zie ommezijde

Tentamen Klassieke Elektrodynamica, 12 mei 2011, 14–17 uur.
1. De elektrostatische energie U van een ladingsdichtheid ρ(~
r ) met bijbehorende potentiaal Φ(~
r ) is gegeven door
Z
1
U1 = 2 ρ(~
r )Φ(~
r ) d~
r.
(De potentiaal is op nul gesteld in het oneindige.) We kunnen de energie ook
schrijven in termen van het elektrische veld,
Z
1
~ r )|2 d~
U2 = 2 ε0 |E(~
r.
(a) Bewijs dat U2 = U1 , gebruik makend van de Maxwellvergelijkingen.
Een lading Q is uniform uitgespreid over een metalen bolschil (straal a). (Er
zit geen lading binnen de bol.) De bol heeft een potentiaal V ten opzichte
van het oneindige.
(b) Bereken de capaciteit C = Q/V van de bol.
(c) Toon aan, dat de elektrostatische energie van de bol gelijk is aan
1
U = 2 Q2 /C.
~ wordt gege2. Het cylindersymmetrische tijdsafhankelijke magnetische veld B
ven door
(
2
2
2
~ r , t) = B0 ẑ cos ωt als x 2 + y 2 < a2 ,
B(~
0
als x + y > a .
(a) Het opgegeven magneetveld is discontinu op de cylinderwand R = a.
Waarom is dit niet in strijd met de Maxwellvergelijkingen?
~ zowel voor R < a als voor
(b) Bereken het bijbehorende elektrische veld E,
R > a. Is het continu of discontinu voor R = a?
(c) Bereken de elektromagnetische energie die door de cylinderwand op R =
a stroomt, gemiddeld over één periode T = 2π /ω.
zie ommezijde
3. De tijdsafhankelijke elektrische potentiaal in de Lorentzijk voldoet aan de
inhomogene golfvergelijking
1 ∂2
1
∂2
Φ(~
r , t) − 2 2 Φ(~
r , t) = − ρ(~
r , t).
2
∂ r~
c ∂t
ε0
(a) Leid deze vergelijking af uit de Maxwellvergelijkingen.
(b) Geef de oplossing voor de potentiaal Φ als een integraal van de ladingsdichtheid ρ en leg uit wat de gebruikte symbolen betekenen.
~ r , t) = 0.
Er is een andere keuze van ijk mogelijk, waarbij div A(~
(c) Leid af, wat dan de differentaalvergelijking is die Φ aan ρ relateert. Wat
is nu de oplossing?
4. (a) Leid af, uitgaande van de Maxwellvergelijkingen, dat elektromagnetische
golven in vacuüm transversaal zijn.
(b) Leid af, uitgaande van de Maxwellvergelijkingen, dat elektromagnetische
golven in vacuüm zich voortplanten met snelheid (ε0 µ0 )−1/2 .
(c) Een vlakke elektromagnetische golf in vacuüm heeft zowel een elektrische als een magnetische energiedichtheid. Bereken de verhouding van deze
twee energie-dichtheden.
antwoorden tentamen KED, 12 mei 2011
1. (a) zie college.
(b) Φ(~
r ) = (4π ε0 )−1 Q/r voor r ≥ a, dus V = Q/4π ε0 a en dus C = 4π ε0 a.
(c) U = QV /2 = Q2 /2C.
2. (a) MIII impliceert dat de loodrechte component van het magneetveld continu zijn op een oppervlak. Daar is aan voldaan.
~ = φ̂ 1 RB0 ω sin ωt als R ≤ a;
(b) E
2
1
~
E = φ̂ 2 (a2 /R)B0 ω sin ωt als R > a. Het elektrisch veld is evenwijdig aan
het oppervlak, en dus continu.
~×B
~ ∝ sin ωt cos ωt middelt uit tot
(c) energiestroomdichtheid j~u = (1/µ)E
nul over één periode.
3. (a) en (b): zie college.
R
(c) ∆Φ(~
r , t) = −ρ(~
r , t)/ε0 ; Φ(~
r , t) = (4π ε0 )−1 ρ(~
r 0 , t)|~
r 0 − r~|−1 d~
r0
4. (a) en (b) zie college.
~ = |E|,
~ dus (ε0 /2)|E|
~ 2 = (1/2µ0 )|B|
~ 2 ; dus de verhouding is 1 : 1.
c) c|B|