Driehoeken

4
Driehoeken
Dit kun je al
1ruimtefiguren herkennen
2hoeken meten en tekenen
3oppervlakte berekenen van vierhoeken
4volume berekenen van balk en kubus
Test jezelf
Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel.
Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek.
A
1
2
3
4
B
C
Verder
oefenen?
Welke ruimtefiguur herken je?
piramide
driehoek
prisma
oef. 519
85°
95°
75°
oef. 516
18 m2
18 dm2
90 dm2
oef. 694
24 dm3
96 dm3
240 dm3
oef. 704
Hoe groot is A?
A
Een rechthoek heeft een lengte van 4 m en een breedte van
45 dm. Bereken de oppervlakte.
De oppervlakte van het grondvlak van een balk is 4 dm2.
De hoogte van de balk is 60 cm. Bereken het volume.
Dit heb je nodig
Inhoud
• leerwerkboek p. 75-92
• oefenboek p. 237-252
• geodriehoek
• passer
• rekenmachine
• kleurpotloden
M18
M19
M20
M21
Driehoeken in de ruimte
Driehoeken tekenen
Merkwaardige lijnen in een driehoek
Omtrek, oppervlakte en volume
p. 76
p. 80
p. 84
p. 88
75
M18
Driehoeken in de ruimte
Op verkenning
a
Begrippen
•
•
•
•
•
•
driehoek
........................................................................... . . . . . .
Van welke ruimtefiguur is deze vlakke figuur een grensvlak op de tweede foto ? piramide
......................................................... . . . . . .
grondvlak
= veelhoek
Hoe herken je deze ruimtefiguur?
...........................................................................
......
zijvlakken=
driehoeken . . . . . .
...........................................................................
prisma
Van welke ruimtefiguur is de driehoek een grensvlak op de derde foto ? .........................................................................
......
driehoek
Welke vorm hebben grond- en bovenvlak op de derde foto?
...........................................................................
......
neen
Zijn grond- en bovenvlak steeds driehoeken?
...........................................................................
......
Welke vlakke figuur herken je op alle foto’s?
Wiskundetaal –begrippen
Een driehoek wordt bepaald
door drie punten die niet op
dezelfde rechte liggen.
A
Δ ABC lees je als driehoek ABC
A : de overstaande hoek van [BC]
A : de ingesloten hoek van [AB] en [AC]
B en C : de aanliggende hoeken van [BC]
B
C
Een piramide is een ruimtefiguur begrensd door een veelhoek met n zijden en
n driehoeken.
T
de tophoek: T
het grondvlak: veelhoek ABCDE
de hoogte: | TF |
E
D
A
F
B
C
Een prisma is een ruimtefiguur die begrensd is door
twee evenwijdige veelhoeken
en waarvan de opstaande
zijvlakken parallellogrammen
zijn.
grondvlak: veelhoek ABCDE
bovenvlak: veelhoek FGHIJ
I
H
G
F
D
E
C
B
b
A
Indelingvandriehoeken
• Vul onderstaande tabel aan.
aantal even lange zijden
aantal scherpe hoeken
aantal stompe hoeken
aantal rechte hoeken
76
J
driehoeken
Foto1
Foto2
Foto3
Foto4
0
2
0
1
3
3
0
0
2
2
1
0
2
2
0
1
Driehoeken kun je op twee manieren indelen: volgens de zijden en volgens de hoeken. Elke driehoek krijgt dus
een dubbele naam.
Volgend schema kan je daarbij helpen.
Is er een rechte hoek?
ja
Zijn er twee even
lange zijden?
ja
nee
nee
rechthoekige
gelijkbenige
driehoek
rechthoekige
ongelijkbenige
driehoek
Is er een stompe hoek?
zijn er twee even
lange zijden?
ja
ja
stomphoekige
gelijkbenige
driehoek
nee
stomphoekige
ongelijkbenige
driehoek
nee
Zijn er twee even
lange zijden?
ja
Zijn er drie even
lange zijden?
nee
scherphoekige
ongelijkbenige
driehoek
•
ja
scherphoekige
gelijkzijdige
driehoek
nee
scherphoekige
gelijkbenige
driehoek
Welke twee benamingen kun je geven aan de driehoeken op de foto’s uit vorige tabel? Zeg ook waarom.
Foto1
volgens de zijden
verklaring
volgens de hoeken
verklaring
Foto2
Foto3
Foto4
ongelijkbenige gelijkzijdige gelijkbenige gelijkbenige
Δ
Δ
Δ
Δ
alle zijden
minstens 2
minstens 2
alle zijden
hebben een
zijden zijn
zijden zijn
hebben
verschillende
even lang
dezelfde lengte even lang
lengte
rechthoekige scherphoekige stomphoekige rechthoekige
Δ
Δ
Δ
Δ
er is een rechte alle hoeken
zijn scherp
hoek
er is een rechte
er is een
hoek
stompe hoek
77
Driehoeken in de ruimte (vervolg)
M18
B
D C
A
Wiskundetaal –definities
DefInITIe
A
B
D C
Een ongelijkbenigedriehoek is een driehoek waarvan de drie zijden een verschillende lengte hebben.
E
K
Een rechthoekigedriehoek is een driehoek met een
rechte hoek.
J
L
M
I
N ΔKLM is
O
scherphoekig
B
P
R
O
Q
P
S
R
Q ΔNOP is
rechthoekig
S
ΔQRS is
stomphoekig
E
S
[DF ]:basis
C
[ BC ]: schuine zijde of hypotenusa
[ AB ] en [ AC ]: rechthoekszijden
O
R
Q gelijkbenigedriehoek
rechthoekigedriehoek
A
N
P
Wiskundetaal –begrippen B
A: rechte hoek
M ΔHIJ is
ongelijkbenig
I
N
K
IL
L
J
M
H
Een scherphoekigedriehoek is een driehoek met
drie scherpe hoeken.
J
H
KΔDEF is
gelijkzijdig
F
Wiskundetaal –definities
E
F
ΔABC is
gelijkbenig
Een stomphoekigedriehoekis een driehoek met
een stompe hoek.
H
D C
Een gelijkzijdigedriehoek is een driehoek met drie
even lange zijden.
DefInITIe
F
B
Een gelijkbenigedriehoek is een driehoek met
minstens twee even lange zijden.
E
[ DE ]en [EF ]:benen of opstaande zijden
A
C
E
E: tophoek
D en F: basishoeken
Weer?
739
Meer?
740
78
1
2
B
Vulaan.
a
De overstaande hoek van [ AB ] is . . . . . . . . . . . C
............... .
b
De aanliggende hoeken van [ CB ] zijn . . . . . B
. . . . . .en
. . . . . . . .C
....... .
c
C is de ingesloten hoek van zijde . . . . . . . .[AC]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . en . . . . . . . .[BC]
.................. .
d
A is de overstaande hoek van . . . . . . . .[BC]
.................. .
A
VandriehoekABCisdegroottevandehoekengegeven.Geefdepassendenaamvolgensdehoeken.
|A|
|B |
|C|
naam
40°
45°
95°
stomphoekige driehoek
68°
62°
50°
scherphoekige driehoek
26°
90°
64°
rechthoekige driehoek
120°
17°
43°
stomphoekige driehoek
driehoeken
F
D
Oefeningen
Weer?
738
F
D
C
3
ongelijkbenige
driehoek
gelijkbenige
driehoek
11
1
gelijkzijdige
driehoek
scherphoekige
driehoek
X
22
2
X
33
3
X
5
5
rechthoekige
driehoek
stomphoekige
driehoek
X
X
X
X
X
X
Zijndeuitsprakenjuistoffout?Tekeneentegenvoorbeeldalsdeuitspraakfoutis.
juist/fout
a
b
c
d
Een rechthoekige driehoek is
nooit gelijkbenig.
Een rechthoekige driehoek kan
twee rechte hoeken hebben.
Een gelijkzijdige driehoek is
altijd scherphoekig.
Een driehoek met een scherpe
hoek is een scherphoekige
driehoek.
Meer?
742
X
44
4
Weer?
741
Meetdezijdenendehoeken.Zeteenkruisjeindepassendekolommen.
tegenvoorbeeld
Weer?
743
744
Meer?
745
746
fout
fout
Als er twee hoeken van 90°
zijn, kun je de driehoek niet
dichtmaken.
juist
fout
Wat moet je kunnen?
τ de verschillende soorten driehoeken herkennen
τ de definities van de verschillende soorten driehoeken correct formuleren
79
M19
Driehoeken tekenen
Op verkenning
Een architect maakt een maquette van een woning.
Hij heeft een foto gemaakt van een deur die hij wil
gebruiken. De driehoeken moeten uit karton worden
gesneden. De architect voerde al de nodige metingen
uit.
a
Driehoekwaarvantweezijdenendeingeslotenhoekgegevenzijn
Driehoek 1: Rechthoekige driehoek met rechthoekszijden gelijk aan
3 cm en 2 cm.
•
Hoe kun je deze driehoek tekenen?
Teken eerst een zijde [AB] van 3 cm.
een rechte hoek in het grens.Teken
. . . . . . . . . . . . ...................................................................................
A. Teken grenspunt C op de
.punt
. . . . . . . . . . . . ...................................................................................
rechthoekszijde op 2 cm
.tweede
. . . . . . . . . . . . ...................................................................................
Verbind B en C.
.van
. . . . . . . . . . . .A.
...................................................................................
. . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
C
2 cm
. . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
•
3 cm
A
. . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
B
Teken de driehoek.
Stappenplan –driehoektekenenwaarvantweezijdenendeingeslotenhoekgegevenzijn
 Teken een zijde.
 Teken vanuit een grenspunt de gegeven hoek.
 Meet op het tweede been van de hoek de
lengte van de tweede zijde af.
 Verbind de hoekpunten.
ΔABC met |AB| = 3 cm, |AC| = 2 cm en | A | = 55°
A
B
C
A
b
A
B
C
B
2 cm
55°
A
3 cm
B
Driehoekwaarvaneenzijdeendetweeaanliggendehoekengegevenzijn
Driehoek 2: Een zijde van de driehoek is 1,5 cm en de aanliggende hoeken aan die zijde zijn 120° en 40° groot.
•
Hoe kun je deze driehoek tekenen?
Teken een zijde [AB] van 1,5 cm. Teken in het grenspunt A een hoek van 120°,
[AB een been is van die hoek en in B een hoek van 40°, waarbij AB] een
.waarbij
. . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
is aan die hoek.
.been
. . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
benen van beide hoeken komen samen in punt C.
.De
. . . . . . . . .andere
. . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
80
driehoeken
•
Teken de driehoek.
C
120°
40°
A 1,5 cm B
Stappenplan –driehoektekenenwaarvaneenzijdeendetweeaanliggendehoekengegevenzijn
 Teken de zijde.
 Teken vanuit het ene grenspunt van het lijnstuk een hoek.
 Teken vanuit het andere grenspunt van het
lijnstuk de andere hoek.
 Het snijpunt van de benen van de hoeken is
het derde hoekpunt van de driehoek.
ΔDEF met |EF| = 4 cm, | E | = 60° en | F | = 45°
E
F
F
D
E
c
E
F
E
60°
45°
4 cm
F
Eendriehoekwaarvandelengtenvandezijdengegevenzijn
Driehoek 3: De drie zijden hebben een lengte van 3 cm, 4 cm en 1,5 cm.
•
Teken deze driehoek met je geodriehoek op een apart blad. Lukt dit?
•
Hoe kun je het probleem oplossen?
•
Hoe teken je dan de driehoek?
moeilijk
Je kunt een passer gebruiken.
............................................................................
.......
............................................................................ . . . . . . .
Je
een zijde van 3 cm [AB]. Je plaatst het passerpunt in A en tekent een. . . . . . .
. . . . . . . tekent
. . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
boog
op 4 cm. Je plaatst het passerpunt in B en tekent een boog op 1,5 cm. Je. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
verbindt
het snijpunt van de boogjes met de grenspunten van het lijnstuk [AB].
. . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
•
Construeer de driehoek.
A
3 cm
B
81
M19
Driehoeken tekenen (vervolg)
Stappenplan –driehoektekenenwaarvandelengtevandedriezijdengegevenzijn
 Teken een zijde.
ΔGHI met |GH| = 4 cm, |GI| = 2,5 cm, |HI| = 3 cm
 Pas met de passer de lengte van een
tweede zijde af op de geodriehoek. Zet
vervolgens de passerpunt in een grenspunt van het lijnstuk en teken een
boogje.
G
H
G
 Pas met de passer de lengte van de
derde zijde af op de geodriehoek. Zet
de passerpunt in het andere grenspunt en teken een boogje dat het eerste boogje snijdt.
2,5 cm
 Teken de twee ontbrekende zijden
door de grenspunten van het lijnstuk
G
G
H
met de snijpunten van de passerbogen
te verbinden.
H
3 cm
4 cm
H
CONTROLE10 Teken een gelijkzijdige driehoek met zijden van 3 cm.
3 cm
Oefeningen
Weer?
748
Meer?
749
5
Tekendegevraagdedriehoeken.
a
ΔABC zodat |AB| = 4 cm, | A | = 40° en | B | = 56°
b
ΔGHI zodat |GH| = 3,5 cm; |HI| = 2 cm en |H| = 100°
C
I
2 cm
56°
B
82
driehoeken
100°
40°
4 cm
A
G
3,5 cm
H
c
ΔJKL zodat | J | = 90° en de rechthoekszijden gelijk
zijn aan 2,5 cm en 4 cm
d
gelijkbenige ΔMNO zodat tophoek O gelijk is aan
76° en de benen gelijk zijn aan 3 cm
L
O
76°
3 cm
2,5 cm
3 cm
90°
J
e
N
K
4 cm
gelijkzijdige ΔPQR met een zijde van 2,5 cm
f
M
ΔSTU zodat |ST| = 3 cm, |TU| = 4 cm
en |SU| = 5 cm
T
P
3 cm
Q
6
2,5 cm
R
S
4 cm
5 cm
U
Oponderstaandetekeningvaneentempelontbreekthetfronton.Alsjeweetdathetfrontoneen
gelijkbenigedriehoekiswaarvandebasishoekengelijkzijnaan25°,vuldandetekeningaan.
Weer?
750
Meer?
751
752
25°
7
25°
Eenterrasheeftdevormvaneenrechthoekigedriehoek.Derechthoekszijdenzijn7men5mlang.Tekendit
terrasopschaal1:200.
Wat moet je kunnen?
τ driehoeken tekenen waarvan de nodige gegevens bekend zijn
Weer?
753
Meer?
754
83
M20
Merkwaardige lijnen in een driehoek
Op verkenning
a
Zwaartelijnineendriehoek
•
Knip een driehoek uit een stuk karton. Leg de driehoek op de rand van je meetlat, zodat een hoekpunt op de
lat ligt. Zoek een positie waarbij de driehoek in evenwicht ligt.
•
Teken op de driehoek de rechte lijn waarmee hij op de meetlat rust.
•
Bekijk goed de positie van de rechte lijn. Wat stel je vast?
De
gaat door het midden van de overstaande zijde.
. . . . . . . . . .rechte
. . . .........................................................................................................................................................................................................
......
•
De rechte lijn die je tekende, noem je een zwaartelijn van de driehoek.
Ze zorgt ervoor dat de driehoek in evenwicht blijft.
•
Hoeveel zwaartelijnen kun je in een driehoek tekenen?
•
Teken de zwaartelijn uit  in de onderstaande driehoek.
3
............................................................................. . . . . . .
–
Bepaal met je geodriehoek het midden van [BC]. Noem dit midden M.
–
Teken een rechte door A en M.
A
N
O
Z
B
M
C
•
Teken ook de zwaartelijnen uit B en C. Wat valt op?
De
snijden elkaar in één punt Z.
. . . . . . . . .zwaartelijnen
. . . . .........................................................................................................................................................................................................
......
Wiskundetaal –definitie
DefInITIe
Een zwaartelijn van een driehoek is een rechte
door een hoekpunt van een driehoek en door het
midden van de overstaande zijde.
z
A
B
Tekenafspraak: plaats bij een zwaartelijn steeds
merktekens voor gelijke afstanden.
M
C
z is een zwaartelijn van ΔABC
b
D
Hoogtelijnineendriehoek
•
Wat moet je tekenen om de afstand van D tot [ FE ] te bepalen?
De
uit D op EF.
. . . . . . . . .loodlijn
. . . . ............................................................................................
•
Teken die loodlijn. Deze loodlijn is een hoogtelijn van de driehoek.
•
Teken de hoogtelijnen uit E en F . Wat valt op?
H
De
snijden elkaar in één punt H.
. . . . . . . . .hoogtelijnen
. . . . ............................................................................................
F
84
driehoeken
E
•
Teken in volgende driehoek de hoogtelijn vanuit H.
–
Wat stel je vast als je de hoogtelijn wilt tekenen vanuit H?
–
Je kunt geen loodlijn tekenen uit H op het lijnstuk GI maar wel op de drager
dat lijnstuk .
.van
. . . .........................................................................................................................................................................................................
......
Teken
eerst de rechte GI.
Hoe los je dat probleem op?
.....................................................................................
......
–
Teken de hoogtelijn.
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
H
G
I
Wiskundetaal –definitie
DefInITIe
Een hoogtelijn van een driehoek is een rechte door
een hoekpunt en loodrecht op de drager van de
overstaande zijde.
D
E
P
Tekenafspraak: plaats bij een hoogtelijn steeds een
merkteken bij de rechte hoek.
h
F
h is een hoogtelijn van ΔDEF
c
Middelloodlijnineendriehoek
•
Teken de middelloodlijn van [FG] in driehoek EFG.
E
F
M
G
•
Teken ook de middelloodlijnen van [EF] en [EG]. Wat valt op?
De middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt M.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Wiskundetaal –definitie
DefInITIe
Een middelloodlijn van een driehoek is de
middelloodlijn van een zijde van de driehoek.
E
m
Tekenafspraak: plaats bij een middelloodlijn steeds
een merkteken om de rechte hoek aan te duiden
en merktekens om gelijke afstanden aan te duiden.
F
G
m is een middelloodlijn van ΔEFG
85
Merkwaardige lijnen in een driehoek (vervolg)
M20
d
Deellijnofbissectriceineendriehoek
•
Teken de deellijn van L in driehoek KLM.
K
K
D
L
M
•
DefInITIe
M
De deellijnen van een driehoek snijden
elkaar in één punt D.
...........................................................................................................
.......
Teken ook de deellijnen van K en M. Wat valt op?
........................................................................................................... . . . . . . .
Wiskundetaal –definitie
Een deellijn(ofbissectrice) van een driehoek is de
deellijn van een hoek van de driehoek.
K
Tekenafspraak: plaats bij een deellijn steeds de
merktekens om gelijke hoeken aan te duiden in de
twee delen van de hoek.
L
d
M
Oefeningen
Weer?
755
756
8
Benoemdemerkwaardigelijnendiejeherkentinonderstaandedriehoek.
d
B
a
c
middelloodlijn
b is een .deellijn
. . . . . ..........................................................
c is een .zwaartelijn
. . . . . ..........................................................
d is een .hoogtelijn
. . . . . ..........................................................
a is een
Weer?
758
9
. . . . . . ..........................................................
A
b
Tekentelkensinonderstaandedriehoeken.
a
de zwaartelijn AG en de middelloodlijn m van [AB]
Meer?
759
760
b
de bissectrice FG en de hoogtelijn DH
A
D
m
C
86
C
driehoeken
G
H
G
B
E
F
10 EenschipinnoodbevindtzichopdeNoordelijkeIJszee.Dekapiteingeeftaandathetschipzichbevindtop
hetsnijpuntvandemiddelloodlijnenvandedriehoekgevormddoordestedenTromsø,NuukenFairbanks.
a
b
Teken de driehoek op de kaart.
Bepaal de plaats van het schip op de kaart.
Weer?
761
762
Meer?
763
Fairbanks
Verenigde Staten
Schip Noordelijke IJszee
Russische Federatie
Nuuk
Groenland
TromsØ
11 Tekeneendriehoekwaarbijheenhoogtelijnis.
Weer?
764
Meer?
765
h
Meerdere oplossingen mogelijk.
Voorwaarden: een hoekpunt van de
driehoek moet op h liggen en de zijde
die h snijdt moet loodrecht op h staan. h
Wat moet je kunnen?
τ merkwaardige lijnen in een driehoek herkennen en tekenen
τ de definities van de merkwaardige lijnen correct formuleren
87
M21
Omtrek, oppervlakte en volume
Op verkenning
a
Omtrekvaneendriehoek
Bij het tekenen van het plan van een tuin, komt Kobe voor een
kippenren uit bij een driehoek van 5 m op 3,5 m op 3 m. Hoe lang
moet de draad zijn die hij rond het hok moet zetten om het af te
bakenen?
•
Wat moet je berekenen?
–
Hoe kun je de omtrek berekenen?
–
Wat is de eenheid van de oplossing?
–
Vul de bewerking aan:
–
Formuleer een antwoord.
De
omtrek van de driehoek.
...................................................................................
O
= z1 + z2 + z3
...................................................................................
m
...................................................................................
11,5 m
.O
. . . . .=
. . . . (. . . .5
. . . . .+
. . . . .3,5
. . . . . . . . .+
. . . . .3
. . . . . . . . . ) m = ..............
Kobe moet 11,5 m draad
..........................................................................
rond het hok plaatsen.
..........................................................................
..........................................................................
b
Oppervlaktevaneendriehoek
In een ander deel van de tuin wil Kobe gazon zaaien. Het stuk dat hij wil zaaien, is een driehoek met een basis
van 10 m en een hoogte van 4 m. Hij wil weten hoeveel graszaad hij moet kopen.
•
Wat moet je berekenen?
•
Teken op een apart blad twee dezelfde willekeurige driehoeken.
•
Knip de driehoeken uit en leg ze tegen elkaar.
Welke figuur kun je steeds vormen met twee dezelfde driehoeken?
–
Hoe bereken je de oppervlakte van een parallellogram?
Hoe vind je dan de oppervlakte van één driehoek?
88
driehoeken
–
Wat is de eenheid van de oppervlakte?
–
Bereken de oppervlakte van het stuk gazon van Kobe.
De
oppervlakte van de driehoek.
.............................................................................
.......
een
parallellogram
.............................................................................
.......
S.............................................................................
=b·h
......
b·h
S.............................................................................
=_
......
2
2
m
............................................................................. . . . . . .
10 · 4
S.............................................................................
= _ m2 = 20 m2
......
2
formule –formulevooromtrekenoppervlaktevaneendriehoek
driehoek
A
z1
h
C
z2
OmtrekO
OppervlakteS
O = z1 + z2 + z3
b·h
S=_
2
een driehoek met zijden van respectievelijk een driehoek met een basis van
3 cm, 7 cm en 5 cm
7 m en een hoogte van 3 m
7·3
S = _ m2 = 10,5 m2
2
O = (3 + 7 + 5) cm = 15 cm
z3
b
B
CONTROLE11 Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 4 m en 8 m.
4·8
b·h
_
= _ m2 = 16 m2
S. . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
......
2
2
c
Volumevaneenprisma
In de tuin staat een oude schuur. De man
wil hout opslaan in het bovenste deel van de
schuur onder het dak. Hoeveel m³ hout kan hij
maximaal in de schuur opslaan?
•
Wat moet je berekenen?
Het
van een prisma.
. . . . . . . . . . . volume
. . ......................................................................
•
4m
Hoe kun je dat berekenen?
(Denk aan de doos met theelichtjes uit het
vorige lesgeheel.)
2,5 m
5m
V. . . . . . . .=. . . . . .....................................................................
SG · h
•
3m
Wat is het grondvlak van het prisma?
een
. . . . . . . . . . . .driehoek
. .....................................................................
•
Bereken de oppervlakte van het grondvlak.
3 · 1,5 2
_
m = 2,25 m2
S. . . . .=
. . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
2
•
Wat is de eenheid voor volume?
•
Vul de bewerking aan voor de berekening van het volume:
m3
................................................................................................................................................... . . . . . . .
V = ( . . . . . . . . . . . . . . . . .2,25
. . . . . . . . . . . .·. . .5
. . . . . . . . . . . . . . . . ) m³ = . . . . . . . . . . . . . 11,25
. . . . . . . . . . . . . . .m
....................
3
•
Formuleer een antwoord.
h
h
SG
Kobe
kan
maximaal
11,25 m3 hout opslaan.
. . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
SG
formule –formulevoorvolumevaneenprisma
prisma
I
H
G
F
D
E
C
B
J
Volume
V = SG · h
Oppervlakte
S = 2 · SG + O G · h
een prisma met een grondvlak van
25 m2 en een hoogte van 8 m
V = (25 · 8) m3 = 200 m3
A
(SG is oppervlakte van het grondvlak)
89
M21
Omtrek, oppervlakte en volume (vervolg)
Oefeningen
Weer?
766
12 Vuldetabelaan.Geefooktelkensjeberekening.
basisvandedriehoek
hoogtevandedriehoek
oppervlaktevandedriehoek
12 cm
7 cm
12 · 7
S = _ cm2 = 42 cm2
2
4m
85 dm
4 · 8,5
S = _ m2 = 17 m2 of 1700 dm2
2
40 dm
(1200 · 2 : 40) dm = 60 dm
1200 dm2
(10,54 · 2 : 3,4) m = 6,2 m of 62 dm
34 dm
10,54 m2
Meer?
767
Weer?
768
Meer?
769
A
13 Berekendeoppervlaktevandegegevendriehoek.
S
4·5
b·h
= _ = _ cm2 = 10 cm2
2
2
. . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
6,4 cm
5 cm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
Weer?
770
771
Meer?
772
773
14 Eenboerheeft66are(1are=100m²)landbouwgrond.Eendeelervanwordtdoordegemeente
verkaveldenverandertinbouwgrond.Hiernaast
ziejehetverkavelingsplan.
Berekendeoppervlaktevandegenummerdepercelen.
Perceel 1
b·h
39 · 28
S = _ = _ m2 = 546 m2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
b·h
_
29 · 28
_
S =
=
m = 406 m
.Perceel
. . . . . . . . . . . . . . . .2
. . . . . ..................................................................................
2
2
2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
90
driehoeken
39m
1
28m
2
29m
4 cm
B
15 VooreentuinfeestmaaktLisaprismavormigekaarsen.Hoeveelliterwasheeftzenodigomkaarsentemaken
meteengrondvlakvan2dm²eneenhoogtevan50cm?
Weer?
775
Volume prisma: S · h = 2 dm2 · 5 dm = 10 dm3 = 10 l
10 liter was nodig om de kaarsen te maken.
.Lisa
. . . . . . . . . . . .heeft
. . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
G
16 Eenserreis3mhoog,6mlangen4mbreed.Dezijwandenzijn
2,5mhoog.Delengtevandeschuinewandis2,1m.
Hoeveelm²glasisernodigvoordezeserre?
Weer?
776
Meer?
777
Noteerjeberekeningenopeenoverzichtelijkemanier.
S
= l · b = (4 · 2,5) m = 10 m
2
2
. . . .rechthoek
. . . . . . . . . . . . . . . .voorvlak
. . ..................................................................................................................
S
= l · b = (6 · 2,5) m = 15 m
2
2
. . . .rechthoek
. . . . . . . . . . . . . . . .zijvlak
. . ..................................................................................................................
S
= l · b = (6 · 2,1) m = 12,6 m
4 · 0,5
b·h
= _ = _ m2 = 1 m2
.S
. . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . .voorvlak
. . . . ..................................................................................................................
2
2
(2 · 10 + 2 · 15 + 2 · 12,6 + 2 · 1) m2 = 77,2 m2
.S
. . .totaal
. . . . . . . . . . . .=
. . . . . . ..................................................................................................................
2
2
. . . .rechthoek
. . . . . . . . . . . . . . . .dak
. . ..................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................
17 Eviwilrondeendriehoekigsalontafeltjeeenrubberenrandkleven.
Hoelangmoetderubberzijnalshettafeltjevolgendeafmetingenheeft:5dm,5dmen7dm.
Berekening:
Antwoord:
O = z + z + z = (5 + 5 + 7) dm = 17 dm = 1,7 m
De rubber moet 1,7 m lang zijn.
............................................................................................................................................................................................
......
............................................................................................................................................................................................
......
1
2
3
18 Berekendeoppervlaktevandedriehoekenindittangram.
Weer?
778
Meer?
779
Weer?
780
:
.S
. . .grote
. . . . . . .gele
. . . . . .driehoek
. . . . . ..............................................
10
· 5 cm2
_
2
2
.=
....S
. . .grote
. . . . . . . .groene
. . . . . . ..............................................
driehoek
25 cm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. ..............................................
:
.S
. . .oranje
. . . . . . . . gele
. . . . . . driehoek
. . . . ..............................................
5_
·5 2
2
2
= Switte driehoek:
.S
. . .paarse
. . . . . . . . . .driehoek
. . . . . . . . ..............................................
5_
· 2,5 cm2
6,25 cm2
......................=
..............................................
2
.S
. . .vierkant
. . . . . . . . . . . .:. . . . . . ..............................................
12,5 cm
. . . . . . . . . . .cm
.........=
. . ..............................................
cm = 12,25 cm
. 3,5
. . . . . . . .cm
. . . . . . . . .·. .3,5
. . ..............................................
2
2
2
:
.S
. . .parallellogram
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................
= 12,5 cm
.5
. . . .·. .5,5
. . . . . . . .cm
. . . . . . . ..............................................
2
2
:
.S
. . .volledig
. . . . . . . . . . .vierkant
. . . . . . . ..............................................
= 100 cm
.z
. . . . .=
. . . . 10
. . . . . . . .cm
. . . . ..............................................
2
2
2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................
Wat moet je kunnen?
τ de omtrek van een driehoek berekenen
τ de oppervlakte van een driehoek berekenen
τ het volume van een prisma berekenen
91
Problemsolving
19 Opdetekeningziejeeendriehoekwaarvanallezijdendelengtedriehebben.Hierinpastprecieseenzeshoek
metallezijden1.Deoppervlaktevandedriehoekisdan…keerdeoppervlaktevandezeshoek?
Het grijze deel kun je verdelen in zes driehoekjes die even
....................................................................................................................................................................... . . . . . . .
groot zijn als de witte driehoekjes.
....................................................................................................................................................................... . . . . . . .
De totale driehoek bestaat uit negen driehoekjes.
9 3
De oppervlakte van de driehoek is bijgevolg _ = _ keer de . . . . . . .
.......................................................................................................................................................................
6 2
oppervlakte van de zeshoek.
.......................................................................................................................................................................
.......
....................................................................................................................................................................... . . . . . . .
....................................................................................................................................................................... . . . . . . .
1
_
A
B
2
5
_
C
6
4
_
3
D
3
_
2
e
2
20 VaneenregelmatigevijfhoekisMhetmiddelpunt.Hoeveelprocentvandevijfhoekisgrijs?
Tip:Tekenallemogelijkesymmetrieassenvandezevijfhoek.
3
Het grijze deel is _ = 30 %.
10
.......................................................................................................................................................................... . . . . . . .
M
A
.......................................................................................................................................................................... . . . . . . .
B
10
C
20
25
D
30
e
40
21 Ineengrootvierkantiseenkleinervierkantgetekend.Watisdeoppervlaktevanhetkleine
vierkant?
5
3
3
5
7,5
cm2 · 4 = 30 cm2.
...................................................................................................................................
.......
5
3
3
A
2
De
oppervlakte van het grote vierkant 8 cm · 8 .cm
...................................................................................................................................
. . . . . . = 64 cm .
5·3
cm2.
De
oppervlakte van één driehoekje is _ cm2 =
...................................................................................................................................
. . . . . .7,5
.
2
Er
zijn vier witte driehoeken met een totale oppervlakte
van
...................................................................................................................................
.......
16
64
cm2 – 30 cm2 = 34 cm2.
...................................................................................................................................
.......
5
B
De
oppervlakte van het grijze vierkant is
...................................................................................................................................
.......
28
C
34
D
36
e
49
22 EsthertekentgelijkbenigedriehoekenABCmet|AC|=|BC|=5cm.Detophoekisgroterdan60°endebasis
iseengeheelaantalcentimeters.Hoeveelverschillendedriehoekenkanzijtekenen.
Als de tophoek 60° is, bekom je een gelijkzijdige driehoek waarbij AB = 5 cm.
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
De tophoek moet groter zijn dan 60° dus AB is langer dan 5 cm.
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
AB is korter dan 5 cm + 5 cm = 10 cm
. .|. . . . . . . . . . |. . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Bijgevolg kan AB = 6 cm, 7 cm, 8 cm of 9 cm.
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
92
problemsolving