vvv evd vc vb va ++ v2 =2v1 mm v3 2m v1

Tentamen Natuurkunde I
Opgave 1. Projectiel
09-01-2008
Vanaf de top van een 200 meter hoge berg wordt een projectiel de valei
ingeschoten.
De startsnelheid is 60 m/s en maakt een hoek van 600 omhoog met de
horizontaal.
We verwaarlozen de luchtwrijving en kiezen g = 10 m/s2 .
a) Bereken de horizontaal afgelegde weg op het moment dat het projectiel de
grond raakt.
b) Bereken de hoek met de horizontaal waaronder het projectiel de grond
raakt.
c) Bereken de snelheid waarmee het projectiel de grond raakt.
d) Bereken de maximale hoogte die het projectiel bereikt.
Opgave 2. Explosie
Een projectiel is in drie stukken geëxplodeerd. De tekening geeft de situatie
weer vlak na de explosie.
v2 =2v1
m
m
v3
2m
v1
De snelheid vlak voor de explosie was:
a) v3
b) v3 / 3
c) v3 / 4
d ) 4v3
e) (v1 + v2 + v3 ) / 4
Kies en beargumenteer het juiste antwoord.
1
Opgave 3. WvBvE
Twee gewichten A en B hangen via massieve katrollen K1 en K2 aan een blok C
dat op tafel ligt. Zie tekening.
De massa’s zijn:
mA = 13,0 kg ; mB = 4,0 kg ; mC = 5,0 kg.
Beide katrollen zijn identiek en hebben een massa van 3,0 kg en een diameter
van 16,0 cm.
De dynamische wrijvingscoëfficiënt tussen de tafel en blok C is
gelijk aan 0,20 .
De wrijving van de katrollen kan verwaarloosd worden.
We verwaarlozen ook de massa’s van de touwen.
Blok A hangt 0,10 m boven de grond.
We laten het systeem los.
a) Druk de rotatie-energie van de katrol K2 uit in zijn massa en zijn
rotatiesnelheid
b) Bereken de snelheid, waarmee blok A de grond zal raken
c) Bereken de versnelling van het systeem van blokken tijdens de beweging
d) Leg uit, waarom tijdens de beweging de spankracht in het touw tussen de
katrol K1 en blok A niet gelijk zal zijn aan de spankracht in het touw
tussen de katrol K1 en blok C.
K2
K1
C
A
B
h = 0,10 m
2
Opgave 4. Moment en Potentiële Energie
Een molecuul heeft een dipoolmoment van 30.e pm dat een hoek van 200 met
een homogeen elektrisch veld maakt. (1 picometer = 1 .10 -12 m )
Het elektrisch veld heeft een sterkte van 3,0.103 N/C.
E
p
L
200
a) Bereken het moment op de dipool
b) Bereken de potentiële energie van de dipool
c) Is in de tekening de rechter lading of de linker lading positief ?
3
Opgave 5. Elektrische flux door een gesloten oppervlak.
Een elektrisch veld wordt gegeven door:
E = +(200 N/C) 1y in het gebied voor y > 0 en
E = ─(200 N/C) 1y in het gebied voor y < 0
We maken een denkbeeldig Gaussisch cilindertje met zijn as horizontaal langs
de y – as door de oorsprong zodanig, dat de oorsprong midden in de cilinder zit.
Zie tekening. De aslengte van de cilinder is 20 cm en zijn straal is 5,0 cm.
z
y
a) Bereken de totale flux door de cilinder
b) Bereken de totale lading binnen de cilinder
4
Opgave 6. Isotopen-separator
In een massaspectrometer worden de ionen van waterstof 11H en
deuterium 12 H over 1800 afgebogen naar een detector.
De massa’s van de isotopen zijn:
m waterstof = 1,007825 u
m deuterium = 2,014102 u
Bron
Detector
r
a) Beschrijf de richting van de magnetische inductie
1 2m∆V
b) Toon aan, dat voor de straal geldt: r =
B
e
c) Druk de separatie van de twee isotopen uit in de versnelspanning
en de magnetische inductie
5
Opgave 7. Het uitproduct
Bij het deeltjesmodel van een waterstofatoom laten we een elektron om een
proton draaien.
In de tekening staat de hoeksnelheid van het elektron gegeven.
De straal van de baan is ongeveer 1,0.10-10 m.
a) Bereken de grootte van de hoeksnelheid van het elektron.
b) Geef in onderstaande tekening aan, hoe de snelheid van het elektron
gericht is.
→
→
→
→
c) Gebruik de vector ω = ω 1z en de vector r = r 1y om wiskundig te
bewijzen, dat de richting van de centripetale versnelling gegeven wordt
door:
a cent = ω × (ω × r )
ω
r
6
Uitwerking tentamen Natuurkunde I 090108
Norm: Alle deelvragen 5 pnt
1) Projectiel
a) v0y
v0 = 60 m/s
Kies éérst een oorsprong en positieve richtingen:
We kiezen de oorsprong in het startpunt en
v0x
>0
X t = X 0 + v 0 cosα ⋅ t = 0 + 60 ⋅ cos60 0 ⋅ t
v tx = v 0 cosα = 60 ⋅ cos60 0
v ty = v 0 sin60 0 + (−10) ⋅ t
1
a y t 2 = 0 + 60 ⋅ sin60 0 ⋅ t − 5t 2 = −200 ⇒
2
2
5t − 52,0t − 200 = 0 ⇒ t = 0,1(52 ± 81,9) = 13,4 s ⇒
Yt = Y0 + v 0 sinα ⋅ t +
X t = 0 + 30 ⋅ 13,4 = 402 m = 0,40 km
b) tan β =
v ty
v tx
=
60 ⋅ sin 60 0 − 10 ⋅ 13,4 − 82,0
=
= −2,73 ⇒ β = arctan(−2,73) = −70 0
0
30,0
60 ⋅ cos 60
c) | v |= v 2tx + v 2ty = 30,0 2 + 82,0 2 = 87 m/s
of met de WvBvE:
1
1
m | v 0 | 2 + mgh = m | v t | 2 ⇒
2
2
v t = | v 0 | 2 +2gh = 60 2 + 2 ⋅ 10 ⋅ 200 = 87 m/s
d) Eis: vty = 0
v ty = v 0 sin60 0 + (−10) ⋅ t = 0 ⇒ t = 5,2 s ⇒
h max = 200 + Yt = 200 + 52,0 ⋅ 5,2 − 5 ⋅ 5,2 2 = 335 m = 0,34 km
2) Explosie
WvBvI: Opsplitsen in x- en y-richting!
In de y-richting is de totale impuls kennelijk nul: m ⋅ 2v1 + 2m ⋅ (−v1 ) + m ⋅ 0 = 0
Dus vòòr de botsing ook.
In de x-richting is de totale impuls na de explosie 0 + 0 + m ⋅ v 3
Dus vòòr de explosie ook: 4m ⋅ v x = m ⋅ 0 + 2m ⋅ 0 + m ⋅ v 3
m ⋅ v3 1
De snelheid vòòr de explosie is dus v = v x =
= v3
4m
4
1
3) WvBvE
1 2 1 1
1
Iω = ⋅ m k r 2 ω 2 = m k v 2
2
2 2
4
b) Energiebalans:
a) E rot =
1
1
(m A + m B + m C )v 2 + 2 ⋅ m k v 2 ⇒
2
4
1
1
m A gh − m B gh − f ⋅ m C g ⋅ s = (m A + m B + m C )v 2 + 2 ⋅ m k v 2 ⇒
2
4
1
1
13,0 ⋅ 10 ⋅ 0,10 − 4,0 ⋅ 10 ⋅ 0,10 − 0,2 ⋅ 5,0 ⋅ 10 ⋅ 0,1 = (13,0 + 4,0 + 5,0)v 2 + 2 ⋅ 3,0 ⋅ v 2 ⇒
2
4
25 2
8⋅ 2
v = 8 ⇒v =
= 0,80 m/s
2
25
m A gh − m B gh − Fw max ⋅ s =
c)
1 2
at ; vt = a ⋅ t ⇒
2
1
1
1
0,1
0,1 = at ⋅ t = v t ⋅ t = ⋅ 0,8 t ⇒ t =
= 0,25 s ⇒
2
2
2
0,4
v
0,8
a= t =
= 0,8 ⋅ 4 = 3,2 m/s 2
t
0,25
Opmerking: t = s/v met a = v/t is fout
:0 pnt.
a berekend via Fres is fout
:3 pnt
d) De katrol krijgt een hoekversnelling volgens τ = M = Iα .
Er moet dus een moment overblijven op de katrol.
Dit moment wordt geleverd door het verschil tussen de twee spankrachten maal
de straal van de katrol .
De spankrachten zijn dus niet gelijk als de katrol een hoekversnelling heeft.
h=
4) Moment en Potentiële Energie
a)
1
L × F |=| L × qE |=| q L × E |=| p × E |=| p | ⋅ | E | sin α =
2
30 ⋅ e ⋅ 1,0.10 −12 ⋅ 3,0.10 3 ⋅ sin 20 0 = 30 ⋅ 1,6.10 −19 ⋅ 1,0.10 −12 ⋅ 3,0.10 3 ⋅ sin 20 0
M dipool =| M dipool |= 2⋅ |
= 4,9.10 − 27
Nm
b) U p = − p ⋅ E = −30 ⋅ e ⋅ 1.10 −12 ⋅ 3,0.10 3 cos 20 0 = −14.10 −27 J
c) Het dipoolmoment wijst van – naar + .
De rechterlading is dus positief.
2
5) Elektrische flux door een gesloten oppervlak
a) Het elektrisch veld staat aan beide kanten loodrecht naar buiten alleen
door de zijkanten van de cilinder. (Het inproduct van het veld en de
normaal is dus aan beide zijkanten positief en de flux door de mantel is
dus nul.)
De totale flux door de wanden van de cilinder naar buiten is dus per
definitie:
Φ E = ∫∫ ( E ⋅ n)dS = + E.A cirkel rechts + E.A cirkel links = 2E.A = 2 ⋅ 200 ⋅ π ⋅ r 2 =
S
400 ⋅ π ⋅ (5.10 − 2 ) 2 = π = 3,1 Vm of 3,1 Nm 2 / C
b) De totale lading binnen de cilinder wordt gegeven door:
Φ E = ∫∫ ( E ⋅ n)dS = Q / ε 0
S
3,1.
⇒ Q / ε 0 = 3,1 ⇒ Q = 3,1.ε 0 = 3,1.
1
=
4π ⋅f
1
= 27.10 −12 C
9
4π .9,0.10
6) Isotopen-separator
a) De ionen zijn positief. De richting waarin de ionen bewegen is dan ook de
richting van de ohmse stroom.
De Lorentzkracht is naar het middelpunt van de cirkel gericht.
rhr:
vingers
veld
duim
stroom
palm
kracht
Dus het veld staat loodrecht het papier in.
óf
F = q.v × B ⇒
De lading q is positief. Draai v naar B, dan krijg je
de richting van F volgens de schroefrichting.
B moet daarvoor loodrecht het papier in staan.
b)
FL = Fcent
⇒ Bqv = m
q∆ V =
1
mv 2
2
v2
r
⇒ v=
m v

m q∆ V 1 2m∆ V 1 2m∆ V
Bq 
⇒r=
=
=
Bq
m
B
q
B
e
2q∆ V


m

⇒ r=
3
c) De separatie is:
2 ⋅ ∆r = 2 ⋅ (rD − rH ) = 2 ⋅ (
1 2m D ∆ V 1 2m H ∆ V
1 8∆ V
−
)=
( mD − mH ) =
B
e
B
e
B
e
mD − mH 1
( 2,014102 − 1,007825 ) ⋅ 1,66054.10 −27 1
8∆ V =
8∆ V
B
B
e
.1,6021765.10 −19
= 119,581.10 −6
1
∆V
B
Eigenlijk horen de gegeven atoommassa’s nog gecorrigeerd te worden voor het
ontbrekende elektron. De constante wordt dan (zoals je in kunt zien!) een fractie groter.
Hiervoor geen aftrek.
7) Het uitproduct
Fcent = FCoulomb
a)
e2
⇒ meω r = f 2
r
2
⇒
f ⋅ e2
9.10 9 ⋅ (1.6.10 −19 ) 2
15
ω=
=
=
3
−10 3
mer
m e ⋅ (1.10 )
me
(Opmerking: De uitkomst van dit klassieke deeltjesmodel zal niet exact kloppen, maar als
we de rustmassa van het elektron zouden invullen krijgen we:
15
ω=
= 16.1015 rad/s )
− 31
9,1.10
b) Aan de rechterkant van de cirkel is de snelheid recht van je af het papier in volgens:
v = ω × r ; Draai ω naar r , dan staat de snelheidsvector in de schroefrichting.
x
 
c) We noteren de vectoren volgens:  y  ⇒
z
 
a cent
 0    0   0 
0
 − 1
0  0 
      
 
 
  

2
= ω × (ω × r) = ω 0  × ω 0  × r 1  = ω 0  × ω r 0  = ω r − 1 =  − ω 2 r  ⇒
1
0
0  0 
 1    1   0 
      
 
 
  

In de tekening wijst de versnelling kennelijk in de negatieve y-richting en dus naar het
middelpunt toe.
q.e.d.
4