RC-KRING

2de Kandidatuur Burgerlijk Ingenieur
Vakoverschrijdend Practicum
Prof. dr. Gaston Van Den Berge
RC-KRING
Practicumopstelling nr. 4
donderdag 03 maart 2005
Koen Verdegem 152
Kenny Van Heuverswijn 151
Practicumbegleidster: Nathalie De Geyter
Werktuigkunde-Elektrotechniek
Werktuigkunde-Elektrotechniek
Inhoudsopgave
1. Doel ................................................................................................................... 2
2. Inleiding op weerstanden, condensatoren en de oscilloscoop .......................... 2
2.1 Weerstanden ..................................................................................................................... 2
2.2 Condensatoren .................................................................................................................. 3
2.3 Oscilloscoop ..................................................................................................................... 3
3. Theoretische beschouwingen bij de RC-kring .................................................. 4
3.1 Opladen van een condensator........................................................................................... 4
3.2 Ontladen van de condensator ........................................................................................... 6
3.3 RC-kring met een kanteelspanningsbron ......................................................................... 7
3.4 RC-kring met een sinusoïdale spanningsbron .................................................................. 8
3. Studie van een RC-kring met kanteelspanning ............................................... 10
3.1 Meetopstelling ................................................................................................................ 10
3.2 Metingen en berekeningen ............................................................................................. 11
4. Studie van een RC-kring met sinusspanning .................................................. 12
4.1 Methode 1: faseverschil bepalen vanuit tijd tussen nuldoorgangen............................... 12
4.1.1 Meetmethode ........................................................................................................... 12
4.1.2 Metingen.................................................................................................................. 13
4.1.3 Berekeningen........................................................................................................... 14
4.2 Methode 2: faseverschil bepalen met Lissajousfiguren ................................................. 15
4.2.1 Meetmethode ........................................................................................................... 15
4.2.2 Metingen.................................................................................................................. 16
4.2.3 Berekeningen........................................................................................................... 16
4.3 Algemeen besluit............................................................................................................ 17
5. Referenties....................................................................................................... 17
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
1
1. Doel
Het doel van dit practicum is de spanning te bepalen voor verschillende aangelegde
frequenties in een elektrische netwerk met een weerstand en condensator in serie, een RCkring genaamd, en dit zowel met een kanteel- als sinusoïdale spanningsbron. Bovendien
wordt de tijdsconstante experimenteel bepaald.
Eerst geven we een inleiding op weerstanden, condensatoren en de oscilloscoop. Daarna
volgen voor beide spanningsbronnen (eerst kanteelspanning en daarna sinusoïdale spanning)
een beschrijving van het bestudeerde netwerk en een aantal elementaire berekeningen van
formules en verbanden. Daarna volgen de meetopstellingen, de meetresultaten en
berekeningen voor beide spanningsbronnen. Tot slot formuleren we een besluit.
2. Inleiding op weerstanden, condensatoren en de oscilloscoop
2.1 Weerstanden
Aangezien weerstanden haast genoeg bekend zijn bij elke
wetenschapper kunnen we hier kort over zijn en slechts
karakteristieken aanhalen die we gebruiken in dit practicum. Als we
een weerstand in een netwerk schakelen, zorgt deze ervoor dat de
klem waar de stroom uit de weerstand vloeit op een lagere potentiaal
komt te staan als de klem waar de stroom in de weerstand vloeit. We
kunnen de weerstand definiëren als de verhouding van het Figuur 1: Industriële
potentiaalverschil tussen de klemmen tot de stroom in door de gestandaardiseerde
weerstanden
weerstand:
∆V
R=
I
Uit deze vergelijking kan ook de afname in potentiaal worden afgeleid. Weerstanden kan men
in elke vorm maken uit een heleboel materialen. In de industrie komen gestandaardiseerde
weerstanden voor (zoals in de figuur hier rechtsboven weergegeven). Op deze weerstanden is
een
kleurcode
aangegeven en zo kan
men aan de hand van
onderstaande
determineertabel
de
weerstandswaarde
bepalen. De eenheid van
weerstand
is
Ohm
1Ω = 1V 1A .
Figuur 2: Determineertabel
weerstanden
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
2
2.2 Condensatoren
Het is niet ons bedoeling condensatoren uitgebreid te
bespreken maar slechts enkele eigenschappen van
condensatoren aanhalen die we bij dit practicum hebben
gebruikt. Condensatoren worden gebruikt om elektrische
lading op te slaan. De capaciteit van een condensator wordt
gedefinieerd als de verhouding van de hoeveelheid opgeslagen
lading tot het potentiaalverschil aangelegd tussen de klemmen
van de condensator:
Q
Figuur 3: Enkele typische
condensatoren
∆V
De eenheid van capaciteit is de farrad F ( 1F = 1C V ). Typische capaciteiten die heel vaak
voorkomen gaan van microfarads tot nanofarads. Op figuur 3 zijn enkele typische
condensatoren afgebeeld.
C=
2.3 Oscilloscoop
Een oscilloscoop (hier rechts in figuur 4 weergegeven) is een in
de elektrotechniek veelgebruikt instrument en wordt gebruikt om
elektrische signalen zichtbaar te maken. Deze elektrische
signalen kunnen op zich afkomstig zijn van transducers die
ondermeer trillingen, druk en kracht in een elektrisch signaal
kunnen omzetten. Een oscilloscoop is bijzonder veelzijdig,
krachtig en universeel werkinstrument. De klassieke uitvoering
zoals deze jaren gebruikelijk was bestaat voor de beeldvorming Figuur 4: Oscilloscoop
uit een kathodestraalbuis en een luminescerend scherm. De uiteindelijke opwekking van het
beeld gebeurd doordat de elektronenstraal horizontaal en verticaal kan worden afgebogen. De
werking is hieronder in figuur 5 verder geïllustreerd. De informatie die een oscilloscoop
verzameld wordt vaak rechtreeks overgebracht naar computers voor verdere verwerking. Met
een oscilloscoop kan onder meer spanning, frequentie en tijdsafstand worden gemeten. De
invoer kan gebeuren op meestal twee kanalen.
Figuur 5: Werking oscilloscoop
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
3
Karl Ferdinand Braunn (1850-1918) was de uitvinder van de eerste
oscilloscoop met principe zoals hierboven vermeld. In 1909 kreeg hij samen
met Marconi de Nobelprijs voor de fysica voor zijn inbreng in de
ontwikkeling van de radio.
3. Theoretische beschouwingen bij de RC-kring
Figuur 6: K.F.
Braun
3.1 Opladen van een condensator
We beschouwen eerst een vereenvoudiging en nemen een constante spanningsbron V zodat
het potentiaalverschil tussen de twee klemmen van de spanningsbron constant blijft. Uiteraard
kunnen we achteraf de afleidingen die hier gemaakt werden toepassen op de RC-kring met
kanteelspanning. Over een beperkte tijd blijft de aangelegde spanning immers constant. De
schakeling is hieronder in figuur 1 weergegeven.
De constante spanningsbron kan zowel in als uit dit netwerk worden geschakeld. Als men de
spanningsbron in het netwerk wil schakelen, plaatst men schakelaar S in positie b. Als men de
spanningsbron uit het netwerk wil schakelen, plaatst men schakelaar S in positie a. In strikte
zin kan een elektrische stroom niet door een condensator stromen. Toch zal een tijdelijke
stroom in de kring optreden totdat de platen van de condensator volledig geladen zijn.
Figuur 7: RC-kring met constante spanningsbron V
We trachten aan de hand van spannings-, stroom en I-V-wetten de RC-kring met constante
spanningsbron V op te lossen naar de spanning over de condensator (vC) en de weerstand (vR).
De eerste wet van Kirchoff stelt dat in een knooppunt de som van de aankomende stromen
gelijk is aan de som van de stromen die vertrekken vanuit het knooppunt. Uiteraard dient
vooraf een stroomzin te worden gekozen. We kiezen de omloopzin van de stroom in
wijzerzin. Aangezien alle elementen in serie staan is de stroom in de RC-kring overal gelijk.
Als we de schakelaar in positie b plaatsen, volgt uit de spanningswet van Kirchoff dat:
−V + vC + vR = 0
Dit is op zich gelijk aan V = R ⋅ i +
q
q
, aangezien vR = R ⋅ i en vC = .
C
C
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
4
V (in Volt) staat voor de bronspanning, vC (eveneens in Volt) voor de spanning over de
condensator, vR (ook in Volt) voor de spanning over de weerstand, R (in Ohm) voor de
numerieke waarde van de weerstand, i (in Ampère) voor de stroom in de keten, q (in
Coulomb) voor de lading op de condensorplaten en C (in Farad) voor de capaciteit van de
condensator. Merk op dat we kleine letters gebruiken voor waarden die veranderen in de tijd.
Om de uitdrukking voor V nu verder op te lossen stellen we i =
dq
(q staat voor de lading op
dt
de platen van de condensator) en bekomen:
dq q
+
dt C
Uiteindelijk bekomen we als oplossing van deze differentiaalvergelijking (met
beginvoorwaarde q(0) = 0 want de condensator is initieel ongeladen):
t
−


q ( t ) = CV 1 − e RC 


Daaruit kunnen we de stroom door de kring afleiden:
−t
dq V RC
i (t ) =
= e
dt R
En uiteindelijk kunnen we uit deze uitdrukking voor de stroom in de kring vC en vR vinden:
−t
−t
 V RC

RC
vR ( t ) = i ( t ) R =  e  R = Ve
R

−t


CV 1 − e RC 
−t
q (t )

 = V 1 − e RC 
vC ( t ) =
=


C
C


Uit deze uitdrukkingen kunnen we het gedrag van de kring afleiden voor t = 0 en voor t
gaande naar oneindig. Voor t = 0 merken we dat vR = V en vC = 0. We hebben dus een
spanning over de weerstand alsof de condensator niet in het netwerk aanwezig was. De lading
op de condensator is bij aanvang gelijk aan nul. Voor t gaande naar oneindig merken we dat
vR = 0 en vC =V. Er staat geen spanning meer over de weerstand en er is geen stroom meer in
de kring. De lading op de condensatorplaten is gelijk aan het product van capaciteit C en het
potentiaalverschil V dat tussen de klemmen van de constante spanningsbron heerst. Figuur 8
toont het verloop van vR en vC als functie van de tijd.
V =R
Figuur 8: Verloop van spanning over weerstand en condensator in functie van de tijd bij opladen
Aangezien er na verloop van tijd een steeds grotere lading op de condensatorplaten ontstaat, is
het gepermitteerd over ‘opladen’ van een condensator te spreken. Dit is ook meteen de
verantwoording van de titel van deze paragraaf.
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
5
Het product van weerstand C en capaciteit R heeft een tijdsdimensie en wordt de
tijdsconstante τ van de RC-keten genoemd. We trachten nu na te gaan wat het gedrag is van
de RC-kring op het tijdstip τ. We substitueren t = τ in de uitdrukking voor de spanning over
de condensator.
−τ
− RC




vC (τ ) = V 1 − e RC  = V 1 − e RC  = V 1 − e −1 ≈ 0, 6321V




τ is blijkbaar de tijd nodig om een condensator tot 63,21 % van zijn totale ladingscapaciteit
(bij een bepaalde spanning) op te laden. Op het tijdstip τ is de spanning vC over de
condensator C toegenomen tot ongeveer 63 % van zijn eindwaarde V.
(
)
In figuur 8 hebben we aangeduid dat het snijpunt van de raaklijn aan de vR-curve met de
tijdsas t gelijk is aan de tijdsconstante τ. Een formeel bewijs volgt hieronder. We bepalen
eerst de vergelijking voor de raaklijn. Uit de uitdrukking voor vR kunnen we gemakkelijk een
punt van de raaklijn en de richtingscoëfficiënt van de raaklijn bepalen.
vR ( 0 ) = V
 −t 
dVR
V  RC 
dV
V
(t ) = −
e
⇒ R ( 0) = −
dt
RC
dt
RC
(0,V) is een punt van de raaklijn en de richtingscoëfficiënt is –V/RC. De vergelijking van de
raaklijn in punt (0,V) is dan:
V
V (t ) = −
t +V
RC
We lossen nu de vergelijking op naar t voor V(t) = 0:
V
t + V = 0 ⇔ t = RC = τ
−
RC
Uit figuur 8 blijkt dat de spanning over de condensator asymptotisch naar V streeft. Houden
we de schakelaar in stand b voor een tijd t die veel groter is dan de tijdsconstante RC, dan
wordt de condensator volledig opgeladen.
3.2 Ontladen van de condensator
Als we na een volledige oplading van de condensator (dit wil zeggen dat de schakelaar S
lange tijd in positie b heeft gestaan) de schakelaar S in positie a plaatsen, zal de condensator
zich ontladen over de weerstand en zal geen stroom meer door de spanningsbron vloeien. De
ontlaadstroom loopt nu in tegengestelde zin aan de oplaadstroom omdat de plaat van de
condensator die met de positieve pool van de spanningsbron verbonden was bij het opladen
negatief geladen is en de plaat van de condensator die met de negatieve pool van de
spanningsbron verbonden was bij het opladen van de plaat positief geladen is.
Met de wetten van Kirchoff kunnen we opnieuw de RC-kring oplossen naar de spanning vr
over de weerstand en de spanning vc over de condensator. We vinden voor de kring met
schakelaar in positie a:
vR + vC = 0
R
dq q
+ =0
dt C
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
6
q (in Coulomb) staat hier voor de lading op de condensatorplaten, R (in Ohm) voor de
weerstand, C (in Farad) voor de capaciteit van de condensator, vR (in Volt) voor de spanning
over de weerstand en vC (eveens in Volt) voor de spanning over de condensator. Als we t = 0
het omschakeltijdstip stellen, dan luidt de oplossing van deze differentiaalvergelijking (met
beginvoorwaarde q(0)=q0=CV de beginlading van de condensator):
q (t ) = q0 e
−t
RC
Uiteindelijk vinden we op analoge manier als bij het opladen van de condensator uitdrukking
voor de spanning over de weerstand R en de condensator C in functie van de tijd t:
 −t 


vR ( t ) = −V ⋅ e RC 
 −t 


 RC 
vC ( t ) = V ⋅ e
We kunnen opnieuw nagaan wat de spanning over de condensator is na verloop van tijd gelijk
aan de tijdsconstante τ:
vC (τ ) = V ⋅ e−1 ≈ 0,3678V
We zien dat na verloop van tijd τ de spanning over de condensator gedaald is tot ongeveer 37
% van zijn uitgangsspanning V.
In onderstaande figuur (figuur 9) wordt het verloop van vR en vC grafisch weergegeven.
Figuur 9: Verloop van spanning over weerstand en condensator in functie van de tijd bij ontladen
3.3 RC-kring met een kanteelspanningsbron
Uiteraard zijn we in alle vorige beschouwing over opladen en ontladen van de condensator
uitgegaan van een constante spanningsbron. Het is echter de studie van een aangelegde
kanteelspanning die ons in bijzonder interesseert. De overstap van constante spanningsbron V
naar kanteelspanningsbron is gemakkelijk te maken en dit door de schakelaar S afwisselend in
de standen a en b te schakelen gedurende een aantal keer de tijdsconstante τ. De condensator
wordt nu afwisselend opgeladen en ontladen. Het kan zijn dat de condensator niet voldoende
tijd heeft om volledige op te laden of te ontladen. In figuur 10 kan U het verband zien tussen
de aangelegde kanteelspanning V en de spanning vR over de weerstand. De hierboven
afgeleide formules kunnen praktisch volledig worden overgenomen voor het laden en
ontladen van de condensator. Uiteraard dient rekening te worden gehouden met de
kanteelspanning. Als de periode van de kanteelspanning groter is dan de tijdsconstante τ
krijgen we onderstaande figuur.
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
7
Figuur 10: Verloop van spanning over de weerstand R bij aanleg van kanteelspanning
1
, dan is de kleinste waarde die vR bereikt
9, 2τ
vooraleer een spanningssprong optreedt gelijk aan 1 % van de amplitude V van de
kanteelspanning (bewijs hieronder weergegeven). De periode van deze generatorfrequentie is
dan T0 = 9, 2τ . De condensator heeft de helft van deze tijd om te ontladen. We bepalen de
spanning over de condensator op tijdstip t = 9, 2τ / 2 :
Als we de generatorfrequentie instellen op f 0 =
 9, 2τ
vR 
 2
Het vooropgestelde blijkt te kloppen.
 −9,2 

2 



 =V ⋅e

≈ 0, 01V
3.4 RC-kring met een sinusoïdale spanningsbron
We wensen ook een RC-kring met een sinusoïdale spanningsbron te bestuderen aangezien de
meeste elektrische toestellen werken op netstroom. Deze netstroom kan gezien worden als een
grote sinusoïdale spanningsbron met een amplitude van 230V en een frequentie van 50 Hertz
in de meeste Europese landen. In ondermeer de Verenigde Staten en Canada bedraagt de
frequentie 60 Hertz. Als met een sinusoïdale spanning v ( t ) = Vm ⋅ cos (ωt ) aanlegt over de
RC-keten, dan loopt de stroom i ( t ) = I m ⋅ cos (ωt + ϕi ) in faze voor op de aangelegde
spanning. ϕi is dus groter dan nul. Voor een fasorvoorstelling verwijzen we naar onderstaande
figuur (figuur 11).
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
8
Figuur 11: Fasorvoorstelling aangelegde spanning en resulterende spanningen over weerstand en
condensator
Voor de exacte analyse en bewijzen betreffende stroom en spanning in een RC-kring kunnen
we verwijzen naar hoofdstuk 33 in het boek Physics for Scientists and Engineers1 van
Serway. We zullen hier niet alles overnemen, enkel de theorie die van toepassing is op de RCkring.
2
 1 
De impedantie Z van de RC-kring is gelijk aan Z = R 2 + 
 . De maximale spanning is
 ωC 
Vm (= de amplitude van de aangelegde sinusoïdale spanning). Dan is de maximale stroom
Imax in de kring gelijk aan:
V
Vm
I max = m =
2
Z
 1 
2
R +

 ωC 
Hieruit kunnen we de grootte van de vectoren VR en VC (de maximumspanningen over
weerstand en condensator) bepalen:
Vm ⋅ R
Vm ⋅ ω RC
Vm
∆VR = I max ⋅ R =
=
=
2
2
2
 1 
(ω RC ) + 1 1 +  1 
R2 + 



 ωC 
 ω RC 
1
Vm
Vm
∆VC = I max ⋅
=
=
2
2
ωC
ω RC ) + 1
 1 
(
2
R +
 ⋅ ωC
 ωC 
We definiëren φ als het faseverschil tussen stroom en spanning: ϕ = ϕV − ϕi . We nemen hier
φV gelijk aan nul. De fasehoek φ tussen stroom en spanning vinden we dan als volgt:
 −1 
ϕ = arctan 

 ω RC 
We nemen een paar bijzondere frequenties f ( ω = 2π f ) en werken onderstaande limieten uit
(met een symbolisch rekenprogramma zoals Maple of met de hand):
1
Serway, A. Raymond (2004). Physics for Scientists and Engineers. Belmont (USA): Brooks/Cole-Thomson
Learning.
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
9
-
voor lage frequenties (dit wil zeggen voor ω ω →0
voor de frequentie f gelijk aan
lim1 ( ∆VR ) =
ω→
-
RC
τ
1
2πτ
Vm
0, 707Vm
2
(dit wil dus zeggen voor ω = 1 ):
τ

 −1  
lim  arctan 
= −45°
1
ω RC  
ω→


RC
voor hoge frequenties (dit wil zeggen voor ω lim ( ∆VR ) = Vm
ω →∞
):

 −1  
lim  arctan 
  = −90°
ω →0
 ω RC  

lim ( ∆VR ) = 0
-
1
1
τ
):

 −1  
lim  arctan 
  = 0°
 ω RC  

ω →∞
3. Studie van een RC-kring met kanteelspanning
3.1 Meetopstelling
We maken de opstelling zoals hieronder in figuur 12 weergegeven. We maken gebruik van
een functiegenerator die de benodigde kanteelspanning zal genereren. Op deze
functiegenerator kunnen we kiezen voor verschillende soorten spanning: kanteelspanning,
sinusoïdale spanning, etc. Tevens kunnen we de frequentie (en dus onrechtstreeks de periode
en hoekfrequentie) instellen. Om de aangelegde spanning en de spanning over de weerstand
weer te geven, maken we gebruik van een oscilloscoop. Een spanning meten we door de
oscilloscoop in parallel te schakelen met de tak van de kring waarover we de spanning wensen
te berekenen. De zwarte ingang van het eerste kanaal van de oscilloscoop is de aarding. De
meting van de geleverde spanning door de functiegenerator plaatsen we op kanaal 1 van de
oscilloscoop. De meting van de spanning over de weerstand R schakelen we aan het tweede
kanaal van de oscilloscoop (zie ‘CH1’ en ‘CH2’ op figuur 6 – ‘CH’ staat voor ‘channel’,
Engels voor ‘kanaal’). We hoeven slechts één draad van de aangegeven positie (figuur 12
links) met het tweede kanaal van de oscilloscoop te verbinden.
Figuur 12: Vereenvoudigde meetopstelling links, rechts foto van actuele schakeling in practicum
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
10
3.2 Metingen en berekeningen
We stellen de generator in op kanteelspanning en we stellen de oscilloscoop in zoals
beschreven op de figuren in bijlage 1 van dit verslag (figuur a,b,c en d). Vooraleer te beginnen
met metingen dienen we eerst nog de weerstand en capaciteit van de condensator te bepalen.
De capaciteit van de condensator rechtstreeks af te lezen op de condensator:
C = 0,1µ F ± 10% = 0,1× 10−6 F ± 10% . Voor de bepaling van de weerstand maken we gebruik
van de kleurcode op de weerstand (dit werd reeds uitgelegd in paragraaf 2.1). Uiteindelijk
bekomen we voor de weerstand: R = 10k Ω ± 5% = 10 ×103 Ω ± 5% . Uiteindelijk bekomen we
een tijdsconstante τ = R ⋅ C = 0, 001s = 1ms = 1000 µ s . We stellen de generatorfrequentie in op
f0 zoals hieronder weergeven:
1
f0 =
≈ 108, 7 s
9, 2τ
De amplitude van de kanteelspanning bedraagt Vm = 22,2V. De maximale spanning over de
weerstand bedraagt 20,2V. Normaalgezien zou de maximale spanning over de weerstand
moeten gelijk zijn aan de amplitude van de kanteelspanning. Toch zien we in de praktijk dat
dit niet zo is. Een mogelijke verklaring hiervoor is dat de geleiders die dienen als verbinding
tussen de verschillende elementen in de kring niet perfect geleidend zijn en ook optreden als
weerstand in de kring. Een bijkomende verklaring is dat de condensator niet volledig ontlaadt
maar dat er een lading aanwezig blijft op de condensatorplaten. Hieronder is een oscillogram
(figuur 13) weergegeven met generatorfrequentie f0.
Figuur 13: Oscillogram met f0 = 108,7 Hz
Figuur 14: Oscillogram met f0 = 1085 Hz
Om experimenteel de tijdsconstante τ te bepalen gaan we als volgt te werk. We plaatsen de
oscilloscoop in de stand om de spanning te meten. We plaatsen cursor 1 op de basislijn van
het signaal en plaatsen cursor 2 op de 1/ e -waarde van de piekspanning. Dus op spanning
8,16V. We verplaatsen het signaal tot de dalende exponentiële (afkomstig van de gemeten
spanning over de weerstand) de cursor in het schermmidden snijdt. We plaatsen nu de
oscilloscoop in de meetstand ‘time’ en we meten het tijdsinterval tussen de piek en 1/ e waarde (de afleiding van deze techniek werd reeds in paragraaf 3.1 gegeven). De gemeten
tijdsconstante bedraagt 900, 0 µ s . We zien dat deze experimenteel gemeten tijdsconstante de
theoretische zeer sterk benaderd. Er is slechts een verschil van 100, 0 µ s . Twee mogelijke
verklaringen hiervoor zijn:
- de weerstand en condensator hebben niet exact de aangeduide waarde
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
11
-
kleine afleesfout bij het experimenteel aflezen op de oscilloscoop
We vergroten nu langzaam de generatorfrequentie tot een frequentie van 10 × f 0 . Hierboven is
een oscillogram weergegeven (figuur 14) waarbij de frequentie 10 × f 0 ≈ 1,1kHz bedraagt. We
kunnen deze figuur vergelijkingen met de vorige figuur. We stellen vast dat de
spanningssprong die optreedt bij de weerstand verre van gelijk is aan de amplitude van de
kanteelspanning. Aangezien de som van de spanningen over condensator en weerstand gelijk
moet zijn aan de maximale spanning van de spanningsbron kunnen we afleiden dat de
condensator niet meer volledig ontlaadt. Er blijft een constante lading op de
condensatorplaten aanwezig. De permanente lading is tevens hoger dan de constante lading
die bij een generatorfrequentie f0 blijkbaar op de platen aanwezig was. In het concrete geval
van de onderstaande figuur kunnen we nu de permanente lading op de condensator gaan
bepalen. Aan de hand van de spanning spanningssprongen van de exponentiële functie kunnen
we de minimale spanning over de weerstand bepalen. Deze bedraagt: vR ≈ 12V . Vm bedraagt
ongeveer 22V. We werken met benaderende waarden omdat deze aflezingen tot stand zijn
gekomen door het tellen vakjes. De meetfout bedraagt dus 1V. De permanente lading op de
condensator bedraagt: q permanent = 1µ C = 1× 10−6 C . De berekening volgt hieronder:
Vm = vR + vC ⇔ 22V = 12V + vC ⇔ 10V = vC ⇔ q
C
= 10V ⇔ q = 10V ⋅ C ⇔ q = 1µ C = 1×10−6 C
4. Studie van een RC-kring met sinusspanning
Het doel van dit deel van het practicum is het experimenteel onderzoeken van het gedrag van
de RC-kring bij sinusoïdale spanning. In het bijzonder gaan we het faseverschil op twee
manieren zoeken.
4.1 Methode 1: faseverschil bepalen vanuit tijd tussen nuldoorgangen
4.1.1 Meetmethode
Voor deze proef maken we eveneens gebruik van een functiegenerator voor het opwekken van
het nodige spanningsverschil en om het spanningsverloop over de weerstand weer te geven
maken we gebruik van een oscilloscoop. We beginnen de proef met het maken van de
schakeling weergegeven in figuur 12, volledig analoog aan de schakeling gebruikt bij de
studie van de RC-kring met kanteelspanning. Nu stellen we de generator in op sinusoïdale
spanning en we beginnen met een frequentie van 5 Hz.
Voor het bepalen van de spanningsverhouding vR/Vm (dit is de verhouding van de maximale
spanning (de topwaarde) over de weerstand op de maximale spanning opgewekt door de
generator) gebruiken we oscilloscoop in de meetstand om spanning te meten. We lezen met
behulp van de cursor de topwaarden van de generatorspanning v en van de spanning over de
weerstand vR af. Om een zo nauwkeurig mogelijke waarde te bekomen, stellen we de
oscilloscoop in zodat we een zo groot mogelijke uitwijking in de Y-richting verkrijgen. We
noteren verder nog de frequentie en de bijhorende periode die we eveneens met de
oscilloscoop kunnen bepalen. Vervolgens zetten we de oscilloscoop in stand ‘Time’ en meten
we met de cursor het tijdsverschil tussen de nuldoorgangen van de grafieken v en vR . Ook
hier proberen we een zo groot mogelijke nauwkeurigheid na te streven en gaan we dus de
oscilloscoop zo instellen dat we een zo duidelijk mogelijk beeld hebben van de
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
12
nuldoorgangen. We zoomen in op twee nuldoorgangen. Zeker voor verdere metingen (bij
hogere frequenties) blijkt dit heel nuttig omdat de beide curven, die van v en die van vR, heel
dicht tot elkaar naderen bij hoge frequenties. Met de waarde van de tijdsverschillen tussen de
nuldoorgangen kunnen we het faseverschil bepalen. Na de notatie van al deze meetwaarden
bij een frequentie van 5 Hz verhogen we de frequentie van de generator tot 8 Hz en doen we
dezelfde metingen opnieuw. We herhalen deze metingen opnieuw voor hogere frequenties
zodat we ongeveer 20 waarden hebben gelijk verdeeld (volgens een logaritmische schaal)
over een interval van 5 Hz tot 10000 Hz (voor de specifieke waarden: zie de tabel met
resultaten verder).
We voeren een extra meting uit voor een de frequentie f = 1 2πτ en we vergelijken voor
deze meting vR/v en φ met de theoretische waarden (zie berekeningen). Voor elk van deze
frequenties meten we dus Vm, vR en het tijdsverschil tussen de nuldoorgangen. Uit dit
tijdsverschil kunnen we de faseverschillen bepalen. Deze metingen zijn terug te vinden in de
volgende paragraaf. Daar staat ook een grafiek van de verhoudingen VR/Vm als functie van de
frequentie. Bovendien staat in de volgende paragraaf het faseverschil in functie van de
frequentie.
4.1.2 Metingen
frequentie [1/s]
Vm [V]
VR [V]
5
10,6 3,40E-01
8
10,6 5,36E-01
10
10,6 6,72E-01
15
10,6
1,00
20
10,6
1,36
30
10,6
1,96
40
10,6
2,64
60
10,6
3,80
80
10,6
4,80
100
10,6
5,76
125
10,6
6,64
150
10,6
7,36
159
10,6
7,40
200
10,6
8,20
400
10,6
9,60
600
10,6
10,0
800
10,6
10,2
1000
10,6
10,2
2000
10,6
10,4
6000
10,6
10,4
10000
10,6
10,4
voor specifieke waarde f = (1/(2*Pi*R*C))
159
10,6
7,40
VR/Vm
3,21E-02
5,06E-02
6,34E-02
9,43E-02
1,28E-01
1,85E-01
2,49E-01
3,58E-01
4,53E-01
5,43E-01
6,26E-01
6,94E-01
6,98E-01
7,74E-01
9,06E-01
9,43E-01
9,62E-01
9,62E-01
9,81E-01
9,81E-01
9,81E-01
6,98E-01
∆t nuldoorgang [s] faseverschil φ [rad] periode [s]
5,0E-02
-1,6E+00
2,00E-01
2,8E-02
-1,4E+00
1,25E-01
2,4E-02
-1,5E+00
1,00E-01
1,6E-02
-1,5E+00
6,67E-02
1,2E-02
-1,5E+00
5,00E-02
7,5E-03
-1,4E+00
3,33E-02
5,4E-03
-1,4E+00
2,50E-02
3,3E-03
-1,2E+00
1,67E-02
2,2E-03
-1,1E+00
1,25E-02
1,6E-03
-9,8E-01
1,00E-02
1,1E-03
-8,6E-01
8,00E-03
8,8E-04
-8,3E-01
6,67E-03
7,8E-04
-7,8E-01
6,29E-03
5,0E-04
-6,3E-01
5,00E-03
1,5E-04
-3,8E-01
2,50E-03
6,8E-05
-2,6E-01
1,67E-03
3,4E-05
-1,7E-01
1,25E-03
2,4E-05
-1,5E-01
1,00E-03
8,0E-06
-1,0E-01
5,00E-04
8,0E-07
-3,0E-02
1,67E-04
4,0E-07
-2,5E-02
1,00E-04
7,8E-04
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
-7,8E-01
6,29E-03
13
VR/Vm in functie van de frequentie
1,20E+00
1,00E+00
VR /Vm
8,00E-01
6,00E-01
4,00E-01
2,00E-01
0,00E+00
1
10
100
1000
10000
frequentie [1/s]
faseverschil in functie van de frequentie
0,0E+00
faseverschil [rad]
-2,0E-01 1
10
100
1000
10000
-4,0E-01
-6,0E-01
-8,0E-01
-1,0E+00
-1,2E+00
-1,4E+00
-1,6E+00
-1,8E+00
frequentie [1/s]
4.1.3 Berekeningen
Het faseverschil φ in functie van de frequentie f en de tijd tussen de nuldoorgangen ∆t werd
gevonden door toepassing van de formule:
ϕ ( f , ∆t ) = 2π ⋅ f ⋅ ∆t
Er is bij de metingen een extra meting gedaan voor de frequentie f = 1 2πτ . In theorie zou bij
deze frequentie het faseverschil φ gelijk moeten zijn aan -45° of –π/4 rad (≈-0,7854 rad). De
verhouding Vm/VR zou gelijk moeten zijn aan 1/√2 of 0,71 (zie paragraaf 3.4). Als we in de
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
14
tabel met meetwaarden hierboven kijken naar de experimenteel gevonden waarden voor het
faseverschil, zijnde -0,78 rad en voor Vm/VR, zijnde 0,698 , komen deze vrij goed overeen met
de theoretische waarden. Exact hebben we de theoretische waarde niet benaderd met
experimentele waarden maar dit komt vooral door meetfouten en bijkomende weerstand van
de kabels. De ideale theoretische toestand is uiteraard niet te realiseren in de praktijk.
4.2 Methode 2: faseverschil bepalen met Lissajousfiguren
4.2.1 Meetmethode
Een andere methode om het faseverschil te bepalen is door gebruik te maken van
Lissajousfiguren. Hiervoor zet men de oscilloscoop in X,Y-stand. De X-ingang van de
oscilloscoop wordt verbonden met de sinusspanning v. Op het scherm van de oscilloscoop
verkrijgt men dan, in tegenstelling tot de sinusfuncties in de vorige methode, een elliptisch
beeld. Dit is een Lissjousfiguur (zie figuur 15, de klassiek oscilloscoopvoorstelling van beide
spanningen is ter vergelijking in figuur 16 weergegeven). We proberen de ellips in het midden
van het scherm te centreren zodat de nullijn van de X- en Y-versterker samenvallen met
respectievelijk de centrale x- en y-as op het scherm. Om nu het faseverschil te vinden bepalen
we voor een aantal frequentiewaarden (die bij voorkeur nog niet in vorige metingen zijn
gebruikt) de afstand CD en de afstand AB meten. De afstand CD is de afstand tussen de twee
snijpunten (C en D)van de Lissajousfiguur met de y-as en de afstand AB is de afstand tussen
het hoogste en het laagste punt van de Lissajousfiguur, dit is het stuk op de y-as als we het Xsignaal onderbreken(zie figuur 15). De gemeten waarden voor een tiental goedgekozen
frequenties zijn te vinden in de tabel in de volgende paragraaf met de metingen. Na deze
metingen doen we alweer een extra meting voor f = f = 1 2πτ en we vergelijken opnieuw
met de theoretische verwachtingen. In de volgende paragraaf staat ook de vorige grafiek van
de φ-waarden in functie van de aangelegde frequenties, maar nu aangevuld met de gevonden
waarden via deze methode zodat je goed visueel de beide methodes kan vergelijken.
Figuur 15: Lissajousfiguur
Figuur 16: Normale voorstelling
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
15
4.2.2 Metingen
frequentie [1/s]
CD [V]
AB [V]
CD/AB (=sin(-φ))
φ [rad]
6 4,00E-01 4,00E-01
1,00E+00
-1,57E+00
12 1,60E-03 1,70E-03
9,41E-01
-1,23E+00
25
3,20
3,60
8,89E-01
-1,09E+00
70
8,00
8,80
9,09E-01
-1,14E+00
159
7,80
12,00
6,50E-01
-7,08E-01
300
7,00
18,0
3,89E-01
-3,99E-01
500
6,00
20,0
3,00E-01
-3,05E-01
700
4,00
21,0
1,90E-01
-1,92E-01
1500
2,00
21,0
9,52E-02
-9,54E-02
3000
1,40
22,0
6,36E-02
-6,37E-02
4000
1,20
22,0
5,45E-02
-5,46E-02
faseverschil in functie van de frequentie
0,0E+00
faseverschil [rad]
-2,0E-01 1
10
100
1000
10000
-4,0E-01
-6,0E-01
-8,0E-01
methode 1
-1,0E+00
methode 2
-1,2E+00
-1,4E+00
-1,6E+00
-1,8E+00
frequentie [1/s]
4.2.3 Berekeningen
De snijpunten C en D met de y-as worden bekomen voor de hoek ωt1 = 0° en voor de hoek
ωt2 = -90°. Met de hoek 0° corresponderen x1=0 en y1=Ysinφ1 en met 90° komen x2=0 en y2=Ysinφ1 overeen. Als we de beide van elkaar aftrekken krijgen we de bewerking:
y1 − y2 = 2Y sin(ϕ1 )
wat overeenkomt met (zie figuur):
CD = AB sin(−ϕ )
Hieruit kunnen we dus het faseverschil φ berekenen uit de experimenteel bekomen waarden
voor AB en CD. De resultaten zijn opgenomen in de tabel hierboven.
Ook hier kunnen we de experimenteel gevonden waarde van φ bij de specifieke frequentie
van 159 Hz vergelijken met de theoretische waarde. Als we dat doen zien we dat onze
experimentele waarde (-0,707 rad) minder goed overeenkomt met de theoretische waarde
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
16
(-0,785 rad) als bij de vorige methode. Dit komt door een mindere nauwkeurigheid van de
tweede methode tegenover de eerste methode (zie ook verder in algemeen besluit).
4.3 Algemeen besluit
Als we kijken naar de twee methodes die we gebruikt hebben om het faseverschil
experimenteel te bepalen kunnen we opmerken dat de tweede methode (Lissajousfiguren)
meer schommelingen of afwijkingen geeft voor lage frequenties en dat, wat de hoge
frequenties betreft, de twee methodes redelijk goed overeenkomen. De reden voor een grotere
onnauwkeurigheid bij de tweede methode ligt in de gebreken van het oog om de afstanden CD
en AB correct in te schatten (de oscilloscoop heeft geen mechanisme om automatisch
afstanden te meten als we met Lissajousfiguren werken), maar ook in de fout waar de
oscilloscoop zelf voor zorgt. De lijnen zijn tamelijk dik en dus niet echt nauwkeurig. Als we
op ons experiment afgaan, lijkt de eerste methode voor lagere frequenties veel geschikter dan
de tweede methode. Voor hoge frequenties doet het er niet zo veel toe.
Een laatste opmerking is over de toepassing van onze gebruikte schakeling. De verhouding
VR/Vm verkleint naarmate de frequentie lager wordt en dus als logisch gevolg wordt het
groter bij hoge frequenties (dit is goed te zien in de grafiek). Deze keten filtert als het ware de
lage frequenties uit een bepaald signaal en wordt ook een hoog-doorlaatfilter genoemd. Een
hoog- of laag-doorlaatfilter wordt bijvoorbeeld gebruikt om bastonen van hoge tonen te
scheiden in een geluidssignaal om ze dan naar verschillende soorten specifieke luidsprekers
voor hoge of lage tonen te sturen.
5. Referenties
Cursussen/naslagwerken:
Serway, A. Raymond (2004). Physics for Scientists and Engineers. Belmont (USA):
Brooks/Cole-Thomson Learning. (Algemene theorie over weerstand, condensator, netwerken
met sinusspanning, etc.)
Wieme-Lenaerts, J.; Sanctorum, C.; Iserentant, C. (2003). Cursus Algemene Natuurkunde:
Mechanica Trillingen en Golven. Universiteit Gent/Faculteit Toegepaste Wetenschappen.
(Lissajousfiguren)
Webbronnen:
http://www.elexp.com/t_resist.htm (determineertabel weerstanden)
http://www.prestige.com.tw/pics/8b.jpg (figuur condensatoren)
http://www.muzique.com/schem/filter.htm (filters)
http://nl.wikipedia.org/wiki/Oscilloscoop (werking van de oscilloscoop)
http://www.qsl.net/wd1v/scopefaq/history.html (geschiedenis van de oscilloscoop)
http://www.cripe.ugent.be/Studenten/practicumproeven/RC-kring/rc-kring.htm (foto
opstelling)
+ practicumnota’s
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
17
BIJLAGE 1: Instelling van de oscilloschoop
Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)
Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek
e
18