Differentiëren (pakketje)

Afgeleide functie
1)
Annika rijdt een tijdrit over 40 kilometer. Het verloop wordt beschreven
door de volgende formule: 𝑠(𝑡) = −0,00015𝑡 3 + 0,017𝑡 2 + 0,116𝑡.
Hierbij is t de tijd in minuten en s de afgelegde afstand in kilometers.
a.
Bereken s(15) en s(30). Wat is de betekenis van s = s(30) – s(15)?
b.
Wat is Annika’s gemiddelde snelheid van t = 15 tot t = 30?
c.
Bereken ook de gemiddelde snelheid van t = 15 tot t = 16.
d.
Bereken tenslotte ook de gemiddelde snelheid van t = 15 tot t = 15,001.
e.
Op Annika’s fiets zit een snelheidsmeter.
Schat welke snelheid deze op t = 15 aangaf.
Theorie
Een verandering van een variabele x geef je aan met x.
Als x toeneemt van 3 tot 5 geldt x = 2.
Bij een verandering van f(x) hoort als notatie f(x) of y.
De gemiddelde verandering van een functie f op het interval [a, b] is:
f(x) y 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
=
=
x
x
𝑏−𝑎
Deze ‘deling van verschillen’ wordt ook wel het differentiequotiënt van f
op het interval [a, b] genoemd.
Het differentiequotiënt van f op het interval [a, b] is de gemiddelde helling van de grafiek
van f op dat interval. Door a en b heel dicht bij elkaar te nemen, kun je ook de helling in één
punt/op één moment benaderen (zie 1d/e).
2)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 .
a.
Bereken de helling in het punt (3, 9) m.b.v. het differentiequotiënt van f
op het interval [3; 3,001].
b.
Als a, maar nu op het interval [3, 3 + h].
c.
Bereken de helling in het punt (5, 25) op de twee manieren van
de onderdelen a en b.
d.
Bereken de helling in het punt (p, p2) m.b.v. het interval [p, p + h].
3)
Gegeven is de functie 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 .
Bereken de helling in het punt (p, p3) m.b.v. het interval [p, p + h].
4)
Gegeven is de functie ℎ(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 + 5.
Bereken de helling in het punt (p, 3p2 – 2p + 5) m.b.v. het interval [p, p + h].
Theorie
Bij de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 is de helling in elk punt te berekenen.
Je krijgt zo de hellingfunctie of afgeleide functie: 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥.
Ook bij andere functies kan de afgeleide berekend worden.
Het berekenen van de afgeleide functie heet differentiëren.
Tabel met voorbeelden:
Functie
Afgeleide functie
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
𝒇′ (𝒙) = 𝟐𝒙
𝑓(𝑥) = 𝑥 3
𝒇′ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
𝑓(𝑥) = 𝑥 4
𝒇′ (𝒙) = 𝟒𝒙𝟑
…
…
Tabel met algemene regels voor het differentiëren:
Functie
Afgeleide functie
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑐
ℎ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥)
ℎ(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓(𝑥)
ℎ′ (𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓 ′ (𝑥)
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
ℎ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑔′ (𝑥)
Betekenis van de afgeleide:
*
𝑓 ′ (𝑎) is de helling in het punt (a, f(a))
*
𝑓 ′ (𝑎) is ook de snelheid op tijdstip a
*
als 𝑓 ′ (𝑥) > 0 dan stijgt de grafiek van f
als 𝑓 ′ (𝑥) < 0 dan daalt de grafiek van f
als 𝑓 ′ (𝑥) = 0 dan heeft de grafiek van f een horizontale raaklijn
Grafische rekenmachine:
De afgeleide waarde in een bepaald punt is ook te vinden met de GR via CALC, 6: dy/dx.
In dit pakketje wordt meestal de waarde van de helling exact gevraagd, dus via de
afgeleide functie.
5)
Bereken de afgeleide functie 𝑓 ′ (𝑥).
a.
𝑓(𝑥) = 𝑥 5
b.
𝑓(𝑥) = 7𝑥 3 + 3𝑥 2
c.
𝑓(𝑥) = 8𝑥 2 − 8
d.
𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 + 4𝑥 + 6
e.
𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 − 𝑥 3 + 4𝑥
f.
𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 3 + 𝑥
Theorie
Voorbeeld
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 5𝑥 2 − 𝑥 + 2.
a.
Bereken exact de helling in het punt (3, 44).
b.
Bereken exact de top m.b.v. de f’.
c.
Bereken exact waar de helling – 4 is.
d.
Bereken exact de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (1, 6).
Oplossing
a.
𝑓 ′ (𝑥) = 10𝑥 − 1
𝑓 ′ (3) = 30 − 1 = 29
b.
helling in de top is gelijk aan 0, dus: 𝑓 ′ (𝑥) = 0 oplossen
10𝑥 − 1 = 0
10𝑥 = 1 𝑑𝑢𝑠 𝑥 = 0,1
𝑓(0,1) = 5 ∙ 0,12 − 0,1 + 2 = 1,95 𝑑𝑢𝑠 𝑡𝑜𝑝: (0,1; 1,95)
c.
𝑓 ′ (𝑥) = −4 oplossen
10𝑥 − 1 = −4
10𝑥 = −3 𝑑𝑢𝑠 𝑥 = −0,3
𝑓(−0,3) = 5 ∙ (−0,3)2 − (−0,3) + 2 = 2,75 𝑑𝑢𝑠 (−0,3; 2,75)
(𝑠𝑐ℎ𝑒𝑣𝑒) 𝑟𝑎𝑎𝑘𝑙𝑖𝑗𝑛: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
d.
𝑎 = 𝑓 ′ (1) = 10 ∙ 1 − 1 = 9 (hellingsgetal of richtingscoëfficiënt van de raaklijn)
𝑎 = 9 𝑖𝑛𝑣𝑢𝑙𝑙𝑒𝑛 𝑔𝑒𝑒𝑓𝑡: 𝑦 = 9𝑥 + 𝑏
𝑟𝑎𝑎𝑘𝑝𝑢𝑛𝑡 (1, 6) 𝑖𝑛𝑣𝑢𝑙𝑙𝑒𝑛 𝑔𝑒𝑒𝑓𝑡: 6 = 9 ∙ 1 + 𝑏
𝑏 = 6 − 9 = −3 𝑑𝑢𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑖𝑛𝑔 𝑤𝑜𝑟𝑑𝑡: 𝑦 = 9𝑥 − 3
(Op de GR is de formule te vinden via DRAW, 5: Tangent, x=1 invullen.)
6)
Bereken van elke functie de helling in het gegeven punt.
Geef eerst een exacte berekening m.b.v. de afgeleide functie en controleer daarna
met de GR.
a.
𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 − 2𝑥
b.
𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 4
helling in het punt (1, 1)
helling in het punt (3, - 23)
7)
Bereken exact bij elke functie een vergelijking van de raaklijn in het/de gegeven punt(en).
a.
𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 + 5
raaklijn in het punt (1, 8)
b.
𝑓(𝑡) = 2𝑡 2 − 3𝑡 + 1
raaklijn in het punt (- 2, …)
c.
𝑓(𝑎) = 𝑎3 − 4𝑎2 + 3𝑎
raaklijn in het punt (- 2, …)
d.
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 15
raaklijn in het snijpunt met de y-as
e.
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 15
raaklijnen in de snijpunten met de x-as
8)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥.
a.
Bereken exact voor welke waarde van x de helling 0 is. Welk punt hoort daarbij?
b.
Bereken exact in welk punt van de grafiek de helling 5 is.
9)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 𝑥 − 3.
a.
Bereken in welk punt van de grafiek de helling – 3 is.
b.
In welk punt is de helling 0?
10)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑡) = 12𝑡 2 − 3𝑡 + 1.
In welk punt van de grafiek loopt de raaklijn evenwijdig met de lijn 𝑦 = −5𝑡 + 7?
11)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑎) = −𝑎3 + 12𝑎 + 1.
In welke punten van de grafiek loopt de raaklijn horizontaal?
12)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑎) = 𝑎3 + 6𝑎2 + 1.
In welke punten van de grafiek loopt de raaklijn evenwijdig aan de x-as?
13)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = √𝑥.
a.
Schrijf deze functie als macht van x: 𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥 … .
b.
Bereken 𝑓 ′ (𝑥) en schrijf deze vorm zonder gebroken exponent.
c.
Stel een vergelijking op van de raaklijn in het punt (9, 3) via exacte berekening.
d.
Bereken de helling in het punt (𝑝, √𝑝) m.b.v. het differentiequotiënt op het interval [p, p + h]
en toon zo aan, dat de gevonden afgeleide klopt.
(Tip: vermenigvuldig de gevonden breuk met
√𝑝+ℎ+√𝑝
√𝑝+ℎ+√𝑝
en werk het verder uit…)
1
14)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥
a.
Schrijf deze functie als macht van x: 𝑓(𝑥) = 𝑥 = 𝑥 … .
b.
Bereken 𝑓 ′ (𝑥) en schrijf deze vorm zonder negatieve exponent.
c.
Stel een vergelijking op van de raaklijn in het punt (4, 4) via exacte berekening.
d.
Bereken de helling in het punt (𝑝, 𝑝) m.b.v. het differentiequotiënt op het interval [p, p + h]
1
1
1
en toon zo aan, dat de gevonden afgeleide klopt.
15)
Schrijf elk van de volgende functies telkens als macht van x, bereken de afgeleide functie
ervan en schrijf de afgeleide tenslotte zonder negatieve/gebroken exponenten.
a.
𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥
b.
𝑓(𝑥) = 𝑥 3
c.
𝑓(𝑥) =
d.
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 √𝑥
e.
𝑓(𝑥) =
f.
𝑓(𝑥) =
16)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 .
1
−5
𝑥2
2
√𝑥
10
𝑥 √𝑥
5
Stel d.m.v. exacte berekening een vergelijking op van de raaklijn in het punt (- 1, …).
17)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥 3 .
a.
Bereken 𝑓 ′ (𝑥).
b.
Bereken exact voor welke x-waarden geldt: 𝑓 ′ (𝑥) = 0.
c.
Maak een tekenschema van 𝑓 ′ (𝑥). Dit is een getallenlijn, met boven de x-en van onderdeel
b ‘nulletjes’. Zet verder boven intervallen waar de grafiek van f stijgt ‘plusjes’ en boven
intervallen waar de grafiek van f daalt ‘minnetjes’. (Zie ook het volgende voorbeeld.)
d.
Bereken exact de uiterste (of extreme) waarden van f (=minima/maxima).
e.
Bereken exact de snijpunten met de assen.
f.
Teken de grafiek van f. Gebruik daarvoor alle informatie van de voorgaande onderdelen
en bereken nog enkele punten indien nodig (via GR: TABLE).
Theorie
Met behulp van het tekenschema van f ’ is na te gaan voor welke waarden van x een
functie stijgt (f ’(x) > 0) of daalt (f ‘(x) < 0) en voor welke waarden van x de functie een
uiterste (of extreme) waarde heeft. Bij een extreme waarde gaat het altijd om een functiewaarde oftewel een y-waarde!
Voorbeeld
𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 5𝑥
Ga na voor welke waarden van x de functie stijgt, daalt of een uiterste waarde heeft.
Oplossing
𝑓 ′ (𝑥) = −2𝑥 + 5
𝑓 ′ (𝑥) = 0
−2𝑥 + 5 = 0
1
𝑥 = 22
++++++++++ 0−−−−−−−−−−
212
stijgt
daalt
𝑓′
𝑥
f
Er is een overgang van stijgen naar dalen, dus een maximum: 𝑓(212 ) = 614.
Dit is dus de maximale functiewaarde/y-waarde van f.
18)
Gegeven is de functie f(x) = −x 2 + 6x − 2.
a.
Maak een tekenschema van f ‘(x) en bereken exact de uiterste waarde(n) van f.
b.
Bereken exact het snijpunt met de y-as alsook nog enkele punten en teken de grafiek van f.
c.
Bereken exact de helling in de punten (1, 3) en (5, 3). Wat valt je op?
19)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 112𝑥 2 .
a.
Maak een tekenschema van f ‘(x) en bereken exact de uiterste waarde(n) van f.
b.
Bereken exact de snijpunten met de assen.
c.
Teken de grafiek van f. Bereken nog enkele punten indien nodig (via GR: TABLE).
d.
Stel via exacte berekening een vergelijking op van de raaklijn in het punt (- 2, …).
e.
In welke punten is de helling 6?
1
20)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 1 2 𝑥 2 + 6.
a.
Maak een tekenschema van f ‘(x) en bereken exact de uiterste waarde(n) van f.
b.
Bereken exact het snijpunt met de y-as alsook nog enkele punten en teken de grafiek van f.
c.
Stel via exacte berekening een vergelijking op van de raaklijn in het punt met
als x-coördinaat 2.
d.
Bereken exact een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek, die evenwijdig loopt aan
de lijn 𝑦 = 34𝑥 + 8.
21)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 4√𝑥 − 𝑥.
a.
Maak een tekenschema van f ‘(x) en bereken exact de uiterste waarde(n) van f.
b.
Bereken exact de snijpunten met de assen.
c.
Bereken nog enkele punten en teken de grafiek.
d.
Stel via exacte berekening een vergelijking op van de raaklijn in het punt (1, …).
22)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 14𝑥 4 − 2𝑥 2 .
a.
Maak een tekenschema van f ‘(x) en bereken exact de uiterste waarde(n) van f.
b.
Bereken exact de snijpunten met de assen.
c.
Bereken nog enkele punten en teken de grafiek.
23)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 3𝑥.
a.
Maak een tekenschema van f ‘(x) en bereken exact de uiterste waarde(n) van f.
b.
Bereken exact de snijpunten met de assen.
c.
Bereken nog enkele punten en teken de grafiek.
d.
In welke punten is de helling – 6?
24)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 0,5𝑥 4 − 2𝑥 3 .
a.
Maak een tekenschema van f ‘(x) en bereken exact de uiterste waarde(n) van f.
b.
Bereken exact de snijpunten met de assen.
c.
Bereken nog enkele punten en teken de grafiek.
d.
Wat zijn de coördinaten van het buigpunt?
Gebroken functies
3𝑥+2
25)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) =
a.
Wat is het domein van f?
b.
Welke lijn is de verticale asymptoot van de grafiek van f?
c.
Welke lijn is de horizontale asymptoot van de grafiek van f?
d.
Maak een tabel en teken de grafiek van f.
𝑥−4
Theorie
𝑥+5
A
B
C
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 2𝑥−6
Hoe vind je het domein van f?
Bereken hiervoor de nulwaarden van de noemer.
2𝑥 − 6 = 0 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑟𝑡 𝑥 = 3
𝐷𝑓 = 𝑅\{3} 𝑜𝑓 𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑜𝑡𝑒𝑒𝑟𝑑 𝐷𝑓 =<← ,3 >∪< 3, →>
Hoe vind je een eventuele verticale asymptoot?
Ga na of de noemer nulwaarden heeft. Zo nee, dan is er geen verticale asymptoot.
Zo ja, dan kan er bij die waarde van x een verticale asymptoot zijn, wanneer de teller bij die
waarde van x ongelijk aan nul is. Anders is er sprake van een perforatie (zie volgende vb).
Hier is de lijn x = 3 een verticale asymptoot. (Korter genoteerd: VA: x = 3.)
Hoe vind je een horizontale asymptoot?
Deel teller en noemer door de hoogste macht van x in de noemer en bereken daarna
de limiet voor 𝑥 → +∞ en voor 𝑥 → −∞.
𝑥 5
5
+
1+
𝑥+5
1+0
1
𝑙𝑖𝑚
𝑥 𝑥
𝑥
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 = 2𝑥 6 =
f(x)=2−0 = 2 dus HA: y = ½
6 en
−
2−
𝑥 → ±∞
𝑥
𝑥
𝑥
Soms heeft de grafiek van een gebroken functie een perforatie (= ’gaatje’), zoals te zien is
in het volgende voorbeeld.
2𝑥−6
Bekijk de functie 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 −9
Om een eventuele verticale asymptoot te vinden, moet je de noemer gelijk aan nul stellen:
𝑥2 − 9 = 0
𝑥 2 = 9 𝑑𝑢𝑠 𝑥 = 3 𝑜𝑓 𝑥 = −3
De teller wordt echter ook bij één van deze waarden gelijk aan nul:
2𝑥 − 6 = 0
2𝑥 = 6 𝑑𝑢𝑠 𝑥 = 3
Er is dus een verticale asymptoot aanwezig: 𝑉𝐴: 𝑥 = −3
maar bij 𝑥 = 3 is er sprake van een perforatie, er is een punt uit de grafiek ‘weggehaald’.
Hierbij is de functie ook te vereenvoudigen:
2𝑥−6
2(𝑥−3)
2
𝑔(𝑥) = 𝑥 2 −9 = (𝑥+3)(𝑥−3) = 𝑥+3 (𝑚𝑖𝑡𝑠 𝑥 ≠ 3)
Met deze vereenvoudigde vorm is ook de y-coördinaat van de perforatie te berekenen:
2
2
1
1
𝑔(3) = 3+3 = 6 = 3 dus er is een perforatie aanwezig bij het punt (3, 3).
26)
Bereken van elke functie het domein, de asymptoten en eventuele perforaties.
a.
𝑓(𝑥) = 6−2𝑥
b.
𝑔(𝑥) = 𝑥 2 −2𝑥
c.
ℎ(𝑥) = 𝑥 2 −𝑥
d.
𝑖(𝑥) =
27)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥−1
a.
Bereken het differentiequotiënt op het interval [3; 3,001].
b.
Hoe groot schat je de helling in het punt (3, 4½)?
5𝑥−8
𝑥 2 −4
−2𝑥
3𝑥−2𝑥 2
𝑥 2 +5
𝑥2
Theorie
Productregel
𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ (𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣 ′ (𝑥)
Quotiëntregel
𝑢(𝑥)
𝑢′ (𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣 ′ (𝑥)
𝑓(𝑥) =
→ 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑣(𝑥)
𝑣 2 (𝑥)
Voorbeeld
Bereken de afgeleide van 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −5𝑥
4𝑥+1
Uitwerking
Bereken eerst de afgeleide van de teller u(x) en de noemer v(x) en daarna pas f ’(x).
𝑢(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 → 𝑢′ (𝑥) = 2𝑥 − 5
𝑣(𝑥) = 4𝑥 + 1 → 𝑣 ′ (𝑥) = 4
𝑓 ′ (𝑥) =
𝑢′ ∙𝑣−𝑢∙𝑣 ′
𝑣2
=
(2𝑥−5)(4𝑥+1)−(𝑥 2 −5𝑥)∙4
(4𝑥+1)2
=
8𝑥 2 −18𝑥−5−(4𝑥 2 −20𝑥)
(4𝑥+1)2
=
4𝑥 2 +2𝑥−5
(4𝑥+1)2
Let op: in de teller wel de haakjes wegwerken, maar in de noemer niet.
28)
Neem de functie van opgave 27.
a.
Bereken f’(x) met de quotiëntregel.
b.
Bereken de helling in het punt (3, 4½).
29)
Bereken van elke functie de afgeleide.
a.
𝑓(𝑥) = 6−2𝑥
b.
𝑔(𝑥) = 𝑥 2 −2𝑥
c.
ℎ(𝑥) = 𝑥 2 +𝑥
d.
𝑗(𝑥) =
30)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) =
a.
In welke punten van de grafiek is de helling 1?
b.
Los op: f(x) > 4.
31)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +3
5𝑥−8
4
−2𝑥
3𝑥−2𝑥 2
5−𝑥 2
1−2𝑥
𝑥+3
4𝑥−4
Bereken de helling in het snijpunt met de x-as.
𝑥 2 +1
32)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −1
a.
Maak een tekenschema van f ’(x) en bereken de uiterste waarden van f.
b.
Wat is het bereik van de functie?
c.
Los op: f(x) < 3.
33)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −4
a.
Maak een tekenschema van f ‘(x) en bereken de uiterste waarden van f.
b.
Stel een vergelijking op van de raaklijn in het snijpunt van de grafiek met de y-as.
34)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1. Wat is het bereik van f?
35)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −4
a.
Wat is het bereik van f?
b.
Los op: f(x) > 1.
36)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) =
2𝑥−5
𝑥
𝑥
𝑥 2 +2𝑥+1
𝑥 2 +1
. Bereken de helling in het punt (1, 2).
37)
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = (𝑥 3 − 3𝑥)(4 + 5𝑥)
a.
Bereken f ‘(x) met de productregel.
b.
Schrijf f(x) zonder haakjes en bereken opnieuw de afgeleide.
38)
𝑓(𝑥) = sin(𝑥) heeft als afgeleide 𝑓 ′ (𝑥) = cos(𝑥)
a.
Dit is na te gaan met behulp van de GR. Tik hiervoor in:
Y1 = sin(x)
Y2 = nDerive(Y1, x, x)
(nDerive vind je bij MATH, 8:nDerive en Y1 kun je verkrijgen via
VARS, Y-VARS (bovenaan), 1: Function, 1: Y1)
Wanneer je Y2 laat plotten, dan tekent de GR de afgeleide functie van Y1.
b.
Bereken de afgeleide van de functie 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 ∙ sin(𝑥)
c.
Bereken bij de functie g de helling in het punt (0, 0).
39)
𝑓(𝑥) = cos(𝑥) heeft als afgeleide 𝑓 ′ (𝑥) = −sin(𝑥)
a.
Ga net als bij 38a. na dat deze afgeleide correct is.
b.
Bereken de afgeleide van de functie ℎ(𝑥) = (5 − 𝑥 2 ) ∙ cos(𝑥)
c.
Bereken bij de functie h de helling in het punt (0, 5).