Zomercursus Wiskunde B - Extra: limieten van functies

Zomercursus Wiskunde B
Extra: limieten van functies
Gerrit Oomens
[email protected]
Korteweg-de Vries Institute for Mathematics
Faculty of Science
University of Amsterdam
18 juli 2014
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten van functies
Bekijk de functie
f (x) =
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3.
f (x) =
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3. Wat gebeurt nabij?
f (x) =
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3. Wat gebeurt nabij?
f (x) =
2.900
2.990
2.999
Gerrit Oomens
3.001
3.010
Zomercursus Wiskunde B
3.100
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3. Wat gebeurt nabij?
f (x) =
2.900
0.2308
2.990
2.999
Gerrit Oomens
3.001
3.010
3.100
0.2683
Zomercursus Wiskunde B
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3. Wat gebeurt nabij?
f (x) =
2.900 2.990
0.2308 0.2481
2.999
Gerrit Oomens
3.001
3.010 3.100
0.2519 0.2683
Zomercursus Wiskunde B
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3. Wat gebeurt nabij?
f (x) =
2.900 2.990 2.999 3.001 3.010 3.100
0.2308 0.2481 0.2498 0.2502 0.2519 0.2683
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3. Wat gebeurt nabij?
f (x) =
2.900 2.990 2.999 3.001 3.010 3.100
0.2308 0.2481 0.2498 0.2502 0.2519 0.2683
We zien dat f (x) ≈ 0.25
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3. Wat gebeurt nabij?
f (x) =
2.900 2.990 2.999 3.001 3.010 3.100
0.2308 0.2481 0.2498 0.2502 0.2519 0.2683
We zien dat f (x) ≈ 0.25 als x heel dichtbij 3 is.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3. Wat gebeurt nabij?
f (x) =
2.900 2.990 2.999 3.001 3.010 3.100
0.2308 0.2481 0.2498 0.2502 0.2519 0.2683
We zien dat f (x) ≈ 0.25 als x heel dichtbij 3 is. In de grafiek:
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3. Wat gebeurt nabij?
f (x) =
2.900 2.990 2.999 3.001 3.010 3.100
0.2308 0.2481 0.2498 0.2502 0.2519 0.2683
We zien dat f (x) ≈ 0.25 als x heel dichtbij 3 is. In de grafiek:
y
1
0
y = f (x)
1
2
3
4
5
6
-1
-2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
x
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3. Wat gebeurt nabij?
f (x) =
2.900 2.990 2.999 3.001 3.010 3.100
0.2308 0.2481 0.2498 0.2502 0.2519 0.2683
We zien dat f (x) ≈ 0.25 als x heel dichtbij 3 is. In de grafiek:
y
1
0
y = f (x)
1
2
3
4
5
6
-1
-2
We schrijven limx→3 f (x)
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
x
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3. Wat gebeurt nabij?
f (x) =
2.900 2.990 2.999 3.001 3.010 3.100
0.2308 0.2481 0.2498 0.2502 0.2519 0.2683
We zien dat f (x) ≈ 0.25 als x heel dichtbij 3 is. In de grafiek:
y
1
0
y = f (x)
1
2
3
4
5
6
-1
-2
We schrijven limx→3 f (x) =
1
4
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
x
Limieten van functies
Bekijk de functie
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
Merk op dat f niet is gedefinieerd in x = 3. Wat gebeurt nabij?
f (x) =
2.900 2.990 2.999 3.001 3.010 3.100
0.2308 0.2481 0.2498 0.2502 0.2519 0.2683
We zien dat f (x) ≈ 0.25 als x heel dichtbij 3 is. In de grafiek:
y
1
0
y = f (x)
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2
We schrijven limx→3 f (x) = 41 , de limiet van f als x naar 3 nadert.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten
Bekijk de functie
f (x) =
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
We zagen limx→3 f (x) = 41 , d.w.z. f (x) lijkt op
3 nadert.
Gerrit Oomens
1
4
Zomercursus Wiskunde B
als x de waarde
Limieten
Bekijk de functie
f (x) =
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
We zagen limx→3 f (x) = 41 , d.w.z. f (x) lijkt op
3 nadert. How kunnen we dit berekenen?
Gerrit Oomens
1
4
Zomercursus Wiskunde B
als x de waarde
Limieten
Bekijk de functie
f (x) =
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
We zagen limx→3 f (x) = 41 , d.w.z. f (x) lijkt op
3 nadert. How kunnen we dit berekenen?
1
4
Merk op dat
f (x) =
x 2 − 5x + 6
x 2 − 2x − 3
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
als x de waarde
Limieten
Bekijk de functie
f (x) =
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
We zagen limx→3 f (x) = 41 , d.w.z. f (x) lijkt op
3 nadert. How kunnen we dit berekenen?
1
4
Merk op dat
f (x) =
(x − 2)(x − 3)
x 2 − 5x + 6
=
2
(x + 1)(x − 3)
x − 2x − 3
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
als x de waarde
Limieten
Bekijk de functie
f (x) =
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
We zagen limx→3 f (x) = 41 , d.w.z. f (x) lijkt op
3 nadert. How kunnen we dit berekenen?
1
4
als x de waarde
Merk op dat
f (x) =
(x − 2)(x − 3)
x −2
x 2 − 5x + 6
=
=
2
(x + 1)(x − 3)
x +1
x − 2x − 3
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten
Bekijk de functie
f (x) =
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
We zagen limx→3 f (x) = 41 , d.w.z. f (x) lijkt op
3 nadert. How kunnen we dit berekenen?
1
4
als x de waarde
Merk op dat
f (x) =
(x − 2)(x − 3)
x −2
x 2 − 5x + 6
=
=
2
(x + 1)(x − 3)
x +1
x − 2x − 3
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
if x 6= 3.
Limieten
Bekijk de functie
f (x) =
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
We zagen limx→3 f (x) = 41 , d.w.z. f (x) lijkt op
3 nadert. How kunnen we dit berekenen?
1
4
als x de waarde
Merk op dat
f (x) =
(x − 2)(x − 3)
x −2
x 2 − 5x + 6
=
=
2
(x + 1)(x − 3)
x +1
x − 2x − 3
Dus
lim f (x)
x→3
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
if x 6= 3.
Limieten
Bekijk de functie
f (x) =
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
We zagen limx→3 f (x) = 41 , d.w.z. f (x) lijkt op
3 nadert. How kunnen we dit berekenen?
1
4
als x de waarde
Merk op dat
f (x) =
(x − 2)(x − 3)
x −2
x 2 − 5x + 6
=
=
2
(x + 1)(x − 3)
x +1
x − 2x − 3
Dus
x −2
x→3 x + 1
lim f (x) = lim
x→3
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
if x 6= 3.
Limieten
Bekijk de functie
f (x) =
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
We zagen limx→3 f (x) = 41 , d.w.z. f (x) lijkt op
3 nadert. How kunnen we dit berekenen?
1
4
als x de waarde
Merk op dat
f (x) =
(x − 2)(x − 3)
x −2
x 2 − 5x + 6
=
=
2
(x + 1)(x − 3)
x +1
x − 2x − 3
Dus
x −2
3−2
=
x→3 x + 1
3+1
lim f (x) = lim
x→3
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
if x 6= 3.
Limieten
Bekijk de functie
f (x) =
x 2 − 5x + 6
.
x 2 − 2x − 3
We zagen limx→3 f (x) = 41 , d.w.z. f (x) lijkt op
3 nadert. How kunnen we dit berekenen?
1
4
als x de waarde
Merk op dat
f (x) =
(x − 2)(x − 3)
x −2
x 2 − 5x + 6
=
=
2
(x + 1)(x − 3)
x +1
x − 2x − 3
Dus
x −2
3−2
1
=
= .
x→3 x + 1
3+1
4
lim f (x) = lim
x→3
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
if x 6= 3.
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
lim x
x→5
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
lim x = 5
x→5
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
lim x = 5
x→5
lim 3
x→4
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1)
x→2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
x→−3 2 + x
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)]
x→c
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)
x→c
x→c
Gerrit Oomens
x→c
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)
x→c
x→c
x→c
lim [f (x) · g (x)]
x→c
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)
x→c
x→c
x→c
lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x)
x→c
x→c
Gerrit Oomens
x→c
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)
x→c
x→c
x→c
lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x)
x→c
x→c
x→c
f (x)
lim
x→c g (x)
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)
x→c
x→c
x→c
lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x)
x→c
x→c
x→c
f (x)
limx→c f (x)
lim
=
x→c g (x)
limx→c g (x)
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)
x→c
x→c
x→c
lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x)
x→c
x→c
x→c
f (x)
limx→c f (x)
lim
=
x→c g (x)
limx→c g (x)
Gerrit Oomens
if lim g (x) 6= 0
x→c
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)
x→c
x→c
x→c
lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x)
x→c
x→c
x→c
f (x)
limx→c f (x)
lim
=
x→c g (x)
limx→c g (x)
if lim g (x) 6= 0
x→c
p
lim [f (x)]
x→c
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)
x→c
x→c
x→c
lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x)
x→c
x→c
x→c
f (x)
limx→c f (x)
lim
=
x→c g (x)
limx→c g (x)
p
p
lim [f (x)] = lim f (x)
x→c
if lim g (x) 6= 0
x→c
x→c
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
1
x→0 x 2
lim
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)
x→c
x→c
x→c
lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x)
x→c
x→c
x→c
f (x)
limx→c f (x)
lim
=
x→c g (x)
limx→c g (x)
p
p
lim [f (x)] = lim f (x)
x→c
if lim g (x) 6= 0
x→c
x→c
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
1
=∞
x→0 x 2
lim
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)
x→c
x→c
x→c
lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x)
x→c
x→c
x→c
f (x)
limx→c f (x)
lim
=
x→c g (x)
limx→c g (x)
p
p
lim [f (x)] = lim f (x)
x→c
if lim g (x) 6= 0
x→c
x→c
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
1
=∞
x→0 x 2
1
lim
x→0 x
lim
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)
x→c
x→c
x→c
lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x)
x→c
x→c
x→c
f (x)
limx→c f (x)
lim
=
x→c g (x)
limx→c g (x)
p
p
lim [f (x)] = lim f (x)
x→c
if lim g (x) 6= 0
x→c
x→c
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Voorbeelden van limieten
Een paar limieten:
x2 − 5
9−5
=
= −4
x→−3 2 + x
−1
lim
lim x = 5
x→5
1
=∞
x→0 x 2
1
lim bestaat niet
x→0 x
lim
lim 3 = 3
x→4
lim (x 2 − 1) = 4 − 1 = 3
x→2
Rules for limits. Zolang als alle limieten bestaan, geldt:
lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)
x→c
x→c
x→c
lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x)
x→c
x→c
x→c
f (x)
limx→c f (x)
lim
=
x→c g (x)
limx→c g (x)
p
p
lim [f (x)] = lim f (x)
x→c
if lim g (x) 6= 0
x→c
x→c
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1
2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1 1
,
2 3
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1 1 1
, ,
2 3 4
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1 1 1 1
, , ,
2 3 4 5
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1 1 1 1 1
, , , ,
2 3 4 5 6
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1 1 1 1 1
, , , , , ...
2 3 4 5 6
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1 1 1 1 1
, , , , , ...
2 3 4 5 6
We willen weten wat er met f (x) gebeurt als x heel groot wordt
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1 1 1 1 1
, , , , , ...
2 3 4 5 6
We willen weten wat er met f (x) gebeurt als x heel groot wordt.
In dit geval gaat f (x) naar 0.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1 1 1 1 1
, , , , , ...
2 3 4 5 6
We willen weten wat er met f (x) gebeurt als x heel groot wordt.
In dit geval gaat f (x) naar 0.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1 1 1 1 1
, , , , , ...
2 3 4 5 6
We willen weten wat er met f (x) gebeurt als x heel groot wordt.
In dit geval gaat f (x) naar 0.
3
y=
2
1
x
1
1
Gerrit Oomens
2
3
Zomercursus Wiskunde B
4
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1 1 1 1 1
, , , , , ...
2 3 4 5 6
We willen weten wat er met f (x) gebeurt als x heel groot wordt.
In dit geval gaat f (x) naar 0.
3
2
1
67
Gerrit Oomens
68
69
70
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1 1 1 1 1
, , , , , ...
2 3 4 5 6
We willen weten wat er met f (x) gebeurt als x heel groot wordt.
In dit geval gaat f (x) naar 0.
3
We schrijven
lim 1
x→∞ x
2
1
67
Gerrit Oomens
68
69
70
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
Bekijk de functie f (x) = x1 . We evalueren f in de positieve gehele
getallen:
1,
1 1 1 1 1
, , , , , ...
2 3 4 5 6
We willen weten wat er met f (x) gebeurt als x heel groot wordt.
In dit geval gaat f (x) naar 0.
3
We schrijven
lim 1
x→∞ x
= 0.
2
1
67
Gerrit Oomens
68
69
70
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
We schrijven
lim f (x) = L
x→∞
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
We schrijven
lim f (x) = L
x→∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd groeit.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
We schrijven
lim f (x) = L
x→∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd groeit. Zo ook hebben we
lim f (x) = L
x→−∞
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
We schrijven
lim f (x) = L
x→∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd groeit. Zo ook hebben we
lim f (x) = L
x→−∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd daalt.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
We schrijven
lim f (x) = L
x→∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd groeit. Zo ook hebben we
lim f (x) = L
x→−∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd daalt.
De meest voorkomende limieten bij oneindig zijn
lim
x→∞
1
xk
als k > 0.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
We schrijven
lim f (x) = L
x→∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd groeit. Zo ook hebben we
lim f (x) = L
x→−∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd daalt.
De meest voorkomende limieten bij oneindig zijn
lim
x→∞
1
=0
xk
als k > 0.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
We schrijven
lim f (x) = L
x→∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd groeit. Zo ook hebben we
lim f (x) = L
x→−∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd daalt.
De meest voorkomende limieten bij oneindig zijn
lim
x→∞
1
= 0,
xk
lim
x→−∞
1
xk
als k > 0.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
We schrijven
lim f (x) = L
x→∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd groeit. Zo ook hebben we
lim f (x) = L
x→−∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd daalt.
De meest voorkomende limieten bij oneindig zijn
lim
x→∞
1
= 0,
xk
lim
x→−∞
1
=0
xk
als k > 0.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Limieten bij oneindig
We schrijven
lim f (x) = L
x→∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd groeit. Zo ook hebben we
lim f (x) = L
x→−∞
als f (x) naar L gaat als x onbegrensd daalt.
De meest voorkomende limieten bij oneindig zijn
lim
x→∞
1
= 0,
xk
lim
x→−∞
1
=0
xk
als k > 0. Zij verder de theorie over rijtjes.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Eénzijdige limieten
Bekijk de stuksgewijs gedefinieerde functie
(
x 2 − 2 if x ≤ 2
f (x) =
5−x
if x > 2.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Eénzijdige limieten
Bekijk de stuksgewijs gedefinieerde functie
(
x 2 − 2 if x ≤ 2
f (x) =
5−x
if x > 2.
y
3
2
1
y = f (x)
0
1
-1
-2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
2
3
4
x
Eénzijdige limieten
Bekijk de stuksgewijs gedefinieerde functie
(
x 2 − 2 if x ≤ 2
f (x) =
5−x
if x > 2.
De limiet limx→2 f (x)
y
3
2
1
y = f (x)
0
1
-1
-2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
2
3
4
x
Eénzijdige limieten
Bekijk de stuksgewijs gedefinieerde functie
(
x 2 − 2 if x ≤ 2
f (x) =
5−x
if x > 2.
De limiet limx→2 f (x) bestaat niet.
y
3
2
1
y = f (x)
0
1
-1
-2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
2
3
4
x
Eénzijdige limieten
Bekijk de stuksgewijs gedefinieerde functie
(
x 2 − 2 if x ≤ 2
f (x) =
5−x
if x > 2.
De limiet limx→2 f (x) bestaat niet. We
kunnen echter wel de éénzijdige limieten
definiëren
y
3
2
1
y = f (x)
0
1
-1
-2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
2
3
4
x
Eénzijdige limieten
Bekijk de stuksgewijs gedefinieerde functie
(
x 2 − 2 if x ≤ 2
f (x) =
5−x
if x > 2.
De limiet limx→2 f (x) bestaat niet. We
kunnen echter wel de éénzijdige limieten
definiëren
y
3
2
1
y = f (x)
0
1
lim f (x)
x→2+
-1
-2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
2
3
4
x
Eénzijdige limieten
Bekijk de stuksgewijs gedefinieerde functie
(
x 2 − 2 if x ≤ 2
f (x) =
5−x
if x > 2.
De limiet limx→2 f (x) bestaat niet. We
kunnen echter wel de éénzijdige limieten
definiëren
y
3
2
1
y = f (x)
0
1
lim f (x) = 3,
x→2+
-1
-2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
2
3
4
x
Eénzijdige limieten
Bekijk de stuksgewijs gedefinieerde functie
(
x 2 − 2 if x ≤ 2
f (x) =
5−x
if x > 2.
De limiet limx→2 f (x) bestaat niet. We
kunnen echter wel de éénzijdige limieten
definiëren
y
3
2
1
y = f (x)
0
1
lim f (x) = 3,
x→2+
lim f (x)
x→2−
-1
-2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
2
3
4
x
Eénzijdige limieten
Bekijk de stuksgewijs gedefinieerde functie
(
x 2 − 2 if x ≤ 2
f (x) =
5−x
if x > 2.
De limiet limx→2 f (x) bestaat niet. We
kunnen echter wel de éénzijdige limieten
definiëren
y
3
2
1
y = f (x)
0
1
lim f (x) = 3,
x→2+
lim f (x) = 2.
x→2−
-1
-2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
2
3
4
x
Eénzijdige limieten
Bekijk de stuksgewijs gedefinieerde functie
(
x 2 − 2 if x ≤ 2
f (x) =
5−x
if x > 2.
De limiet limx→2 f (x) bestaat niet. We
kunnen echter wel de éénzijdige limieten
definiëren
y
3
2
1
y = f (x)
0
1
lim f (x) = 3,
x→2+
lim f (x) = 2.
x→2−
-1
Deze komen niet overeen
-2
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
2
3
4
x
Eénzijdige limieten
Bekijk de stuksgewijs gedefinieerde functie
(
x 2 − 2 if x ≤ 2
f (x) =
5−x
if x > 2.
De limiet limx→2 f (x) bestaat niet. We
kunnen echter wel de éénzijdige limieten
definiëren
y
3
2
1
y = f (x)
0
1
lim f (x) = 3,
x→2+
lim f (x) = 2.
x→2−
-1
Deze komen niet overeen: we zeggen dat f
een discontinuı̈teit heeft in x = 2.
Gerrit Oomens
-2
Zomercursus Wiskunde B
2
3
4
x
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
als f (x) naar L gaat als x van links naar c nadert.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
als f (x) naar L gaat als x van links naar c nadert.
Merk op:
Als limx→c f (x) = L bestaat
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
als f (x) naar L gaat als x van links naar c nadert.
Merk op:
Als limx→c f (x) = L bestaat, dan bestaan beide éénzijdige
limieten en zijn deze gelijk aan L.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
als f (x) naar L gaat als x van links naar c nadert.
Merk op:
Als limx→c f (x) = L bestaat, dan bestaan beide éénzijdige
limieten en zijn deze gelijk aan L.
Andersom, als de éénzijdige limieten bestaan en gelijk zijn
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
als f (x) naar L gaat als x van links naar c nadert.
Merk op:
Als limx→c f (x) = L bestaat, dan bestaan beide éénzijdige
limieten en zijn deze gelijk aan L.
Andersom, als de éénzijdige limieten bestaan en gelijk zijn,
dan bestaat limx→c f (x) en is deze gelijk aan de éénzijdige.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
als f (x) naar L gaat als x van links naar c nadert.
Merk op:
Als limx→c f (x) = L bestaat, dan bestaan beide éénzijdige
limieten en zijn deze gelijk aan L.
Andersom, als de éénzijdige limieten bestaan en gelijk zijn,
dan bestaat limx→c f (x) en is deze gelijk aan de éénzijdige.
Voorbeeld: voor f (x) =
1
x−3
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
als f (x) naar L gaat als x van links naar c nadert.
Merk op:
Als limx→c f (x) = L bestaat, dan bestaan beide éénzijdige
limieten en zijn deze gelijk aan L.
Andersom, als de éénzijdige limieten bestaan en gelijk zijn,
dan bestaat limx→c f (x) en is deze gelijk aan de éénzijdige.
Voorbeeld: voor f (x) =
1
x−3
hebben we
lim f (x)
x→3+
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
als f (x) naar L gaat als x van links naar c nadert.
Merk op:
Als limx→c f (x) = L bestaat, dan bestaan beide éénzijdige
limieten en zijn deze gelijk aan L.
Andersom, als de éénzijdige limieten bestaan en gelijk zijn,
dan bestaat limx→c f (x) en is deze gelijk aan de éénzijdige.
Voorbeeld: voor f (x) =
1
x−3
hebben we
lim f (x) = ∞
x→3+
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
als f (x) naar L gaat als x van links naar c nadert.
Merk op:
Als limx→c f (x) = L bestaat, dan bestaan beide éénzijdige
limieten en zijn deze gelijk aan L.
Andersom, als de éénzijdige limieten bestaan en gelijk zijn,
dan bestaat limx→c f (x) en is deze gelijk aan de éénzijdige.
Voorbeeld: voor f (x) =
lim f (x) = ∞,
x→3+
1
x−3
hebben we
lim f (x)
x→3−
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
als f (x) naar L gaat als x van links naar c nadert.
Merk op:
Als limx→c f (x) = L bestaat, dan bestaan beide éénzijdige
limieten en zijn deze gelijk aan L.
Andersom, als de éénzijdige limieten bestaan en gelijk zijn,
dan bestaat limx→c f (x) en is deze gelijk aan de éénzijdige.
Voorbeeld: voor f (x) =
lim f (x) = ∞,
x→3+
1
x−3
hebben we
lim f (x) = −∞
x→3−
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
als f (x) naar L gaat als x van links naar c nadert.
Merk op:
Als limx→c f (x) = L bestaat, dan bestaan beide éénzijdige
limieten en zijn deze gelijk aan L.
Andersom, als de éénzijdige limieten bestaan en gelijk zijn,
dan bestaat limx→c f (x) en is deze gelijk aan de éénzijdige.
Voorbeeld: voor f (x) =
lim f (x) = ∞,
x→3+
1
x−3
hebben we
lim f (x) = −∞,
x→3−
Gerrit Oomens
lim f (x)
x→3
Zomercursus Wiskunde B
Soorten limieten
We schrijven
lim f (x) = L
x→c +
als f (x) naar L gaat als x van rechts naar c nadert. Zo ook is
lim f (x) = L
x→c −
als f (x) naar L gaat als x van links naar c nadert.
Merk op:
Als limx→c f (x) = L bestaat, dan bestaan beide éénzijdige
limieten en zijn deze gelijk aan L.
Andersom, als de éénzijdige limieten bestaan en gelijk zijn,
dan bestaat limx→c f (x) en is deze gelijk aan de éénzijdige.
Voorbeeld: voor f (x) =
lim f (x) = ∞,
x→3+
1
x−3
hebben we
lim f (x) = −∞,
x→3−
Gerrit Oomens
lim f (x) bestaat niet.
x→3
Zomercursus Wiskunde B
Continuity
A function is called continuous if the graph has no holes.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Continuity
A function is called continuous if the graph has no holes. Example
graphs of functions that are not continuous:
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Continuity
A function is called continuous if the graph has no holes. Example
graphs of functions that are not continuous:
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Continuity
A function is called continuous if the graph has no holes. Example
graphs of functions that are not continuous:
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Continuity
A function is called continuous if the graph has no holes. Example
graphs of functions that are not continuous:
We say that f is continuous at c
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Continuity
A function is called continuous if the graph has no holes. Example
graphs of functions that are not continuous:
We say that f is continuous at c if limx→c f (x) = f (c).
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Continuity
A function is called continuous if the graph has no holes. Example
graphs of functions that are not continuous:
We say that f is continuous at c if limx→c f (x) = f (c). In
particular, we need that
f (c) is defined
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Continuity
A function is called continuous if the graph has no holes. Example
graphs of functions that are not continuous:
We say that f is continuous at c if limx→c f (x) = f (c). In
particular, we need that
f (c) is defined, and
limx→c f (x) exists.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Continuity
A function is called continuous if the graph has no holes. Example
graphs of functions that are not continuous:
We say that f is continuous at c if limx→c f (x) = f (c). In
particular, we need that
f (c) is defined, and
limx→c f (x) exists.
Note: a polynomial like f (x) = 3 + x 2 − x 4
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Continuity
A function is called continuous if the graph has no holes. Example
graphs of functions that are not continuous:
We say that f is continuous at c if limx→c f (x) = f (c). In
particular, we need that
f (c) is defined, and
limx→c f (x) exists.
Note: a polynomial like f (x) = 3 + x 2 − x 4 is continuous at every
point.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Continuity
A function is called continuous if the graph has no holes. Example
graphs of functions that are not continuous:
We say that f is continuous at c if limx→c f (x) = f (c). In
particular, we need that
f (c) is defined, and
limx→c f (x) exists.
Note: a polynomial like f (x) = 3 + x 2 − x 4 is continuous at every
2
point. Similarly, a rational function such as g (x) = 2−x
4−x
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Continuity
A function is called continuous if the graph has no holes. Example
graphs of functions that are not continuous:
We say that f is continuous at c if limx→c f (x) = f (c). In
particular, we need that
f (c) is defined, and
limx→c f (x) exists.
Note: a polynomial like f (x) = 3 + x 2 − x 4 is continuous at every
2
point. Similarly, a rational function such as g (x) = 2−x
4−x is
continuous at any point where it is defined.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Example: continuity of piecewise functions
Consider the function
(
3 − Ax
f (x) =
4x 2 + 3
if x ≤ 1
if x > 1.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Example: continuity of piecewise functions
Consider the function
(
3 − Ax
f (x) =
4x 2 + 3
if x ≤ 1
if x > 1.
For which value of A is this continuous?
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Example: continuity of piecewise functions
Consider the function
(
3 − Ax
f (x) =
4x 2 + 3
if x ≤ 1
if x > 1.
For which value of A is this continuous?
The two parts are continuous wherever they are defined.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Example: continuity of piecewise functions
Consider the function
(
3 − Ax
f (x) =
4x 2 + 3
if x ≤ 1
if x > 1.
For which value of A is this continuous?
The two parts are continuous wherever they are defined.
The function is definitely continuous at every x 6= 1.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Example: continuity of piecewise functions
Consider the function
(
3 − Ax
f (x) =
4x 2 + 3
if x ≤ 1
if x > 1.
For which value of A is this continuous?
The two parts are continuous wherever they are defined.
The function is definitely continuous at every x 6= 1.
At x = 1, we need the parts to “connect”
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Example: continuity of piecewise functions
Consider the function
(
3 − Ax
f (x) =
4x 2 + 3
if x ≤ 1
if x > 1.
For which value of A is this continuous?
The two parts are continuous wherever they are defined.
The function is definitely continuous at every x 6= 1.
At x = 1, we need the parts to “connect”: we should have
lim f (x) = lim+ f (x)
x→1−
Gerrit Oomens
x→1
Zomercursus Wiskunde B
Example: continuity of piecewise functions
Consider the function
(
3 − Ax
f (x) =
4x 2 + 3
if x ≤ 1
if x > 1.
For which value of A is this continuous?
The two parts are continuous wherever they are defined.
The function is definitely continuous at every x 6= 1.
At x = 1, we need the parts to “connect”: we should have
lim f (x) = lim+ f (x) = 4 + 3
x→1−
Gerrit Oomens
x→1
Zomercursus Wiskunde B
Example: continuity of piecewise functions
Consider the function
(
3 − Ax
f (x) =
4x 2 + 3
if x ≤ 1
if x > 1.
For which value of A is this continuous?
The two parts are continuous wherever they are defined.
The function is definitely continuous at every x 6= 1.
At x = 1, we need the parts to “connect”: we should have
lim f (x) = lim+ f (x) = 4 + 3 = 7.
x→1−
Gerrit Oomens
x→1
Zomercursus Wiskunde B
Example: continuity of piecewise functions
Consider the function
(
3 − Ax
f (x) =
4x 2 + 3
if x ≤ 1
if x > 1.
For which value of A is this continuous?
The two parts are continuous wherever they are defined.
The function is definitely continuous at every x 6= 1.
At x = 1, we need the parts to “connect”: we should have
3 − A = lim f (x) = lim+ f (x) = 4 + 3 = 7.
x→1−
Gerrit Oomens
x→1
Zomercursus Wiskunde B
Example: continuity of piecewise functions
Consider the function
(
3 − Ax
f (x) =
4x 2 + 3
if x ≤ 1
if x > 1.
For which value of A is this continuous?
The two parts are continuous wherever they are defined.
The function is definitely continuous at every x 6= 1.
At x = 1, we need the parts to “connect”: we should have
3 − A = lim f (x) = lim+ f (x) = 4 + 3 = 7.
x→1−
x→1
Hence we need 3 − A = 7
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B
Example: continuity of piecewise functions
Consider the function
(
3 − Ax
f (x) =
4x 2 + 3
if x ≤ 1
if x > 1.
For which value of A is this continuous?
The two parts are continuous wherever they are defined.
The function is definitely continuous at every x 6= 1.
At x = 1, we need the parts to “connect”: we should have
3 − A = lim f (x) = lim+ f (x) = 4 + 3 = 7.
x→1−
x→1
Hence we need 3 − A = 7, i.e. A = −4.
Gerrit Oomens
Zomercursus Wiskunde B