Medische Statistiek Kansrekening

Medische Statistiek Kansrekening
Medisch statistiek- kansrekening
Hoorcollege 1
Uitkomstenruimte vaststellen
Ook wel S of E.
Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6}
 Een eindige uitkomstenreeks
Bij het gooien met een munt: E={ 1,2,3,4…..,n}
 Een oneindige uitkomstenreeks
Gebeurtenissen zijn deelverzamelingen van uitkomstruimte. Gebeurtenis- A= oneven worp
representeren we als een deelverzameling van de hele uitkomstenruimte. S={ 1,2,3,4,5,6}. We
schrijven A= (1,3,5)
Voor gebeurtenissen A en B kunnen gedefinieerd worden:
AᴗB: de vereniging van A en B
AᴖB: de doorsnede van A enB
Ǡ of Ac: het complement van A
AᴗB:
AᴖB:
Ǡ
Frequentiequotient (fractie)
F(q) A= N(A)/ N
Bij onafhankelijke herhalingen van eenzelfde sort
Pr (A): kansen zijn limieten voor gezondheidswetenschapper
Kansrekening kent een aantal regels/ eigenschappen:
1. O< P(A) < 1
2. P(E) = 1. De hele E is een zekere gebeurtenis.
3. Als AᴖB = Ø
4. P(Ø)= 0. Kans op lege verzameling = 0
5. P(Ac)= 1-P(A)
6. P (AᴗB)= P(A)+ P(B)- R(AᴗB)
Als AᴖB =Ø spreekt men wel van disjuncte gebeurtenissen of van gebeurtenissen die elkaar
uitsluiten.
Symmetrische kansruimten 3.3
Men spreekt van een symmetrische kansruimte E bestaat uit elementaire gebeurtenissen/
uitkomsten die alle even waarschijnlijk zijn.
Gooien dobbelsteen: allemaal 1/6 kans
Voorwaardelijke kansen 3.5
N= 100 duizend mensen
A= persoon heeft kanker
B= persoon rookt
Stel N(A)= 100 duizend mensen hebben longkanker in een populatie.
P(A)=?
P(A)= N(A)/N = 100/1000= 0.1
Voorwaardelijke kans: aselecte proef in doelgroep
P(A/B)= N(AᴖB)/ N(B) = (N(AᴖB0/N )/ N(B)/N = P(AᴖB)/P(B)
Algemene definitie voorwaardelijke kans: P(A/B)= P(AᴖB)/ P(B)
Onafhankelijkheid
Je kunt je afvragen of de gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn.
Dan zou P(A/B) gelijk moeten zijn aan P(A)
P(A/B)= P(A)
P(AᴖB)= P(A) P(B) definitie onafhankelijkheid
P(B/A)= P(B) geldt ook voor onafhankelijkheid
Dus bovenstaande 3 mogelijkheden voor definitie, omdat ze te herleiden zijn op elkaar.
Voorwaardelijke kansen omrekenen
Vertaald naar een voorwaardelijke kans schrijven we:
P(B/A)= 0,800 = 80%
Verondersteld bovendien dat vastgesteld is dat 26,7% van de mensen zonder longkanker rookt:
P (B/Ǡ)= 0,267= 26,7%
Laten we verder uitgaan dat P(A)= 0,10= 10% nog steeds geldt
B roken
BC
Totaal
A longkanker
Ac
Totaal
0,081
0,24032
0,3203
0,10-0,08
0,90-0,2403
1-0,3203
0,10
0,90
1.00
1= P(AᴖB)= P(B/A)/P(A)= 0,8 X0,10= 0,08= 8%
2= P(ACᴖB)= P(B/Ac)x P(AC)= 0,267 x0,90= 0,2403
Sensitiviteit: P (positief/ziek)= 0,90
Specificiteit:P (negatief/ gezond)= 0,95
P(ziek)=0,1
Wat je wilt weten: P (ziek/positief)
P(ziek)=0,01 P (gezond)= 1-0.01= 0,99
Ziek
Gezond
totaal
Positief
0,0090
0,0495
0,0585
Negatief
0,0010
0,9405
0,9415
Totaal
0,01
0,99
1
Productregel toepassen:
P(ziekᴖpositief)- p (ziek) xP (positief/ ziek)= 0,01 x0,9
Hoorcollege 2
Verwachting geeft een gemiddelde weer
Variantie geeft een spreiding weer
Telprobleem 3.6
Probleem 1:
Vereniging van 40 leden. Ieder lid moet gesproken worden. Hoeveel volgordes zijn hiervoor
mogelijk?--> 40!
‘n’ faculteit
Probleem 2:
Bestuur samenstellen: voorzitter, secretaris, penningmeester.
Hoeveel manieren zijn hiervoor mogelijk?
40x39x38= 59.280 manieren
Probleem 3:
Corveeploeg kiezen van 3 personen
Elk drietal komt in de 59.280 mogelijkheden 6x voor. De verschillende volgordes eigenlijk als 1
mogelijkheid kiezen.
Dus op 59.280/ 6=- 9880 manieren een corveeploeg van 3 personen kiezen.
(40) = 40!
3
3! 37!
(n)= n!
K
k! x(n-k)!
K objecten kiezen uit n totaal objecten
Voorbeeld:
4x proef. Elke herhaling is onafhankelijk van voorgaande
Elke proef is met ¾ succesvol (kans)
Kans op (precies) 3 successen?
(4) x 0,75^3 x 0,25^1 = 0,4219
3
2 successen?
(4)x 0,75^2 x0,25^2= 0,2109
2
Binomiale verdeling
Hierboven met n=4 en π= 0,75
Spreiding in kans door toeval
Voorbeeld:
In een vaas zitten 10 knikkers: 5 witte en 5 zwarte
Men trekt zonder terugleggen 4 knikkers.
P: 2 witte en 2 zwarte?
(10)= 210 mogelijkheden
4
10 nCr 4
Hoeveel combinaties met 2 witte en 2 zwarte?
(5)= 10  wit
2
(5)= 10  zwart
2
P 2 wit, 2 zwart = (5) x(5)
2 2
(10)
4
= 100
210
Stochastische variabele 3.7
Stochastische variabele: waarneming waarvan de uitkomst afhangt van toeval
P(X=x)  tabel met kansverdeling
Verwachting
Bij stochastische variabele hoort een verwachting, μ(x) of E(x)
Μ= ΣP(x)* x
Elke uitkomst vermenigvuldigen met de bijbehorende kans
Μ(x) is de gemiddelde uitkomst X bij een langdurige herhaling
Μ nadert de kans als de herhaling groot is, Ẋ zal, als N groot is, μ naderen.
Μ(x) ook wel populatiegemiddelde
Variantie
Variantie van een stochastische variabele x=σ2= Σp(x)* (x-μ)2
Variantie ook wel σ^2/x of var(x)
Σ2 is de gemiddelde kwadratische afwijking op den duur t.o.v. μ.
Wortel van variantie is is standaardafwijking en wordt aangegeven met σ.
Continue stochastische variabele 3.7
(kansdichtheden)
Normaal verdeling (klokvorm)
Uitkomsten van een stochastische variabele kunnen ook reële getallen zijn  continue
stochastische variabele
P(a < X<b)
Rekenregels voor verwachting, variantie en standaardafwijking
Van stochastische variabele overgaan op andere stochastische variabele Y= 2x-5
Μy= aμy+b
Σy2= a2* σ2x
Σy= |a|*σx
E=(ax+b)= a (ex)+b, var (ax+b)= a2var x
Voorbeeld:
40 leden, waarvan 15 vrouw
5 kaarten
X= aantal vrouwen met kaartje
P(X=3)
Hoeveel manieren 5 uit 40?
40 boven 5= 658008
3 vrouw+kaartje en 2man +kaartje
15 boven 3 x 25 boven 2= 136500
P(X=3)= 136500/658008= 20,7%
Hoorcollege 3
Kansverdelingen 3.8
Volgorde noemen
 Volgordes aantal berekenen
 Aantal volgordes met eis
Tenminste 4 goed—4,5,6
Per goed aantal volgorde: 6 goed=1
5 goed= x (is automatisch 6 goed)
4 goed- 6boven2 of 6boven4
 Uitkomst = kans
Totaal
Binomiale verdeling
Meestal een kansverdeling van X= aantal successen
In binomiale situatie:
1) Er zijn n onafhankelijke (deel)experimenten
2) 2 uitkomsten per experiment
3) Kans op succes is gelijk aan π bij elk experiment
Bin(n,π)
Binomiale verdeling is toepasbaar bij trekken van steekproef met teruglegging.
In praktijk zonder terugleggen:
Als steekproefgrootte n klein is t.o.v. populatiegrootte kan men de binomiale verdeling gebruiken als
goede benadering
Vuistregel: populatiegrootte moet groter zijn dan 5n2
Voor de binomiale verdeling zijn er 2 korte formules afgeleid voor verwachting en variantie
E(x)= μ= n*π
Var(X)= n*π*(1-π)
Poisson verdeling
Algemene structuur van de tellingen: een telling van een bepaald verschijnsel gebonden aan plaats
en tijd
P(X=x)= e-μ μx / x!
Verwachting en variantie van de Poisson verdeling zijn beide gelijk aan μ.
Voor grote n en kleine π wordt de binomiale verdeling goed benaderd door de Poisson verdeling met
μ=n*π
Normale verdeling
Een continue verdeling
Klokvorm voor de kansdichtheid. Oppervlak onder de grafiek tussen de aangegeven grenzen.
X~N(μ,σ2)
Alle normale verdelingen zijn afgeleid van de standaardnormale verdeling
Kans dat P(X>x) vertalen naar een kans in Z.
Als X~N(μ,σ2) dan Z= (x-μ)/σ ~ N(0,1)
Binomiale verdeling kan benaderd worden door de normale verdeling.
Alleen als nπ > 5 en n(1-π) > 5
N die groot is!
Μ= nπ -- verwachting
Σ= √ 𝑛 ∗ 𝜋 ∗ (1 − 𝜋) -- standaardafwijking
Strikt genomen zijn kansen op uitkomsten 29,28,27 etc. zijn allemaal 0 als we die berekenen met de
normale verdeling, want de normale verdeling is een continue verdeling.
Continuïteitscorrectie!
29  28,5 -29,5
Hoorcollege 4
Standaardnormale verdeling
Z= (x-μ)/σ
Z-score: wat wijkt bijv. persoon (x) af van het gemiddelde?
Er zijn meer dan 1 stochastische variabelen, wat is de kansverdeling van het steekproefgemiddelde?
De stochastische variabelen X en Y zijn onafhankelijk als gebeurtenissen A die alleen betrekking
hebben op X onafhankelijk zijn van gebeurtenissen b die alleen betrekking hebben op Y.
Kansverdeling van X en Y in tabel
P (X+Y=5)
Beschouwen als gooien met 2 dobbelstenene.
P (X=1, y=4)……..
P(X=2, Y=3)………
 Kansen optellen
Verwachting en varianties van X+Y en X-Y
Zonder voorwaarden:
E(X+Y)= E(X)+E(Y)
E(X-Y)= E(X)-E(Y)
Onafhankelijkheid:
Var(x+y)= var(x)+ var(y)
Var (x-y)= var(x)+ (var(y) altijd bij elkaar optellen!!
Varianties van X+Y en X-Y zijn kennelijk gelijk
Var(-y)= var(-1*y)= (-1)2 x var(y)= var(y)
Verdeling van X+Y en X-Y in geval van normale verdelingen
Geval 1:
Als X en y onafhankelijk zijn en beide normaal verdeeld, dan zijn zowel X+Y als X-Y ook normaal
verdeeld.
Geval 2: Poisson verdeling:
Als X en Y beide onafhankelijk zijn en beide Poisson verdeeld, dan is X+Y ook weer Poisson verdeeld.
Μx=4 en de telling μy=5
Dan geldt in gebal van onafhankelijkheid
X+Y poisson verdeeld μx+y= 4+5=9
Dan geldt P(X+Y=6) =e-μ* μ6
6!
Als je wilt dat eenzelfde telling blijft, gebruik je de Poisson verdeling.
Centrale limietsteliing (CLS)
Ongeacht de werkelijke verdeling van de stochastische variabelen X: zijn zowel S als Ẋ bij benadering
normaal verdeeld als de steekproefgrootte n groot is.
Μ=E(XI) en σ2= var(Xi)
Als we de algemene regels E(X+Y) = E(X)+ E(Y) en VAR(X+Y)= VAR(X) +VAR(Y) in geval van
onafhankelijkheid herhaald toepassen op S= X1+X2…. Dan vinden we E(S)=n*μ, var(S)= n*σ2 en
σs=σ*√𝑛
Z=S-n*μ
σ*√𝑛
bij benadering standaardnormaal verdeeld
wat houdt dit in voor Ẋ?
Algemene regel:
Als Y= ax+b dan μx=aμx+b en σy= |a|*σy
Voor Ẋ= s/n geldt dus E(Ẋ)= 1/n * nμ=μ en σx= 1/n
σ*√𝑛
Het steekproefgemiddelde Ẋ is dus bij benadering normaal verdeeld met verwachting μ en
standaardafwijking σ/√𝑛
Opmerking 1 n.a.v. CLS
Als Xi een normale verdeling hebben dan is de verdeling Ẋ exact een normale verdeling
Als bijvoorbeeld Xi een normale verdeling heeft met μ= 10 en σ=3 dan heeft Ẋ voor n=100 exact de
normale verdeling met verwachting 10 en standaardafwijking σ/√100
Aanpassing van σ is cruciaal
P(XI> 13)= P(Z>1)= 1- (P <1)= 1- 0,841= 0,159
Met Z= Xi- 10/3 is standaardnormaal verdeeld
P (Ẋ>13)= P(Z> 13-10/ 0.3)= P(Z>10)= 0.000
Tabel geeft geen waarde voor 10. 3.59 is het hoogst mogelijke waarde in de tabel.
Kans links van 3.59 is 1.00 dus is de kans rechts van 3.59 0.00 (max. kans is immers 1)  is wel altijd
een benadering van 0
Opmerking 2 n.a.v. CLS
Vorige college: de normale benadering van de binomiale verdeling. Deze normale benadering is
eigenlijk het gevolg van de centrale Limiet Stelling. Binomiale verdeling successen als volgt coderen:
XI=1 als 1e deelexperiment succes oplevert, anders Xi= 0. Dan is S= X1 + X2…..
Voorbeeld:
X is binomiaal verdeeld met n= 500 en succeskans π= 0,10. Willen benaderen: P(X<65)
Aan voorwaarde van goede benadering is voldaan.
Normale benadering: doen alsof X normaal verdeeld is met μ= n*π = 500*0,1=50 en σ= n*π*(1-π)=
500*0,1*0,9= 45 σ√45= 6.708
Continuïteitscorrectie P(x<65) P(X<64.5)
Daarna standaardiseren: Z= x-μ/σ is standaardnormaal verdeeld
Kans omschrijven naar Z en tabellen
Standaardafwijking= √𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡𝑖𝑒