Visie HEF

Gravitatie en kosmologie
FEW Cursus
Jo van den Brand & Jeroen Meidam
Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012
Inhoud
• Inleiding
• Wiskunde II
• Overzicht
• Algemene coordinaten
• Covariante afgeleide
• Klassieke mechanica
• Algemene
relativiteitstheorie
• Galileo, Newton
• Lagrange formalisme
• Einsteinvergelijkingen
• Newton als limiet
• Quantumfenomenen
• Neutronensterren
• Wiskunde I
• Kosmologie
• Tensoren
• Friedmann
• Inflatie
• Speciale relativiteitstheorie
• Minkowski
• Ruimtetijd diagrammen
Najaar 2009
• Gravitatiestraling
• Theorie
• Experiment
Jo van den Brand
Relatieve beweging
Einstein 1905:
Alle natuurwetten blijven dezelfde (zijn invariant) voor alle
waarnemers die eenparig rechtlijnig t.o.v. elkaar bewegen.
De lichtsnelheid is invariant – heeft voor alle waarnemers
dezelfde waarde.
Einstein 1921
Inertiaalsysteem: objecten bewegen in rechte lijnen als er geen
krachten op werken (Newton’s eerste wet).
Indien een systeem met constante snelheid t.o.v. een
inertiaalsysteem beweegt, dan is het zelf ook een
inertiaalsyteem.
3
Ruimtetijd van de ART
Het belang van fotonen m.b.t. structuur van ruimte
tijd: empirisch vastgestelde universaliteit van de
voortplanting in vacuum
Onafhankelijk van
bewegingstoestand van de bron
golflengte
intensiteit
polarisatie van EM golven
ct
deeltje in rust
deeltje met willekeurige snelheid
deeltje naar rechts bewegend
met constante snelheid
deeltje met lichtsnelheid
45o
x
Minkowskiruimte – dopplerfactor
Waarnemers A en B hebben geijkte
standaardklokken en lampjes
 = tijd tussen pulsen van lampje van A,
ct
gemeten met de klok van A
waarnemer A
’= tijd tussen pulsen van lampje van A,
waarnemer B
gemeten met de klok van B
 '  k
met dopplerfactor k
 '  k

45o
x
Minkowskiruimte – dopplerfactor
Vanuit punt P bewegen waarnemers A
en B ten opzichte van elkaar (constante
snelheid v van B tov A)
waarnemer A
Lampje van A flitst na tijd  gemeten met
de klok van A (in E)
R
B ziet de flits van A na tijd k (in Q)
waarnemer B
B flitst zijn lampje in Q. Waarnemer A ziet
dat in R, op tijd
k 2
Afstand van Q tot A:
(vluchttijd radarpuls x lichtsnelheid)/2
d
 ER  c c (k  1)

2
2
M is gelijktijdig met Q als
2
 EM   RM
 EM   M   RM  k 2   M
 2
2
 M    k    M  M  (k  1)
k 2
M
E
2
afstand
d
1 v / c
v

k 
tijd
M
1 v / c
Q
M
P
k

waarnemer
Minkowskiruimte – inproduct
O
2
We kennen de vector PQ toe aan de
geordende events P en Q
Definitie:
Q
P
 ( PQ, PQ)  c 1 2
2
1
Afspraak:
tijden voor P negatief
tijden na P positief
E
Dankzij het bestaan van een metriek (inproduct) kunnen we nu
afstanden bepalen. Ruimtetijd heeft een metriek
P
2
Q
2
 0
1
P
Q
1
Q

 0
  c 2 2
2
 0
P
P
Q
1  0
2
Q
P
1
 0
P en Q gelijktijdig als  1
  2
Lorentzinvariantie Minkowski-metriek
Dat wil zeggen  ( PQ, PQ) is onafhankelijk van de inertiele waarnemer door P
Definitie:  ( PQ, PQ)  c 2 1 2
Met afspraak over het teken!
Volgens A:
 ( PQ, PQ)  c 1 2
Volgens B:
 ( PQ, PQ)  c 1' 2'
Er geldt
Waarnemer A
B2
2
2
 PA  k 1 PB  1  k 11'
 PA  k PB   2  k 2'
1
2
Waarnemer B
A2
2
 2'
1
2
P
1
1 2  1' 2'
1'
A1
Scalair product is Lorentzinvariant
B1
Q
Lorentzcoördinaten
Definieer basisvector
Er geldt
e0  OE
 (e0 , e0 )  1
 2s
E is verzameling puntgebeurtenissen die
gelijktijdig zijn met O (t.o.v. A)
Dat is de 3-dim euclidische ruimte op   0 t.o.v. A
E is verzameling puntgebeurtenissen die
gelijktijdig zijn met 
M

Er geldt

Q   OE, OQ  0 (lA  )
Er geldt
 (e1 , e1 )  1
En ook
 (e0 , ei )  0
en
 1 s
 0 s
  1 s
Orthonormaal stelsel vectoren
in E met beginpunt O
e , e , e 
1
2
Waarnemer A
(inertieel)
3
 (ei , e j )   ij
  2 s
lA
E
e0
O
e1
Minkowski meetkunde
Basisvectoren e met   0,1, 2,3
We hebben gevonden dat
als     0
1


 (e , e )   1
als     i 
 0 overige gevallen 


Nieuw symbool
Minkowskimetriek
 (e , e )  
Inverse
Het invariante lijnelement
Notatie bevat metriek en coordinaten
Voor cartesische coordinaten
Lijnelement uitschrijven
Dezelfde tijd: Ruimtelijke termen: Stelling van Pythagoras
Dezelfde plaats: het lijnelement is een maat voor de tijd verstreken tussen twee
gebeurtenissen voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenissen
Dan geldt
Tijddilatatie
Het invariante lijnelement
Waarnemer W1: twee gebeurtenissen op dezelfde plaats
Waarnemer W2: meet tijdverschil
We vinden
met lorentzfactor
Snelheid tussen waarnemers
Tijddilatatie is geometrisch effect in 4D ruimtetijd
Tijd tussen twee gebeurtenissen verstrijkt het snelst voor een waarnemer die in rust is ten
opzichte van deze gebeurtenissen: eigentijd
Lorentzcontractie
Het invariante lijnelement
Kies x-as als bewegingsrichting
Er geldt
O’ beweegt t.o.v. lat
O staat stil t.o.v. lat
Lat passeert waarnemer O’ (dus geldt
en
)
We vinden
Waarnemer O beweegt met de lat mee: lengte lat is L
Voor hem vinden de twee gebeurtenissen (passeren van begin en eind van de lat bij O’)
op verschillende tijden, gescheiden door
We hebben te maken met tijddilatatie
Invullen levert
Lorentztransformaties
Minkowski meetkunde: het invariante lijnelement
Welke transformaties laten dit element invariant?
Translaties
Rotaties, bijvoorbeeld
Dit is een rotatie rond de z-as (met t en z constant, terwijl x en y mengen)
Schrijf
Invullen levert
We vinden
Rotatie rond de z-as
Evenzo voor rotaties rond de x- en y-as
Lorentztransformaties
Welke transformaties laten dit element invariant?
Boost, bijvoorbeeld
Dit is een boost langs de x-as (met y en z constant, terwijl t en x mengen)
Schrijf
Invullen levert
We vinden
Boost langs de z-as
Evenzo voor boosts langs de x- en y-as
Wat is die hyperbolische hoek ?
Rapidity
We hadden
Neem differentiaalvorm, kies
Kwadrateren, delen door
en vergelijken met tijddilatatie
Dat is een kwadratische vergelijking in
Maniluleer
Gebruik de abc-formule
Ook geldt
en schrijf
Lorentztransformaties
Transformaties laten ds2 invariant
Lorentz 1902
Waarnemers in S en S’ bewegen met snelheid v t.o.v. elkaar. Systemen vallen
samen op t = t’ = 0.
Waarnemer in S kent (x, y, z, t) toe aan het event.
Waarnemer in S’ kent (x’,y ’, z’, t’) toe aan hetzelfde event.
Wat is het verband tussen de ruimtetijd coordinaten voor dit zelfde event?
Lorentztransformaties
Lorentztransformatie
Inverse transformatie
(snelheid v verandert van teken)
Relativiteit van gelijktijdigheid
Stel dat in systeem S twee events, A en B, op dezelfde tijd,
tA = tB, gebeuren, maar op verschillende plaatsen, xA  xB.
Invullen levert
Events vinden niet simultaan plaats in systeem S’
Lorentzcontractie (lengtekrimp)
Stel dat in systeem S' een staaf ligt, in rust, langs de x' as.
Een einde op x' = 0, het andere op x' = L'.
Wat is de lengte L gemeten in S?
We moeten dan de posities van de uiteinden meten op
dezelfde tijd, zeg op t = 0.
Het linker einde bevindt zich dan op x = 0.
Het rechter einde op positie x = L' / .
Langs bewegingsrichting!
Een bewegend object wordt korter met een factor 
in vergelijking tot zijn lengte in rust.
Tijddilatatie (tijdrek)
Een bewegende klok loopt langzamer met een factor 
in vergelijking tot toestand in rust.
Deeltjes hebben `ingebouwde’ klokken (verval).
Optellen van snelheden
u
'
x
Een raket is in rust in inertiaalsysteem S'
dat met snelheid v beweegt t.o.v. S.
Iemand vuurt een kogel af in systeem S'
met snelheid ux' in S'.
Wat is de snelheid van de kogel in S ?
Een kwestie van afgeleiden nemen …
Als ux' = c, dan u = c en
lichtsnelheid gelijk voor alle
systemen!!!
Het klassieke antwoord
Viervectoren
Positie-tijd viervector x, met m = 0, 1, 2, 3
Lorentztransformaties
July 20, 2017
Jo van den Brand
22
Viervectoren
Lorentztransformaties
In matrixvorm
algemeen geldig
July 20, 2017
met
Jo van den Brand
23
Lorentzinvariantie
Ruimtetijd coordinaten zijn
systeem afhankelijk
Invariantie voor
Net als r2 voor rotaties in R3
Analoog zoeken we een uitdrukking als
Hiervoor schrijven we de invariant I
als een dubbelsom
Met metrische tensor
July 20, 2017
Jo van den Brand
24
Co- en contravariante vectoren
Contravariante viervector
Covariante viervector
Invariant
Dit is de uitdrukking die we zochten.
De metriek is nu ingebouwd in de notatie!
Deze notatie wordt ook gebruikt voor niet-cartesische systemen en gekromde ruimten
(Algemene Relativiteitstheorie)
Viervectoren
Viervector a (contravariant)
transformeert als x
We associeren hiermee een
covariante viervector
Ruimte componenten
krijgen een minteken
Ook geldt
Invariant
Scalar product
Er geldt
July 20, 2017
Jo van den Brand
26
Snelheid
Snelheid van een deeltje t.o.v. het LAB: afstand gedeeld door tijd
(beide gemeten in het LAB)
Proper snelheid: afstand in LAB gedeeld door eigentijd (gemeten
met klok van het deeltje)
Een hybride grootheid. Er geldt
viersnelheid
Er geldt
July 20, 2017
Jo van den Brand
27
Impuls en energie
Klassieke impuls p = mv
Definieer relativistische impuls als
Ruimtelijke componenten
Tijdachtige component
Definieer relatv. energie
Energie-impuls viervector
Indien behouden in S dan niet in S'
Energie
Taylor expansie levert
Rustenergie van deeltje
Klassieke kinetische energie
Merk op dat enkel veranderingen in energie
relevant zijn in de klassieke mechanica!
Relativistische kinetische energie
Massaloze deeltjes (snelheid altijd c)
July 20, 2017
Jo van den Brand
29
Botsingen
Energie en impuls: behouden
grootheden!
Massa is Lorentzinvariant
July 20, 2017
Merk op dat E en p niet (Lorentz) invariant zijn!
Massa m is geen behouden grootheid!
Jo van den Brand
30
Voorbeeld 1
Massa’s klonteren samen tot 1 object
begintoestand
eindtoestand
Energiebehoud
Impulsbehoud
Er geldt
Na botsing is object in rust!
Energiebehoud levert
Na botsing hebben we een object met massa M = 5m/2. Massa is toegenomen:
kinetische energie is omgezet in rustenergie en de massa neemt toe.
Voorbeeld 2
Deeltje vervalt in 2 gelijke delen
begintoestand
eindtoestand
Energiebehoud
(zie vorige opgave)
Heeft enkel betekenis als M > 2m
Men noemt M = 2m de drempelenergie voor het verval.
Voor stabiele deeltjes is de bindingsenergie negatief. Bindingsenergie maakt net
als alle andere interne energieën deel uit van de rustmassa.
July 20, 2017
Jo van den Brand
32
Voorbeeld 3
Verval van een negatief pion (in rust): p-   + -
Vraag: snelheid van het muon
Relatie tussen energie en impuls
Dit levert
Massa van neutrino is verwaarloosbaar!
Energiebehoud
July 20, 2017
Jo van den Brand
33
Voorbeeld 3 – vervolg
Gebruik
Relatie tussen energie, impuls en snelheid
Snelheid van het muon
Invullen van de massa’s levert v = 0.271c
Voorbeeld 3 – viervectoren
Energie en impulsbehoud
Kwadrateren levert
Merk op dat
en
We vinden E
Evenzo
Er geldt
Hiermee hebben we weer E en p gevonden en
weten we de snelheid.
Einsteins sommatieconventie
• Vector en 1-vorm geven een scalar
p0V 0  p1V 1  p2V 2  p3V 3  c  pV 
• Sommatie index is een dummy index, want uiteindelijk
krijgen we een getal
Vrije indices horen overeen te komen
• Problemen
Nu tel je appels en peren op
Links een 1-vorm, rechts een scalar
Sommatie index maar 1x gebruiken
 

x
Verschillende objecten
Gradient is een 1-vorm
Euclidische ruimte
• Vlakke ruimte met afstand tussen punten als invariant
• Pythagoras
ds 2  dx 2  dy 2
ds 2  dx  dx  g dx dx   dx dx   dx  dx
 dx 
2
ds   
 dy 
T
 1 0  dx 
 dx 

   (dx, dy )     dx 2  dy 2
 0 1  dy 
 dy 
Evenzo in 3 dimensies
ds
dy
dx
 2
Stel we hebben vectorcomponenten a  
 3 
 
Wat is dan de 1-vorm componenten a  ?

a  ( 2,3)
Minkowskiruimte
• Licht gedraagt zich onafhankelijk van de waarnemer
• Golffronten zijn behouden voor bewegende waarnemers
• Beschouw bolgolven vanuit de oorsprong
O:
dx 2  dy 2  dz 2  c 2 dt 2  0
O':
dx2  dy2  dz2  c 2 dt 2  0
ds 2  dx  dx  g dx dx   dx dx 
 cdt 
2
ds   
 dr 
T
2
  1 0  cdt 
 cdt 
2
2

   (cdt , dr )     c dt  dr
 0 1  dr 
 dr 
ds
cdt
We hebben nu ruimtetijd en weer
een invariant (een scalar).

dr
Trouwens, elke a b is een scalar en
dus invariant!
 
e0  e0  1
Minkowskiruimte
 1 0 0 0 


 0 1 0 0
• Metrische tensor
g      
0 0 1 0


 0 0 0 1


• Beschrijft de vlakke (hyperbolische) ruimte van de speciale
relativiteitstheorie
Beschouw 2D hyperbolische ruimte, cdt en dx
 2
Stel we hebben vectorcomponenten a  
 3 
 
Wat zijn dan de 1-vorm componenten a  ?
a  (2,3)

2
Wat is de lengte van a ?
a  a a   2  2  3  3  5

Kan positief, nul of negatief zijn!
Metriek heeft signatuur 2: een pseudoriemannse variëteit
Minkowskiruimte
ct
• Ruimtetijd geometrie
C
C’
(s) 2  (ct ) 2  x 2
B’
Welke zijde van driehoek ABC is het langst? Welk
de kortste? Wat zijn de lengten?
A
B
A’
|AB| = 5, |BC| = 3, |AC| = wortel(-32 + 52) = 4
Wat is het kortste pad tussen punten A en C? De
rechte lijn tussen A en C, of het pad ABC?
Rechte pad AC is kortste pad tussen A en C
Idem voor driehoek A’B’C’
|A’B’| = |B’C’| = wortel(-32+32) = 0 en |A’C’| = 6
Pad is A’B’C’ met lengte 0.
x
(s) 2  (ct ) 2  x 2  0

x
c
t
Tweelingparadox
(s)2  (ct )2  x 2  (c )2
Tweelingparadox
ct
C=(20,0)
Smith en Jones zijn tweelingen, beiden 30 jaar
oud. Jones vliegt naar Sirius en reist met 8/10 van
de lichtsnelheid. Als hij Sirius bereikt, komt hij
meteen terug.
B=(10,8)
S
Jones, gaat snel, maar Sirius is ver. Jones is 20 jaar
weg en als hij terugkeert is Smith 50.
Hoe oud is Jones?
(s)2  (ct )2  x 2  (c )2
J
A=(0,0)
x
Euclidisch versus minkowskiruimte
• Afstand s2 tussen oorsprong O en P
Euclidisch
Minkowski
s2  x2  y2
s 2  c 2 t 2  x 2
ct
y
x
x
Minkowskiruimte
• Bewegende waarnemers
s 2  c 2 t 2  x 2
v
ct '   (ct  x)
c
x'   ( x  vt)
Voor de x’ as: stel ct’=0. Dan volgt ct = x.
Voor de schaal op de x’ as: stel x’=1 en ct’=0.
Dan volgt x=.
Voor de ct’ as: stel x’=0. Dan volgt ct = x/.
Voor de schaal op de ct’ as: stel ct’=1 en x’=0.
Dan volgt ct=.
Minkowskiruimte: causale structuur
tijdachtig: ds2 negatief
lichtachtig: ds2 = 0
toekomst
ruimteachtig: ds2 positief
P
verleden
Binnen de lichtkegel kunnen gebeurtenissen causaal
verbonden zijn met gebeurtenis P.
Er buiten kan geen causaal verband bestaan.
Groeptheorie
Groep G
We onderscheiden
Eindige (of discrete) groep
Kleinste groep (triviale groep) met n = 1 heeft enkel element g = 1
G met oneindig aantal elementen gespecificeerd door N parameters:
Compacte groep G: parameters zijn eindig
Lie groep G: de afgeleiden
naar parameters bestaan
Definitie: het identiteits-element is de oorsprong van parameterruimte
Definitie: de generatoren
Vectorproduct levert element
spannen vectorruimte op
Structuurconstante(n)
Lorentzgroep
Lorentztransformatie in matrixvorm
Invariantie scalair product
In matrixnotatie
Er geldt
Unieke inverse bestaat
Achtereenvolgende transformaties leveren ook weer een element
De groep is niet-Abels
Elementen (de transformaties) vormen de Lorentzgroep
De metriek behandelt de 3 ruimtelijke dimensies anders de 1 tijddimensie
4 x 4 reele matrices hebben 16 reele parameters
Er zijn echter 10 relaties vanwege
Merk op
De groep wordt beschreven door 6 = 16 – 10 parameters
We laten in de proper Lorentzgroep geen reflecties toe, en eisen ook
Generatoren Lorentzgroep
6 parameters:
3 Euler rotatiehoeken (orthogonale transformaties die lengte 3-vector behouden)
3 boosts (hyperbolische rotaties die lengte 4-vector behouden)
Rotatie om z-as
Boost langs z-as
We schrijven transformatie als
Generator L wordt geitereerd tot volledige transformatie; L is reele 4 x 4 matrix
We staan enkel “proper” transformaties toe
L is traceless en reeel. Ook geldt
Generatoren Lorentzgroep
Inverse
Neem logaritme en gebruik
Dus gL spoorloos en L spoorloos en mixed symmetry
Er geldt
Boosts
en rotaties
We kiezen als basis in parameterruimte
In de eerste rij herkennen we de rotatiematrices
Rotatie om z-as
Kies parameters
We hadden
Dan
Verder
Exponentiatie
Dit levert
Dit levert de bekende rotatie L om de z-as
met
Boost langs z-as
Kies parameters
We hadden
met
Dan
Verder
Exponentiatie
Dit levert
Dit levert de bekende boost L langs de z-as
Connectie met quantummechanica
We hebben voor Lorentzgroep gevonden
Niet-Abelse groep
Relateer generatoren aan fysische observabelen: Hermitische operatoren
Definieer
Dan geldt
Hermitische operatoren Ji van impulsmoment
Generatoren
Lie algebra
Noether theorema, Casimiroperatoren
Elektrodynamica
Maxwellvergelijkingen
Faraday tensor
Er geldt
Stroom viervector
Maxwellvergelijkingen
Continuiteitsvergelijking
Volgt uit
Elektrodynamica
Lorentztransformaties
We vinden
onveranderd, terwijl
Vierkracht
Nul-component: arbeid verricht door deze kracht per tijdseenheid
Ruimtelijke-componenten: Lorentzkracht
Schrijf
Dan geldt
met
Energie-impulstensor van elektromagnetisch veld
Energie-impulstensor is symmetrisch
Energiedichtheid
Traagheid van gasdruk
• SRT: hoe hoger de gasdruk, des te moeilijker is het om het gas te
versnellen (traagheid neemt toe)
• Oefen kracht F uit, versnel tot
snelheid v << c
Volume V
Dichtheid 
Druk P
1 2 1
mv  Vv 2
2
2
• SRT: lorentzcontractie maakt de doos
 
kleiner
F  ds   PV
v
• Energie nodig om gas te versnellen
1 2
1
1 v2
1
P 2
2
E  mv  PV  Vv 
PV



vV

2
2 
2
2
2c
2
c 

v2 
1 v2
L  L 1  1  2    2 L

c 
2c

extra traagheid van gasdruk
Energie-impuls tensor: `stof’
1
P 2
E     2 v V
2
c 
• Energie nodig om gas te versnellen
– Afhankelijk van referentiesysteem
– 0 – component van vierimpuls
• Beschouw `stof’ (engels: dust)
– Verzameling deeltjes in rust ten opzichte van elkaar
– Constant viersnelheidsveld
U  (x) Flux viervector N   nU 
• Rustsysteem
– n en m zijn 0-componenten van
viervectoren
• Bewegend systeem
deeltjesdichtheid in rustsysteem
  nm
c 2
energiedichtheid in rustsysteem
massadichtheid in rustsysteem
– N0 is deeltjesdichtheid
– Ni deeltjesflux in xi – richting
c 2 is de   0,  0 component van de tensor p  N

Tstof
 p  N   mnU U   U U 
n
 
0
N  
0
 
0
 
 mc 
 
 0 
p   mU    
0
 
 0 
 
Er is geen gasdruk!
Energie-impuls tensor: perfecte vloeistof
• Perfecte vloeistof (in rustsysteem)

– Energiedichtheid
T  diagonaal, met T 11  T 22  T 33
– Isotrope druk P
• In rustsysteem
• In tensorvorm (geldig in elke systeem)
We hadden
Probeer
We vinden

Tstof
 U U 

Tstof
P  

    2 U U
c 


Tstof
P  

    2 U U  Pg 
c 

Verder geldt