EM1 tentamen april 2011

Elektromagnetisme 1 – 3NA30
7 april 2011, 14h00-17h00
•
•
•
•
•
•
Geef bij iedere toepassing van een kring- of oppervlakte-integraal duidelijk aan langs
welke weg of over welk oppervlak wordt geïntegreerd.
Het formuleblad is bijgevoegd ná de opgaven.
Het is niet toegestaan een rekenapparaat te gebruiken.
De uitslag hangt uiterlijk 24 april 2011 op het publicatiebord in N-laag.
De uitwerkingen van dit tentamen worden na afloop gepubliceerd op Studyweb.
Dit tentamen bestaat uit 3 opgaven
Opgave 1
We beschouwen een ladingsverdeling in de vorm van een cirkelschijf met straal en oppervlakte|sin | waarin de hoek met de positieve -as is, de afstand tot het
ladingsdichtheid
middelpunt en een constante. Deze ladingsverdeling ligt in het -vlak met het middelpunt in de
oorsprong. Het punt P ligt op de positieve -as.
z
P
r+dr
r
y
ϕ
x
1.1 Bereken het elektrische veld
in punt P van een smalle ring met straal tussen
tekening), uitgedrukt in eenheidsvectoren.
1.2 Bereken het elektrische veld
toren.
(zie
in punt P van de gehele cirkelschijf, uitgedrukt in eenheidsvec-
1.3 Bereken de totale elektrische potentiaal
aan nul.
1.4 Bereken de totale lading
en
in punt P. Stel de potentiaal in het oneindige gelijk
op de gehele schijf.
1.5 Toon aan dat het gedrag van het elektrische veld voor zeer grote waarden van gelijk is aan dat
van een puntlading met een grootte die overeenkomt met de onder 1.4 berekende waarde.
1
Opgave 2
Op een bolvormige geleider met straal bevindt zich een positieve lading .
Concentrisch daaromheen wordt een dunwandige geleidende bolschil geplaatst met lading 2 . De
straal van de binnenwand van deze bolschil is , die van de buitenwand is .
Het potentiaalverschil tussen de centrale bol en de bolschil is . Het nulpunt van de elektrische potentiaal wordt op
gekozen.
Het geheel bevindt zich in vacuüm.
c
b
a
2.1 Bereken de grootte en de richting van het elektrische veld
te.
als functie van
2.2 Leid af dat voor de potentiaal
geldt
in het gebied
in de gehele ruim-
.
2.3 Bereken de elektrische veldenergie in de gehele ruimte.
2.4 Bereken de capaciteit van de bolvormige geleider t.o.v de binnenwand van de bolschil, uitgedrukt in de grootheden en en natuurconstanten.
De bolschil wordt geaard.
2.5 Beredeneer of en zo ja hoe de volgende grootheden veranderen:
i.
De lading op de bolschil;
ii.
Het elektrische veld in de gehele ruimte;
iii.
De elektrische veldenergie in de gehele ruimte;
iv.
De capaciteit .
2
Opgave 3
Een coaxiale kabel bestaat uit een cilindervormige metalen kern met straat , een tussenruimte met
2 verschillende diëlektrische materialen en een metalen, cilindervormige (oneindig dunne) mantel
en
met straal . De beide diëlektrische materialen hebben een relatieve permeabiliteit van resp.
en zijn geplaatst zoals in onderstaande dwarsdoorsnede van de kabel. De kabel heeft een lengte
die zeer groot is (t.o.v. ).
R2
2R1
εr1
εr2
De kern en de mantel van de kabel worden aangesloten op een spanningsbron waardoor de kern op
een onbekende potentiaal wordt gebracht ten opzichte van de mantel. Op de kern is hierdoor een
lading
aanwezig en op de mantel een lading – . We kiezen de potentiaal van de mantel gelijk
aan nul. We nemen aan dat de veldlijnen radiaal lopen in de gehele ruimte.
3.1 Bereken de grootte en de richting van het elektrische veld
in de gehele ruimte.
Wanneer het antwoord op onderdeel 3.1 niet is gevonden, reken dan verder met
een constante is.
waarbij
3.2 Bereken alle polarisatie-oppervlakteladingsdichtheden die in het systeem aanwezig zijn. Geef
in een figuur duidelijk aan waar deze lading zich bevindt.
3.3 Bereken de polarisatieruimtelading in de beide diëlektrische materialen.
3.4 Bereken alle vrije-oppervlakteladingsdichtheden die op de kern en de mantel aanwezig zijn en
geef in een figuur duidelijk aan waar die oppervlakteladingen zich bevinden.
3.5 Bereken de capaciteit
van de kabel.
Puntenverdeling
Opgave
.1
.2
.3
.4
.5
Tot.
1
7
6
8
6
6
33
2
6
6
6
4
8
30
3
8
8
8
8
5
37
3
Formuleblad
•
Elektrische permittiviteit vacuüm:
C 2 /Nm2
8.845 10
1
8.988 10 Nm2 /C 2
4
•
•
Elementaire lading:
•
Verplaatsingsveld en polarisatie:
1.602177 10
C
Lijnintegraal van de elektrische veldsterkte:
,
•
vrij,omsloten
opp.
•
:
Stelling van Gauss in medium met diëlektrische constante
vrij,omsloten
,omsloten
opp.
,omsloten
opp.
.
Energie-dichtheid:
Afgeleiden
Integralen
arcsin
√
sin
cos
cos
ln
√
1
sin
arctan
1
/
√
1
1
ln
/
Integralen
√
Reeksontwikkeling
1
1
ln
1
sin
1
sin
1
cos
cos
sin
cos
1
tan
1
1
3!
2!
3!
5!
7!
2!
4!
2
15
6!
17
315
3
1
ln 1
1
1
2!
| |
/2
3!
2
4
3
4
| |
1
2
| |
1