Sheets college 2

Sheets hoorcollege 5: H4.4 en 4.5
Discrete s.v. X heeft eindig aantal waarden
x1 t/m xn met kansen pi, dus pi = P( X= xi)
De verwachting , of X of E(X) van een
discrete s.v. X is het gewogen gemiddelde van
alle x-waarden:
 =  xi  pi ,
waarin pi = P( X=xi ) de wegingsfactor van de
waarde xi is.
Verschil en verband tussen  en x :
 De verwachting(swaarde) , ook wel
populatiegemiddelde genoemd, is een maat
voor het centrum van een kansverdeling.
 Het steekproefgemiddelde x geeft een
schatting voor de (vaak onbekende) .
 De (experimentele) wet van de grote
aantallen: indien x het gemiddelde van de
waargenomen waarden van s.v. X is bij
herhaling van het experiment, dan zal x bij
veel herhalingen dicht bij  liggen.
1
Rekenregels voor verwachting  = E(X):
1. E(a+bX) = a + bE(X)
2. E(X+Y) = E(X) + E(Y)
(Notatie boek: a+bX=a+bX en X+Y=X+Y )
De variantie 2 of X2 of var(X) is een maat
voor de spreiding van een s.v. X:
2 =  (xi - )2  pi
Rekenregels voor variantie 2 = var(X):
1. var(a+bX)= b2 var(X) (boek: 2a+bX= b22X)
2.Als X en Y onafhankelijk zijn (d.w.z:
gebeurtenissen m.b.t. X resp. Y zijn
onafhankelijk), dan geldt:
var(X+Y) = var(X) + var(Y) en
var(X -Y) = var(X) + var(Y)
De standaardafwijking  of X of sd(X)
wordt afgeleid uit de variantie:
2

σX
σX
 X2  0
en X  0.
2
 Let op de eenheid: als de s.v. X in meters
(m), dan is X2 in m2 en X weer in m.
 X2 en X zijn de variantie en
standaardafwijking van de populatie.
 s2 en s schatten de (veelal onbekende)
waarden van X2 en X.
 Rekenregels standaardafwijking X = sd(X):
1. sd(a+bX) = bsd(X) (als b 0)
2. sd(X  Y)  σ2x  σ2Y (= σX+Y )
Een populatie heeft een kansverdeling met
bepaalde parameters, zoals µ, σ en p.
Met een aselecte steekproef kunnen we deze
parameters en kansen schatten:
Steekproef uit populatie
x is het
steekproefgemiddelde:
een schatting van µ
s2 schat σ2
De relatieve frequentie
van gebeurtenis A in de
(=de relatieve frequentie steekproef schat P(A)
Populatie
µ is het populatiegemiddelde: meestal
onbekend
σ2: spreidingsmaat
P(A) is de kans op
een gebeurtenis A
van A in de populatie)
3
Toepassen van rekenregels voor µ en σ bij
de normale verdeling:
1. Als X is N(µ, σ), dan geldt:
Y = a + bX is N(a + bµ, bσ) (als b > 0)
2.Als X en Y onafhankelijk zijn en normaal
verdeeld, dus X is N(µX, σX) en Y N(µY, σY)
dan geldt: X + Y is N(µX + µY, σ2X  σ2Y )
Let op:
1. σX+Y ≠ σX + σY, maar wel µX+Y = µX + µY
2. Als X en Y niet onafhankelijk zijn, kunnen
we σX+Y en de verdeling van X+Y niet
bepalen.
4
Voorwaardelijke kans op A, gegeven (het
optreden van) B, is
P(A en B)
P(B | A) 
P(A)
De algemene productregel:
P(A en B) = P(B|A)  P(A)
ofwel: P(A en B) = P(A|B)  P(B)
Voor 3 gebeurtenissen:
P(A en B en C)= P(A)  P(B|A)  P(C|A en B)
Toepassing voorwaardelijke kans:
De omkeerregel van Bayes.
Gegeven (zie figuur):
 een populatie in 2 delen: A en AC.
 P(A), P(B|A) en P(B| AC)
AC
A
S
A en B
AC en B
B
Dan kun je berekenen:
5
P(AC)= 1 - P(A),
P(B) = P(A en B) + P(AC en B)
= P(A)×P(B|A) + P(AC)×P(B| AC)
En (de omkeerregel van Bayes):
P(A en B)
P(A | B) 
P(B)
P(B | A)P(A)

P(B | A)P(A)  P(B | A C )P(AC )
Opdeling populatie in 3 delen:
A1
A2
A3
A1 en B A en B
2
A3 en B
S
B
Omkeerregel van Bayes voor 3 delen:
P(A1 en B)
P(A1 | B) 
P(B)
P(B | A1 )P(A1 )

P(B | A1 )P(A1 )  P(B | A 2 )P(A 2 )  P(B | A 3 )P(A3 )
6