Goniometrie

Goniometrie
VWO4
Wiskunde B
” WP Wadman
Juli 2011
I.
De berekening van de sinus en de cosinus in een rechthoekige driehoek
In het volgende maken we gebruik van de definities van de sinus en de cosinus van een hoek
rechthoekige driehoek:
sin α =
overstaande rechthoekzijde
schuine zijde
cos α =
in een
en
aanliggende rechthoekzijde
schuine zijde
waarbij 0 < α < 90° .
a) In driehoek ABC hiernaast geldt dat alle zijden van de driehoek lengte 1 hebben.
De driehoek is dus gelijkzijdig, zodat ∠A 60º is. CM is hoogtelijn en gaat door het
midden van AB, zodat AM lengte 0,5 heeft.
3 1
h = (12 − 0,5 2 ) =   =
3
4 2
α
∠A = 60 °
(St. van Pythagoras)
In driehoek AMC geldt:
h 1
=
3
1 2
0,5
cos ∠A = cos 60 ° =
= 0,5
1
sin ∠A = sin 60 ° =
Ga tevens na dat geldt:
sin 30 ° = 0,5 en
1
cos 30 ° =
3
2
b) Hiernaast is een rechthoekige driehoek ABC getekend met een hoek van 45º. De
schuine zijde heeft lengte 1. Deze rechthoekige driehoek is gelijkbenig, zodat AC
en AB allebei lengte h hebben.
Er geldt:
12 = h 2 + h 2
(St. v. Pythagoras)
1
h2 =
2
1
1
1
2 1
h=
=
=
×
=
2
2
2
2
2 2
h 1
sin ∠B = cos ∠B = sin 45 ° = cos 45 ° = =
2
1 2
Samenvattend (a, b) kunnen we nu de volgende tabel samenstellen:
x
30º
45º
60º
sin x
1
2
cos x
1
3
2
1
2
2
1
2
2
1
3
2
1
2
∠B = 45 °
II
II.
I
Berekeningen in de eenheidscirkel
a) Kwadranten en draaihoek
Hiernaast is de eenheidscirkel getekend. Dit is een cirkel met
middelpunt (0,0) en straal 1 in een assenstelsel. De horizontale
as geeft de uitwijking weer; de verticale as de hoogte. De
aanduidingen I, II, III en IV staan voor de kwadranten 1 t/m 4.
De cirkel stelt een draaibeweging voor vanuit het punt (1,0 ) ; als
je met de nummers van de kwadranten meedraait wordt de
draaihoek positief genoemd. Een negatieve draaihoek hoort bij
een beweging vanuit het punt (1,0 ) via kwadrant IV naar III etc.
b) Omtrek, graden en radialen
De omtrek van de eenheidscirkel wordt gelijk aan
III
2π r = 2π
Fig. 1
IV
De eenheidscirkel
r = 1) . Er geldt dus voor deze cirkel dat bij
een draaihoek van 360º een booglengte van 2π hoort.
(immers de straal
Een hoek wordt niet alleen in graden uitgedrukt maar ook vaak in radialen, afgekort met rad. Een draaihoek van
360º komt overeen met de booglengte van de eenheidscirkel van 2π rad. We noemen deze draaihoek dan 2π rad
De omtrek van de halve eenheidscirkel wordt gelijk aan
180º komt overeen met
2πr
= π . Hier hoort een draaihoek bij van 180º. Dus
2
π rad. Ga na dat een draaihoek van een kwart cirkel, 90º, overeenkomt met
π
rad.
2
In de volgende tabel worden een aantal hoeken uitgedrukt in graden en vervolgens omgerekend naar radialen:
graden
360
180
radialen
2π
π
90
60
45
30
π
π
π
π
2
3
4
6
Stel je wilt uitrekenen hoeveel rad 33º is; je maakt dan de volgende verhoudingstabel en vindt het juiste
hoek =
antwoord, nl:
graden
rad
π ⋅ 33
180
≈ 0,58 rad.
180
π
33
?
Een hoek van –70º wordt zo (afgerond op 2 decimalen): – 1,22 rad.
Een hoek van 1,5 rad wordt:
hoek =
1,5 × 180
π
= 85,9°
graden
rad
180
π
?
1,5
c) Sinus en cosinus in de eenheidscirkel
In de figuur hiernaast is de eenheidscirkel getekend met daarin aangegeven
een draaihoek ter grootte van x .
De lengte van OA = 1 want A ligt op de eenheidscirkel.
In driehoek OAP geldt:
AP
= hoogte
1
OP
cos x =
= uitwijking
1
sin x =
Met behulp van de definities van de sinus en de cosinus in een
rechthoekige driehoek geldt dat de draaihoek tussen 0 en 90º moet liggen;
er is afgesproken dat voor alle draaihoeken geldt: de sinus van de draaihoek
is de hoogte in de eenheidscirkel (de waarde kun je aflezen op de h -as) en de cosinus van de draaihoek is de
uitwijking in de eenheidscirkel (en af te lezen op de u -as).
Vraag: In welk kwadrant zijn zowel de cosinus als de sinus van de draaihoek negatief?
d) symmetrie in de eenheidscirkel
In de figuur hiernaast zijn twee draaihoeken getekend;
Allebei resulteren ze in een hoogte van 0,5. De sinus van de
draaihoek is dus 0,5. De draaihoek in kwadrant I is dus 30º.
De andere draaihoek, die in kwadrant II, kun je met behulp
van symmetrie in deze figuur uitrekenen.
Ga na dat de draaihoek uitkomend in kwadrant II 150º is.
In radialen uitgedrukt zijn de hoeken achtereenvolgens:
π
6
en
5π
.
6
Als je beide draaihoeken optelt kom je uit in het punt
(− 1,0) ; dit punt hoort bij een draaihoek van 180º, of
π rad.
Opdracht:
Voor welke draaihoeken (tussen 0 en 360º geldt):
sin x =
1
1
3 ; en sin x = − .
2
2
In de figuur hiernaast wordt een soortgelijke berekening
toegelicht voor de cosinus.
De uitwijking van beide draaihoeken = 0,5, dus:
cos x = 0,5 .
Voor x geldt dan: x = 60° voor de draaihoek in het
eerste kwadrant en x = 360° − 60° = 300° voor de
draaihoek in het vierde kwadrant.
Als beide draaihoeken worden opgeteld kom je uit in het
punt (1,0 ) horende bij een draaihoek van 0º (of 360º).
Opdracht:
Voor welke draaihoeken (tussen 0º en 360º) geldt:
cos x = −0,5
III
Grafieken en vergelijkingen
De grafiek:
y
y = cos x
Hiernaast staat de grafiek y = cos x . De x -as is
daarbij in radialen uitgedrukt. Dit wordt algemeen
gedaan. Als de x in graden wordt uitgedrukt staat het
erbij. Als er niets bij staat zijn het radialen.
x
Ga na dat de periode van de functie 2π is.
Bij draaiing in de eenheidscirkel kom je na 360º (of
2 π rad) weer in hetzelfde punt terecht als waar je begon.
De amplitude = 1.
De evenwichtsstand=0.
y
De grafiek
y = sin x
Hiernaast staat de grafiek van deze functie.
x
In de volgende tabel worden de waarden van
tabel bevat standaardwaarden van de
x
0
sin x
0
cos x
1
sin x en cos x uitgebreid met de x -waarden 0 en
sin en cos functies en moet je uit het hoofd leren.
π
π
π
π
6
1
2
4
3
1
3
2
1
2
2
1
3
2
1
2
2
1
2
2
1
0
π
2
; deze
De vergelijking
sin x = a waarbij a een parameter voorstelt.
Voorbeeld:
sin x = 0,5 heeft als oplossingen:
x=
π
6
+ k ⋅ 2π
of
x=
5π
+ k ⋅ 2π
6
met
k : {.... − 2, − 1, 0, 1, 2,...}
k is dus een geheel getal). Je schrijft je antwoord dus als breuk van
tegenkomt.
π als je een van de standaardgevallen
sin x = 0,6 wordt als volgt met algebra opgelost:
x ≈ 0,6435 + k .2π of x ≈ π − 0,6435 + k ⋅ 2π ≈ 2,4981 + k ⋅ 2π
De waarde 0,6435 wordt gevonden door op de GR in te toetsen: sin-1(0,6). Deze handeling hoef je niet op te
schrijven (net als in de derde klas).
De oplossing met algebra van :
cos 2 x = 0,4 met domein [0,2π ] .
cos 2 x = 0,4
2 x ≈ 1,1593 + k ⋅ 2π
of
2 x ≈ −1,1593 + k ⋅ 2π
x ≈ 0,5796 + k ⋅ π
of
x ≈ −0,5796 + k ⋅ π
. De oplossingen zijn dan:
x = 0,5796 of x = 2,5620 , of x
= 3,7212 , of x = 5,7035 .
Je vindt deze oplossingen voor x door voor k de waarden 0 en 1 in de eerste oplossingshelft en 1 en 2 in de
tweede oplossingshelft in te vullen.
Benaderingen van de oplossing kunnen ook worden gevonden met de GR door Intersect toe te passen.
Je schrijft dan op:
cos 2 x = 0,4
GRM
Y1= cos 2x
Y2= 0,4
IntersectØ x = 0,5796; of x = 2,5620; of x = 3,7212; of x = 5,7035.
Voorbeeld:
Los exact op het interval [ π ;
2π ] op:
sin(2x + 14 π ) = − 12
Maak de volgende schets van de eenheidscirkel
en besef dat het om de hoogte gaat (sinus); dus
je tekent de lijn h = − 12 erin.
Ga na dat de draaihoek voor het snijpunt in kwadrant
IV − 16 π is (of eventueel 1 56 π ) . De draaihoek in
π + 16 π = 1 16 π
− 56 π ). We krijgen dan:
kwadrant III is dan
(of eventueel
2x + 14 π = − 16 π + k ⋅ 2π
of
2x + 14 π = 1 16 π + k ⋅ 2π
2x = − 125 π + k ⋅ 2π
of
2x =
x = − 245 π + k ⋅ π
of
x =
of
x = 1 11
24 π
Op [ π ;
2π ]:
x = 1 19
24 π
11
12
11
24
π + k ⋅ 2π
π +k ⋅π
Extra oefening
Los op het domein
1.
sin 2x = @
2.
cos2x =
B
C
π, 3π de volgende vergelijkingen exact op:
1f
f
f
f
2
w
w
w
w
w
w
w
1f
f
f
f
p2
2
(antw.
(antw.
w
w
w
w
w
w
`
a
1f
f
f
fw
cos x @ 1 = @ p3
2
w
w
w
w
w
w
`
a 1f
1f
f
f
f
f
f
fw
4. sin
x @ π = p2
2
2
3.
x =1
7f
f
f
f
f
f
f
f
π
, of
x =2
7f
f
f
f
f
f
f
f
π
, of
x =1
11
f
f
f
f
f
f
f
f
π
12
, of
x =2
11
f
f
f
f
f
f
f
f
π)
12
12
12
1f
1f
7f
7f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x = 1 π , of x = 2 π , of x = 1 π , of x = 2 π )
8
8
8
8
1f
5f
f
f
f
f
f
f
(antw. x = 1 + 1
π , of x = 1 + π )
6
6
1f
1f
f
f
f
f
f
f
(antw. x = 1 π , of x = 2 π )
2
2