldt
O’ beweegt t.o.v. lat
O staat stil t.o.v. lat
Lat passeert waarnemer O’ (dus geldt
en
)
We vinden
Waarnemer O beweegt met de lat mee: lengte lat is L
Voor hem vinden de twee gebeurtenissen (passeren van begin en eind van de lat bij O’)
op verschillende tijden, gescheiden door
We hebben te maken met tijddilatatie
Invullen levert