Sheets college 2

Sheets hoorcollege 2: 1.3, 4.3, 4.4 en 5.1
Een stochastische variabele (s.v.) X is een
kwantitatieve variabele bij een
toevalsexperiment.
De kansverdeling van X: alle mogelijke
waarden van de s.v. X en bijbehorende kansen
(tabel of formule).
Discrete s.v. X heeft eindig aantal waarden
x1 t/m xn met kansen pi, dus pi = P( X= xi)
En: P(A)   pi
x i in A
Kanshistogram van een discrete s.v. X:
histogram van kansen (i.p.v. relatieve
frequenties) bij de mogelijke
x-waarden. Een staafdiagram van kansen
geeft een beter beeld van de verdeling.
De verwachting  , of X of E(X) van een
discrete s.v. X is het gewogen gemiddelde van
alle x-waarden:  =  xi  pi ,
waarin p i = P( X=xi ) de wegingsfactor van de
waarde xi is.
1
Verschil en verband tussen  en x :
 De verwachting(swaarde) , ook wel
populatiegemiddelde genoemd, is een maat
voor het centrum van een kansverdeling.
 Het steekproefgemiddelde x geeft een
schatting voor de (onbekende) .
 De (experimentele) wet van de grote
aantallen: indien x het gemiddelde van de
waargenomen waarden van s.v. X is bij
herhaling van het experiment, dan zal x bij
veel herhalingen dicht bij  liggen.
 Dus in het algemenen geldt: µ ≠ x
Rekenregels voor verwachting  = E(X):
1. E(a+bX) = a + bE(X)
2. E(X+Y) = E(X) + E(Y)
Notatie boek: a+bX=a+bX en X+Y=X+Y
De variantie 2 of σ2X of var(X) is een maat
voor de spreiding van een s.v. X:
2 =  (xi - )2  pi
De standaardafwijking  of X of sd(X)
wordt afgeleid uit de variantie:
2
σX  σX
2
Eigenschappen van σ2X = var(X) en X =sd(X)
 σ2X  0 en X  0
 Let op de eenheid: als de s.v. X in meters
(m), dan is σ2X in m2 en X weer in m.
 σ2X en X zijn de variantie en
standaardafwijking van de populatie.
 s2 en s zijn de variantie en
standaardafwijking van de steekproef: zij
schatten de (veelal onbekende) waarde van
σ2X en X.
De variantie van a + bX:
E(a +bX) = a+ b E(X), maar voor de variantie
geldt:
2 2
2
var(a+bX) = b2 var(X) (boek: σa
=
b
σX )
bX
En: a+bX = bX (als b >0)
De variantie van X + Y:
We weten al dat E(X+Y) = E(X) + E(Y).
Maar zo’n eigenschap geldt niet algemeen
voor de variantie.
3
De correlatie ρ van X en Y:
ρ is de maat voor afhankelijkheid van X en Y
 ρ ligt altijd tussen -1 en 1.
 Als ρ = 1, liggen de waarden van X en Y in
een spreidingsdiagram op een stijgende
rechte lijn. Als ρ = -1, op een dalende lijn.
 Als ρ = 0, is er geen lineair verband.
Algemeen geldt:
σ2XY = σ2X + σ2Y + 2ρX Y
σ2XY = σ2X + σ2Y - 2ρX Y
Als X en Y onafhankelijk zijn, dan geldt:
ρ = 0, dus:
var(X+Y) = var(X) + var(Y) en
var(X -Y) = var(X) + var(Y)
Ofwel:
 2XY   2X   2Y
 XY   2X   2Y
4
Continue kansverdelingen
Continue s.v. X: de (oneindig veel) waarden
van X vormen een interval.
X heeft dan een dichtheidskromme p(x):
de kans dat X een waarde in een interval
aanneemt, wordt bepaald door de oppervlakte
boven dat interval onder de kromme.
Totale oppervlakte = totale kans = 1 (100%)
p-de percentiel: oppervlakte links van die
waarde is p% en rechts is (100-p)%.
5
Mediaan: oppervlakte links en rechts van de
mediaan is ½ .
Verwachting µ = E(X) = µX van continue s.v.
X is het “evenwichtspunt” van de kromme.
Normale verdeling: symmetrische,
klokvormige dichtheidskromme p(x)
2
1


1
x


 ),
(formule p(x) =
e  2 
  
2  2
waarin µ = symmetriepunt = verwachting
en
σ = standaardafwijking
notatie: X is N(µ, σ)
6
De 68-95-99.7-regel voor de normale
verdeling:
 P(µ - σ ≤ X ≤ µ + σ) ≈ 68%
 P(µ - 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ≈ 95%
 P(µ - 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) ≈ 99.7%
De standaardnormale verdeling N(0,1):
Voor µ = 0 en σ = 1 zijn de normale kansen
P(Z ≤ z) getabelleerd, bijv. P(Z ≤ 1.15)=
0,8749.
wegens symmetrie geldt:
P(Z ≥ 1.15) = P(Z ≤ -1.15) = 1- P(Z ≤ 1.15)
En: P(-1 ≤ Z ≤ 2) =P(Z ≤ 2) - P(Z ≤ -1).
In formule: P(a ≤ Z ≤ b) =P(Z ≤ b) - P(Z ≤ a).
7
Standaardiseren:
X μ
Als X N(µ, σ), dan is Z =
N(0,1)
σ
Dus kansen voor X kun je met de N(0,1)-tabel
bepalen (of direct met de GR).
Voorbeeld: X is N(20, 2), dan is
X  20 22.3  20
P(X ≤ 22.3) = P(
≤
)
2
2
= P(Z ≤ 1.15) = 0.8749
met GR schrijf op: P(X ≤ 22.3) = 0.8749 (GR)
Eigenschappen normale verdeling:
1. Als X is N(µ, σ), dan is
Y = a + bX N(a + bµ, bσ) (als b>0)
2.Als X en Y onafhankelijk zijn en normaal
verdeeld [X is N(µX, σX) en Y is N(µY, σY)],
dan is X + Y
N(µX + µY,  2X   Y2 )
Let op:
σX+Y ≠ σX + σY, maar wel µX+Y = µX + µY
8
De binomiale verdeling is van toepassing bij
een binomiale situatie:
1. onafhankelijke herhalingen van een
experiment.
2. steeds twee mogelijke uitkomsten
(“succes” en “mislukking”).
3. kans p op succes is steeds gelijk.
X, het aantal successen bij de n herhalingen,
heeft een B(n,p)-verdeling.
Binomiale kansformule:
n k
P(X=k) =   p 1 p nk , voor k= 0,1,…,n
k 
d.i. de kans op k successen en n-k
mislukkingen
Binomiale kansen kunnen we in binomiale
tabellen opzoeken of met de rekenmachine
berekenen.
Eigenschappen B(n,p)-verdeling:
1. μX = E(X) = np
9
2. σX2 = var(X) = np(1-p) en σX = np(1 p)
3. Voor grote n is X bij benadering
N( np , np(1 p) )
(vuistregel: np >5 en n(1-p) >5)
Bij normale benadering van de binomiale
kansen passen we continuïteitscorrectie (c.c.)
toe, omdat dat i.h.a. een betere benadering
geeft:
Voorbeeld: berekening van P(X ≤ 55) voor X,
die B(100, ½ ) is, dus:
μX= np =50 en σX = np(1 p) = 5
P( X ≤ 55) = P( X ≤ 55.5)
(cont. correctie)
X  50 55.5  50 

= P

 (standaard.)
5
 5

= P( Z ≤ 1.10)
met Z is N(0,1)
= 86.43%
uit N(0,1)-tabel
Evenzo: P( X < 55) = P( X ≤ 54.5) = ….
10
Populatie en steekproeven
Populatie: de hele groep van objecten of
individuen waarover informatie moet worden
ingewonnen.
Steekproef: gekozen deel van de populatie.
Enkelvoudige Aselecte Steekproef (EAS):
willekeurige en beperkte keuze van n
elementen uit een populatie.
n = steekproefomvang.
Populatieverdeling: kansverdeling van een
populatievariabele.
De twee belangrijkste modellen in dit vak:
het binomiale model: zie hieronder
en het normale model: zie sheets HC 3
Binomiale model
Een populatie bestaat voor een onbekend deel
(= fractie p) uit “successen” en voor het
overige (fractie 1-p) uit “mislukkingen”.
11
Om p te bepalen wordt een EAS van omvang n
uit de populatie genomen:
X = “aantal successen in de EAS” is B(n,p)
wordt de steekproeffractie genoemd.
p̂  X
n
Hiermee wordt de populatiefractie p
geschat.
Eigenschappen steekproeffractie :
1. E(p̂)  p : p̂ is een zuivere schatter van p.
2. var(p̂) 
p(1 p)
en σ p̂ 
n
p(1 p)
:
n
de variantie resp. de standaardfout
(standard error) van de steekproeffractie.
3.Voor grote n is p̂ bij benadering
N(p,
p(1 p)
)
n
–verdeeld.
12