The Value of `Value at Risk` (Dutch) (PDF Available)

 De waarde van Value at Risk De toepasbaarheid van Value at Risk op beleggingen in direct vastgoed Master Thesis – MSRE Amsterdam School of Real Estate ir. Ruben A.R. Langbroek September 2008 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Voorwoord De Griekse filosoof Plato (347 v.Chr.) introduceerde de gedachte dat verandering per definitie slecht is, aangezien verandering opgevat kan worden als een verstoring van de kosmos. Tegenwoordig ligt dat beeld genuanceerder: veranderingen kunnen als positief of negatief ervaren worden. Wel kan gesteld worden dat verandering leidt tot ongewisse situaties en dus niet zonder risico is. Risico kan worden gezien als de kans op een negatieve gebeurtenis. Op de beleggingsmarkt wordt risico volgens de gedachte van Plato dan ook voornamelijk als niet wenselijk beschouwd. Echter, indien er voldoende rendement tegenover staat, kan risico zeer zeker acceptabel zijn. Het gaat er vervolgens wel om die risico’s beheersbaar te maken. Dit kan door een beter inzicht te krijgen van het maximaal te lopen risico, oftewel een inschatting van de gevolgen van één of meerdere negatieve gebeurtenissen volgens het ‘worst‐case’‐scenario. Dat is precies wat de methode van ‘Value at Risk’ (VaR) doet en waar dit onderzoek op ingaat. In essentie geeft de VaR‐methode antwoord op de simpele vraag: hoe erg kan het worden? Door het gebruik van deze risico‐management methode kan het optreden van grote negatieve momenten binnen de beleggingsportefeuille beheerst worden. Onderhavige Master Thesis, uitgevoerd in het kader van afronding van mijn MSRE studie, richt zich op de toepassing van de VaR‐methode op een direct vastgoed‐portefeuille. Doelstelling is te achterhalen in hoeverre de methode in staat is het maximale verlies op een vastgoedbeleggingsportefeuille te voorspellen. Hierbij zou ik graag iedereen die heeft bijgedragen aan de totstandkoming van deze Master Thesis willen bedanken. Mijn dank gaat met name uit naar mijn begeleider Ronald Huisman. Hij heeft mij meer inzicht gegeven in de wereld der statistiek en daarnaast sturing gegeven in het stellen van de juiste vragen. Dit onderzoek dient de lezer de juiste antwoorden op die vragen te geven. Het biedt daarmee inzicht in de VaR‐methode en de mogelijke toepassing ervan op direct vastgoed. Indien de tekortkomingen van toepassing van de methode in acht worden genomen, blijkt deze van toegevoegde waarde bij het nemen van beleggingsbeslissingen. Toepassing van de VaR‐
methode vindt tot op heden echter nog nauwelijks plaats, iets wat in de toekomst ongetwijfeld zal veranderen. De vraag is vervolgens of ook díe verandering als negatief moet worden beschouwd. Wel kan worden aangenomen dat, indien de VaR‐methode ruim 2000 jaar eerder ontwikkeld was, Plato optimistischer geweest zou zijn ten aanzien van verandering. Ruben Langbroek Utrecht, september 2008 1 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Inhoudsopgave Samenvatting.................................................................................................................................4
Hoofdstuk 1
Inleiding ...............................................................................................................7
1.1 Aanleiding.....................................................................................................................7
1.2 Probleemschets............................................................................................................7
1.3 Probleemstelling ..........................................................................................................8
1.4 Plan van aanpak ...........................................................................................................9
1.5
Uitgangspunten en afbakening onderzoek ................................................................10
Hoofdstuk 2
Risicomanagement volgens Value at Risk .........................................................12
2.1
De Value at Risk‐methode..........................................................................................12
2.2
Definitie VaR...............................................................................................................13
2.3
Formules voor VaR .....................................................................................................13
2.3.1 Numerieke VaR ....................................................................................................14
2.3.2 Parametrische VaR...............................................................................................14
2.4
VaR‐methoden ...........................................................................................................16
2.4.1 Historische simulatie ...........................................................................................16
2.4.2
Gestructureerde VaR ...........................................................................................17
2.5 Alternatieve toepassing VaR‐methode ......................................................................18
2.6
Beperking principe VaR ..............................................................................................19
2.7
Beperkingen gebruik VaR ...........................................................................................19
2.7.1
Geldigheid van historische data ..........................................................................19
2.7.2 Veronderstelling van normaliteit.........................................................................20
2.7.3 Liquiditeit van de portefeuille .............................................................................20
2.8
Voordelen VaR............................................................................................................21
Hoofdstuk 3
Toepasbaarheid Value at Risk ...........................................................................22
3.1 Rendementsverdeling ................................................................................................22
3.2
Karakteristieken vastgoed..........................................................................................22
3.2.1
Smoothing en lagging ..........................................................................................24
3.2.2
Beschikbaarheid historische reeksen ..................................................................24
3.3
Normale verdeling: vier momenten...........................................................................25
3.3.1
Eerste moment: gemiddelde of verwachte waarde ............................................25
3.3.2
Tweede moment: variantie .................................................................................25
3.3.3
Derde moment: skewness ...................................................................................25
3.3.4
Vierde moment: kurtosis .....................................................................................26
3.4
Portfolio’s en dikke staarten ......................................................................................26
3.5
Niet‐normale verdeling ..............................................................................................28
3.6
Alternatieve verdelingen............................................................................................28
3.6.1
Student‐t verdeling ..............................................................................................28
3.6.2 Niet‐centrale Student‐t verdeling........................................................................29
3.7
Controle van overeenkomst met verdeling ...............................................................30
Hoofdstuk 4
Toetsing op normaliteit .....................................................................................31
4.1
Onderzoek naar verdeling ..........................................................................................31
4.2 Opzet toetsing ............................................................................................................32
4.2.1
Toetsing van reeksen ...........................................................................................32
4.2.2 Toetsing van rendement‐componenten..............................................................32
4.3 Rendementkarakteristieken.......................................................................................33
4.4
Toetsing op normaliteit: stress‐testing ......................................................................34
4.4.1
Stress‐test van rendementen op indexniveau.....................................................34
4.4.2
Stress‐test van rendementen op portefeuilleniveau...........................................35
2 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk 4.5
Conclusies toetsing op normaliteit.............................................................................35
Hoofdstuk 5
Testen toepasbaarheid VaR...............................................................................36
5.1
Testen van gekozen verdeling....................................................................................36
5.1.1
Betrouwbaarheidsinterval ...................................................................................36
5.1.2
Holding period .....................................................................................................36
5.2 Testen van toepasbaarheid: back‐testing ..................................................................37
5.2.1 Back‐testing VaR op basis van 95% betrouwbaarheidsinterval...........................38
5.2.2
Back‐testing VaR op basis van 99% betrouwbaarheidsinterval...........................39
5.3
Conclusies back‐testing ..............................................................................................39
Hoofdstuk 6
Conclusies ..........................................................................................................41
6.1
Conclusies...................................................................................................................41
6.1.1 Praktische validiteit .............................................................................................41
6.1.2 Praktische toepasbaarheid ..................................................................................42
6.2
Aanbevelingen............................................................................................................42
6.2.1
Aanbevelingen ten behoeve van vervolgonderzoek ...........................................43
6.2.2
Aanbevelingen ten behoeve van toepassing.......................................................43
6.3
Tot slot........................................................................................................................44
Literatuur .....................................................................................................................................45 De VaR‐methode nader toegelicht ........................................................................48
Bijlage I
Bijlage II
VaR ten behoeve van beleggingsbeslissingen .......................................................52
Bijlage III
Standaard normale tabel .......................................................................................55
Bijlage IV
Resultaten analyse datareeksen ............................................................................57
3 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Samenvatting Door de effecten van diverse marktontwikkelingen lopen beleggers in direct vastgoed financieel risico op hun beleggingsportefeuille. Risico‐management is daardoor van toenemend belang. Het gaat er daarbij om de aanwezige risico’s inzichtelijk te maken, om vervolgens te kunnen beoordelen of die risico’s al dan niet acceptabel zijn. Op basis daarvan kan de blootstelling aan de te lopen risico’s aangepast worden, zodat het daadwerkelijke risicobeeld overeenkomt met het gewenste rendement/risico‐profiel van de beleggings‐
portefeuille. Er zijn diverse manieren om de te lopen risico’s inzichtelijk te maken en te kwantificeren. Hierbij dienen echter slechts de negatieve gebeurtenissen in het rendementsverloop beschouwd te worden, aangezien de positieve gebeurtenissen eerder kansen zijn. Risico heeft anders gezegd uitsluitend betrekking op verlies. De VaR‐methode is op dit principe gebaseerd en stelt zich ten doel het risico samen te vatten, door het maximale verlies te voorspellen binnen een bepaalde tijdshorizon voor een gekozen betrouwbaarheidsinterval. Door het gebruik van de VaR als risico‐management methode, kan de blootstelling aan grote negatieve momenten beoordeeld, gecontroleerd en verminderd worden. In onderhavig onderzoek is nagegaan of de VaR‐methode toepasbaar is op direct vastgoed‐
beleggingen, om ook voor deze beleggingscategorie meer inzicht te kunnen geven in de omvang van de aanwezige risico’s. De centrale onderzoeksvraag is derhalve als volgt: In hoeverre heeft de VaR‐methode het vermogen de omvang van het maximale verlies op een direct vastgoed‐beleggingsportefeuille te voorspellen? De VaR kan gedefinieerd worden als het maximale verlies dat kan ontstaan op een beleggingspositie door normale marktbewegingen in een bepaalde periode, gebaseerd op een ‘time to close’ benadering, uitgaande van een vastgesteld betrouwbaarheidsinterval. Daarbij kan de VaR op basis van een numerieke of een parametrische benadering berekend worden. Bij de twee benaderingen behoren ook twee verschillende toepassingsmethoden, te weten de ‘historische simulatie’ en de ‘gestructureerde VaR’. De gestructureerde VaR‐methode heeft een aantal voordelen in het gebruik ervan, zoals de mogelijke toepassing bij een klein aantal waarnemingen, de mogelijkheid tot eenvoudige conversies naar andere betrouwbaarheidsintervallen en naar een andere tijdshorizon. Het maakt het daarnaast mogelijk een bepaalde mate van voorwaardelijkheid te verwerken in de VaR‐schatting, waardoor betere voorspellingen mogelijk zijn. Deze gestructureerde VaR‐
methode gaat echter uit van een aantal voorwaarden, zoals de aanname dat rendementen onafhankelijk zijn en dat ze een constante variantie hebben. De belangrijkste aanname voor een accurate parametrische VaR‐schatting is de aanname dat rendementen normaal verdeeld zijn. Diverse studies hebben reeds aangetoond dat een dergelijke normale verdeling geen juiste beschrijving is van het beeld van gerealiseerde rendementen van diverse beleggingscategorieën. Dit betekent dat de aanname betreffende de normale verdeling resulteert in een verkeerde schatting van de te lopen risico’s en dus van de verkregen 4 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk parametrische VaR‐waarde. Voor het toepassen van de parametrische VaR op direct vastgoed, dient daarom onderzocht te worden hoe de verdeling van direct vastgoed‐rendementen zich verhoudt ten opzichte van de normale verdeling. Van belang daarbij is niet zozeer of vastgoedrendementen normaal verdeeld zijn, maar of een afwijking ten opzichte van die normale verdeling een dusdanig verschil geeft in het toepassen van de gestructureerde VaR‐
methode, dat de resultaten ervan onvoldoende betrouwbaar zijn. Vanuit literatuurstudies ten aanzien van de VaR‐methode, is onderzocht in hoeverre de theorie achter deze methode toepasbaar is op vastgoedbeleggingen. Daarnaast is op basis van historische rendementen gekeken of de verdeling van direct vastgoed‐beleggingen voldoet aan de voorwaarden die de gestructureerde VaR‐methode stelt. Vervolgens is door middel van back‐testing gekeken of de uitkomsten van de parametrische VaR overeen komen met empirische resultaten. Aan de hand hiervan is geëvalueerd of de verkregen VaR‐waarden voldoende betrouwbaar zijn. De voorwaarden waar de beide VaR‐benaderingen van uitgaan, impliceren tegelijkertijd een aantal beperkingen ten aanzien van de toepassing ervan in het algemeen en ten aanzien van toepassing op direct vastgoed‐beleggingen in het bijzonder. Indien de numerieke VaR als ex ante methode wordt ingezet, dan dienen aannamen gedaan te worden over de toekomstige situatie, op basis van historische simulatie. Ook voor toepassing van de parametrische VaR, welke is gebaseerd op de waarschijnlijkheidsverdeling van verwachte rendementen, dienen aannamen gedaan te worden op het gebied van de kansverdeling van het verwachte rendement. In beide gevallen wordt ervan uitgegaan dat de statistische karakteristieken uit het verleden een goede maatstaf zijn voor de toekomst. Het probleem dat zich bij het hanteren van dit uitgangspunt voordoet, is dat resultaten uit het verleden geen garantie bieden voor de toekomst. De projectie van rendementsberekeningen op een toekomstige periode is bijvoorbeeld afhankelijk van conjunctuurschommelingen. Tevens kunnen historische datareeksen beïnvloed zijn geweest door onverwachte, incidentele gebeurtenissen. Bij het gebruik van historische datareeksen wordt de context waaronder die reeks tot stand kwam niet meegenomen. Het niet kennen van die context beperkt de representativiteit van de datareeks in het gebruik ervan. Het principe van de VaR gaat er voorts van uit dat, indien het maximale verlies niet acceptabel wordt geacht, direct ingegrepen kan worden door het aanpassen of afbouwen van de risicovolle beleggingspositie. Dit vereist een redelijke mate van liquiditeit van de betreffende belegging. Vanwege het illiquide karakter van direct vastgoed is dit echter minder acuut mogelijk, waardoor niet gereageerd kan worden in de zin van een direct te treffen corrigerende maatregel. Uit diverse onderzoeken is voorts gebleken dat de rendementsverdeling van verschillende beleggingsklassen niet volledig correspondeert met de parametrische normale verdeling. De voorwaarde van normaliteit van de betreffende verdeling is echter van groot belang voor een correcte toepassing van de gestructureerde VaR‐methode voor direct vastgoed. Om te bepalen in hoeverre heeft deze VaR‐methode het vermogen heeft de omvang van het maximale verlies op een Nederlandse kantorenportefeuille te voorspellen, is via stress‐testing onderzocht in welke mate direct vastgoed voldoet aan het normaal verdeeld zijn. 5 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Vervolgens is via back‐testing de discrepantie gemeten tussen de historische waarden en de waarden zoals deze verwacht zouden worden volgens de normale verdeling. De bij de testen gehanteerde reeksen zijn gebaseerd op de ROZ/IPD Kantorenindex op jaar‐ en kwartaalbasis, alsmede op een fictieve portefeuilleselectie. Daarbij is onderscheid gemaakt tussen het totaal rendement en de componenten daarvan, het direct en indirect rendement. Aangezien deze componenten op verschillende wijze tot stand komen, dienen ook de karakteristieken ervan apart beschouwd te worden. Uit de resultaten van de stress‐test blijkt dat normaliteit bij rendementen van Nederlandse direct vastgoed‐beleggingen niet zonder meer verworpen kan worden. Wel zijn er verschillen te constateren in de mate waarin de beschouwde rendementsverdelingen overeen komen met de normale verdeling. Uit de back‐tests is gebleken dat de via de gestructureerde methode verkregen parametrische VaR bij een lager betrouwbaarheidsinterval in een aantal gevallen een redelijke inschatting geeft van de daadwerkelijke maximale verliezen. In alle gevallen geeft de parametrische VaR voor het direct rendement de beste schatting. Op basis van de gehanteerde jaar‐ en kwartaalreeksen kan geconcludeerd worden dat het hanteren van een grotere tijdsinterval tussen rendementen leidt tot een verdeling die meer neigt richting een normale verdeling. Tevens kan geconcludeerd worden dat de afwijkingen tussen de parametrische VaR en de numerieke VaR toenemen, naarmate het betrouwbaarheidsinterval toeneemt. Blijkbaar kan de parametrische VaR voor direct vastgoed minder goed omgaan met extreme waarden in de linker staart van de verdeling. De numerieke VaR kent deze problemen niet. Echter, door factoren als tijdsvariatie en de beperkte beschikbaarheid van betrouwbare en voldoende lange datareeksen, ligt de uitdaging bij toepassing van historische simulatie in het zo goed mogelijk laten aansluiten van de gehanteerde historische verdeling van rendementen op de toekomstige verdeling. Samenvattend blijkt de VaR‐methode in een aantal gevallen in staat de omvang van het maximale verlies op een direct vastgoed‐beleggingsportefeuille te voorspellen, echter strekt het tot aanbeveling de resultaten van de VaR‐analyses met voorzichtigheid te interpreteren. Vanwege het illiquide karakter van direct vastgoed kan geconstateerd worden dat praktische toepasbaarheid van de VaR voor direct vastgoed‐beleggingen beperkt is. Desalniettemin is toepassing van de VaR‐methode voor direct vastgoed‐beleggingen gewenst. Ten eerste kan de VaR een belangrijke ondersteuning bieden bij het samenstellen van een efficiënte portefeuille, aangezien de VaR‐methode uitgaat van het Downside Risk‐principe. Voorts geeft de VaR inzicht in een ‘worst‐case’‐scenario, waardoor een belegger in elk geval een uitspraak kan doen op het gebied van de acceptatie van de uitkomsten volgens dat scenario. Tot slot draagt de VaR bij aan een completer beeld van het rendement/risico‐profiel voor direct vastgoed‐
beleggingen. Door middel van financieel risico‐management kan meer inzicht in risico’s verkregen worden en kunnen betere beleggingsbeslissingen genomen worden. Feitelijk is geen enkel risico‐
management systeem perfect, maar de VaR‐methode kan wel degelijk van toegevoegde waarde zijn, indien men de tekortkomingen in acht neemt. 6 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Hoofdstuk 1 Inleiding “Risk, it seems, is the ultimate unknown” (S. Das) 1.1 Aanleiding Alles is aan verandering onderhevig. Veranderingen kunnen positief of negatief zijn, maar leiden altijd tot risico. Zo heeft de recente kredietcrisis ervoor gezorgd dat de liquiditeit in de Europese vastgoedmarkten sterk is gedaald, dat aanvangsrendementen van vastgoedbeleggingen zijn gestegen en dat daardoor marktwaarden van direct vastgoed neerwaarts zijn bijgesteld. Dit heeft invloed op de waarde van vastgoedportefeuilles en zodoende ook op het indirect resultaat van vastgoedbeleggers. Naast een negatievere economische groeiverwachting, die zowel het direct als het indirect resultaat beïnvloedt, zijn er nog talloze overige externe ontwikkelingen, waardoor vastgoedbeleggers financieel risico op hun beleggingsportefeuille lopen. Financieel risico‐management is in dit licht van toenemend belang voor vastgoedbeleggingsorganisaties. Risico is een breed begrip en het management daarvan kan op vele manieren geschieden. Risico‐management impliceert echter niet dat alle risico’s afgedekt of volledig geëlimineerd dienen te worden. Over het algemeen geldt bovendien dat beleggers juist kiezen voor het lopen van risico, zolang dit wordt vergoed door een hoger rendement dan het rendement van een risicovrije belegging. Risico‐management richt zich dan ook voornamelijk op het inzichtelijk maken van de aanwezige risico’s, om vervolgens te kunnen beoordelen of die risico’s acceptabel zijn of niet. Het gaat er dus om inzicht te krijgen in welke risico’s men nog acceptabel acht, welke risico’s men momenteel reeds loopt en het aanpassen van de blootstelling aan de te lopen risico’s, zodat het risicobeeld overeenkomt met het gewenste rendement/risico‐profiel. Er zijn diverse manieren om de te lopen risico’s inzichtelijk te maken en te kwantificeren. Deze methoden gaan veelal uit van berekeningen, waarbij het risico uitgedrukt wordt als de afwijking ten opzichte van het behaalde, dan wel verwachte rendement. In de statistiek wordt deze spreiding berekend door middel van de standaarddeviatie, waarmee in één getal de spreiding rond de gemiddelde waarde van de datareeks wordt weergegeven. De standaarddeviatie alleen zegt echter niets over het maximale verlies dat kan optreden door het aanhouden van een beleggingspositie. Dit inzicht is wel van belang, aangezien beleggers willen weten wat de uitkomst is van een ‘worst‐case’‐scenario met betrekking tot het portefeuillerendement. Een dergelijk inzicht kan geboden worden door middel van de ‘Value at Risk’‐methode (VaR‐methode), welke het te verwachten maximale verlies op een beleggingspositie over een bepaalde periode weergeeft. 1.2 Probleemschets Risico‐analyse is van toenemend belang voor beleggers, aangezien het niet alleen gaat om het te verwachten rendement, maar juist ook om het kader waarin dat rendement tot stand komt. Er wordt zodoende steeds meer gesproken over het rendement/risico‐profiel van een belegging. Reeds in de jaren ‘50 werd met behulp van de Moderne Portefeuille Theorie het verband gelegd tussen rendement en risico. Inmiddels bestaan er diverse risico‐analyse 7 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk methoden, waarbij veelvuldig gebruik wordt gemaakt van statistische berekeningsmodellen om het risico van een beleggingsportefeuille in kaart te brengen. De meest populaire en traditionele manier om risico’s te meten, is door gebruik te maken van volatiliteit of spreiding. Deze risico‐indicator heeft echter enkele tekortkomingen (zie o.a. Sortino e.a., 1991, 1996; Plantinga e.a., 2001; Van Polanen Petel, 2005). De belangrijkste tekortkoming is dat de standaarddeviatie geen rekening houdt met de richting van de beweging van het rendement van een belegging. Zo kan volatiliteit ontstaan doordat het rendement plots stijgt, terwijl dit door de belegger niet als negatief hoeft te worden gezien. Feitelijk wordt bij toepassing van deze methode ook positieve afwijkingen ten opzichte van het behaalde of verwachte rendement als risico beschouwd, terwijl dit eerder kansen zijn. Het gaat er dus om slechts de negatieve gebeurtenissen in het rendementsverloop inzichtelijk te maken. Risico heeft anders gezegd voornamelijk betrekking op verlies en de VaR is juist daarop gebaseerd. Het feit dat de VaR de vraag beantwoordt wat volgens een ‘worst‐case’‐scenario dat maximale verlies zou kunnen zijn, maakt de VaR tot een gewenste risico‐indicator. De VaR wordt in de financiële wereld dan ook steeds meer gebruikt, naast de eerder genoemde risico‐
indicator van de standaarddeviatie. Een andere risico‐analyse methode die eveneens uitgaat van het zelfde principe als de VaR, is de ‘Downside Risk’‐methode. Bij die methode geeft de ‘Downside Deviation’ inzicht in de negatieve gebeurtenissen, evenals de daarvan afgeleide indicatoren als de semi‐variantie en de Sortino‐ratio. De VaR is echter de enige methode die de aanwezige risico’s vertaalt naar een schatting van het daadwerkelijke verlies dat door die risico’s kan worden geleden. De VaR kwantificeert de omvang van de risico’s op basis van statistische analyse van rendementen en volatiliteit. Nagegaan moet worden of, en zo ja, hoe deze methode toepasbaar is of gemaakt kan worden voor direct vastgoed‐beleggingen, om ook voor deze beleggingscategorie meer inzicht te kunnen geven in de omvang van de aanwezige risico’s. Doel is om door middel van toepassing van financieel risico‐management volgens de VaR‐
methode risico's beter inzichtelijk en daarmee beheersbaar te maken, zodat betere beleggingsbeslissingen genomen kunnen worden. 1.3 Probleemstelling Naar aanleiding van de beschreven aanleiding en probleemschets, luidt de centrale onderzoeksvraag als volgt: In hoeverre heeft de VaR‐methode het vermogen de omvang van het maximale verlies op een direct vastgoed‐beleggingsportefeuille te voorspellen? Om een gedegen antwoord te kunnen geven op deze centrale onderzoeksvraag, dient deze uitgesplitst te worden naar de navolgende deelvragen: ƒ Wat houdt de VaR‐methode in en wat zegt de literatuur over de toepasbaarheid ervan op vastgoed als beleggingscategorie in het algemeen en op een direct vastgoed‐portefeuille in het bijzonder? 8 Master Thesis ‐ MSRE ƒ
ƒ
De waarde van Value at Risk Op welke wijze kan de VaR‐methode toegepast worden op een direct vastgoed‐
portefeuille? Wat is de optimale methode om het maximaal mogelijke verlies op een direct vastgoed‐
portefeuille te bepalen? 1.4 Plan van aanpak Voor het onderzoek wordt het plan van aanpak aangehouden, zoals is afgebeeld in figuur 1.1. Literatuurstudie
Financieel risico‐
management Value at Risk: theoretische achtergrond Theoretisch kader Karakteristieken direct vastgoed‐beleggingen Value at Risk: voorwaarden Voorwaarden gebruik VaR bij direct vastgoed Praktisch kader toepassing VaR Toetsing voorwaarden bij gebruik VaR Signaleren knelpunten bij toepassing direct vastgoed Opstellen oplossingen: toepassing VaR Toetsing en validatie Toetsing oplossingen: beoordeling VaR resultaten Conclusies en aanbevelingen Figuur 1.1: Plan van aanpak 9 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Het plan van aanpak omvat de navolgende stappen: 1. Literatuurstudie naar financieel risico‐management en de vastgoedbeleggingsmarkt. Doel van de literatuurstudie is het verkrijgen van inzicht in de VaR‐methode, evenals de karakteristieken van vastgoedbeleggingen en de bijhorende vastgoedmarkt. 2. Analyse van de voorwaarden voor toepassing van de VaR‐methode. Analyse van de uitgangspunten en voorwaarden waarop de VaR is gebaseerd, om inzicht te verkrijgen hoe de VaR gemeten kan worden en welke input‐componenten daarvoor bekend dienen te zijn. 3. Onderzoek naar de mate van toepasbaarheid van de VaR‐methode. Vanuit de literatuurstudie en de VaR‐methode, wordt onderzocht in hoeverre de VaR‐
methode toepasbaar is op vastgoedbeleggingen. Daarbij wordt op basis van historische rendementen gekeken of de verdeling ervan voldoet aan de voorwaarden die de VaR‐
methode stelt. 4. Toepassen van de VaR‐methode op direct vastgoedbeleggingen. Indien voldaan wordt aan de voorwaarden van VaR, wordt door middel van back‐
testing gekeken of de uitkomsten van de VaR overeen komen met empirische resultaten. Indien niet voldaan wordt aan de voorwaarden, dan wordt gekeken of een alternatieve toepassing van de VaR‐methodiek tot betere resultaten leidt. 5. Evaluatie, terugkoppeling en conclusies. Aan de hand van de uitkomsten van de back‐tests, kan geëvalueerd worden of de resultaten overeenkomen met de verwachtingen. Eventueel kan terugkoppeling plaatsvinden naar de alternatieve VaR‐toepassing. Ten slotte worden er conclusies getrokken en aanbevelingen gedaan. 1.5 Uitgangspunten en afbakening onderzoek De VaR meet het marktrisico op een beleggingspositie. Met marktrisico wordt in dit kader bedoeld het potentieel van veranderingen van de waarde van een beleggingspositie, zijnde een direct vastgoed‐beleggingsportefeuille, veroorzaakt door veranderende markt‐
omstandigheden. Risico wordt hierbij gezien als de mate van onzekerheid van toekomstige rendementen. Het onderzoek richt zich op de toepassing van de VaR‐methode op een direct vastgoed‐
beleggingsportefeuille. Het betreft hierbij een vastgoedportefeuille bestaande uit kantorenobjecten in Nederland. De data die hiervoor wordt gebruikt is afkomstig uit de database van de ROZ/IPD Vastgoedindex. Als uitgangspunt geldt dat de rendementen van kantoren, zoals opgenomen in de ROZ/IPD Vastgoedindex voor kantoren (ROZ/IPD Kantorenindex), een correcte weerspiegeling zijn van de rendementen van de totale kantorensector voor het marktsegment van institutionele beleggers. 10 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Het totaal rendement wordt gevormd door het direct rendement, voortkomend uit het netto exploitatieresultaat, en het indirect rendement, welke de waardegroei van de betreffende belegging betreft. Deze twee componenten van het totaal rendement zijn weliswaar aan elkaar verbonden, toch komen zij op verschillende wijze tot stand. Hierdoor zou verondersteld mogen worden dat de karakteristieken van de betreffende verdelingen ook verschillend zijn. De analyse dient daarom zowel op het niveau van beide rendementcomponenten, als op het niveau van het totaal rendement uitgevoerd te worden. Aangezien het in het kader van dit onderzoek gaat om het maximale verlies op een beleggingsportefeuille, wordt op het niveau van een fictieve beleggingsportefeuille gekeken naar het al dan niet normaal verdeeld zijn van het portefeuillerendement. Er wordt uitgegaan van het reeds eerder geconstateerde feit dat individuele objectrendementen niet‐normaal verdeeld zijn. Er dient aldus getoetst te worden of rendementen op portefeuilleniveau wél normaal verdeeld zijn. Om te kunnen concluderen welke verdeling het meest geschikt is om de VaR voor direct vastgoed‐beleggingen toe te passen, wordt onderzocht hoe vaak daadwerkelijke verliezen op portefeuilleniveau de voorspelde VaR overtreft. Dit wordt gedaan op basis van een 95% en 99% betrouwbaarheidsinterval. Als de verdeling correct is gekozen, dan zou verwacht kunnen worden dat verliezen de voorspelde VaR respectievelijk in 5% en 1% van de gevallen zouden overtreffen. 11 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Hoofdstuk 2 Risicomanagement volgens Value at Risk “The loss which is unknown, is no loss at all” (P. Syrus) 2.1 De Value at Risk­methode Value at Risk (VaR) is een verzamelnaam voor verschillende technieken die hun oorsprong vinden in de oorspronkelijk in 1994 door zakenbank J.P. Morgan ontwikkelde methode genaamd ‘RiskMetrics’. Deze methode is ontwikkeld om financieel portefeuillerisico te definiëren en te kwantificeren en stelt deelnemers aan de financiële markten in staat om de blootstelling ten aanzien van marktrisico in te schatten. Met behulp van de VaR wordt uitsluitend het risico gemeten in termen van potentieel verlies op een beleggingspositie of ‐portefeuille. De VaR geeft aldus een uitdrukking aan het neerwaartse risico en is daarmee onderscheidend ten opzichte van overige risico‐indicatoren. De VaR‐methode steunt op de in de jaren ’50 door econoom Harry Markowitz ontwikkelde ‘Moderne Portefeuille Theorie’ (MPT), waarin het risico dat aan een beleggingsinstrument of meerdere ‐instrumenten verbonden is, uitgedrukt wordt door middel van de standaarddeviatie van het rendement. De standaarddeviatie vormt daarbij een maat voor de spreiding van het rendement. De VaR‐methode gaat echter uit van Downside Risk, waarbij alleen de negatieve afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde, oftewel de resultaten in de linker staart van de verdeling worden beschouwd [Booth e.a., 2005]. Indien ervan uitgegaan wordt dat het rendement normaal verdeeld is, kunnen vervolgens betrouwbaarheidsintervallen geformuleerd worden. Hiermee kan vastgesteld worden met welke kans de uitkomst van het te verwachten rendement zich binnen het geformuleerde interval bevindt. Daarmee kan dus ook vastgesteld worden met welke kans het rendement buiten het interval treedt. Dit is feitelijk het principe waarop de VaR‐methode gebaseerd is. 3
2,5
frequentie
2
1,5
1
0,5
0
rendement
1 2 3 4 5 6 7
Figuur 2.1: Normale verdeling van rendementen met de resultaten in de linker staart als Downside Risk 12 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk 2.2 Definitie VaR Om de VaR toe te passen, dient eerst nader gekeken te worden naar het principe waarop de VaR gebaseerd is. Een in de literatuur vaak gehanteerde definitie benadrukt vier kern‐
elementen van het VaR‐principe [Jorion, 2001]: Het maximale verlies dat kan ontstaan op een positie door normale marktbewegingen in een bepaalde periode, gebaseerd op een ‘time to close’ benadering, uitgaande van een vastgesteld betrouwbaarheidsinterval. Bovenstaande definitie omvat een aantal aandachtspunten dat van belang is bij toepassing van de VaR‐methode. Zo wordt gesproken over een positie, waarmee bedoeld wordt een belegging, maar in principe komen alle risicodragende instrumenten in aanmerking voor een VaR‐berekening. Daarnaast wordt gesproken over ‘normale marktbewegingen’. Hiermee wordt bedoeld dat slechts indien de markt zich niet significant anders ontwikkelt dan in een zekere periode in het verleden is gebeurd, de VaR kan worden bepaald. De VaR‐methode maakt daarbij mede gebruik van de normale verdeling, waarbij verondersteld wordt dat de kansverdeling van de betreffende rendementen normaal verdeeld is. De geobserveerde data dienen dus aan de eisen van een normale verdeling te voldoen. Hierop wordt in hoofdstuk 3 nader ingegaan. Ten derde wordt in de definitie van de VaR gesproken over de periode waarover het risico gelopen wordt (‘holding period’ of ‘time to close period’). Hiermee wordt bedoeld de periode die nodig is om de risicodragende positie volledig af te bouwen of te liquideren. Dit zou in het kader van dit onderzoek impliceren dat deze periode, indien de VaR wordt toegepast voor een vastgoedportefeuille, ten minste gelijk zou moeten zijn aan de periode die benodigd is om alle vastgoedobjecten te verkopen. In hoofdstuk 5 wordt nader ingegaan op de te kiezen tijdshorizon. VaR‐uitkomsten op dagbasis kunnen overigens via de zogenaamde ‘wortel‐t’ formule omgerekend worden naar uitkomsten op basis van een holding period op maand‐ of jaarbasis, om ze onderling vergelijkbaar te maken. Zie bijlage I voor de betreffende formules. Tot slot wordt gesproken over een vastgesteld betrouwbaarheidsinterval. Het is onmogelijk een uitspraak te doen omtrent het maximale potentiële verlies met een zekerheid van 100%, zonder in te boeten aan de realiteitsgehalte van de uitkomst. Daarnaast heeft de waarde van het betrouwbaarheidsinterval ook een relatie met de mate van risico‐aversie die gewenst is. Door de veronderstelling van een normale verdeling van rendementen is het bovendien logisch om met het zogenaamde kwantiel‐begrip uit de kansverdeling te werken. De keuze voor de waarde van het betrouwbaarheidsinterval bij de VaR‐metingen is echter arbitrair en wordt in de praktijk veelal tussen de 90% en de 99% genomen [De Wit, 2008]. 2.3 Formules voor VaR De VaR kan op basis van een numerieke benadering of een parametrische benadering berekend worden. Bij de twee benaderingen behoren ook twee verschillende toepassingsmethoden, die in paragraaf 2.4 beschreven worden. 13 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk 2.3.1 Numerieke VaR De numerieke VaR kan bepaald worden in termen van absoluut verlies, de absolute VaR, of in termen van relatief verlies, de relatieve VaR. De eerste is het verwachte maximale verlies binnen een gegeven betrouwbaarheidsinterval, gemeten vanuit de beleggingspositie. De tweede wordt gemeten relatief aan de verwachte beleggingspositie aan het einde van de periode, oftewel relatief aan de verwachte gemiddelde opbrengst over de periode. De relatieve VaR geeft aldus het totale verlies zelf weer en kan zodoende gebruikt worden om te bepalen of het te lopen risico acceptabel wordt geacht. Daarbij dient de belegger tevens te bepalen of de kans dat het maximale verlies overschreden wordt aanvaardbaar is. In bijlage I is een voorbeeld gegeven voor het bepalen van de numerieke VaR. De VaR kan bovendien worden weergegeven in termen van rendement, waarbij deze gelijk is aan de winst ten opzichte van de initiële waarde van de beleggingspositie. De absolute VaR kan worden weergegeven als 1 : VaRabsoluut = ‐REV’ = ‐R’ * W Waarbij: R = Rendement W = Initiële waarde beleggingspositie REV = Opbrengst (Revenue) R’ = Rendement bij intervalgrens REV’ = Opbrengst bij intervalgrens De formule voor de relatieve VaR is als volgt: VaRrelatief = ‐REV’ + REVgem = (‐R’ * W) + (R gem * W) 2.3.2 Parametrische VaR De parametrische VaR gaat uit van aannamen omtrent de kansdichtheid van het rendement (de zogenaamde ‘probability density function’). Indien het rendement een kansdichtheids‐
verdeling heeft van f(R) en er gekozen is voor een betrouwbaarheidsniveau van (1 ‐ c), dan kan de parametrische VaR bepaald worden op basis van een drie‐stappen procedure: 1. aanname doen over de kansdichtheidsfunctie f(R); 2. nagaan wat het rendement R’ op de intervalgrens is; 3. invullen van formule voor de numerieke VaR om de parametrische VaR te verkrijgen. Het rendement op de intervalgrens (het zogenaamde ‘cut‐off return’) kan worden gezien als de laagste realisatie van R’ voor een betrouwbaarheidsinterval c [Huisman e.a., 1998a]. Dit rendement kan gevonden worden door de integraal voor de kansdichtheidsfunctie f(R), welke loopt van ‐∞ tot R’, gelijk te stellen aan 1 – c. 1 – c = ∫ f(R) dr 1
Het min‐teken in de formules is vanwege het feit dat de linker staartwaarden van de winsten en rendementen verliezen zijn, terwijl de VaR een positief getal is. 14 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk De kritieke succesfactor hierbij is het doen van de juiste aanname over de kansdichtheidsfunctie f(R). In de praktijk wordt er vaak van uitgegaan dat f(R) een normale verdeling representeert. Deze aanname heeft het grote voordeel dat het schatten van de VaR sterk vereenvoudigd wordt. Indien het rendement R normaal is verdeeld, dan kan in iedere situatie de grens van het betrouwbaarheidsinterval via één enkele parameter gegeven worden, te weten via de alpha (α). Deze α geeft in termen van de standaarddeviatie (σ) weer hoe ver de intervalgrens‐waarden ten opzichte van het gemiddelde rendement (R gem) liggen. Om de exacte waarde van α te vinden, dient de functie ingevuld te worden op basis van een gekozen waarde voor c, een zogenaamde ‘lower‐tail’ gebeurtenis. Indien wordt uitgegaan van een betrouwbaarheidsinterval van 95%, dan geldt c = 5%. Vervolgens kan de waarde van α worden afgelezen uit een standaard normale tabel (zie bijlage III). Daaruit blijkt dat α bij een 95% betrouwbaarheidsinterval ‐1,65 bedraagt. De formule voor het rendement bij de intervalgrens is vervolgens: R’ = R gem + α*σ De formules voor de parametrische VaR zijn nu als volgt: VaRabsoluut = (‐R gem * W) – (α*σ*W) VaRrelatief = ‐α*σ*W Waarbij: R gem = Gemiddelde rendement α = Alpha volgens gekozen betrouwbaarheidsinterval σ = Standaarddeviatie W = Initiële waarde beleggingspositie De numerieke VaR kan worden afgelezen met behulp van de weergave van de resultaten in een grafiek, waarbij de waarden op de intervalgrens bepalend zijn voor de VaR. De parametrische VaR gaat echter uit van een berekening van die intervalgrens‐waarden op basis van een zekere verdeling van de kansdichtheid van rendementen. Volgens Huisman e.a. (1998a) heeft de parametrische benadering de voorkeur, omdat het eenvoudige conversies mogelijk maakt naar andere kwantielen, door het aanpassen van de α‐
parameter, en naar een andere tijdshorizon, via de eerdergenoemde wortel‐t formule. Het maakt het daarnaast mogelijk een bepaalde mate van voorwaardelijkheid te verwerken in de VaR‐schatting, waardoor betere voorspellingen mogelijk zijn. Hoewel deze berekeningsmethode relatief eenvoudig is en in de praktijk ook het meest gebruikt wordt, gaat ze ook uit van een aantal veronderstellingen. De vraag is in hoeverre de te onderzoeken rendementreeksen voldoen aan de betreffende veronderstellingen. In het navolgende zullen de numerieke en parametrische VaR nader behandeld worden. 15 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk 2.4 VaR­methoden Er zijn vele methoden ontwikkeld om de VaR van een portefeuille te kunnen bepalen of te berekenen. Er is echter een tweetal basismethoden te onderscheiden, aangeduid met de termen ‘historische simulatie’ en ‘gestructureerde VaR’ [Kocken, 1997]. Hierna zullen beide methoden kort uiteen worden gezet. 2.4.1 Historische simulatie Bij de historische simulatie wordt de historische verdeling van rendementen gebruikt om de VaR (ook wel ‘empirische VaR’ genoemd) op portefeuilleniveau te simuleren. Bij deze methode worden de in het verleden geobserveerde optredende bewegingen in het rendement over een bepaalde periode gehanteerd, als mogelijke scenario’s voor toekomstige rendementsbewegingen. Vervolgens worden de wegingsfactoren in de huidige portefeuille gebruikt om de hypothetische rendementen te simuleren. Deze rendementen zouden behaald zijn, indien de huidige portefeuille over de beschouwde periode was aangehouden. De resultaten worden in frequentietabellen verwerkt, waarna een kansverdeling resulteert voor het rendement van de portefeuille. De VaR is dan gelijk aan die waarde waarbij exact het percentage volgens het gekozen betrouwbaarheidsinterval (100 – α) van de scenario‐
uitkomsten lager is. Het relevante percentiel van de verdeling van historische rendementen geeft zodoende de te verwachten VaR van de betreffende portefeuille. Het grootste voordeel van deze variant is dat geen enkele veronderstelling ten aanzien van de te hanteren verdeling noodzakelijk is. Feitelijk wordt hier gebruik gemaakt van de numerieke (of niet‐parametrische) VaR, die gebaseerd is op resultaten vanuit het verleden. Een aantal beperkingen dat gesteld moet worden aan deze benadering zijn: ƒ De steekproef dient homogeen te zijn: Indien voor verschillende tijdvakken de standaarddeviatie van beleggingsrendementen gemeten wordt, dan laat die standaarddeviatie in de loop van de tijd een onstabiel beeld zien [Ammeraal en Heezen, 2001]. Dit duidt op tijdsvariatie, oftewel het feit dat de markt zich anders ontwikkelt dan verwacht zou mogen worden op basis van de historische waarnemingen. Hierdoor is het mogelijk dat historische rendementen weinig zeggen over de toekomstige rendementen. Tijdsvariatie kan zich voordoen als gevolg van een structurele wijziging van de markt, maar kan zich ook voordoen in het optreden van clusters van volatiliteit. In financiële markten worden in de regel onrustige perioden gevolgd door onrustige perioden, terwijl rustige perioden gevolg worden door rustige perioden. Uit onderzoek (Van den Goorbergh en Vlaar, 1999) is gebleken dat tijdsvariërende volatiliteit de belangrijkste eigenschap van aandelenkoersen is voor het modelleren van VaR. Tijdsvariatie dient dus voorkomen te worden, aangezien anders de zeggingskracht van de gekozen historische periode als referentiebeeld wegvalt 2 . ƒ De betrouwbaarheid van de VaR schattingen: Om accurate schattingen te krijgen is een omvangrijke, betrouwbare datareeks noodzakelijk met voldoende waarnemingen. De VaR‐schatting is hierdoor afhankelijk 2
Volgens Dowd (1998) zou “weighted historical simulation” een mogelijke oplossing zou kunnen zijn om tijdsvariatie in de VaR te verwerken. Het principe gaat uit van het toekennen van een lagere weging van meer in het verleden gerealiseerde rendementen ten opzichte van de meer actuele rendementen. 16 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk van de frequentie en de lengte van die datareeks. In paragraaf 3.2.2 wordt hier nader op ingegaan. Feitelijk wordt bij gebruik van de methode van historische simulatie aangenomen, dat de gekozen historische verdeling van rendementen een goede benadering is van rendementen voor de komende periode. De historische analyse dient derhalve vanuit twee invalshoeken aangepakt te worden. Ten eerste dient gekeken te worden wat de effecten zijn van de historische periode tot en met het moment van waarneming, indien die worden doorgetrokken voor de aangrenzende toekomstige periode, voor de betreffende belegging of beleggingsportefeuille. Ten tweede dient men daarbij een beeld te vormen over de toekomstige ontwikkelingen. Vervolgens kan daar een passende reeks bij worden gezocht vanuit het verleden, die een indicatie geeft van de invloed van dergelijke ontwikkelingen. 2.4.2 Gestructureerde VaR De aanpak van gestructureerde VaR (ook wel ‘normale VaR’ genoemd en in de literatuur tevens aangeduid als de ‘variance‐covariance’‐, of ‘delta‐normal’‐benadering) is gericht op het maken van een stochastisch model dat het proces van de rendementbewegingen beschrijft. Dit wiskundige model bevat diverse parameters die worden geschat, op basis van beschikbare historische informatie omtrent rendementsbewegingen. Indien er te weinig observaties zijn voor de historische simulatie, biedt de gestructureerde VaR uitkomst. Voor het bepalen van een gestructureerde VaR, waarbij uitgegaan wordt van de parametrische berekening, dient naar de statistische eigenschappen te worden gekeken. Er worden namelijk enkele statistische aannamen gedaan, waarvan de belangrijkste zijn: ƒ Normaliteit: De kansverdeling van het rendement is normaal verdeeld. Hier wordt later verder op ingegaan. ƒ Afwezigheid van drift: Drift is de neiging van een variabele om naar een bepaalde (evenwichts‐)waarde te tenderen. Voor een korte horizon wordt veelal verondersteld dat drift ontbreekt, hetgeen betekent dat de kans op een stijging van rendementen net zo groot is als de kans op een daling. ƒ Afwezigheid van autocorrelatie: Verondersteld wordt dat er geen correlatie bestaat tussen de beweging op dag t van een variabele en de beweging op de dagen daarvoor. Uit onderzoek (Longerstaey en Spencer, 1996) blijkt dat dagelijkse rendementen van aandelen nauwelijks leiden onder het fenomeen van autocorrelatie. Voor niet‐dagelijkse vastgoedrendementen, welke (gedeeltelijk) gebaseerd zijn op de waarderingen door taxateurs, is de autocorrelatie vanwege het ‘smooting’‐ en ‘lagging’‐effect meer aanwezig [Geltner en Miller, 2001]. In paragraaf 3.2.1 worden deze effecten nader toegelicht. Uit onderzoek (Jorion, 2001) blijkt overigens dat de betrouwbaarheid van VaR‐waarden verkregen op basis van de gestructureerde methode groter is, dan de VaR verkregen op basis van historische simulatie. Als voorwaarde hiervoor geldt echter wel dat aan de genoemde aannamen, waar de gestructureerde methode van uitgaat, voldaan wordt. 17 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk 2.5 Alternatieve toepassing VaR­methode Op basis van de beschreven methode voor berekening van de VaR, kan het maximale verlies op een beleggingspositie of ‐portefeuille inzichtelijk worden gemaakt. Door dit inzicht kan het optreden van grote negatieve momenten binnen de beleggingsportefeuille beheerst worden. De VaR kent daarnaast echter een belangrijke alternatieve toepassing. Op basis van het eerder beschreven Downside Risk‐principe, kan de VaR‐benadering een wezenlijke bijdrage leveren aan het nemen van beleggingsbeslissingen. Indien de VaR van een portefeuille bekend is, kan gekeken worden wat het effect is van het toevoegen van één of meerdere beleggingen op die VaR van de portefeuille. Analoog aan de hiervoor ontwikkelde Sharpe ratio en de daarop gebaseerde Sharpe rule, bekijkt de ‘Incremental VaR’ de verbetering van het rendement/risico‐
profiel. Bijlage II gaat hier nader op in, maar het principe komt erop neer dat, indien de VaR voor de portefeuille inclusief de nieuwe belegging positiever is dan zonder de betreffende belegging, de belegging aan de portefeuille toegevoegd kan worden. Tegelijkertijd blijkt hieruit dat indien dit niet het geval is, de betreffende belegging aan de portefeuille onttrokken dient te worden. De VaR geeft aldus vanuit de Downside Risk‐benadering ondersteuning bij objectselectie en het samenstellen van een efficiënte portefeuille. In het verlengde hiervan, kan de VaR gebruikt worden om na te gaan of een belegging voldoet aan de rendementseisen van de belegger. De kern van het beleggingsbeleid is dat er een relatie gelegd moet worden tussen het rendement/risico‐profiel en de beleggingsdoelstelling. Deze doelstelling is tweeledig: het behalen van het minimaal vereiste rendement, de ‘Minimal Accepted Return’ (MAR) en het als taak gestelde rendement, de ‘Target Return’ (TR) [Keeris en Langbroek, 2008]. Beide doelstellingen komen voort uit het feit dat een belegging pas waarde creëert, wanneer het rendement de kostenvoet van het vermogen overtreft. De MAR geeft daarbij het minimale rendementsniveau aan, vanaf waar geen waarde wordt vernietigd. De TR komt voort uit de eis dit minimale niveau te overtreffen, om een bepaalde mate van toegevoegde waarde te creëren. De VaR geeft feitelijk het maximale verlies dat over een gekozen tijdshorizon binnen een bepaald betrouwbaarheidsinterval verwacht wordt. Toepassing van de VaR‐methode kan zich er derhalve op richten na te gaan of het niveau van de MAR binnen die tijdshorizon niet negatief overschreden wordt. De MAR geeft zodoende de uiterste intervalgrens‐waarde aan die in geen geval negatief overschreden mag worden, wil binnen de gekozen tijdshorizon geen waarde vernietigd worden. Omgekeerd kan echter, analoog aan de VaR‐methode, ook de kans bepaald worden dat de MAR negatief overschreden wordt. In dat geval dient de MAR in de formule voor het rendement bij de intervalgrens ingevuld te worden. Op basis van het gemiddelde rendement en de standaarddeviatie, kan vervolgens de waarde van α berekend worden. De formule hiervoor is dan als volgt: α = (MAR ‐ R gem) / σ Uitgaande van een normale verdeling, kan via de verkregen α en met behulp van de standaard normale tabel de kans bepaald worden dat de MAR negatief overschreden wordt. Op deze wijze kan een belegger direct bepalen of het rendement/risico‐profiel van de betreffende belegging acceptabel wordt geacht. 18 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk 2.6 Beperking principe VaR Het grootste bezwaar dat wordt geuit tegen het principe van de VaR‐methode, is dat deze een bepaalde mate van schijnzekerheid biedt (o.a. Das, 2006; De Wit, 2008; Einhorn, 2008). De VaR geeft een schatting van het maximale verlies binnen een betrouwbaarheidsinterval, maar zegt niets over de omvang van het verlies buiten dat betrouwbaarheidsinterval in de uiterste staart. De VaR kan worden vergeleken met een airbag in een auto die altijd werkt, behalve wanneer men een botsing krijgt [Einhorn, 2008]. Als zich extreme situaties voordoen, dan kan dit vergaande financiële consequenties hebben. Stress‐testing is derhalve noodzakelijk om ook een beeld te krijgen van de meer extreme waarden 3 . 2.7 Beperkingen gebruik VaR Zoals eerder gesteld, ligt aan de veel gebruikte parametrische VaR, waar de gestructureerde VaR‐methode vanuit gaat, een aantal veronderstellingen en voorwaarden ten grondslag. De voorwaarden waar de VaR van uitgaat, impliceren tegelijkertijd een aantal beperkingen ten aanzien van de toepassing ervan in het algemeen en ten aanzien van toepassing op direct vastgoed‐beleggingen in het bijzonder. 2.7.1 Geldigheid van historische data De numerieke VaR‐schatting behoeft als ex post risico‐management methode geen aannamen. Hierbij geven de resultaten van de rendementsverdeling zelf de mate van het maximale verlies (zie bijlage I). Indien deze echter als ex ante methode wordt ingezet, dan dienen wel degelijk aannamen gedaan te worden voor de toekomstige situatie op basis van historische simulatie. Ook voor toepassing van de parametrische VaR, welke is gebaseerd op de waarschijnlijkheidsverdeling van verwachte rendementen, dient men aannamen te doen op het gebied van de werkelijke vorm van de verdeling van het verwachte rendement. Dit kan door aan te nemen dat de verdeling van het verwachte rendement gelijk is aan de empirische verdeling, gebaseerd op observaties uit het verleden, of door aan te nemen dat het totaal van de rendementen een bepaalde statistische verdeling laat zien, zoals die eerder geconstateerd werd. In beide gevallen wordt ervan uitgegaan dat de statistische karakteristieken uit het verleden een goede maatstaf zijn voor de toekomst. Het probleem dat zich bij het hanteren dergelijke aannamen voordoet, is dat resultaten uit het verleden geen garantie voor de toekomst bieden. De projectie van rendementsberekeningen op een toekomstige periode is bijvoorbeeld afhankelijk van conjunctuurschommelingen. Tevens kunnen historische datareeksen beïnvloed zijn geweest door onverwachte, incidentele gebeurtenissen. Bij het gebruik van historische datareeksen wordt de context waaronder die reeks tot stand kwam echter niet meegenomen. Het niet kennen van die context beperkt de representativiteit van de datareeks in het gebruik ervan. De periode waarin historische rendementen gemeten zijn, evenals het kennen va de heersende omstandigheden waaronder die rendementen tot stand kwamen, zijn derhalve van groot belang om tot betrouwbare en representatieve aannamen te komen. 3
Als reactie hierop is de ‘Extreme Value Theory’ ontwikkeld en als uitvloeisel daarvan recentelijk ‘Expected Tail Loss’. Deze methoden richten zich op het in beeld brengen van zeldzame, maar niet onmogelijke gebeurtenissen. 19 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Indien onderzocht wordt welke relaties er te herkennen zijn tussen de historische context en de datareeksen uit het verleden, kunnen toekomstige rendementen middels ‘forecasting’ bepaald worden. Op basis van de waargenomen historische ontwikkelingen, kan een aanname gedaan worden voor toekomstige ontwikkelingen met betrekking tot macro‐economische aspecten, (sub‐)markt aspecten, commerciële aspecten en object‐gerelateerde aspecten. Vervolgens kunnen, op basis van de gemeten effecten van de ontwikkelingen op historische rendementen, meer gefundeerde prognoses gemaakt worden voor de toekomstige rendementen en dus de verdeling ervan. 2.7.2 Veronderstelling van normaliteit Voor de eenvoud ten behoeve van het toepassen van statistische analyses, wordt aangenomen dat rendementen normaal of log‐normaal verdeeld te zijn. Uit diverse onderzoeken is echter gebleken dat de rendementsverdeling van verschillende beleggingsklassen niet volledig correspondeert met de parametrisch normale verdeling (o.a. Meyer en Webb, 1991; Graff en Young, 1996; Hendricks, 1996; Brown en Matysiak, 2000; Alexander en Baptista, 2003; Lin en Shen, 2006; Keeris, 2007b). De voorwaarde van normaliteit van de betreffende verdeling is juist van groot belang voor een correcte toepassing van de gestructureerde VaR‐methode voor direct vastgoed. In het volgende hoofdstuk wordt hier nader op ingegaan en zal gekeken worden wat dit betekent voor toepassing van die VaR‐methode. 2.7.3 Liquiditeit van de portefeuille De VaR geeft enerzijds een schatting van het maximale verlies dat geleden kan worden, terwijl anderzijds het gekozen betrouwbaarheidsinterval aangeeft wat vervolgens de kans is dat dit verlies overschreden wordt binnen de beschouwde periode. Indien het maximale verlies niet acceptabel geacht wordt, dan wel om overschrijding van dat verlies te voorkomen, moet direct ingegrepen kunnen worden door middel van het aanpassen of afbouwen van de betreffende positie. Dat direct ingrijpen vereist dan een redelijke mate van liquiditeit van de belegging. Het aanpassen of afbouwen is voor een direct vastgoed‐beleggingsportefeuille echter minder acuut mogelijk dan voor bijvoorbeeld een aandelenportefeuille, vanwege het illiquide karakter van direct vastgoed. Indien door het niet‐liquide zijn niet gereageerd kan worden in de zin van een direct te treffen corrigerende maatregel, dan verliest de VaR‐methode een deel van zijn nut. De VaR tracht immers de te lopen risico’s inzichtelijk te maken, zodat beoordeeld kan worden of ze acceptabel zijn en waarbij de blootstelling eraan aangepast kan worden. Genoemde beperkingen willen echter niet zeggen dat de VaR‐methode voor direct vastgoed‐
beleggingen geen zinnige toepassing kent. Zoals beschreven kan de VaR een belangrijke steun bieden bij het maken van beleggingbeslissingen, indien die het samenstellen van een vastgoedportefeuille betreffen. Voorts geeft de VaR inzicht in een ‘worst‐case’‐scenario, waardoor een belegger in elk geval een uitspraak kan doen op het gebied van de acceptatie van die uitkomsten volgens dat scenario. Tot slot geeft de VaR‐methode, naast overige te hanteren risico‐analyse methoden, inzicht in de negatieve gebeurtenissen die kunnen optreden. De VaR‐methode draagt daarmee bij aan een completer beeld van het rendement/risico‐profiel voor de betreffende vastgoedbeleggingsportefeuille. 20 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk 2.8 Voordelen VaR De VaR stelt weliswaar een aantal voorwaarden aan het gebruik ervan, maar behelst ook een aantal belangrijke voordelen ten opzichte van overige risico‐analyse methoden, zoals de eerder genoemde MPT, waarop de VaR gebaseerd is. De belangrijkste verschillen met de MPT zijn [Dowd, 1998]: ƒ De MPT interpreteert risico als de standaarddeviatie van het rendement, terwijl de VaR‐benadering risico interpreteert in termen van het meest waarschijnlijke maximum verlies; ƒ De gestructureerde VaR‐benadering heeft dezelfde theoretische basis als de MPT, maar de overige benaderingen zoals de historische benadering heeft dat niet. In dat opzicht komen niet alle VaR‐benaderingen voort uit de MPT; ƒ In tegenstelling tot retrospectieve, ex post risico‐methoden zoals historische volatiliteit en variantie, is de VaR‐benadering ook prospectief. De VaR kan het risico kwantificeren, terwijl het wordt gelopen; ƒ De VaR‐benadering kan toegepast worden op een breder palet van risico‐vraagstukken dan de MPT. Daarnaast is de VaR flexibeler, omdat voor verschillende doeleinden verschillende VaR‐methodieken kunnen worden gekozen; ƒ De VaR‐benadering voorziet beter in het oplossen van statistische problemen, zoals niet‐normaal verdeeld zijn van rendementen; ƒ Tot slot is de VaR‐benadering een risicomanagement filosofie en niet alleen een methode om een gegeven set van risico te kwantificeren. 21 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Hoofdstuk 3 Toepasbaarheid Value at Risk “What you put at risk, reveals what you value” (J. Winterson) 3.1 Rendementsverdeling Ondanks de grote institutionele interesse in vastgoed, is er relatief weinig bekend over de verdelingskarakteristieken van direct vastgoed‐beleggingen. Dit wordt vooral veroorzaakt door gebrek aan betrouwbare data. Desalniettemin is het belangrijk te weten wat deze karakteristieken zijn, aangezien ze inzicht geven in de toepasbaarheid van de VaR‐methode. Zoals in het vorige hoofdstuk beschreven, gaat de VaR‐methode uit van een aantal voorwaarden, bijvoorbeeld de aanname dat rendementen onafhankelijk zijn en dat ze een constante variantie hebben. De belangrijkste aanname voor een accurate parametrische VaR‐
schatting, is echter de aanname dat rendementen normaal verdeeld zijn. Dit betekent dat de verdeling van de linker staart, welke de negatieve rendementen weergeeft en waar de VaR een uitspraak over doet, zo goed mogelijk weergegeven dient te worden door de betreffende kansverdeling. Wanneer de werkelijke kansverdeling niet normaal verdeeld is, moeten de uitkomsten van de parametrische normale VaR‐analyse met de nodige voorzichtigheid behandeld worden. Iedere afwijking tussen de parametrische verdeling en de daadwerkelijke verdeling kan namelijk resulteren in grote fouten met betrekking tot de schatting van de VaR. Diverse studies hebben reeds aangetoond dat een dergelijke normale verdeling geen juiste beschrijving is van het beeld van gerealiseerde rendementen van diverse beleggings‐
categorieën. Zo bestaat de indruk dat koersstijgingen van aandelen frequenter voorkomen dan koersdalingen. De omvang van de koersdaling is daarentegen gemiddeld groter dan de koersstijging. Verdelingen hebben daardoor meestal ‘fat tails’ (dikke staarten) en hebben daarnaast veelal een hogere piek dan men zou verwachten bij een normale verdeling [Ameraal en Heezen, 2001]. Dit betekent dat de aanname betreffende de normale verdeling resulteert in een onderschatting van de te lopen risico’s en dus van de verkregen VaR [Lucas en Klaassen, 1998]. Voor het toepassen van de VaR op direct vastgoed dient derhalve onderzocht te worden hoe de verdeling van direct vastgoed‐rendementen zich verhoudt ten opzichte van de normale verdeling. Van belang daarbij is uiteindelijk niet of vastgoedrendementen normaal verdeeld zijn, maar of – in geval van een afwijking ten opzichte van die normale verdeling – dat een dusdanig verschil uitmaakt in het toepassen van de VaR‐methode, dat de resultaten ervan niet voldoende betrouwbaar zijn. 3.2 Karakteristieken vastgoed Vastgoed heeft als beleggingscategorie een afwijkend karakter ten opzichte van overige beleggingscategorieën. Het heterogene karakter van vastgoed wordt vooral bepaald door de specifieke kenmerken van direct vastgoed‐beleggingen. 22 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Van Gool, Jager en Weisz (2007) onderscheiden de volgende algemene kenmerken: ƒ Vastgoed is zowel een vermogensobject als een productiemiddel: Behalve dat vastgoed als belegging kan fungeren, levert het tevens goederen en diensten. Een belegger opereert dus niet alleen op de vermogensmarkt, maar ook op de voorraadmarkt, de verhuurmarkt, de grond‐ en bouwmarkt, de dienstenmarkt en allerlei andere markten, die allen een rol spelen bij de exploitatie van vastgoed. Beleggen in vastgoed heeft daardoor een sterk ondernemingskarakter; ƒ Vastgoed is geografisch gebonden: De keuze van een gebouw valt samen met de keuze van een locatie, die zowel een aantrekkelijk productiemilieu voor huurders, als een aantrekkelijk investeringsmilieu voor beleggers moet zijn. Door de immobiliteit is vastgoed kwetsbaar voor ontwikkelingen in de omgeving; ƒ Vastgoed is kapitaalintensief en daarbij slecht splitsbaar: Vastgoed wisselt meestal in zijn geheel van eigenaar met tussenpozen van vele jaren, waarbij er relatief veel vermogen nodig is om het eigendom te verkrijgen en waarbij de transactiekosten bovendien hoog zijn. Dat heeft de volgende belangrijke gevolgen: ‐ vastgoed kent relatief hoge eenheidsprijzen; ‐ direct vastgoed is heterogeen, elk object is uniek door zijn geografische locatie, aard van het gebouw, huurders etc.; ‐ de vastgoedmarkt wordt gekenmerkt door 1:1‐transacties, dus één koper tegenover één verkoper; ‐ er is geen sprake van doorlopende prijsvorming op de vastgoedmarkt; ‐ er is geen sprake van één vastgoedmarkt, maar van een groot aantal deelmarkten met eigen karakteristieken, welke per soort vastgoed kunnen verschillen; ‐ de vastgoedmarkt wordt gekenmerkt door onvolledige informatie en marktimperfecties. Dit komt doordat de vastgoedmarkt relatief niet‐transparant is; ‐ vastgoed is illiquide, doordat aan‐ en verkooptransacties veel tijd vergen door de niet‐transparante markt, de hoge eenheidsprijzen en de hoge transactiekosten ‐ het kopen en verkopen van vastgoed vooral een timing‐probleem, door de relatief lange selectieprocedure van de koper, door onderhandelingen, due diligence op basis van beperkte en vertrouwelijke informatie en het eventueel moeten aantrekken van vreemd vermogen; ‐ direct vastgoed betreft een zeer managementintensieve vorm van beleggen. Deze opsomming geeft aan dat elk afzonderlijk vastgoedobject uniek is en intensief management behoeft om inzicht te krijgen in de optimale exploitatiemogelijkheden en de daaruit voortkomende (mogelijk) te realiseren rendementsontwikkeling. Daarnaast geeft de opsomming aan dat de verhandelbaarheid van vastgoedobjecten niet eenvoudig is, doordat de markten regionaal verschillen en de transacties arbeids‐, tijds‐ en kostenintensief zijn. De verschillen tussen regionale vastgoedmarkten laat ruimte voor een verscheidenheid van beoordelingen van die markten. Voor het management houdt dat in, dat een goed inzicht benodigd is in de marktomstandigheden van ieder object en de verwachte ontwikkeling ervan. Anticiperen op veranderingen is door het illiquide karakter dus een vereiste. Echter, door het niet‐transparant zijn van de markt en het gebrek daardoor aan relevante, objectieve informatie, is dat beperkt mogelijk. Beleggen in direct vastgoed vraagt zodoende om marktkennis op lange(re) termijn. 23 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk De geschetste karakteristieken van de objecten en de markten leiden ertoe, dat foute beslissingen en de nadelige gevolgen daarvan niet op korte termijn kunnen worden gecorrigeerd [Hermans, 1998]. De imperfecte en inefficiënte aard van de vastgoedmarkt heeft onder andere tot gevolg, dat vergelijking ervan met de overige financiële markten bemoeilijkt wordt. Zo kan de volatiliteit op de financiële markten relatief eenvoudig vastgesteld worden, aangezien er dagelijks in aandelen gehandeld wordt en er op elk moment van de dag prijzen tot stand komen als gewogen gemiddelde van een zeer groot aantal participanten in het prijsvormingsproces. De volatiliteit kan in dat geval berekend worden door de standaarddeviatie te bepalen van de koersontwikkeling van een aandeel. Voor direct vastgoed is de volatiliteit lastiger te bepalen. Hiervoor is een aantal redenen te geven, die hierna worden beschreven. 3.2.1 Smoothing en lagging In de eerste plaats wordt direct vastgoed niet elke minuut van de dag verhandeld, zoals dit bij aandelen wel gebeurt. Bij vastgoed is sprake van waardebepaling op basis van periodieke taxaties. Deze taxatiewaarden zijn schattingen en geen echte prijzen. Een taxateur maakt gewoonlijk jaarlijks, en hoogstens eens per kwartaal, een inschatting van de waarde van het object, waarbij de vorige taxatie als basis wordt genomen. Afhankelijk van de marktomstandigheden waardeert de taxateur het vastgoedobject positiever of negatiever. Op deze manier ontstaat ‘smoothing’, oftewel het gladstrijken van de waardeontwikkeling, door alleen in de marges te corrigeren. Daarnaast bepaalt de taxateur de marktontwikkelingen op basis van concrete transacties uit een voorgaande periode. Tussen het moment van die transacties en het moment van de publicatie van de daarop gebaseerde (deels aangenomen) marktontwikkelingen zit weer een bepaalde periode. De taxateur werkt dus met verouderde informatie. Dit effect wordt ‘lagging’ genoemd [Van Gool, 2001]. Door deze twee effecten worden grote uitslagen, zoals deze bij aandelenmarkten wel zichtbaar zijn, bij direct vastgoed afgevlakt en uitgesmeerd over een langere periode. Uit de literatuur blijkt dat het hanteren van taxatiewaarden leidt tot onderschatting van de volatiliteit van de onderliggende vastgoedrendementen (o.a. Ross en Zisler, 1991; Brown en Matysiak, 2000; Geltner en Miller, 2001; Geltner e.a., 2003) 4 . 3.2.2 Beschikbaarheid historische reeksen Een tweede reden waarom de volatiliteit bij direct vastgoed lastig te bepalen is, is een praktisch probleem. Ondanks het gegeven dat het beleggen in direct vastgoed een lange historie kent, is men in Nederland pas in 1995 begonnen met het vastleggen van rendementen. Sinds 1995 worden de prestaties van een aanzienlijk deel van direct vastgoed namelijk bijgehouden in het kader van de ROZ/IPD Vastgoedindex. Op deze manier is een tijdreeks ontstaan voor een periode van inmiddels 13 jaar. Dit is een relatief korte periode om uitspraken te kunnen doen over de rendement/risico‐verhouding van direct vastgoed. Grote vastgoedcrisissen hebben zich in deze periode niet voorgedaan. Binnen de ROZ/IPD is echter op basis van historisch cijfermateriaal een rendementsreeks voor direct vastgoed 4
Via regressie kan men rendementen un‐smoothen. In feite wordt hierdoor de verdeling van rendementen wijder, waardoor de volatiliteit toeneemt. Het zal echter niet een niet‐normale verdeling in een normale verdeling transformeren [Coleman en Mansour, 2005]. 24 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk gereconstrueerd die terugloopt tot 1977. Door de lange looptijd zou deze tijdreeks een beter beeld kunnen geven van de rendement/risico‐verhouding, indien de bezwaren tegen die reeks geaccepteerd worden. Die bezwaren zijn terug te voeren op het gebruik van ‘proxy’‐bestanden en regressie‐methoden, vanwege het ontbreken van de benodigde feitelijke data [Keeris, 2005]. De beoordeling hiervan valt echter buiten het kader van dit onderzoek. 3.3 Normale verdeling: vier momenten De rendementen van een willekeurig beleggingsobject kunnen nader geanalyseerd en beschreven worden volgens de zogenaamde ‘vier momenten’. Om te onderzoeken in hoeverre rendementen normaal zijn verdeeld, dienen deze vier momenten van de reeks rendementen onderzocht te worden. Deze momenten worden hierna beschreven. 3.3.1 Eerste moment: gemiddelde of verwachte waarde Het eerste moment betreft de centrale waarde binnen de verdeling. Afhankelijk van het gegeven of historische of toekomstige rendementen worden gebruikt, staat het bekend als het behaalde of verwachte gemiddelde. Bij het analyseren van een rendementreeks is het in sommige gevallen handiger het eerste moment (M1) te berekenen in plaats van het gemiddelde. De standaard normale verdeling heeft een gemiddelde van 0. 3.3.2 Tweede moment: variantie De variantie (σ²) is een spreidingsmaat voor het gemiddelde en wordt bepaald door de som van het kwadraat van de afwijkingen ten opzichte van dat gemiddelde. De wortel van de variantie is gelijk aan de standaarddeviatie. Door het ‘smoothing’‐effect kan het tweede moment bij direct vastgoed‐beleggingen onderschat worden, omdat risico en rendement relatief positiever en stabieler lijken dan beleggingsobjecten die vaker verhandeld worden. De standaard normale verdeling heeft een variantie van 1. 1,0
Rgem = 0; σ² = 0,2
Rgem = 0; σ² = 1,0
Rgem = 0; σ² = 5,0
Rgem = ‐2; σ² = 0,5
frequentie
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
‐5
‐4
‐3
‐2
‐1
0
1
2
3
4
5
rendement
Figuur 3.1: Rendementsverdeling van reeksen met verschillende waarden voor het eerste en tweede moment 3.3.3 Derde moment: skewness Skewness, oftewel scheefheid, meet de mate van asymmetrie van een verdeling rond het gemiddelde. Scheefheid komt voor indien een rendementreeks een groot aantal hoge of lage rendementen omvat. Scheefheid wordt berekend door de afwijkingen ten opzichte van het 25 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk gemiddelde tot de derde macht te nemen en kan tot een S‐waarde genormaliseerd worden door deze te delen door de standaarddeviatie tot de derde macht. Aldus kunnen verdelingen met verschillende mate van scheefheid worden vergeleken. De normale verdeling heeft een scheefheid gelijk aan 0. Een positieve S‐waarde betekent dat de rendementsverdeling een grotere verdeling en lange staart naar rechts heeft, een negatieve waarde duidt op een grotere verdeling en lange staart naar links. 0,5
frequentie
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
‐5
‐4
‐3
‐2
‐1
0
1
2
3
4
5
rendement
Figuur 3.2: Rendementsverdeling met negatieve skewness 3.3.4 Vierde moment: kurtosis De kurtosis meet de gepiektheid of platheid van een verdeling. Om deze waarde te kunnen berekenen, moeten de afwijkingen van het gemiddelde tot de vierde macht genomen worden. Kurtosis kan tot K‐waarde genormaliseerd worden door dat getal te delen door de standaarddeviatie tot de vierde macht. De normale verdeling heeft een kurtosis gelijk aan 3. Een K‐waarde groter dan 3 (de zogenaamde ‘excess kurtosis’) betekent dat de verdeling ‘fat‐tailed’ is, wat inhoudt dat de waarschijnlijkheid van het voorkomen van extreme waarden groter is dan bij de normale verdeling. Een dergelijke verdeling is gepiekt en heet leptokurtic. Een waarde kleiner dan 3 betekent dat de verdeling plat is en heet platykurtic. Een normale verdeling heet mesokurtic. 3.4 Portfolio’s en dikke staarten De bruikbaarheid van de gestructureerde VaR‐methode is afhankelijk van de correctheid van de veronderstelling dat portefeuillerendementen beschreven kunnen worden volgens een normale verdeling. Er dient dus onderzocht te worden of dit een redelijke aanname is. Tot op zekere hoogte hangt dit af van de verdeling van het rendement van de individuele vastgoedobjecten in de portefeuille. Zoals eerder beschreven is de belangrijkste afwijking ten opzichte van de normale verdeling dat veel verdelingen van objectrendementen een excess kurtosis vertonen en fat tails hebben. Excess kurtosis geeft aan dat de mogelijkheden om extreme rendementen te halen hoger zijn dan bij een normale verdeling. Dit wordt bij vastgoedbeleggingen deels veroorzaakt door het imperfecte en inefficiënte karakter van de vastgoedmarkt [Brown en Matysiak, 2000]. 26 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk De aanwezigheid van fat tails betekent dat er meer gebeurtenissen zijn op grotere afstand van het gemiddelde dan je zou verwachten bij een normale verdeling. Fat tails impliceren dat zich vaker buitengewone verliezen (én winsten) kunnen voordoen en dat deze bovendien groter zijn dan men zou verwachten bij een normale verdeling. Dit kan veroorzaakt worden wanneer over lange periode rendementen relatief stabiel zijn, maar incidenteel verstoord worden door grote veranderingen. Mogelijke oorzaak is dat nieuwe informatie niet‐frequent en beperkt verkrijgbaar is, zoals het geval is bij de vastgoedmarkt [Brown en Matysiak, 2000]. Omdat vastgoedtaxaties op dergelijke informatie – zoals referentietransacties – gebaseerd zijn, is een bepaalde mate van fat tails bij direct vastgoed‐beleggingsrendementen te verwachten. VaR schattingen gebaseerd op de veronderstelling van een normale verdeling kunnen daardoor de daadwerkelijke VaR aanzienlijk onderschatten [Van den Goorbergh, 1999]. Skewness komt voor indien de betreffende datareeks een relatief groot aantal positieve of negatieve rendementen vertoont. Een mogelijke verklaring voor negatieve skewness bij effecten is dat aandelenprijzen sneller dalen dan de snelheid waarmee ze stijgen. Indien de rendementsverdeling inderdaad een negatieve skewness heeft, dan betekent dit dat er meer Downside Risk is, dan wordt aangenomen op basis van een normale verdeling. De parametrische VaR op basis van de normale verdeling onderschat in dat geval eveneens de daadwerkelijke VaR. De aanname dat individuele objectrendementen niet normaal verdeeld zijn, betekent echter niet dat dit tevens geldt voor portefeuillerendementen. De centrale limiettheorie stelt dat onafhankelijke variabelen in grote datareeksen naar een normale verdeling convergeren. Voor direct vastgoed‐beleggingen kan dit verklaard worden, door het feit dat de resultaten van een datareeks van één enkel vastgoedobject een veel sterkere fluctuatie te zien kan geven, dan in het geval van een vastgoedportefeuille met meerdere objecten [Keeris, 2007b]. Dit wordt voornamelijk veroorzaakt door het dempende effect die objecten met een lage onderlinge correlatiecoëfficiënt tot gevolg hebben, het zogenaamde diversificatie‐effect. De fluctuatie in het gemiddelde resultaat op portefeuille‐ of indexniveau is daardoor afgevlakt in vergelijking met de afzonderlijke objecten. In de praktijk betekent dit dat de aanname van normaal verdeelde portefeuillerendementen een juiste is, zolang deze goed gediversifieerd is en indien de individuele rendementen voldoende onafhankelijk zijn van elkaar, zelfs indien de individuele rendementen zelf niet normaal verdeeld zijn [Dowd, 1998]. Indien aan deze voorwaarde wordt voldaan, dan zou de gestructureerde VaR‐methode op portefeuilleniveau betrouwbare schattingen geven en derhalve toegepast kunnen worden op een direct vastgoed‐portefeuille. Vergeleken met andere beleggingscategorieën hebben vastgoedobjecten inderdaad een relatief lage onderlinge correlatiecoëfficiënt. Bij een portefeuille van voldoende omvang kan daardoor een redelijke mate van diversificatie bereikt worden. Volgens Matysiak (2005) wordt diversificatie al voor een groot deel bereikt bij een ongewogen vastgoedportefeuille bestaande uit 20 tot 30 objecten. De vraag is echter of de mate waarin het diversificatie‐effect bij een dergelijk aantal objecten optreedt, voldoende is om tot een normale verdeling van rendementen te komen. 27 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk 3.5 Niet­normale verdeling Om de parametrische VaR toe te kunnen passen op een vastgoedportefeuille, dient bekeken te worden hoe deze bepaald kan worden indien de distributie niet normaal verdeeld is. Een mogelijkheid is om uit te gaan van een ‘first‐order’‐ of een ‘second‐order’‐benadering, respectievelijk ook wel ‘delta‐normale’ en ‘delta‐gamma’ benaderingen genoemd, waarbij de lineaire normaliteit wordt hersteld. Deze benaderingen bieden echter slechts in beperkte mate een goed alternatief en gaan voornamelijk uit van de optie‐theorie, die voor een direct vastgoed‐portefeuille niet direct van toepassing is. Als alternatief kan gekeken worden naar de hogere momenten van de rendementsverdeling van de portefeuille. Er zijn twee methoden voor handen om te corrigeren voor het niet‐
normaal zijn van de verdeling. De eerste betreft het aanpassen van de betrouwbaarheidsinterval parameter (α) vanwege skewness of kurtosis. Deze correctiefactor wordt uitgedrukt als een aanpassing op basis van Z‐α, welke het lager betrouwbaarheidsinterval aangeeft. Indien deze gegevens bekend zijn, kan via aanpassing van de betrouwbaarheidsparameter de VaR bepaald worden op basis van de normale verdeling. De zwakte van deze methode is echter dat ze afhankelijk is van meerdere parameters en dat onnauwkeurigheden daarin ook in de VaR tot uitdrukking zullen komen. De tweede methode is eenvoudiger. Zangari (1996) stelt voor dat de eerste vier momenten van de rendementsverdeling in beeld worden gebracht en dat deze momenten vervolgens worden gematched met een bekende alternatieve verdeling. De betreffende alternatieve verdeling voorziet daarbij in een bepaalde mate van kurtosis en skewness of andere afwijkingen ten aanzien van de normale verdeling, zodat de intervalgrens‐waarde correct kan worden berekend. Dit gebeurt op basis van de specifieke kenmerken van de bekende alternatieve berekening, waarvoor dan gecorrigeerd kan worden. Op basis daarvan kan vervolgens de VaR verkregen worden. 3.6 Alternatieve verdelingen Een aantal alternatieve continue verdelingen, zoals de Stable‐ (of Lévy‐)verdeling en de Cauchy‐verdeling, voorzien in een bepaalde mate van skewness of kurtosis. De afwijkende vormen worden voornamelijk bepaald door de inbreng van verschillende parameters, waardoor zij sterk afwijkende statistische eigenschappen hebben. Hierdoor wijkt ook de grafiek van de kansdichtheid al snel af van de zogenaamde belvormige kromme die de standaard normale verdeling laat zien. In het kader van dit onderzoek worden dergelijke verdelingen derhalve buiten beschouwing gelaten bij het zoeken naar een alternatieve verdeling voor direct vastgoed‐rendementen. 3.6.1 Student­t verdeling Een Student‐t verdeling geeft een alternatief voor de normale verdeling bij het toepassen van de parametrische VaR. De grafiek van de kansdichtheid van de Student‐t verdeling lijkt wat vorm betreft dan ook sterk op de standaardnormale verdeling, maar is meer gepiekt (leptokurtic) en heeft dikkere staarten. De Student‐t verdeling gaat uit van een extra parameter ‘k’, die staat voor het aantal vrijheidsgraden die voorzien in een bepaalde mate van ‘tail‐fatness’, oftewel dikke staarten. Hoe kleiner het aantal vrijheidsgraden is, des te meer 28 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk frequentie
leptokurtic de verdeling en des te dikker de staarten. Hoe groter het aantal vrijheidsgraden, hoe meer de grafiek van de Student‐t verdeling de normale verdeling benadert. 0,5
k = 1
k = 2
k = 5
0,4
k = ∞ 0,3
0,2
0,1
0,0
‐5
‐4
‐3
‐2
‐1
0
1
2
3
4
rendement
Figuur 3.2: Student‐t verdeling op basis van verschillende vrijheidsgraden 5
Om de tail‐fatness van vastgoedrendementen correct in de VaR‐schatting te verrekenen, is het van belang het aantal vrijheidsgraden zo goed mogelijk te bepalen. Dit kan door gebruik te maken van de Hill tail‐index [Huisman e.a., 1998b]. Deze tail‐index geeft feitelijk het aantal momenten van de verdeling weer. Des te dikker de staart, des te lager de waarde van de bijhorende tail‐index. Voor een Student‐t verdeling geldt dat het aantal vrijheidsgraden het aantal bestaande momenten weergeeft, zodat de tail‐index gebruikt kan worden als de ‘k’‐
parameter van de Student‐t verdeling [Danielsson en De Vries, 1997]. De Student‐t verdeling geeft aldus een eenvoudige en intuïtieve manier om de onzekerheid ten aanzien van het normaal verdeeld zijn te ondervangen. Een aantal studies heeft aangetoond dat het de gerealiseerde rendementen beter benaderd dan de normale verdeling (o.a. Wilson, 1993). Bovendien is de verdeling eenvoudig toe te passen, aangezien de eigenschappen goed te begrijpen zijn en de waarden opgezocht kunnen worden in gestandaardiseerde tabellen. Indien de Student‐t verdeling daadwerkelijk een betere weergave geeft van rendementen dan de normale verdeling, dan zal de VaR op basis van de normale verdeling een onderschatting geven van de daadwerkelijke VaR en daarmee van het verlies dat verwacht kan worden indien zich extreme verliezen voordoen. De VaR op basis van de Student‐t voor een gegeven betrouwbaarheidsinterval is derhalve waarschijnlijk hoger dan de corresponderende normale VaR. 3.6.2 Niet­centrale Student­t verdeling De symmetrische Student‐t is leptokurtic en heeft dikkere staarten dan de normale verdeling, waardoor beter kan worden omgegaan met volatiele data‐reeksen met dikke staarten. Echter, in veel gevallen hebben rendementen niet alleen dikke staarten, maar zijn ze ook scheef verdeeld. De kritiek op de Student‐t is dan ook voornamelijk gericht op het feit dat deze niet kan omgaan met scheve verdelingen. 29 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Een meer algemene verdeling is nodig om deze scheefheid te modelleren, waarbij bovendien rekening gehouden wordt met de aanwezigheid van fat tails. Hiervoor kan de niet‐centrale Student‐t (NCT) verdeling gebruikt worden [Coleman en Mansour, 2005]. Deze verdeling maakt de Student‐t meer algemeen toepasbaar, door een niet‐centrale parameter ‘δ’ te introduceren die de graad van scheefheid beheerst. Positieve waarden van δ duiden op een scheefheid naar rechts, negatieve waarden op een scheefheid naar links. Hoewel de NCT zowel scheefheid als dikke staarten toelaat, en daarmee wellicht een goede verdeling geeft voor vastgoedrendementen, maken slechts weinig empirische onderzoeken gebruik van deze verdeling. Reden hiervoor is onder meer dat de NCT complex is om te berekenen en dat het aanzienlijke schattingsuitdagingen geeft. 3.7 Controle van overeenkomst met verdeling Om te controleren in welke mate de rendementen van de gekozen reeks overeenkomen met de normale verdeling, dient een ‘Goodness‐of‐Fit’‐test uitgevoerd te worden. De metingen van deze test geven de discrepantie weer tussen de historische waarden en de waarden zoals deze verwacht zouden worden. Er wordt aldus getest of voldaan wordt aan de normale verdeling. Indien dit niet het geval is, zal een Student‐t verdeling toegepast worden om de parametrische VaR te berekenen. Het volgende hoofdstuk gaat verder in op de toetsing op normaliteit. 30 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Hoofdstuk 4 Toetsing op normaliteit “First weigh the considerations, then take the risks” (H. von Moltke) 4.1 Onderzoek naar verdeling Zoals reeds is beschreven, ligt een aantal voorwaarden ten grondslag aan de gestructureerde VaR‐methode. Eén van de belangrijkste veronderstellingen van deze VaR‐methode is dat rendementen een normale verdeling hebben. Uit diverse internationale onderzoeken met verschillende datasets en verscheidene statistische methoden is gebleken dat dit voor direct vastgoed slechts beperkt geldt. Rendementreeksen Index (jaarbasis) Index (kwartaalbasis) Portefeuille
(jaarbasis) Toetsing op normaliteit: stresstest Vier momenten Goodness‐of‐Fit test: Jarque‐Bera Hill tail index
Voldoet aan normale verdeling Voldoet niet aan normale verdeling Kiezen alternatieve verdeling Testen toepasbaarheid: backtest Parametrische VaR op basis van normale verdeling Parametrische VaR op basis van alternatieve verdeling Vergelijking met empirische VaR
op basis van historische reeksen Figuur 4.1: Aanpak testen van toepasbaarheid VaR Om te bepalen in hoeverre de gestructureerde VaR‐methode het vermogen heeft de omvang van het maximale verlies op een Nederlandse kantorenportefeuille te voorspellen, wordt via stress‐testing onderzocht in welke mate direct vastgoed voldoet aan de belangrijkste voorwaarde, te weten het normaal verdeeld zijn van rendementen. Hiertoe wordt onderzocht in hoeverre de daadwerkelijke verdeling overeenkomt met de normale verdeling. Indien niet 31 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk voldaan wordt aan de voorwaarde van normaal verdeeld zijn, dan dient een alternatieve verdeling gekozen te worden die de daadwerkelijke kansverdeling van de betreffende datareeks zo goed mogelijk benaderd. De aanpak hiervoor is weergegeven in figuur 4.1. 4.2 Opzet toetsing De rendementen worden getest op twee verschillende niveaus, te weten op portefeuilleniveau en op indexniveau. Er wordt uitgegaan van het feit dat individuele objectrendementen niet‐
normaal verdeeld zijn. Zodoende wordt dus getoetst of rendementen op portefeuille‐ en indexniveau wél normaal verdeeld zijn. Zoals eerder beschreven dient voor deze hypothese een portefeuille beschouwd te worden van voldoende omvang. Op basis van de beschikbare data is een portefeuille samengesteld bestaande uit 150 objecten. 4.2.1 Toetsing van reeksen Om de rendementen te toetsen op normaliteit, wordt een drietal reeksen gebruikt op basis van gegevens van de ROZ/IPD Kantorenindex. Aangezien het in het kader van dit onderzoek gaat om het maximale verlies op een beleggingsportefeuille, wordt op het niveau van een fictieve beleggingsportefeuille gekeken naar het al dan niet normaal verdeeld zijn van het portefeuillerendement. Deze fictieve portefeuille is samengesteld op basis van 150 objecten die vanaf 1995 in de Kantorenindex zijn opgenomen. Daarnaast wordt gekeken of rendementen op indexniveau normaal verdeeld zijn. Dit omdat op indexniveau een andere data‐frequentie gekozen kan worden, namelijk op jaarbasis en op kwartaalbasis. Aangezien die betreffende informatie niet aanwezig is voor de portefeuilledata, kan op indexniveau alsnog geanalyseerd worden of een andere data‐frequentie invloed heeft op de kansverdeling. Bovendien hebben beide indices een langer historisch track‐record, wat de statistische validiteit van de metingen ten goede komt. Volgens Hordijk (2005) zijn voor een voldoende mate van betrouwbaarheid voor vastgoed minstens 25 waarnemingen op jaarbasis nodig, waarin meerdere vastgoedcycli herkenbaar zijn. De fictieve portefeuille gaat echter uit van 13 waarnemingen op jaarbasis. Daarnaast beslaat de kwartaalindex nagenoeg geen hele vastgoedcyclus en zijn de resultaten ervan gebaseerd op circa 25% van de in de Vastgoedindex opgenomen objecten. De resultaten die verkregen worden op basis van laatstgenoemde twee reeksen dienen daarom met enige voorzichtigheid te worden gehanteerd. Reeks Periode Frequentie Aantal waarnemingen
Historische jaarindex ROZ/IPD Kantoren 1977‐2007 Per jaar 31
Kwartaalindex ROZ/IPD Kantoren 1999‐2007 Per kwartaal 34
Fictieve portefeuille (150 objecten) 1995‐2007 Per jaar 13
Tabel 4.1: Geanalyseerde rendementsreeksen Voor nadere analyse zou bovendien nog gewerkt kunnen worden met een wisselende beschouwingsperiode, een zogenaamd ‘moving time window’. Echter, vanwege de relatief korte perioden waarmee binnen de genoemde datareeksen dan gewerkt zou moeten worden, zou dit al snel kunnen leiden tot onbetrouwbare resultaten. 4.2.2 Toetsing van rendement­componenten Voor alle reeksen wordt zowel gekeken naar het totaal rendement, als het direct en het indirect rendement. De datareeksen zijn weergegeven in bijlage IV. 32 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Het direct rendement is gebaseerd op het netto exploitatieresultaat, dat voortkomt uit jaarlijkse huurinkomsten. De datareeks laat zien dat dit rendement relatief stabiel is, wat te verklaren is door het feit dat huurcontracten voor langere periode worden afgesloten en doordat kosten in de tijd gezien over meerdere jaren uitgesmeerd kunnen worden. Feitelijk komen grote negatieve schommelingen in het jaarlijkse direct rendement alleen voor indien leegstand optreedt of wanneer er incentives in de vorm van huurvrije perioden zijn gegeven, dan wel indien er aanzienlijke uitgaven zijn gedaan ten behoeve van groot onderhoud of renovatie. Het indirect rendement is gebaseerd op de waardeontwikkeling en laat een veel grilliger beeld zien. Het indirect rendement is grotendeels afhankelijk van het sentiment op de financiële markten en de positie binnen de vastgoedcyclus. Vastgoedbeleggers zijn immers afhankelijk van vraag en aanbod, beschikbaarheid van financiële middelen en meer algemene ontwikkelingen zoals rente en inflatie. De aantrekkelijkheid van direct vastgoed als beleggingscategorie wordt hierdoor sterk beïnvloed en heeft op zijn beurt een direct effect op de waarde van direct vastgoed‐objecten. Verschillende typen beleggers zullen andere prioriteiten stellen waar het gaat om de belangrijkste bijdrage aan het totaal rendement. Afhankelijk van de beleggingsstrategie, is het waarschijnlijk dat institutionele beleggers – met een lange termijn beleggingshorizon – een hoog stabiel direct rendement belangrijker vinden, terwijl opportunistische beleggers meer aandacht zullen hebben voor waardegroei. Het is daardoor van belang de VaR op basis van beide rendement‐componenten in beeld te brengen. Door het hierboven beschreven verschil tussen beide componenten, zou verondersteld mogen worden dat de karakteristieken van de betreffende verdelingen ook verschillend zijn. Toetsing is daarom op het niveau van beide rendement‐componenten uitgevoerd. 4.3 Rendementkarakteristieken In tabel 4.2 zijn de karakteristieken van de gehanteerde rendementreeksen weergegeven op basis van de vier momenten. Reeks Jaarindex Indirect rendement Direct rendement Kwartaalindex Indirect rendement Direct rendement Portefeuille Indirect rendement Direct rendement Eerste moment: gemiddelde Tweede moment: Derde moment: variantie kurtosis Vierde moment: skewness 8,20%
0,38%
4,35 ‐0,04 1,13%
7,00%
0,37%
0,01%
4,62 2,54 0,08 0,05 2,27%
0,01%
4,77 1,02 0,52%
1,74%
0,01%
0,00%
4,30 2,32 0,86 ‐0,17 11,24%
0,15%
1,89 ‐0,13 3,37%
7,66%
0,13%
0,00%
1,83 3,31 ‐0,13 ‐0,54 Tabel 4.2: Karakteristieken van rendementsreeksen 33 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Uit de karakteristieken van de verschillende vastgoedrendement‐reeksen blijkt voor de jaarindex bij het totaal rendement en indirect rendement een bepaalde mate van leptokurtosis op te treden. Voor het direct rendement treedt in dezelfde mate van grootte juist platykurtosis op. Er is daarnaast skewness aanwezig, negatief bij het totaal rendement en positief bij het indirect en direct rendement. De kwartaalindex laat een vergelijkbaar beeld zien wat betreft kurtosis. Wel is op het niveau van het totaal rendement en indirect rendement duidelijk positieve skewness aanwezig. Op portefeuilleniveau ontstaat juist een tegenovergesteld beeld, waarbij het totaal rendement en indirect rendement meer platykurtosis laten zien en bij het direct rendement leptokurtosis optreedt. Voorts laten de rendementen allen een negatieve skewness zien op portefeuilleniveau. 4.4 Toetsing op normaliteit: stress­testing Om te testen op normaliteit van de verdeling, dient een zogenaamde ‘Goodness‐of‐Fit’‐test (GOF‐test) uitgevoerd te worden. De GOF‐test is een stress‐test die de overeenkomst van iedere willekeurige waarde test met een theoretische kansverdelingsfunctie, in dit geval de normale verdeling. Vervolgens wordt aangetoond hoe goed de gekozen verdeling past bij de betreffende data. Om te testen op normaliteit van de verdeling kunnen verschillende testen worden uitgevoerd, zoals de Anderson‐Darling test, de Shapiro‐Wilk test, de Kolmogorov‐Smirnov test en de chi‐
kwadraat test [Maurer e.a., 2004]. Een voorbeeld van de laatste is de Jarque‐Bera test (JB‐
test), die gebruik maakt van de gevonden waarden voor kurtosis en skewness. De JB gaat uit van een asymptotische chi‐kwadraat verdeling met twee vrijheidsgraden, waarbij de kritieke waarde bij het testen op het normaal verdeeld zijn gelijk is aan 5,99. De test kan gebruikt worden om de nul‐hypothese te toetsen dat de betreffende data van een normale verdeling afkomstig is. Deze hypothese is een gecombineerde hypothese, die stelt dat enerzijds de skewness gelijk is aan 0 en dat anderzijds de kurtosis gelijk is aan 3, zoals het geval is bij een normale verdeling. Bij stress‐testing kan ook een zogenaamde ‘p‐waarde’ berekend worden. Deze p‐waarde is het laagste niveau van significantie waarop de nul‐hypothese verworpen wordt [Montgomery en Runger, 1999]. Een hoge p‐waarde geeft aan dat de nul‐hypothese niet verworpen kan worden. Naast de JB‐test kan bovendien de eerder genoemde Hill tail‐index worden berekend. De waarde van de tail‐index geeft het aantal vrijheidsgraden dat moet worden genomen om de Student‐t verdeling te bepalen. Aangezien een Student‐t met meer dan 7 vrijheidsgraden de normale verdeling reeds grotendeels benadert, geeft de waarde van tail‐index aldus eveneens aan in hoeverre voldaan wordt aan normaliteit. 4.4.1 Stress­test van rendementen op indexniveau De test op basis van de beschikbare indexreeksen voor kantoren is gedaan voor de eerder genoemde jaarindex en kwartaalindex. De resultaten van de test zijn opgenomen in bijlage IV en samengevat in tabel 4.3. Voor de jaarindex zijn de gevonden JB‐waarden allen lager dan de kritieke waarden van 5,99. De bijhorende p‐waarden geven de kans aan dat de nul‐hypothese van normaliteit ten onrechte verworpen zou worden. De p‐waarden zijn dermate hoog, dat normaliteit niet verworpen kan worden. De waarden van de Hill tail‐index van de jaarindex zijn 34 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk allen relatief hoog, wat betekent dat de Student‐t verdeling de normale verdeling redelijk benadert. Wel blijkt dat het direct rendement een meer normale verdeling kent dan het indirect rendement. Voor de kwartaalindex ontstaat een wisselvalliger beeld. Voor het totaal rendement geeft de JB‐waarde aan dat van normaliteit geen sprake is. De zeer lage bijhorende p‐waarde geeft eveneens aan dat de kans dat normaliteit ten onrechte verworpen wordt klein is. De relatief lage tail‐index geeft aan dat een Student‐t met 4 vrijheidsgraden gebruikt dient te worden. Voor het indirect rendement geldt dat, op basis van de JB‐waarde, de verdeling net niet normaal is. De bijhorende p‐waarde geeft aan dat de kans 5% is dat normaliteit ten onrechte verworpen wordt. De tail‐index is laag, wat betekent dat er duidelijk sprake is van fat tails. Alleen het direct rendement blijkt normaal verdeeld te zijn, met een vrij hoge tail‐index. Reeks Jaarindex Indirect rendement Direct rendement Kwartaalindex Indirect rendement Direct rendement Portefeuille Indirect rendement Direct rendement Jarque‐Bera p‐value 0,94 Hill tail‐index 62,1% 5,78 1,80 1,92 41,4% 38,1% 9,77 0,76% 3,58 6,01 2,74 4,94% 25,44% 1,79 57,05 9,88 0,71% ‐ 10,27 3,90 0,58% 14,21% ‐ ‐ 4,71 22,15 Tabel 4.3: Resultaten stress‐test 4.4.2 Stress­test van rendementen op portefeuilleniveau Aangezien de doelstelling van het onderzoek is na te gaan het vermogen van de VaR‐methode om de omvang van het verlies op een direct vastgoed‐beleggingsportefeuille te voorspellen, dient op basis van een omvangrijke fictieve portefeuille getest te worden op het al dan niet normaal verdeeld zijn van het portefeuillerendement. Deze portefeuille is samengesteld op basis van 150 objecten die vanaf 1995 tot en met 2007 opgenomen zijn geweest in de ROZ/IPD Kantorenindex. Aangezien de betreffende datareeks slechts 13 waarnemingen heeft, kan de Hill tail‐index niet berekend worden. Uit de JB‐test blijkt dat er bij het totaal rendement en het indirect rendement duidelijk sprake is van een mindere mate van normaliteit. De lage p‐waarden geven dan ook aan dat normaliteit niet ten onrechte verworpen zou worden. Voor het direct rendement geldt wederom dat deze relatief normaal verdeeld lijkt. 4.5 Conclusies toetsing op normaliteit Uit de resultaten van de verschillende stress‐tests blijkt dat normaliteit bij rendementen van Nederlandse direct vastgoed‐beleggingen niet zonder meer verworpen kan worden. Wel zijn er verschillen te constateren in de mate waarin de beschouwde rendementsverdelingen overeen komen met de normale verdeling. Bovendien kan gesteld worden dat het direct rendement het meest neigt naar een normale verdeling. Dit zal zich waarschijnlijk ook vertalen naar een betere toepasbaarheid van de parametrische VaR op het direct rendement. 35 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Hoofdstuk 5 Testen toepasbaarheid VaR “It is wrong to think risks can be eliminated, because they can be measured” (R. Merton) 5.1 Testen van gekozen verdeling Om te kunnen concluderen welke verdeling het meest geschikt is om de parametrische VaR voor direct vastgoed‐beleggingen toe te passen, wordt onderzocht hoe vaak daadwerkelijke verliezen op portefeuilleniveau de voorspelde VaR‐waarde overtreffen. Dit wordt gedaan door te tellen hoe vaak het gerealiseerde rendement de intervalgrens‐waarde van de numerieke (empirische) VaR overtreft. Dit geeft een eerste indicatie voor de toepasbaarheid van de historische simulatie. Hetzelfde wordt gedaan voor de parametrische VaR, om de toepasbaarheid van de geconstrueerde VaR‐methode te analyseren. Voorts wordt getoetst in hoeverre de gevonden parametrische VaR overeen komt met de empirische VaR. Dit vanwege het feit dat het aantal waarnemingen beperkt is en er anders gewerkt zou moeten worden met een aanzienlijk lagere betrouwbaarheidsinterval. 5.1.1 Betrouwbaarheidsinterval In dit onderzoek wordt het parametrische VaR‐model via back‐testing getoetst op correctheid van de gevonden VaR‐schattingen. Daarbij dient de gekozen waarde van het betrouwbaarheidsinterval niet te hoog te zijn, omdat dan gezocht wordt naar een verlieswaarde die niet erg waarschijnlijk is. Indien α op 99,99% wordt gesteld, dan kan verwacht worden dat het verlies slechts in 1 op de 10.000 gevallen groter is dan de gevonden VaR. Om vervolgens betrouwbare overschrijdingstoetsen te kunnen uitvoeren, dienen er relatief veel waarnemingen te zijn. Bij de in dit onderzoek gehanteerde reeksen is dit echter niet het geval. Daar staat tegenover dat het betrouwbaarheidsinterval ook niet te laag gekozen moet worden. In het geval dat α op 60% wordt gesteld, moet uit back‐testing in 40 op de 100 gevallen blijken dat het verlies omvangrijker is geweest dan de VaR. Er dienen zodoende relatief veel overschrijdingen te zijn gerealiseerd. De VaR verliest in dat geval zijn zeggingskracht, omdat de gevonden waarde bij een dergelijk betrouwbaarheidsinterval te weinig zegt over extreme verliezen. Back‐testing vindt in dit onderzoek plaats op basis van een gekozen 95% en 99% betrouwbaarheidsinterval. 5.1.2 Holding period Voor toepassing van de VaR dient de tijdshorizon bepaald worden waarover deze berekend wordt. Zoals eerder beschreven, wordt de holding period gelijk gesteld aan de periode die nodig is om de risicodragende positie volledig af te bouwen of te liquideren. Dit zou impliceren dat deze periode voor een vastgoedportefeuille ten minste gelijk zou moeten zijn aan de periode die benodigd is om al het vastgoed te verkopen. Booth e.a. (2005) concluderen dat de illiquide aard van een aantal vastgoedmarkten tot gevolg heeft dat het, bij het streven naar out‐performance op korte termijn, enige tijd duurt om een beleggingspositie of ‐portefeuille aan te passen. Zij stellen voor, om voor dergelijke out‐performance doelstellingen een tijdshorizon van minstens één jaar te nemen. De definitie van VaR staat echter toe de VaR te berekenen over een langere termijn dan de liquidatietijd. Zo kan de VaR berekend worden over een termijn van meerdere jaren en eventueel opvolgende termijnen, om zodoende inzicht te verkrijgen in de strategische risico’s 36 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk van de portefeuille [Lucas, 1998]. Aangezien twee van de drie in dit onderzoek gehanteerde reeksen gebaseerd zijn een intervalperiode van een jaar, wordt bij het back‐testen impliciet uitgegaan voor eenzelfde tijdshorizon. In het geval van de kwartaalindex dienen de uitkomsten bekeken worden vanuit een tijdshorizon die gelijk is aan de intervalperiode van 3 maanden. Zoals reeds beschreven, kunnen de verkregen VaR‐waarden via de wortel‐t formule desgewenst worden omgerekend naar VaR‐waarden op jaarbasis. Aangezien het bij het back‐
testen echter niet gaat om de waarde van de VaR zelf, maar om de toetsing van de berekende waarden, is dat hier niet noodzakelijk. Wel dient opgemerkt te worden dat volgens Brown en Matysiak (2000) de verdeling van individuele objectrendementen naar een normale verdeling neigt indien de intervalperiode toeneemt. Dit wordt waarschijnlijk veroorzaakt door de manier waarop informatie beschikbaar komt en hoe taxateurs hierop reageren. 5.2 Testen van toepasbaarheid: back­testing Door middel van back‐testing kan gekeken te worden of op basis van de numerieke VaR het aantal overschrijdingen overeenkomt met hetgeen verwacht wordt op basis van de gekozen betrouwbaarheidsinterval. Op dezelfde manier dient op basis van de parametrische VaR gekeken te worden of de verdelingen correct zijn gekozen. Indien dat laatste het geval is, dan zou namelijk verwacht mogen worden dat, op basis van de gekozen 95% en 99% betrouwbaarheidsintervallen, de daadwerkelijke verliezen de voorspelde VaR respectievelijk in 5% en 1% van de gevallen zouden overtreffen. In tabel 5.1 en 5.2 is weergegeven hoe vaak het daadwerkelijke verlies het op basis van de empirische (numerieke) VaR en de parametrische (normale) VaR gevonden verlies binnen de betreffende reeks naar verwachting zou overschrijden, evenals hoe vaak het de betreffende VaR daadwerkelijk heeft overschreden. Reeks (α = 95%) Jaarindex Indirect rendement Direct rendement Kwartaalindex Indirect rendement Direct rendement Portefeuille Indirect rendement Direct rendement Verwacht 1,55 5%
Numerieke VaR 2 6,5%
Normale VaR 3 9,7%
1,55 1,55 5%
5%
2 0 6,5%
0,0%
3 3 9,7%
9,7%
1,70 5%
2 5,9%
0 0,0%
1,70 1,70 5%
5%
2 1 5,9%
2,9%
0 1 0,0%
2,9%
0,65 5%
1 7,7%
0 0,0%
0,65 0,65 5%
5%
1 1 7,7%
7,7%
0 1 0,0%
7,7%
Tabel 5.1: Aantal keer dat de gevonden VaR‐waarde naar verwachting, en daadwerkelijk is overschreden, op basis van een 95% betrouwbaarheidsinterval, uitgedrukt in absoluut aantal en in procenten Op basis van tabel 5.1 kan geconstateerd worden, dat de reeksen voor de jaarindex en de kwartaalindex lang genoeg zijn om de numerieke VaR correct te voorspellen. De via de parametrische methode gevonden normale VaR geeft voorts een minder nauwkeurig resultaat, waarbij op basis van een 95% betrouwbaarheidsinterval de parametrisch berekende normale VaR voor de jaarindex de daadwerkelijke VaR onderschat. Dit blijkt uit het feit dat het maximale verlies in die reeks in alle gevallen bijna twee keer zo vaak wordt overschreden als verwacht zou mogen worden. De parametrisch berekende normale VaR van de kwartaalindex en portefeuille datareeksen overschatten juist de daadwerkelijke VaR. 37 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Reeks (α = 99%) Jaarindex Indirect rendement Direct rendement Kwartaalindex Indirect rendement Direct rendement Portefeuille Indirect rendement Direct rendement Verwacht 0,31 1%
Numerieke VaR 1 3,2%
Normale VaR 0 0,0%
0,31 0,31 1%
1%
1 0 3,2%
0,0%
0 0 0,0%
0,0%
0,34 1%
1 2,9%
0 0,0%
0,34 0,34 1%
1%
1 1 2,9%
2,9%
0 0 0,0%
0,0%
0,13 1%
1 7,7%
0 0,0%
0,13 0,13 1%
1%
1 1 7,7%
7,7%
0 0 0,0%
0,0%
Tabel 5.2: Aantal keer dat de gevonden VaR‐waarde naar verwachting, en daadwerkelijk is overschreden, op basis van een 99% betrouwbaarheidsinterval, uitgedrukt in absoluut aantal en in procenten Uit tabel 5.2 kan geconcludeerd worden dat het aantal waarnemingen binnen de genoemde datareeksen op basis van een 99% betrouwbaarheidsinterval te klein is, aangezien er geen enkele keer een overschrijdend verlies wordt verwacht. Back‐testing op basis van deze methode biedt derhalve te weinig zekerheid om betrouwbare uitspraken te doen over de correctheid van de parametrische VaR bij een dergelijk hoog betrouwbaarheidsinterval. Vanwege dit feit, wordt daarom tevens getest in hoeverre de gevonden absolute parametrische VaR‐waarden afwijken van de empirische VaR‐waarden. Op basis van die afwijkingen wordt vervolgens geconcludeerd of de gehanteerde verdeling juist is. Daarnaast geeft de mate waarin de gevonden VaR afwijkt van de empirische VaR uiteindelijk inzicht in de mate van toepasbaarheid van de gestructureerde VaR‐methode op de betreffende rendementreeksen. 5.2.1 Back­testing VaR op basis van 95% betrouwbaarheidsinterval Bij een betrouwbaarheidsinterval van 95% laten de resultaten van de back‐test zien dat de parametrische VaR in een aantal gevallen de numerieke VaR redelijk goed benadert. Reeks (α = 95%) Jaarindex Numerieke VaR € 149.977.737 Normale VaR € 132.745.165 %verschil ‐11,5% Capital Growth Income Return € 150.297.927 € 18.276.240 € 131.208.243 € 17.323.181 ‐12,7% ‐5,2% € 128.590.047 € 17.194.959 ‐14,4% ‐5,9% € 18.554.439 € 24.188.813 30,4% € 22.924.035 23,6% € 18.646.975 € 1.839.886 € 23.746.115 € 2.163.878 27,3% 17,6% € 2.153.987 17,1% € 69.711.177 € 82.487.674 18,3% € 65.330.620 € 8.247.434 € 77.712.501 € 9.003.985 19,0% 9,2% Kwartaalindex Capital Growth Income Return Portefeuille Capital Growth Income Return Student‐t VaR %verschil € 131.099.859 ‐12,6% Tabel 5.3: Resultaten back‐test op basis van een 95% betrouwbaarheidsinterval 5 5
Vanwege het beperkte aantal vrijheidsgraden kan de Student‐t VaR voor het indirect rendement van de kwartaalindex niet berekend worden. Op portefeuilleniveau is het, vanwege de beperkte omvang van de datareeks, in het geheel niet mogelijk de Student‐t VaR te berekenen. 38 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Zoals uit tabel 5.3 blijkt, wordt de numerieke VaR voor het totaal rendement van de jaarindex door zowel de normale VaR als de Student‐t VaR met een verschil van circa 12% onderschat. Ook het indirect rendement wordt in diezelfde orde van grootte onderschat. De VaR voor het direct rendement wordt, met een afwijking van ruim 5%, het minst onderschat. Voor de kwartaalindex is de afwijking voor het totaal rendement groter, te weten ruim 30% voor de normale VaR en bijna 24% voor de Student‐t VaR. Ook voor deze reeks wordt de VaR voor het direct rendement het best benaderd, al is de afwijking bijna 18%. De afwijkingen van de parametrische normale VaR zijn voor deze reeks kleiner dan van de kwartaalindex, waarbij de VaR voor het direct rendement wederom de beste schatting geeft. Opvallend is dat de parametrische VaR voor de kwartaalindex en de portefeuille de numerieke VaR in alle gevallen overschat, terwijl deze voor de jaarindex juist wordt onderschat. 5.2.2 Back­testing VaR op basis van 99% betrouwbaarheidsinterval Uit tabel 5.4 blijkt dat bij een betrouwbaarheidsinterval van 99% een vergelijkbaar beeld ontstaat, zij het dat de afwijkingen in alle gevallen beduidend groter zijn. Reeks (α = 99%) Numerieke VaR Normale VaR %verschil Student‐t VaR %verschil Jaarindex € 163.817.344 € 187.452.263 14,4% € 218.923.701 33,6% Capital Growth Income Return Kwartaalindex Capital Growth Income Return Portefeuille Capital Growth Income Return € 159.491.810 € 18.276.240 € 185.281.943 € 24.462.431 16,2% 33,8% € 226.010.680 € 25.117.596 41,7% 37,4% € 21.601.841 € 34.157.536 58,1% € 44.230.836 104,8% € 22.027.426 € 2.334.542 € 33.532.392 € 3.055.659 52,2% 30,9% € 3.083.507 32,1% € 70.255.180 € 116.482.595 65,8% € 65.676.390 € 11.070.190 € 109.739.470 € 12.714.718 67,1% 14,9% Tabel 5.4: Resultaten back‐test op basis van een 99% betrouwbaarheidsinterval Voor de jaarindex liggen de normale VaR‐waarden binnen een afwijking van 14% tot 16% van de numerieke VaR voor zowel het totaal als het indirect rendement. De normale VaR voor het direct rendement wijkt met bijna 34% echter beduidend meer af. Bij de kwartaalindex wijkt de VaR voor het direct rendement in dezelfde orde van grootte af als bij de jaarindex, echter is hier de afwijking op totaal en indirect rendement juist veel groter, respectievelijk 58% en 52%. Op portefeuilleniveau zijn de afwijkingen nog groter voor deze twee rendementen, terwijl de normale VaR de numerieke VaR voor het direct rendement relatief goed benadert. In tegenstelling tot de gevonden VaR‐waarden bij een betrouwbaarheidsinterval van 95%, geeft de Student‐t VaR bij een betrouwbaarheidsinterval van 99% een minder goede schatting van de numerieke VaR, in vergelijking met de normale VaR. 5.3 Conclusies back­testing Uit de back‐tests is gebleken dat de via de gestructureerde methode verkregen parametrische normale VaR bij een lager betrouwbaarheidsinterval in een aantal gevallen een correcte inschatting geeft van de daadwerkelijke maximale verliezen. In vergelijking met de verschillende rendement‐componenten, geeft de parametrische VaR de beste schatting voor het direct rendement. De Student‐t VaR geeft bovendien alleen bij de kwartaalindex een betere schatting dan de normale VaR, al zijn de verschillen niet heel groot. 39 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Voor hogere betrouwbaarheidsintervallen ontstaat echter een ander beeld. Hier geeft de normale VaR niet in alle gevallen de beste schatting van de numerieke VaR voor het direct rendement. Bovendien blijkt dat de Student‐t VaR de numerieke VaR beduidend minder goed benadert in vergelijking met de normale VaR. Over de gehele linie wordt de numerieke VaR bij een hoger betrouwbaarheidsinterval minder goed geschat, waarbij voor de verschillende datareeksen in een aantal gevallen aanzienlijke afwijkingen waar te nemen zijn. 40 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Hoofdstuk 6 Conclusies “VaR is a number invented by purveyors of panaceas for pecuniary peril, intended to mislead senior management and regulators into false confidence that market risk is adequately understood and controlled” (B. Schacter) 6.1 Conclusies Financieel risico‐management richt zich op het inzichtelijk maken van de aanwezige marktrisico’s, met als doel ze te beheersen. Door de te lopen risico’s inzichtelijk te maken, kan beoordeeld worden of die risico’s acceptabel zijn en kan de blootstelling eraan aangepast worden. De VaR‐methode vertaalt de aanwezige risico’s naar een schatting van het daadwerkelijke verlies dat door die risico’s kan worden geleden, waardoor de VaR een gewenste risico‐indicator is voor direct vastgoedbeleggingen. De probleemstelling voor het onderzoek luidt als volgt: In hoeverre heeft de VaR‐methode het vermogen de omvang van het maximale verlies op een direct vastgoed‐beleggingsportefeuille te voorspellen? Om deze vraag te kunnen beantwoorden, dient onderscheid gemaakt te worden in de praktische validiteit en de praktische toepasbaarheid van de VaR‐methode voor direct vastgoed. 6.1.1 Praktische validiteit De praktische validiteit van de VaR‐methode voor direct vastgoed betreft de correctheid van de resulterende VaR‐waarden. Daarbij wordt onderscheid gemaakt tussen de twee verschillende VaR‐berekeningen, namelijk de numerieke VaR en de parametrische VaR. De numerieke VaR kan gebruikt worden in het geval er voldoende waarnemingen zijn. Daarbij geeft de numerieke VaR op basis van een ex post benadering het daadwerkelijke maximale verlies weer dat binnen het gekozen betrouwbaarheidsinterval is opgetreden. Indien de methode van historische simulatie gehanteerd wordt, waarbij de numerieke VaR op basis van een ex ante benadering wordt toegepast op direct vastgoed, dan ligt de uitdaging voornamelijk in het zo goed mogelijk laten aansluiten van de historische rendementsverdeling op de toekomstige verdeling. Bij onvoldoende waarnemingen kan in plaats van de numerieke VaR de parametrische VaR via de gestructureerde VaR‐methode gebruikt worden, echter dient dan wel voldaan te worden aan de aannamen waar de gestructureerde VaR‐methode van uitgaat. Dit betekent dat bij toepassing van de normale VaR, rendementen normaal verdeeld moeten zijn. Uit de stress‐test blijkt dat de onderzochte rendementsreeksen van direct vastgoed‐beleggingen hier echter niet allen aan voldoen. Op basis van de back‐test resultaten kan voorts geconcludeerd worden dat de parametrische VaR in beperkte mate in staat is een juiste inschatting te geven van het maximale verlies voor direct vastgoed‐beleggingen. Voor de geanalyseerde datareeksen overschat de parametrische VaR namelijk in bijna alle gevallen de daadwerkelijke VaR. Dit geldt zowel voor de parametrisch verkregen normale VaR, als voor de Student‐t VaR. 41 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Indien gekeken wordt naar de afzonderlijke rendement‐componenten, dan is de parametrische VaR relatief goed in staat het maximale verlies op het direct rendement in te schatten. Hieruit kan geconcludeerd worden dat het direct rendement van de gehanteerde vastgoedreeksen ook relatief normaal verdeeld is, in tegenstelling tot het indirect rendement. De oorzaak hiervan dient gezocht te worden in het feit dat de karakteristieke (niet‐‘normale’) eigenschappen van direct vastgoed met name tot uitdrukking komen in het indirect rendement. Bovendien kan gesteld worden dat smooting‐ en lagging‐effecten geen directe invloed hebben op het direct rendement. Voorts kan, op basis van de geanalyseerde jaar‐ en kwartaalreeksen, geconcludeerd worden dat het hanteren van een grotere tijdsinterval tussen rendementen leidt tot een verdeling die meer neigt richting een normale verdeling. Hierbij moet worden opgemerkt dat de geanalyseerde kwartaalreeks geen hele vastgoedcyclus beslaat en dat de resultaten gebaseerd zijn op een kwart van het aantal objecten dat in de jaarreeks is opgenomen. Tevens kan geconcludeerd worden dat de afwijkingen tussen de parametrische VaR en de numerieke VaR toenemen, naarmate het betrouwbaarheidsinterval toeneemt. Blijkbaar kan de parametrische VaR voor direct vastgoed minder goed omgaan met extreme waarden in de linker staart van de verdeling. Theoretisch gezien zou de Student‐t VaR hierin moeten voorzien, echter blijkt de mate van scheefheid bij een hoger betrouwbaarheidsinterval van grotere invloed op de resultaten. 6.1.2 Praktische toepasbaarheid De VaR‐methode gaat ervan uit dat de te lopen risico’s beheerst kunnen worden, door de samenstelling van de beleggingsportefeuille aan te passen, bijvoorbeeld door middel van het verkopen van de risicovolle posities. Vanwege het illiquide karakter van direct vastgoed, kunnen beleggingsposities echter niet direct afgebouwd of aangepast worden. Er kan derhalve geconcludeerd worden dat de praktische toepasbaarheid van de VaR vanuit dit aspect gezien beperkt is voor direct vastgoed‐beleggingen. Dit betekent echter niet dat de VaR‐methode niet bruikbaar is voor direct vastgoed. Een belangrijke toepassing van de VaR ligt namelijk in het kunnen maken van beleggingsbeslissingen op basis van Downside Risk. Bovendien geeft de VaR‐methode inzicht in de negatieve gebeurtenissen die kunnen optreden en draagt de methode daarmee bij aan een completer beeld van het rendement/risico‐profiel van vastgoedbeleggingen. De VaR‐methode is daardoor van toegevoegde waarde voor risico‐management bij direct vastgoed‐beleggingen. 6.2 Aanbevelingen Eerder zijn de voorwaarden en aannamen beschreven waar de VaR‐methode van uitgaat. Tevens zijn de beperkingen genoemd voor toepassing van de VaR‐methode, die grotendeels voortkomen uit het feit dat de karakteristieken van direct vastgoed als beleggingscategorie niet volledig voldoen aan de voorwaarden die gesteld worden. Op basis van de geformuleerde conclusies en de geconstateerde beperkingen, kan een aantal aanbevelingen gedaan worden. 42 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk 6.2.1 Aanbevelingen ten behoeve van vervolgonderzoek Zoals beschreven, dient bij het hanteren van de VaR als risico‐management methode de te beschouwen datareeks voldoende historische waarnemingen te bevatten. Dit geldt zowel voor de numerieke VaR, die bij de methode van historische simulatie gebaseerd moet worden op voldoende historische referenties, als voor de parametrische VaR, waarvoor een kansverdeling moet worden bepaald die gebaseerd is op zo betrouwbaar mogelijk berekende momenten. Er wordt aanbevolen om, afhankelijk van de beschikbaarheid van langere datareeksen, vervolgonderzoek te doen naar de rendementkarakteristieken van direct vastgoed. Daarbij dient bovendien gekeken te worden naar rendementen op basis van verschillende tijdsintervallen, zodat geanalyseerd kan worden wat de invloed is van een ander tijdsinterval op de vorm van de verdeling. Daarnaast wordt aanbevolen de reeks te analyseren op basis van een moving time window, zodat de effecten van tijdsvariatie op de rendementkarakteristieken beter in beeld kunnen worden gebracht. In het onderzoek is de kansverdeling van de Student‐t gehanteerd, om te voorzien in een bepaalde mate van excess kurtosis en fat tails. Bij een hoger betrouwbaarheidsinterval heeft de mate van skewness echter een groter effect op de VaR‐schatting. Aanbevolen wordt, indien bij het toepassen op direct vastgoed gewerkt wordt met een parametrische VaR op basis van een hoger betrouwbaarheidsinterval, te kiezen voor een kansverdeling die voorziet in een bepaalde mate van skewness. 6.2.2 Aanbevelingen ten behoeve van toepassing Met betrekking tot de te hanteren methode voor direct vastgoedbeleggingen, wordt aanbevolen de numerieke VaR op basis van historische simulatie te gebruiken, daar deze tot de meest betrouwbare resultaten komt voor een direct vastgoed‐beleggingsportefeuille. Zoals aangegeven dient de rendementsreeks dan wel over voldoende waarnemingen te beschikken. De numerieke VaR op ex ante basis kan, naast de historische simulatie, voorts berekend worden op basis van forecasting van de toekomstige rendementen. Om een zo betrouwbaar mogelijke prognose te verkrijgen, is een continue monitoring met betrekking tot marktontwikkelingen essentieel, zodat wijzigingen en/of eventuele trendbreuken tijdig worden verwerkt in de visie op de toekomst. Het strekt voorts tot aanbeveling de resultaten van de VaR‐analyse voor direct vastgoed met voorzichtigheid te interpreteren. Dit enerzijds vanwege het ontbreken van voldoende lange tijdreeksen. Daarnaast vanwege het feit dat op basis van de parametrische VaR de waarde voor het maximale verlies niet in alle gevallen een correcte weergave is van de werkelijkheid, door het niet‐normaal verdeeld zijn van direct vastgoed‐rendementen. Ten slotte dient men zich te allen tijde te realiseren dat de kans aanwezig is, dat het door de VaR berekende verlies overschreden kan worden. Feitelijk is geen enkel risico‐management systeem perfect, maar de VaR kan wel degelijk van toegevoegde waarde zijn, indien men de tekortkomingen ervan in acht neemt. De VaR‐
methode moet daarbij beschouwd worden als een aanvullende risico‐analyse methode, naast de overige voor handen zijnde methoden. 43 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk 6.3 Tot slot Door het gebruik van de VaR als risico‐management methode kan het maximale verlies op een direct vastgoed‐beleggingsportefeuille inzichtelijk gemaakt worden. Hiermee kan een beter beeld gevormd worden van het rendement/risico‐profiel van direct vastgoed‐beleggingen en kunnen meer gefundeerde beleggingsbeslissingen worden genomen. Zoals in het voorwoord is gezegd, introduceerde de Griekse filosoof Plato (347 v.Chr.) de gedachte dat verandering per definitie slecht is, omdat verandering een verstoring is van de kosmos. Als repliek hierop wordt in het kader van de Value at Risk‐methode tot slot de Romeinse keizer Marcus Aurelius Antoninus (121 n.Chr.) geciteerd: “Loss is nothing else but change, and change is nature’s delight”. 44 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Literatuur Alexander, G.J. en Baptista, A.M. (2003); “Portfolio performance evaluation using value at risk: the reward‐to‐VaR ratio”, The Journal of Portfolio Management, Summer 2003; Booth, P., Matysiak, G.A. en Ormerod, P. (2005); “Risk measurement and management for real estate investment portfolios”, Report prepared for the Investment Property Forum, University of Reading Business School, 2005; Brown, G.R. en Matysiak, G.A. (2000); “Real estate investment: a capital market approach”, Prentice Hall, 2000; Claes, P.F. en Meerman H.J.J.M. (1991); “Risk management: inleiding tot het risicobeheersproces”, Stenfert Kroese, 1991 Coleman, M.S. en Mansour, A. (2005); “Real estate in the real world: dealing with non‐
normality and risk in an asset allocation model”, Journal of Real Estate Portfolio Management, Jan‐Apr 2005; Danielsson, J. en de Vries, C. (1997); “Value‐at‐risk and extreme returns”, LSE Working Paper, London School of Economics, 1997; Das, S. (2006); “Traders guns und money: knowns and unknowns in the dazzling world of derivatives”, Prentice Hall, 2006; Dowd, K. (1998); “Beyond value at risk: the new science of risk management”, John Wiley & Sons Ltd, 1998; Dowd, K. (1999); “A value at risk approach to risk‐return analysis”, The Journal of Portfolio Management, Summer 1999; Einhorn, D. (2008); “Private profits and socialized risk”, Grant’s Spring Investment Conference, New York, 2008 Geltner, D. en Miller, N.G. (2001); “Commercial real estate analysis and investments”, South‐
Western Publishing, 2001; Gool, P. van, Jager, P. en Weisz, R.M. (2007); “Onroerend goed als belegging”, Stenfert Kroese, 2007; Goorbergh, R.J.W. van den (1999); “Value‐at‐Risk analysis and least squares tail index estimation”, Research Memorandum WO&E nr 578, De Nederlandsche Bank, March 1999 45 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Goorbergh, R.J.W. van den en Vlaar, P.G.J. (1999); “Value‐at‐risk analysis of stock returns: historical simulation, variance techniques or tail index estimation?”, Research Memorandum WO&E nr 579, De Nederlandsche Bank, March 1999 Hendricks, D. (1996); “Evaluation of value‐at‐risk models using historical data”, Federal Reserve Bank of New York, Economic Policy Overview 2, April 1996; Hermans, A. (1998); “Vastgoedbeleggingen, symbiose van wetenschap en koopmanschap: een onderzoek naar rendement voor onzekere vastgoedrisico’s”, doctoraalscriptie Erasmus Universiteit Rotterdam, 1998; Hordijk, A. (2003); “Acht jaar data verzamelen voor 25 jaar rendement”, PropertyNL Research Quarterly, nummer 2, juni 2003; Huisman, R., Koedijk, K.G., Kool, C. en Palm, F. (1998a); “The fat‐tailedness of fx returns”, Working Paper WP98‐53, Limburg Institute of Financial Economics, 1998; Huisman, R., Koedijk, K.G. en Pownall, R.A.J. (1998b); “VaR‐x: fat tails in financial risk management”, Working Paper WP98‐54, Limburg Institute of Financial Economics, 1998; Jorion, P. (1997); “Value at risk: the new benchmark for managing financial risk”, McGraw‐Hill, 1997 Keeris, W.G. (2005); “Two for the price of one; an alternative approach towards the real estate return/risk profile, due to difficulties in constructing long‐term total return benchmark”, Paper ERES Conference Dublin, 2005; Keeris, W.G. (2007a); “De zes momenten van het beleggen in vastgoed: deel 4”, Real Estate Magazine, nummer 51, 2007; Keeris, W.G. (2007b); “De zes momenten van het beleggen in vastgoed: deel 5”, Real Estate Magazine, nummer 52, 2007; Keeris, W.G. en Langbroek, R.A.R. (2008); “Vastgoedbeleggingen geanalyseerd: ratio’s voor een betere beeldvorming van het rendement/risico‐profiel”, Property Research Quarterly, nummer 2, juni 2008; Klijnen, J. (1992); “Moderne portefeuille theorie I: theoretische achtergronden”, VGM Vastgoedmarkt, nummer 6, 1992; Kocken, T. (1997); “Financial risk management: theorie en praktijk voor financiële en niet‐
financiële instellingen”, Tutein Nolthenius, 1997; Lin, C.H. en Shen, S.S. (2006); “Can the student‐t distribution provide accurate value at risk”, The Journal of Risk Finance, volume 7, issue 3, 2006; 46 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Longerstaey, J. en Spencer, M. (1996); “Riskmetrics – technical document”, J.P. Morgan/Reuters, Fourth Edition, 1996; Lucas, A. (1998); “Nut, gebruik en beperkingen van value‐at‐risk voor risicomanagement”, Serie Research Memoranda, Research Memorandum 6, december 1998; Lucas, A. en Klaassen, P. (1998); “Extreme returns, downside disk and optimal asset allocation”, The Journal of Portfolio Management, Fall 1998; Matysiak, G.A. (2005); “Tracking and outperforming real estate benchmarks: is it possible?”, Presentation MSRE, Amsterdam School of Real Estate, 2005; Maurer, R., Reiner, F. en Sebastian, S. (2004); "Characteristics of German real estate return distributions: evidence from Germany and comparison to the U.S. and U.K.", Journal of Real Estate Portfolio Management, Jan‐Apr 2004; Montgomery, D.C., Runger, G.C. (1999); “Applied statistics and probability for engineers”, John Wiley and Sons, 1999; Myer, F.C.N. en Webb, J.R. (1991); “Are commercial real estate returns normally distributed?”, NCREIF White Paper, 1991; Polanen Petel, R. van (2005); “Benchmarken op rendement en risico”, afstudeerscriptie Technische Universiteit Eindhoven / Vastgoedbeheer, 2005; Ross, S.A. en Zisler, R. (1991); “Risk and return in real estate”, Journal of Real Estate Finance and Economics, Volume 4, 1991; Sharpe, W.F., Alexander G.J. en Bailey, J.V. (1985); “Investments”, Prentice Hall, 1985; Sharpe, W.F. (1994); “The Sharpe ratio: properly used, it can improve investment”, The Journal of Portfolio Management, Fall 1994; Sortino, F.A., Meer, R. (1991); “Downside risk”, The Journal of Portfolio Management, Summer 1991; Sortino, F.A., Price, L.N. (1994); “Performance measurement in a downside risk framework”, The Journal of Investing, Fall 1994; Wilson, T.C. (1993); “Infinite wisdom”, Risk 6, June 1993; Wit, K. de (2008); “Renteanalyse technieken voor woningcorporaties: naar een nieuw modelmatig ontwerp”, Masterproof MRE, Amsterdam School of Real Estate, 2008; Zangari, P. (1996); “How accurate is the delta‐gamma methodology?”, RiskMetrics Monitor, Third Quarter 1996. 47 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Bijlage I De VaR­methode nader toegelicht 1.1 Inleiding Bij beleggen gaat het om rendement in combinatie met het te lopen risico. Het rendement/risico‐profiel van een belegging is daarom van groot belang bij het beoordelen van (vastgoed‐)beleggingen en het streven naar waardecreatie. Daarbij moet niet alleen gekeken worden naar rendementen en de spreiding daarvan als risicomaatstaf, maar ook naar de kans op een ‘worst‐case’‐scenario en de eventuele acceptatie ervan. De ‘Value at Risk’‐methode (VaR‐methode) kan hiervoor ingezet worden. 1.2 Rendement en risico Rendement is één van de kern performance‐indicatoren van beleggingen. Hiervoor is een aantal redenen te noemen, te weten [Brown en Matysiak, 2000]: ƒ Het is een schaalvrije indicator, die niet afhankelijk is van de omvang van de investering; ƒ Veelgebruikte financiële modellen, zoals de MPT en het CAPM, zijn ontwikkelt om rendementsverwachtingen te geven; ƒ De beleggingskarakteristieken van een object kunnen beschreven worden in termen van de statistische verdeling van het rendement. Risico kan gedefinieerd worden als de mate van onzekerheid van toekomstige rendementen. Er zijn verschillende soorten risico, maar de VaR gaat uit van de onzekerheid van toekomstige rendementen als gevolg van veranderende marktomstandigheden. De VaR geeft daarbij de maximale potentiële rendementsverandering van een beleggingspositie of ‐portefeuille over een bepaalde tijdshorizon, met een gegeven waarschijnlijkheid [Longerstaey en Spencer, 1996]. 1.3 VaR­principe Het VaR‐principe is gebaseerd op de verdeling volgens Carl Friedrich Gauss, een Duitse wiskundige, die ontdekte dat de meeste natuurlijke fenomenen een normale kansverdeling volgen, de zogenaamde Gauss‐kromme. De belangrijkste karakteristiek van deze verdeling, ook wel een ‘normale’ verdeling genoemd, is dat alle punten beschreven kunnen worden op basis van twee getallen: het gemiddelde (of de verwachtingswaarde) en de variantie (of de standaarddeviatie). Deze laatste staat synoniem voor risico, waarbij de mate van risico (oftewel onzekerheid) beschreven kan worden met behulp van kansverdelingen. Wanneer een kansverdeling normaal verdeeld is, dan kan de kans op een bepaalde uitkomst beschreven worden in termen van de twee genoemde getallen. Bij een normale verdeling kan voorts een aantal intervallen onderscheiden worden op basis van de standaarddeviatie. Vervolgens kan de bijhorende kans bepaald worden dat een waarneming binnen een gekozen interval ligt. 48 Master Thesis ‐ MSRE Interval Rgem ‐ σ < x < Rgem + σ Rgem ‐ 2σ < x < Rgem + 2σ Rgem ‐ 3σ < x < Rgem + 3σ De waarde van Value at Risk Kans 68,3%
95,4%
99,7%
Tabel b1.1: intervalgrens‐waarde op basis van standaarddeviatie en bijhorend betrouwbaarheidsinterval Indien de uitkomst van een variabele x met een kans van 95,44% binnen het interval van Rgem ‐ 2σ < x < Rgem + 2σ ligt, dan betekent dit dat de kans dat de uitkomst buiten dit interval ligt 100% ‐ 95,44% = 4,56% bedraagt. Indien vervolgens alleen gekeken wordt naar de kans dat de uitkomst kleiner is dan Rgem ‐ 2σ, dan is de kans daarop 4,56% / 2 = 2,28%. Wanneer sprake is van een normale verdeling, kan het risico uitgedrukt worden als de kans dat een uitkomst boven of beneden een bepaalde waarde komt. In de VaR‐benadering wordt hiervan gebruik gemaakt en kan aldus het maximale verlies met een gekozen betrouwbaarheidsinterval bepaald worden. 0,5
99,7%
95,4%
0,4
68,3%
0,3
0,2
0,1
0,0
1
2
3
4
5
‐3σ
6
‐2σ 7 ‐1σ 8 Rgem 9 1σ 10 2σ 11 3σ 12
13
14
15
16
Figuur b1.1: weergave van normale verdeling met bijhorende betrouwbaarheidsintervallen 1.4 Voorbeeld VaR­berekening Hierna volgt een voorbeeld van een numerieke VaR‐berekening, gegeven een histogram van de kansverdeling van rendementen van een fictieve beleggingsportefeuille. Zoals in figuur b1.2 te zien is, fluctueren de jaarlijkse opbrengsten rond een gemiddelde van € 7,6 miljoen. Vanuit beleggingsperspectief is deze gemiddelde resulterende waarde van belang, echter vanuit risicobeheersing zijn de verliezen aan de meest linkerkant van de verdeling juist belangrijk. Uit de figuur blijkt voorts dat in een aantal jaren verliezen zijn gerealiseerd tot wel € 10 miljoen en dat in een kleiner aantal jaren verliezen zijn gerealiseerd binnen een bandbreedte van € 10 miljoen tot € 15 miljoen. Voorts zijn er twee jaren geweest met erg grote verliezen, te weten van € 23 miljoen en € 26 miljoen. 49 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk VaRabs
Rgem
20
VaRrel
frequentie (jaar)
16
€ 19,0
12
8
4
0
‐30 ‐27 ‐24 ‐21 ‐18 ‐15 ‐12
‐9
€ ‐11,4
‐6
‐3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
€ 7,6
jaarlijkse opbrengst (* € 1 mln.)
Figuur b1.2: verdeling van jaarlijkse opbrengsten van een fictieve beleggingsportefeuille Om de VaR te bepalen, wordt eerst het betrouwbaarheidsinterval gekozen, op basis waarvan de intervalgrens kan worden verkregen die de linker staart van de rest van de verdeling scheidt. Er wordt gekozen voor een 95% betrouwbaarheidsinterval, waarbij de VaR alle verliezen meeneemt, op de grootste 5% verliezen na. De bijhorende intervalgrens‐waarde ligt ongeveer bij € ‐11,4 miljoen, oftewel een verlies van € 11,4 miljoen. Er kan nu gezegd worden dat in 5 op de 100 gevallen een verlies verwacht kan worden dat groter is dan € 11,4 miljoen. Anders gezegd is het maximale verlies in 95 van de 100 gevallen niet groter dan € 11,4 miljoen. VaR kan in termen van absoluut verlies worden gegeven, of in termen van relatief verlies. De eerste is eenvoudigweg de meest negatieve waarde (of in elk geval de laagste waarde) die voor kan komen binnen een gegeven betrouwbaarheidsinterval, gemeten vanaf de huidige positie, in het voorbeeld € 11,4 miljoen. De tweede betreft het maximale bedrag dat als verlies kan worden geleden, gemeten in relatie tot de verwachte opbrengst aan het einde van de beschouwde periode. Deze laatste is de relatieve VaR ten opzichte van het gemiddelde en kan berekend worden door de gemiddelde opbrengst bij het absoluut verlies op te tellen. In het voorbeeld is de relatieve VaR gelijk aan € 7,6 miljoen plus € 11,4 miljoen, oftewel € 19 miljoen. Aangezien de absolute VaR niet altijd een verlies hoeft te zijn (bijvoorbeeld in het geval dat in geen enkel jaar een negatieve opbrengst is gerealiseerd), en de VaR juist het verlies in beeld brengt, verdient de relatieve VaR de voorkeur. 1.5 Wortel­t formule De Var methode maakt gebruik van de zogenaamde wortel‐t formule om van een holding period van één dag om te schakelen naar een langere holding period. Dit kan op basis van de ‘Root Mean Square’‐regel, een statistische ingreep, gebaseerd op ‘Geometric Brownian Motion’ (GBM). GBM beschrijft hoe bijvoorbeeld aandelenkoersen in de tijd gezien willekeurig bewegen ten opzichte van de huidige positie, op dergelijke wijze dat dagelijkse koersverschillen normaal verdeeld zijn. 50 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Het dagelijkse koersverschil kan vervolgens verschaald worden naar een jaarlijks koersverschil. Indien de standaarddeviatie op dagbasis bepaald is, kan deze aangepast worden met behulp van de volgende formule [Ameraal en Heezen, 2001]: σt = √t * σd Waarbij: σt = Standaarddeviatie voor een holding period van t t = Aantal dagen waarop de holding period gebaseerd wordt = Standaarddeviatie op basis van een holding period van één dag σd Logischerwijs neemt de VaR toe naarmate de holding period langer is. Dit is echter een gevolg van een langere holding period, niet het gevolg van een groter te lopen risico zelf. Indien voldaan wordt aan normaliteit, dan kan iedere VaR‐waarde voor elke mogelijke combinatie van betrouwbaarheidsinterval en holding period omgerekend worden naar iedere andere combinatie. De veronderstelling van normaliteit maakt de VaR‐methode zodoende erg bruikbaar. 51 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Bijlage II VaR ten behoeve van beleggingsbeslissingen 2.1 Inleiding De VaR kan helpen risico’s inzichtelijk te maken, waarbij vervolgens het al dan niet accepteren van dat risico de volgende stap is in de beheersing ervan. Een belangrijke toepassing van de VaR ligt echter in het kunnen maken van beleggingsbeslissingen. De kern hiervan ligt in de ‘Generalised Sharpe Rule’, welke gebaseerd is op ‘Downside Risk’ en de ‘Moderne Portefeuille Theorie’ (MPT). 2.2 Portefeuillesamenstelling Bij het samenstellen van een portefeuille, dient de belegger uit te gaan van waardecreatie. Een belegger streeft waardecreatie na voor zijn beleggingsportefeuille, gebaseerd op het feit dat het rendement van een beleggingspositie of portefeuille in elk geval de minimale rendementseis moet overtreffen. Waardecreatie kan vanuit een gegeven rendement/risico‐
profiel volgens de Moderne Portefeuille Theorie bereikt worden door [Sharpe e.a., 1985]: ƒ Verhoging van het rendement bij een gelijkblijvend (en bij voorkeur lager) risico‐
profiel; ƒ Verlaging van het risico‐profiel bij een gelijkblijvend (en bij voorkeur hoger) rendement. Bij het samenstellen van een portefeuille door middel van het toevoegen van objecten, dient de belegger zodoende rekening te houden met de invloed ervan op het rendement én op het risico. De VaR‐methode kan ingezet worden om beleggingsbeslissingen te ondersteunen, op basis van het rendement/risico‐profiel van de portefeuille. Om het rendement/risico‐profiel uit te drukken, is de Sharpe ratio ontwikkeld, welke het ‘risk‐adjusted’ rendement weergeeft [Sharpe, 1994]. De Sharpe ratio kan als volgt berekend worden: Sharpe ratio = Re,i / σi met Re = Rgem,i − Rrvr Waarbij: = Excessief rendement belegging i Re,i Gemiddeld rendement belegging i Rgem,i = Rrvr = Risicovrij rendement σi = Standaarddeviatie belegging i De Sharpe ratio geeft zowel het rendement als het daadwerkelijke of te verwachten risico weer in één enkel getal. Een beter rendement of een lager risico komt aldus tot uitdrukking in een hogere Sharpe ratio. Indien een belegger een keuze moet maken tussen twee beleggingen, dan kan hij op eenvoudige wijze beide Sharpe ratio’s vergelijken en de belegging kiezen met de hoogste ratio. Aangezien de betreffende beleggingen echter in meer of mindere mate correleren met de al bestaande portefeuille, geeft de Sharpe ratio op zichzelf een onvolledig beeld van de invloed 52 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk van toevoeging van die belegging op het totale rendement/risico‐profiel. Daarom is de ‘Generalised Sharpe Rule’ ontwikkeld, die de Sharpe ratio van de oude portefeuille vergelijkt met de Sharpe ratio van de nieuwe portefeuille, zijnde de oude portefeuille inclusief te betreffende belegging. Daarbij dient een nieuwe belegging toegevoegd te worden indien geldt: nieuw
= Re,pnieuw / σpnieuw ≥ Sroud = Re,poud / σpoud Sr
Waarbij: Re,p = Excessief rendement portefeuille p = Standaarddeviatie portefeuille p σp 2.3 Downside Risk Hetzelfde principe om beleggingsbeslissingen te ondersteunen, kan geschieden door middel van de VaR‐methode. De daadwerkelijke risico’s dienen daarbij gekwantificeerd te worden door de ‘Downside Risk’‐methode [Sortino e.a., 1991]. De bij deze benadering te hanteren ‘Downside Deviation’ geeft een betere maatstaf voor risico dan de standaarddeviatie, aangezien deze downside deviation als uitgangspunt heeft, dat slechts de risico’s van de resultaten die beneden het gemiddelde liggen worden uitgedrukt. Indien risico beschouwd kan worden als negatief en indien Downside Risk de juiste risico‐indicator is, dan dient de portefeuille samengesteld te worden op basis van Downside Risk‐optimalisatie [Booth e.a., 2005]. De Sharpe‐methode gaat hier niet vanuit, aangezien deze de standaarddeviatie beschouwd en zodoende tevens uitgaat van positieve resultaten vanaf het gemiddelde. Het toepassen van rendement/risico‐optimalisatie met gebruik van Downside Risk zal derhalve leiden tot efficiëntere portefeuilles. Dat is exact waar de VaR‐methode, die op het Downside Risk‐principe gebaseerd is, voor ingezet kan worden. 2.4 Incremental VaR Op basis van de VaR van een portefeuille, kan gekeken worden wat het effect is van het toevoegen van één of meerdere beleggingen op die VaR van de portefeuille. Hiertoe wordt de Incremental VaR (IVaR) geïntroduceerd, waarvoor de volgende formule geldt: nieuw
– VaRoud IVaR = VaR
Deze IVaR kan ook geschreven worden in termen van rendementseisen met betrekking tot de betreffende belegging. De formule daarvoor is als volgt: Ri ≥ [1 + ηi (VaR,a)] * Rpoud Waarbij: = Rendement belegging i Ri ηi(VaR,a) = Percentage verandering VaR door toevoeging van belegging i, gedeeld door de relatieve omvang van die belegging a = Relatieve omvang belegging i, waarbij geldt dat de omvang van de portefeuille gelijk is aan 1 – a 53 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Indien voldaan wordt aan de weergegeven formule, dan kan de belegging i aan de portefeuille toegevoegd kan worden. Tegelijkertijd blijkt hieruit dat, indien dit niet het geval is, de betreffende belegging aan de portefeuille onttrokken dient te worden. Feitelijk is ηi (VaR,a) de elasticiteit van de VaR ten opzichte van a voor de betreffende belegging. Deze elasticiteit is een indicator voor de toename van het portefeuillerisico, gecorrigeerd voor de relatieve omvang a. Uit de formule blijkt dat het rendement van belegging i minstens zo groot moet zijn als het rendement van de bestaande portefeuille maal 1 plus de elasticiteit. Des te groter de elasticiteit, oftewel des te hoger de IVaR, des te groter het risico van de betreffende belegging en des te hoger de rendementseis [Dowd, 1999]. 54 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Bijlage III Standaard normale tabel 55 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk 56 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Bijlage IV Resultaten analyse datareeksen Datareeks jaarindex Year
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Analysis
Mean
Standard Error
Median
Mode
Standard Deviation
Sample Variance
Kurtosis
Skewness
Range
Minimum
Maximum
Sum
Count
Jarque Bera
p‐value
Hill tail‐index
Total Return
Capital Growth Income Return
25,3%
18,7%
6,5%
8,7%
2,6%
6,1%
11,5%
5,9%
5,6%
12,2%
6,6%
5,6%
10,3%
4,7%
5,6%
‐2,0%
‐8,1%
6,1%
‐3,8%
‐10,8%
7,0%
4,4%
‐2,8%
7,2%
‐2,9%
‐10,1%
7,2%
9,3%
2,3%
7,0%
7,7%
0,5%
7,2%
8,4%
1,4%
7,0%
3,7%
‐3,0%
6,7%
13,2%
7,2%
6,1%
8,4%
2,0%
6,4%
‐4,7%
‐11,3%
6,6%
3,8%
‐3,1%
6,9%
6,1%
‐0,9%
7,0%
8,5%
0,0%
8,5%
8,6%
0,3%
8,2%
11,8%
3,3%
8,3%
14,3%
5,5%
8,4%
15,5%
6,9%
8,1%
15,1%
6,9%
7,7%
11,9%
4,1%
7,5%
8,3%
0,8%
7,5%
5,2%
‐2,1%
7,4%
5,5%
‐1,7%
7,3%
7,0%
0,1%
6,9%
11,5%
4,3%
7,0%
11,3%
4,6%
6,4%
Total Return
Capital Growth
Income Return
8,20%
1,13%
7,00%
1,11%
1,10%
0,15%
8,50%
1,40%
7,01%
#N/A
6,9%
7,0%
6,19%
6,12%
0,81%
0,38%
0,37%
0,01%
1,35 1,62 ‐0,46 ‐0,04 0,08 0,05 30,0%
30,0%
2,9%
‐4,7%
‐11,3%
5,6%
25,3%
18,7%
8,5%
254,2%
34,9%
217,0%
31 31 31 0,94 0,94 0,94 62,1%
41,4%
38,1%
5,78 4,71 22,15 57 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Kansverdeling jaarindex Probability Density Function
0,28
0,26
0,24
0,22
0,2
0,18
f(x)
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
‐0,04
‐0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0,22
0,24
x
Ja arindex ‐ Tota al rendement
Norma l
Probability Density Function
0,24
0,22
0,2
0,18
0,16
f(x)
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
‐0,1
‐0,08
‐0,06
‐0,04
‐0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
x
Ja a ri ndex ‐ Indi rect rendement
Norma l
Probability Density Function
0,24
0,22
0,2
0,18
0,16
f(x)
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0,056
0,058
0,06
0,062
0,064
0,066
0,068
0,07
0,072
0,074
0,076
0,078
0,08
0,082
0,084
x
Ja arindex ‐ Di rect rendement
Normal
58 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Datareeks kwartaalindex Year
Q4 1999
Q1 2000
Q2 2000
Q3 2000
Q4 2000
Q1 2001
Q2 2001
Q3 2001
Q4 2001
Q1 2002
Q2 2002
Q3 2002
Q4 2002
Q1 2003
Q2 2003
Q3 2003
Q4 2003
Q1 2004
Q2 2004
Q3 2004
Q4 2004
Q1 2005
Q2 2005
Q3 2005
Q4 2005
Q1 2006
Q2 2006
Q3 2006
Q4 2006
Q1 2007
Q2 2007
Q3 2007
Q4 2007
Q1 2008
Total Return
Capital Growth Income Return
4,4%
2,5%
1,9%
5,8%
3,8%
2,0%
2,5%
0,6%
1,9%
3,0%
1,2%
1,8%
2,8%
0,9%
1,8%
2,8%
1,0%
1,9%
4,4%
2,6%
1,8%
2,6%
0,9%
1,8%
0,7%
‐1,0%
1,7%
2,3%
0,5%
1,9%
1,2%
‐0,6%
1,8%
1,7%
‐0,1%
1,8%
2,2%
0,5%
1,8%
1,0%
‐0,8%
1,8%
1,8%
0,0%
1,8%
0,9%
‐0,9%
1,8%
0,5%
‐1,3%
1,8%
1,2%
‐0,6%
1,8%
1,2%
‐0,6%
1,8%
2,7%
0,9%
1,8%
1,1%
‐0,7%
1,7%
1,2%
‐0,5%
1,7%
1,6%
‐0,1%
1,7%
2,1%
0,5%
1,7%
1,8%
0,3%
1,5%
1,9%
0,3%
1,7%
2,2%
0,6%
1,7%
3,6%
1,9%
1,7%
2,7%
1,0%
1,6%
3,0%
1,3%
1,6%
2,6%
1,0%
1,6%
2,7%
1,1%
1,6%
2,6%
1,0%
1,6%
2,1%
0,5%
1,6%
Analysis
Total Return
Mean
Standard Error
Median
Mode
Standard Deviation
Sample Variance
Kurtosis
Skewness
Range
Minimum
Maximum
Sum
Count
Jarque Bera
p‐value
Hill tail‐index
Capital Growth
Income Return
2,27%
0,52%
1,74%
0,19%
0,19%
0,02%
2,23%
0,49%
1,76%
2,7%
1,0%
1,6%
1,13%
1,11%
0,10%
0,01%
0,01%
0,00%
1,77 1,30 ‐0,68 1,02 0,86 ‐0,17 5,2%
5,1%
0,4%
0,5%
‐1,3%
1,5%
5,8%
3,8%
2,0%
77,0%
17,6%
59,2%
34 34 34 9,77 9,77 9,77 0,8%
4,9%
25,4%
3,58 1,79 57,05 59 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Kansverdeling kwartaalindex Probability Density Function
0,36
0,32
0,28
f(x)
0,24
0,2
0,16
0,12
0,08
0,04
0
0,008
0,012
0,016
0,02
0,024
0,028
0,032
0,036
0,04
0,044
0,048
0,052
0,056
x
Kwa rtaa li ndex ‐ Tota al rendement
Norma l
Probability Density Function
0,48
0,44
0,4
0,36
0,32
f(x)
0,28
0,24
0,2
0,16
0,12
0,08
0,04
0
‐0,012
‐0,008
‐0,004
0
0,004
0,008
0,012
0,016
0,02
0,024
0,028
0,032
0,036
x
Kwarta al i ndex ‐ Indirect rendement
Norma l
Probability Density Function
0,4
0,36
0,32
0,28
f(x)
0,24
0,2
0,16
0,12
0,08
0,04
0
0,0156
0,016
0,0164
0,0168
0,0172
0,0176
0,018
0,0184
0,0188
0,0192
0,0196
x
Kwa rtaa li ndex ‐ Direct rendement
Norma l
60 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Datareeks portefeuilleselectie Year
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Analysis
Mean
Standard Error
Median
Mode
Standard Deviation
Sample Variance
Kurtosis
Skewness
Range
Minimum
Maximum
Sum
Count
Jarque Bera
p‐value
Hill tail‐index
Total Return
Capital Growth Income Return
9,9%
1,6%
8,2%
9,8%
1,4%
8,2%
13,9%
5,4%
8,0%
14,8%
6,3%
8,1%
16,5%
8,1%
7,8%
16,9%
8,9%
7,4%
12,8%
5,3%
7,2%
9,6%
2,0%
7,4%
5,8%
‐1,6%
7,6%
5,9%
‐1,7%
7,7%
5,9%
‐1,5%
7,6%
13,1%
5,4%
7,5%
11,2%
4,2%
6,8%
Total Return
Capital Growth
Income Return
11,24%
3,37%
7,66%
1,07%
1,00%
0,12%
11,16%
4,19%
7,60%
#N/A
#N/A
#N/A
3,85%
3,62%
0,42%
0,15%
0,13%
0,00%
‐1,11 ‐1,17 0,31 ‐0,13 ‐0,13 ‐0,54 11,0%
10,6%
1,5%
5,8%
‐1,7%
6,8%
16,9%
8,9%
8,2%
146,1%
43,8%
99,6%
13 13 13 9,88 9,88 9,88 0,7%
0,6%
14,2%
‐ ‐ ‐ 61 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Kansverdeling portefeuilleselectie Probability Density Function
0,32
0,28
0,24
f(x)
0,2
0,16
0,12
0,08
0,04
0
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
x
Portefeuil le ‐ Tota al rendement
Norma l
Probability Density Function
0,32
0,28
0,24
f(x)
0,2
0,16
0,12
0,08
0,04
0
‐0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
x
Portefeui ll e ‐ Indirect rendement
Norma l
Probability Density Function
0,4
0,36
0,32
0,28
f(x)
0,24
0,2
0,16
0,12
0,08
0,04
0
0,068
0,069
0,07
0,071
0,072
0,073
0,074
0,075
0,076
0,077
0,078
0,079
0,08
0,081
0,082
x
Portefeuil le ‐ Direct rendement
Normal
62 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Numerieke VaR‐berekening Jaarindex
Rgem
σ
Revenues
Total Return
Capital Growth
Cash Return
8,20%
1,13%
7,00%
6,19%
6,12%
0,81%
€ 106.616.729 € 14.641.948 € 91.010.265
α
R' obv 95%
VaR absoluut obv 95%
VaR relatief obv 95%
‐3,34%
‐10,44%
5,59%
€ 43.361.008 € 135.655.979 € ‐72.734.024
€ 149.977.737 € 150.297.927 € 18.276.240
α
R' obv 99%
VaR absoluut obv 99%
VaR relatief obv 99%
‐4,40%
‐11,14%
5,59%
€ 57.200.616 € 144.849.862 € ‐72.734.024
€ 163.817.344 € 159.491.810 € 18.276.240
Kwartaalindex
Rgem
σ
Revenues
Total Return
Capital Growth
Cash Return
2,27%
0,52%
1,74%
1,13%
1,11%
0,10%
€ 29.445.169 € 6.728.812 € 22.639.886
α
R' obv 95%
VaR absoluut obv 95%
VaR relatief obv 95%
0,84%
‐0,92%
1,60%
€ ‐10.890.729 € 11.918.163 € ‐20.800.000
€ 18.554.439 € 18.646.975 € 1.839.886
α
R' obv 99%
VaR absoluut obv 99%
VaR relatief obv 99%
0,60%
‐1,18%
1,56%
€ ‐7.843.328 € 15.298.614 € ‐20.305.345
€ 21.601.841 € 22.027.426 € 2.334.542
Portefeuilleselectie
Rgem
σ
Revenues
Total Return
Capital Growth
Cash Return
11,24%
3,37%
7,66%
3,85%
3,62%
0,42%
€ 146.117.360 € 43.755.418 € 99.581.795
α
R' obv 95%
VaR absoluut obv 95%
VaR relatief obv 95%
5,88%
‐1,66%
7,03%
€ ‐76.406.184 € 21.575.202 € ‐91.334.361
€ 69.711.177 € 65.330.620 € 8.247.434
α
R' obv 99%
VaR absoluut obv 99%
VaR relatief obv 99%
5,84%
‐1,69%
6,81%
€ ‐75.862.180 € 21.920.973 € ‐88.511.605
€ 70.255.180 € 65.676.390 € 11.070.190 63 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Parametrische VaR‐berekening op basis van normale verdeling Jaarindex
Rgem
σ
Revenues
Total Return
Capital Growth
Cash Return
8,20%
1,13%
7,00%
6,19%
6,12%
0,81%
€ 106.616.729 € 14.641.948 € 91.010.265
α
R' obv 95%
VaR absoluut obv 95%
VaR relatief obv 95%
‐1,65
‐1,65
‐1,65
‐2,01%
‐8,97%
5,67%
€ 26.128.436 € 116.566.295 € ‐73.687.084
€ 132.745.165 € 131.208.243 € 17.323.181
α
R' obv 99%
VaR absoluut obv 99%
VaR relatief obv 99%
‐2,33
‐2,33
‐2,33
‐6,22%
‐13,13%
5,12%
€ 80.835.534 € 170.639.995 € ‐66.547.834
€ 187.452.263 € 185.281.943 € 24.462.431
Kwartaalindex
Rgem
σ
Revenues
Total Return
α
R' obv 95%
VaR absoluut obv 95%
VaR relatief obv 95%
‐1,65
‐1,65
‐1,65
0,40%
‐1,31%
1,58%
€ ‐5.256.355 € 17.017.303 € ‐20.476.008
€ 24.188.813 € 23.746.115 € 2.163.878
α
R' obv 99%
VaR absoluut obv 99%
VaR relatief obv 99%
‐2,33
‐2,33
‐2,33
‐0,36%
‐2,06%
1,51%
€ 4.712.368 € 26.803.581 € ‐19.584.228
€ 34.157.536 € 33.532.392 € 3.055.659
Portefeuilleselectie
Rgem
σ
Revenues
Total Return
α
R' obv 95%
VaR absoluut obv 95%
VaR relatief obv 95%
‐1,65
‐1,65
‐1,65
4,89%
‐2,61%
6,97%
€ ‐63.629.686 € 33.957.083 € ‐90.577.810
€ 82.487.674 € 77.712.501 € 9.003.985
α
R' obv 99%
VaR absoluut obv 99%
VaR relatief obv 99%
‐2,33
‐2,33
‐2,33
2,28%
‐5,08%
6,68%
€ ‐29.634.766 € 65.984.053 € ‐86.867.077
€ 116.482.595 € 109.739.470 € 12.714.718 Capital Growth
Cash Return
2,27%
0,52%
1,74%
1,13%
1,11%
0,10%
€ 29.445.169 € 6.728.812 € 22.639.886
Capital Growth
Cash Return
11,24%
3,37%
7,66%
3,85%
3,62%
0,42%
€ 146.117.360 € 43.755.418 € 99.581.795
64 Master Thesis ‐ MSRE De waarde van Value at Risk Parametrische VaR‐berekening op basis van Student‐t verdeling Jaarindex
Rgem
σ
k
θ
S' obv 95%
R' obv 95%
VaR absoluut obv 95%
VaR relatief obv 95%
Total Return
S' obv 99%
R' obv 99%
VaR absoluut obv 99%
VaR relatief obv 99%
‐3,364929997
‐3,746947388
‐2,50832455
‐8,64%
‐16,26%
5,07%
€ 112.306.972 € 211.368.733 € ‐65.892.669
€ 218.923.701 € 226.010.680 € 25.117.596
Kwartaalindex
Rgem
σ
k
θ
S' obv 95%
R' obv 95%
VaR absoluut obv 95%
VaR relatief obv 95%
Total Return
2,27%
1,13%
3,58
133,46
2,35‐
0,50%
€ ‐6.521.134
€ 22.924.035
1,74%
0,10%
57,05
1.009,12
1,67‐
1,58%
€ ‐20.485.900
€ 2.153.987
S' obv 99%
R' obv 99%
VaR absoluut obv 99%
VaR relatief obv 99%
‐4,54
‐1,14%
€ 14.785.667
€ 44.230.836
‐2,39
1,50%
€ ‐19.556.379
€ 3.083.507
Portefeuilleselectie
Rgem
σ
k
theta
S' obv 95%
R' obv 95%
VaR absoluut obv 95%
VaR relatief obv 95%
Total Return
8,20%
6,19%
5,78
19,98
2,02‐
‐1,88%
€ 24.483.130
€ 131.099.859
Capital Growth
1,13%
6,12%
4,71
21,55
2,13‐
‐8,77%
€ 113.948.100
€ 128.590.047
Capital Growth
Capital Growth
Cash Return
7,00%
0,81%
22,15
129,82
1,72‐
5,68%
€ ‐73.815.306
€ 17.194.959
Cash Return
Cash Return
S' obv 99%
R' obv 99%
VaR absoluut obv 99%
VaR relatief obv 99%
65