Maxwelltheorie (NS-MAX) 23 maart 2005 - A

Departement Natuur- en Sterrenkunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU.
In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TB C van A−Eskwadraat.
Het college NS-MAX werd in 2004/2005 gegeven door .
Maxwelltheorie (NS-MAX)
23 maart 2005
Opgave 1. Bolcondensator
Beschouw twee concentrische metalen bollen (straal r1 resp. r2 ). De bollen staan in lucht
opgesteld. De buitenste bol is geaard, terwijl op de binnenste bol een positieve lading Q wordt
aangebracht.
a) Wat is de potentiaal buiten de grootste bol?
b) Wat is de potentiaal in de tussenruimte tussen de bollen?
c) Is de buitenste geaarde bol geladen? Zo ja, met welke totale lading?
d) Bereken de totale energie die in het elektrische veld zit opgeslagen.
e) Wat is de capaciteit van de bolcondensator?
Opgave 2. Statische stroomverdeling
Beschouw een gelokaliseerde, tijdsonafhankelijke stroomverdeling.
a) Beschouw het gebied buiten de stroomverdeling. Bewijs dat het magneetveld hier is af te
leiden uit een scalaire magnetische potentiaal.
b) Bewijs dat de stroomverdeling divergentievrij is.
c) Hoe is het magnetisch dipoolmoment gerelateerd aan de stroomverdeling? Geef een afleiding.
d) Beschouw het magneetveld vanaf een grote afstand van de stroomverdeling. Is experimenteel vast te stellen of het magneetveld wordt veroorzaakt door een constante ruimtelijke
stroomdichtheid, door een oppervlaktestroomdichtheid of door een permanent gemagnetiseerd medium? Licht uw antwoord zorgvuldig toe.
Opgave 3. Covariante Maxwellvergelijkingen
a) Beschouw de Maxwellvergelijkingen in vacuüm (formuleblad). Bewijs dat de elektrische en
magnetische velden af te leiden zijn van een vectorpotentiaal A en een scalaire potentiaal Φ.
Geef aan hoe de velden uit de potentialen uitgerekend kunnen worden.
b) Hoe luiden de bewegingsvergelijkingen voor de vector- en scalaire potentiaal? Leid deze
vergelijkingen af uit de Maxwellvergelijkingen.
c) Wat is covariantie? Bewijs dat de bewegingsvergelijkingen voor de vector- en scalaire potentiaal covariant zijn.
d) Wat is ijkinvariantie? Hoe luidt de Lorentz-ijkconditie?
e) Moet een ijkconditie covariant zijn?
Maxwell equations (in SI = RMKSA units) and units
~ =ρ
div D
~ =0
div B
~ =−∂B
~
rot E
∂t
~ = ∂D
~ + J~
rot H
∂t
The fields are related via dielectric and magnetic polarisation:
~ = 0 E
~ + P~
D
~
~ +M
~)
B = µ0 (H
Dielectric displacement [C/m2 ]:
Magnetic induction [Vs/m2 = T ]:
Continuity equation:
∂
d
ρ = ρ + div J~ = 0
dt
∂t
In linear media de Constitutive equations are valid:
~
P~ = 0 ( − 1)E
~ − (µ − 1)H
~
M
Dimensions and units:
Magnetic field [C/ms]:
Current density [C/m2 s]:
Dielectric susceptibility [-]:
Magnetic susceptibility [-]:
Magnetic polarization [C/ms]:
Magnetic moment [Am2 ]:
Dielectric polarization [C/m2 ]:
Dipole moment [Cm]:
Poynting vector (real fields):
Poynting vector (harmonic complex fields):
Energy density (J/m3 ]:
Permettivity of vacuum:
Permettivity of vacuum:
1 Gauss = 10−4 T
~
H
J~
χ=−1
κ=µ−1
~ = κH
~
M
R 3
~
m
~ = d rM
~
P~ = 0 χE
R 3
p~ = d rP~
~=E
~ ×H
~
S
1
~ = Re(E
~ ×H
~ ∗)
S
2
~ ·E
~ +B
~ · H)
~
U = 12 (D
−12
0 = 8.854 · 10
C/Vm
µ0 = 4π · 10−7 Vs/Am