sin ( α – β )

IBB
ribwis1
Toegepaste wiskunde - Goniometrie
Lesweek 4
Opleiding: Bouwkunde / Civiele
techniek Propadeuse, kernprogramma
2e kwartaal
1
Goniometrie

We kennen twee tekendriehoeken, de halve gelijkzijdige
driehoek en het halve vierkant.

De verhoudingen van de zijden is te berekenen met de stelling
van pythagoras en blijkt te zijn:

Voor de halve gelijkzijdige driehoek
Voor het halve vierkant


2
1 : √3 : 2
1 : 1 : √2
In rechthoekige driehoeken waarin de hoeken van 30°, 60° en
45° voorkomen, zullen deze verhoudingen bestaan.
Rechthoekige driehoeken
3
Verhoudingen van zijden

In elke driehoekige rechthoek is het mogelijk om met de
verhoudingen van de zijden, de hoeken te berekenen.

Men noemt dit goniometrie of hoekmeting.

Noemt men de zijden van een rechthoekige driehoek a, b en c
dan zijn er 6 verschillende verhoudingen mogelijk.



4
Sinus α = b / a
Cosinus α = c / a
Tangens α = b / c
Cosecans α = a / b
Secans α = a / c
Cotangens α = c / b
Sinus
C
Overstaande rechtshoekzijde
Sinus β =
Schuine zijde
a
b
Sin β =
a
β
A
5
c
b
B
Cosinus
C
Aanliggende rechtshoekzijde
Cosinus β =
Schuine zijde
a
b
Cos β =
a
β
A
6
c
c
B
Cosinus
C
Overstaande rechtshoekzijde
Tangens β =
Aanliggende rechtshoekzijde
a
b
Tan β =
c
β
A
7
c
b
B
Verband tussen cos, sin en tan
C
α = 90°
γ
► sinβ = b / a = 4/5 
β = 53,13°
► cosγ = b / a = 4/5 
5
4
γ = 36,87°
sin 53,13° = cos 36,87°
α
A
8
β
3
► sinβ = cos(90° - 53,13°) = 4/5
B
sinβ = cos(90° - β)
Verband tussen cos, sin en tan
C
α = 90°
γ
► cosβ = c / a = 3/5 
β = 53,13°
► sinγ = c / a = 3/5 
5
4
γ = 36,87°
cos 53,13° = sin 36,87°
α
A
9
β
3
► cosβ = sin(90° - 53,13°) = 3/5
B
cosβ = sin(90° - β)
Verband tussen cos, sin en tan
sin  b c b a b
 :  x   tan 
cos  a a a c c
10
Eenheidscircel
y-as
P (x,y)
1
O
11
y
x
x-as
Goniometrische verhoudingen in de
eenheidscircel





12
Elke hoek wordt ingesloten door twee benen,
het vaste – en het draaibeen
Elke hoek kan met zijn hoekpunt in de
oorsprong van het assenstelsel geplaatst
worden en met het vaste been langs de x-as
De hoek waarover gedraaid wordt heet α, deze
wordt uitgedrukt in graden.
De positieve richting van de draaihoek is tegen
de wijzers van de klok in
De grootte van de hoek wordt volledig bepaald
door de verhouding van de coordinaten van
een punt op de draaibeen (x, p).
y-as
P (x,y)
1
O
y
x
x-as
Goniometrische verhoudingen in de
eenheidscircel
•
In de eenheidscircel geldt voor de hoeken
y-as
van 0° tot 360°;
•
•
•
sin α = y
cos α = x
tan α = y / x
P (x,y)
1
O
x2  y2  1
Of
cos2 α + sin2 α = 1
13
Pythagoras
y
x
x-as
Goniometrische verhoudingen in de
eenheidscircel
In onderstaand figuur geven we
enkele sinussen van bekende hoeken
tussen 0° en 180°, dus in het eerste
en tweede kwadrant van de
eenheidscircel.
sin α = y
y-as
90
120
135
150
14
0,87
0,71
0,5
180
sin 180° = sin 0° = 0
sin 150° = sin 30° = 0,5
sin 135° = sin 45° = 0,71 (of 1/2√2)
sin 120° = sin 60° = 0,87 (of 1/2√3)
sin 90° = 1
60
45
30
0
O
x-as
Goniometrische verhoudingen in de
eenheidscircel
In het bovenstaand figuur geven we
enkele cosinussen van bekende
hoeken tussen 0° en 180°:
cos α = x
y-as
90
120
60
135
45
30
150
180
0
-1
15
cos 180° = -cos 0° = -1
cos 150° = -cos 30° = -0,87
cos 135° = -cos 45° = -0,71
cos 120° = - cos 60 = -0,5
-0,87 -0,71 -0,5
O
0,5
0,71 0,87 1
x-as
Goniometrische verhoudingen in de
eenheidscircel
•
Voor een hoek α in het tweede kwadrant
geldt:
•
sin α = sin ( 180° - α )
cos α = - cos ( 180° - α )
tan α = - tan (180° - α )
•
•
y-as
90
120
60
135
45
30
150
16
180
0
-1
-0,87 -0,71 -0,5
O
0,5
0,71 0,87 1
x-as
Radialen
y-as
90
1/2
1,57
120
2/3
150
5/6
60
2,09
1/3
1,05
30
2,62
1/6
0,52
180
0
3,14
2
O
1 1/6
1 5/6
3,66
210
1 1/3
1 2/3
4,18
5,23
300
240
17
1 1/2
270
4,71
x-as
0
6,28
5,76
330
360
Radialen


18
De omtrek van de eenheidscircel;
= 2 π r = 2 π 1 = 2 π = 6,28

Zo zal op elk punt van de circelomtrek een reel getal tussen 0
en 6,28 zijn afgebeeld.

Na een periode van 2π zal het zelfde punt weer worden bereikt,
we noemen dit een periodieke functie met een periode van 2π.

Een radiaal is de grootte van een circelboog waarvan de lengte
gelijk is aan de straal van de circel.
Radialen
19

In eenheidscircel bevat 2π radialen = 6,28 radialen.

.Éen radiaal is gelijk aan 360° / 2π = 57,3° = 57° 18’

Ook de middelpuntshoek α die op de boog staat van
één radiaal, noemen we een radiaal.

De radiaal kunnen we dus beschouwen als een
maateenheid voor het meten van circelbogen en
hoeken.
Radialen
Graden  Radialen
y-as
90°/360° * 2π = 1,57 →
1,57 / π = 0,5 →
1,57 = 0,5π
90
1/2
1,57
120
2/3
150
5/6
60
2,09
1/3
1,05
30
2,62
1/6
0,52
rad = α / 360 * 2π
180
0
3,14
2
O
1 1/6
1 5/6
3,66
210
1 1/3
1 2/3
4,18
1 1/2
270
20
4,71
6,28
5,76
330
360
Radialen  Graden
1 1/2π = 4,71 →
4,71 / 2π * 360° = 270°
5,23
300
240
x-as
0
α = rad / 2π * 360°
Radialen - sinus
Sin 1/6π = sin 0,52 = 0,5
(π/6 / 2π * 360° = 30° → sin 30° = 0,5)
y-as
Zo ook:
1
Sin 1/2π = sin 1,57 = 1
Sin π
= sin 3,14 = 0
Sin 1 1/6π = sin 3,66 = - 0,5
Sin 1 1/2π = sin 4,71 = -1
Sin 2π
= sin 6,28 = 0
21
Sinα = y
1/2
0,5
1/6
0
2
-0,5
1 1/6
1 1/2
-1
x-as
Radialen - cosinus
Cos 1/3π = cos π/3 =
cos 1,05 = cos 60° = 0,5
cosα = x
y-as
1/2
Zo ook:
Cos 1/2π = cos 1,57 = cos 90° = 0
Cos π
= cos 3,14 = cos 180° = -1
Cos 1 1/3π = cos 4,18 = cos 240° = - 0,5
Cos 1 1/2π = cos 4,71 = cos 270° = 0
Cos 2π
= cos 6,28 = cos 360° = 1
22
1/3
-1
1
0
-0,5
0,5
1 1/3
1 1/2
2
x-as
360
Tabel van de functie f(x) = sinx
0
1/6
π
1/3
π
1/2
π
2/3
π
5/6
π
π
1
1/6
π
1
1/3
π
1
1/2
π
1
2/3
π
1
5/6
π
2π
0
0,5
0,9
1
0,9
0,5
0
-0,5
-0,9
-1
-0,9
-0,5
0
x
f(x)
f(x) = sin x
y-as
1
1/2
1
0,5
0,5
0
0
-0,5-0,5
1 1/6
23
1 1/2
-1
-1
1/6
2
1/6
x-as
1/3
1/2
2/3
5/6
1 1/6
1 1/3
1 1/2
1 2/3
1 5/6
2
Tabel van de functie f(x) = cosx
0
1/6π
1/3π
1/2π
2/3π
5/6π
π
1
1/6π
1
1/3π
1
1/2π
1
2/3π
1
5/6π
2π
1
0,9
0,5
0
-0,5
-0,9
-1
-0,9
-0,5
0
0,5
0,9
1
x
f(x)
f(x) = cos x
1
0,5
0
-0,5
24
-1
1/6
1/3
1/2
2/3
5/6
1 1/6
1 1/3
1 1/2
1 2/3
1 5/6
2
Onderscheidt tussen de cos- en sinfunctie
25

De cosinusfunctie ijlt dus een ½ π (of een
kwart periode ) na.

(Men kan de cosinus beschouwen als een
sinusfunctie waarvan de grafiek een ½ π
(naar links) verschoven is.)
Sinusregel
Sin α = h / b → h = b sin α
C
Sin β = h / a → h = a sin β
b
h
a
a sin β = b sin α
a : sin α = b : sin β
A
c
a
b
c


sin  sin  sin 
26
B
De verhoudingen tussen
de lengte van een zijde en
de sinus van de
tegenoverliggende hoek
zijn aan elkaar gelijk.
Oppervlakte van een driehoek
C
b
A
sin α = h / b
h
h = b sin α
a
c
B
Voor de oppervlakte van ∆ ABC vinden we nu door substitutie van h in:
½ * basis * hoogte = ½ * c*h
ABC = ½ b c sin α
27
Oppervlakte van een driehoek

Uit de gevonden formule kan men door
cyclische verwisseling de twee anderen
afleiden.

ABC = ½ a c sin β
ABC = ½ a b sin γ

28
Oppervlakte van een driehoek
De oppervlakte van een driehoek is
gelijk aan het halve product van twee
zijden , vermenigvuldigd met de
sinus van de ingesloten hoek.
29
Cosinusregel
C
b
b2 = h2 + (c – p)2
a2 = h2 + p2
a
h
b2 – a2 = (c – p)2 – p2
b2 = a2 + c2 – 2 c p
p = a cos β
p
A
c
B
regel 2 in regel 1
b2 = a2 + c2 – 2 a c cos β
30
→
regel 1
regel 2
Cosinusregel
Het kwadraat van een zijde is gelijk aan de som van
het kwadraat van de andere zijden verminderd met
het dubbele product van de andere zijden en de
cosinus van hun ingesloten hoek.
Zo ook:
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
c2 = a2 + b2 – 2 a b cos γ
31
De somformule 01 (Sinus)
De oppervlakte van ∆ POR is ook gelijk aan de som van de
twee rechthoekige driehoeken;
PRS en QRS,
R
waarin RS zowel gelijk is aan;
pcosβ
als aan
q
p
qcosα
h
P
32
S
Q
De somformule 01 (Sinus)
Opp. ∆ PQR = ½ pq sin (α + β)
( h = q ( sin α + β)
h
P
33
pcosβ
q
qcosα
R
S
De oppervlakte van een
driehoek is gelijk aan het
halve product van twee
zijden , vermenigvuldigd
met de sinus van de
ingesloten hoek.
p
Q
De somformule 01 (Sinus)
Opp. ∆ RSQ = ½p * q cos α * sin β  Opp. ∆ RSQ = ½pq sin β cos α
q
h
P
34
qcosα
pcosβ
R
S
De oppervlakte van een
driehoek is gelijk aan het
halve product van twee
zijden , vermenigvuldigd
met de sinus van de
ingesloten hoek.
p
Q
De somformule 01 (Sinus)
Opp. ∆ PRS = ½p * q cos β * sinα  Opp. ∆ PRS = ½pq sinα cos β
q
h
P
35
qcosα
pcosβ
R
S
De oppervlakte van een
driehoek is gelijk aan het
halve product van twee
zijden , vermenigvuldigd
met de sinus van de
ingesloten hoek.
p
Q
De somformule 01 (Sinus)
Opp. ∆ PQR = ½ pq sin (α + β)
Opp. ∆ RSQ = ½pq sin β cos α
Opp. ∆ PRS = ½pq sinα cos β
( h = q ( sin α + β)
Gelijkstellen:
∆PQR = ∆RSQ + ∆PRS
½ pq sin (α + β) = ½pq sin β cos α + ½pq sinα cos β
Hieruit volgt na deling van beide leden door ½ pq:
sin (α + β) = sin β cos α + sinα cos β
36
(Formule 1)
De Verschilformule 02 (Cosinus)
En voor een cosinus van een verschil van beide hoeken, cos(α – β)
We weten al dat:
cos α = sin ( 90° - α ) en sin α = cos ( 90° - α ) , daarvoor:
cos (α – β) = sin (90 – (α – β)) = sin ((90 – α) + β)
In formule 1:
sin((90 – α) + β) = sin(90 – α) cos β + cos(90 – α) sin β =
sin((90 – α) + β) = cos α cos β + sin α sin β
37
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
(Formule 2)
De Verschilformule 03 (Sinus)
De oppervlakte van ∆ POR = ½ pq sin (α – β )
∆ POR = ΔPRS - ΔQRS
RS = pcosβ = qcosα.
R
ΔPRS = ½ q RS sinα = ½ q pcosβ sinα = ½ pq sinα cosβ
q
p
Dit levert dus op:
P
38
½ pq sin ( α – β ) = ½ pq sin α cos β – ½ pq cos α sin β
Q
qcosα
pcosβ
ΔQRS = ½ p RS sinβ = ½ p qcosα sinβ = ½ pq sinβ cosα
S
De Verschilformule 03 (Sinus)
Hieruit volgt na deling door ½ pq:
sin ( α – β ) = sin α cos β – cos α sin β
39
(Formule 3)
De Somformule 04 (Cosinus)
En m.b.v. formule 3 geldt voor de cosinus
Van de som van beide hoeken, cos(α + β) :
Met behulp van: sin α = cos ( 90° - α ) , cos α = sin ( 90° - α )
cos (α + β) = sin (90 – (α + β)) = sin ((90 – α ) - β)
sin ((90 – α ) - β) = formule 3 = sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
sin ((90 – α) - β) = sin ( 90° - α ) cos β – cos ( 90° - α ) cos β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α cos β
40
(Formule 4)
Som – en verschilformules
SOMFORMULES
sin (α + β) = sin β cos α + sinα cos β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α cos β
VERSCHILFORMULES
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
sin ( α – β ) = sin α cos β – cos α sin β
41
Verdubbelingsformule
Indien men in de somformule,
sin (α + β) = sin β cos α + sinα cos β, (formule 1)
Voor β = α neemt:
dan krijgt men de verdubbelingsformule
sin2α = 2 * sinα * cosα.
42
Verdubbelingsformule
Indien men in de somformule,
cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β , (formule 4)
Voor β = α neemt:
dan krijgt men de verdubbelingsformule
cos2α = cos2α – sin2α
43
Formules voor dubbele hoeken
cos2α = cos2α – sin2α
Vervangt men hierin cos2α door ( 1 – sin2α ) dan is:
cos2α = 1 – 2 sin2α
2 sin2α = 1 - cos2α
Vervangt men sin2α door ( 1 – cos2α ) dan ontstaat:
cos 2α = 2 cos2α – 1
2 cos2α = cos 2α + 1
44
Formules voor dubbele hoeken



45
De bovenstaande nevenformules stellen ons
in staat van een enkele hoek naar een
dubbele hoek over te stappen
of van een kwadratische vorm een nietkwadratische te maken.
Natuurlijk mogen we in deze formules de
dubbele hoek vervangen door een enkele,
een vierdubbele enzovoorts.
Formules voor dubbele hoeken
De formule sin2α = 2*sinα * cosα kan dan bijvoorbeeld worden:
sinα = 2*sin ½ α * cos ½ α
Of
sin4α = 2 * sin 2α * cos 2α
en ook
sin ½α = 2 * sin ¼ α * cos ¼ α
Zelfs
46
sin 3 ½ α = 2*sin 1 ¾ α * cos 1 ¾ α, enzovoorts
EINDE
Docent: M.J.Roos
WWW.HRO.MROOS.COM
47