TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (3D020)

TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (3D020)
25 juni 2001, 14.00 — 17.00 uur
Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven.
OPGAVE 1
Twee dunne geladen staven A en B van lengte l, met lijnladingsdichtheid λ, bevinden zich
in het xy vlak op afstand a van de oorsprong O, zoals getekend in de onderstaande figuur.
z
P
A
B
l
y
2a
x
~ ten gevolge van de staaf
a) Geef de grootte en de richting van de elektrische veldsterkte E
A in het punt P met coordinaten (0, 0,
√z). (Hint: de afstand van het punt P tot het
midden van de staaf is gelijk aan d = z 2 + a2 )
b) Laat zien dat het elektrische veld in het punt P ten gevolge van beide staven (A en B)
gelijk is aan
Ex = 0,
Ey = 0,


λl 
z

q
Ez =
2πε0 (z 2 + a2 ) z 2 + a2 + l2 /4
c) Bereken de elektrische potentiaal in het punt P . Neem de potentiaal gelijk aan 0 (nul)
in het oneindige.
(Hint: Het is hierbij onverstandig om gebruik te maken van het in onderdeel b) gevonden elektrische veld. Gebruik bij voorkeur een andere methode.)
d) Maak een schets van het bij onderdeel b) gevonden elektrische veld en de bij onderdeel
c) gevonden potentiaal als functie van z.
e) Bereken het elektrische veld in het punt P uit het bij onderdeel b) gegeven resultaat,
in de limiet l → ∞. Controleer het resultaat door voor deze situatie het elektrische
veld ook met de stelling van Gauss te berekenen.
i
OPGAVE 2
In onderstaande figuur is de doorsnede van de hoogfrequent zendspoel L van een MRI apparaat schematisch weergegeven. De spoel heeft een diameter dL = 0.5 m, een lengte l = 0.5
m en een aantal windingen N = 10. De spoel mag benaderd worden door een solenoide (In
werkelijkheid heeft de spoel een andere struktuur; dit wordt in deze opgave genegeerd).
z
L
y
R
x
Door de spoel wordt een wisselstroom I(t) gestuurd die gegeven wordt door
I0 = 5 A, ω = 4 × 108 rad/s
~
a) Geef de grootte en de richting van het veld B(t),
dat binnen de solenoide wordt
opgewekt (vergeet de tijdafhankelijkheid niet!)
I(t) = I0 cos ωt,
waarin
Een patiënt binnen de MRI scanner is — ondanks de richtlijnen terzake — vergeten een ring R
af te doen. Deze is cirkelvormig en heeft een doorsnede d = 1.5 cm. Het vlak van deze ring,
die in de figuur sterk vergroot is weergegeven, staat loodrecht op de as van de solenoide (de
y-as).
b) Bereken de magnetische flux Φring (t) die in deze ring wordt opgewekt.
c) Bereken de emk van inductie ε(t) over de omtrek van deze ring.
d) Als de ring een elektrische weerstand R = 10−2 Ω bezit, wat zou dan het gemiddelde
vermogen zijn dat in deze ring wordt gedissipeerd?
Hint: Als bijvoorbeeld een stroom door een weerstand r (co)sinusvormig varieert, dus
i = i0 cos ωt, wordt het gemiddelde vermogen gegeven door
Z π/ω
Z π/ω
1
2
2
Pgem =
i (t)r dt = i0 r
cos2 (ωt) dt = i02 r
2
−π/ω
−π/ω
De bovenstaande berekening gaat voorbij aan het feit, dat door de inductiestroom Iind in
de ring een veld Bind wordt opgewekt, dat het ”uitwendige” veld B tegenwerkt. Een ruwe
schatting van deze inductiestroom kan worden verkregen door de stroom door de ring te
berekenen die nodig is om precies midden in de ring een veld op te wekken dat gelijk is aan
het ”uitwendige” veld B. De relatie tussen Iind en Bind wordt gegeven door
µ Iind
Bind = 0
d
e) Bereken de stroom Iind waarvoor geldt Bind = B.
ii
OPGAVE 3
In de onderstaande figuur is schematisch een stelsel van 2 condensatoren weergegeven.
A
+100 V
d
M
d
-100 V
B
De bovenste condensator, C1 , wordt gevormd door de geleidende platen A en M ; de onderste
condensator, C2 , wordt gevormd door de geleidende platen B en M. De bovenste plaat (A)
bevindt zich op een vaste potentiaal van +100 V, de onderste plaat (B) bevindt zich op een
vaste potentiaal van -100 V. De middelste plaat (M ) is geïsoleerd opgehangen; er bevindt
zich op deze plaat geen netto lading. De afstand tussen de platen A en M en de afstand
tussen de platen M en B is gelijk aan d = 1 cm. Elk van de condensatoren C1 en C2 mag
beschouwd worden als een ideale vlakke plaatcondensator.
a) Toon met behulp van de wet van Gauss aan dat het elektrische veld boven en onder
de plaat M gelijk is.
b) Toon aan dat de potentiaal waarop de plaat M zich bevindt gelijk is aan nul.
Vervolgens wordt de ruimte tussen de platen B en M voor de helft gevuld met een dielektrisch
materiaal, zoals in de onderstaande figuur is aangegeven.
A
+100 V
d
M
d/2
d/2
B
-100 V
Voor de dielektrische constante van dit materiaal geldt κ = 5.
c) Bereken de potentiaal waarop de plaat M zich nu bevindt.
Het oorspronkelijke systeem (dus zonder dielektrisch materiaal) wordt nu gebruikt voor het
meten van de vochtigheid van lucht. Door de ruimte tussen de onderste 2 platen (M en
B) wordt lucht geblazen, waarin zich een fractie f vocht bevindt. Voor de dielektrische
constante van dit vocht/lucht mengsel geldt
κ(f) = 1 + 80f
d) Bereken de potentiaal van de plaat M voor het geval dat f = 10−4 .
iii
OPGAVE 4
In de onderstaande figuren (a) en (b) geldt dat R = 10 Ω. Voor de inwendige weerstand
van de gebruikte spanningsmeter V geldt dat RV = 1 kΩ, de inwendige weerstand van de
gebruikte stroommeter A wordt gegeven door RA = 0.1 Ω. Wanneer de spanningsmeter en
de stroommeter ideaal zouden zijn, zou gelden RV = ∞, RA = 0.
(a)
V
R
A
100 V
a) Wat zijn de waarden van de stroom door de weerstand R en de spanning over de
weerstand R in figuur (a) als de voltmeter en de stroommeter ideaal zouden zijn?
b) Wat zijn de waarden van de stroom door de weerstand R en de spanning over de
weerstand R in figuur (a) bij de gebruikte (niet ideale) meters?
c) Welke waarde van de stroom en de spanning worden in figuur (a) respektievelijk aangegeven door de (niet ideale) meters A en V ?
(b)
V
R
A
100 V
d) Wat zijn de waarden van de stroom door de weerstand R en de spanning over de
weerstand R in figuur (b) als de voltmeter en de stroommeter ideaal zouden zijn?
e) Wat zijn de waarden van de stroom door de weerstand R en de spanning over de
weerstand R in figuur (b) bij de gebruikte (niet ideale) meters?
f) Welke waarde van de stroom en de spanning worden in figuur (b) respektievelijk aangegeven door de (niet ideale) meters A en V ?
iv