trillingen en golven handout fourier

TRILLINGEN EN GOLVEN
HANDOUT FOURIER
Cursusjaar 2009 / 2010
2
Inhoudsopgave
1
2
FOURIERANALYSE
1.1 INLEIDING . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 FOURIERREEKSEN . . . . . . . . . . . .
1.3 CONSEQUENTIES EN TOEPASSINGEN
1.4 SAMENVATTING . . . . . . . . . . . . .
Opgaven Fourieranalyse
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
8
9
11
3
4
INHOUDSOPGAVE
Hoofdstuk 1
FOURIERANALYSE
1.1
INLEIDING
In de voorgaande colleges kwamen de sinus en cosinus functies veelvuldig voor. Soms
was dat noodzakelijk, zoals bij het oplossen van de differentiaalvergelijking van de
harmonische oscillator. Maar soms was het ook een willekeurige keuze, zoals bij de
aandrijvingsterm van de gedwongen harmonische oscillator. In dit hoofdstuk blijkt dat
die schijnbaar willekeurige keuze nuttig gebruikt kan worden in heel algemene gevallen. We bespreken hoe een willekeurige periodieke functie geschreven kan worden als
een reeks van sinus en cosinus functies, zie ook (extreem beknopt) Giancoli 15-6.
1.2
FOURIERREEKSEN
Hier bespreken we op wiskundig niet te strenge wijze een periodieke functie f (x)
als een oneindige som van sinussen en cosinussen (een Fourierreeks) en geven we
formules om de Fouriercoëfficiënten te berekenen. Hierbij stelt x bijvoorbeeld een tijd
of een plaats voor.
functies als vectoren in een 2-dimensionale inproductruimte Als voorbereiding
een situatie uit de lineaire algebra: stel f is een vector in een 2-dimensionale vectorruimte met orthonormale basis {v, w}, dus voor de inproducten geldt
< v, v > = < w, w > = 1
(1.1a)
< v, w > = 0
(1.1b)
Dan is f te schrijven als een lineaire combinatie van v en w waarin de coëfficiënten
inproducten zijn (figuur 1.1):
f = < f, v > v + < f, w > w
5
(1.2)
6
HOOFDSTUK 1. FOURIERANALYSE
Figuur 1.1:
Dit vergelijken we met een periodieke functie opgebouwd uit een cosinus en een sinus
met periode 2π:
f (x) = a cos x + b sin x
(1.3)
We beschouwen voor f (x) een 2-dimensionale vectorruimte met basis {cos x, sin x}
en definiëren voor het inproduct van f (x) en g(x):
1
< f (x), g(x) > =
π
Zπ
f (x)g(x) dx
(1.4)
−π
Dit is direct analoog aan het vectoriële inproduct < f~ · ~g >= Σfi gi , als f~ en ~g twee
vectoren zouden zijn.
De basis {cos x, sin x} is orthonormaal,want er geldt
1
π
Zπ
Zπ
1
cos x cos x dx =
π
−π
sin x sin x dx = 1
(1.5a)
cos x sin x dx = 0
(1.5b)
−π
Zπ
1
π
−π
Als we (1.3) met (1.2) vergelijken zien we op grond van (1.4) dat
a =
b
=
1
π
1
π
Zπ
f (x) cos x dx
(1.6a)
f (x) sin x dx
(1.6b)
−π
Zπ
−π
1.2. FOURIERREEKSEN
7
Met deze formules worden de coëfficiënten a en b uitgedrukt in f (x).
De uit cos x en sin x opgebouwde functie f (x) uit (1.3) is te schrijven als f (x) =
A cos(x − β). Dus f (x) is zelf ook weer periodiek met periode 2π, en de grafiek is
opnieuw een sinuslijn.
• Controleer (1.6) voor de functie f (x) = 2 cos x + 3 sin x.
functies als vectoren in een ∞-dimensionale inproductruimte We generaliseren
nu tot oneindig-dimensionale vectorruimten, waarin (1.2) en (1.3) vervangen worden
door
f = < f, v0 > v0 +
+(< f, v1 > v1 + < f, w1 > w1 ) + (< f, v2 > v2 + < f, w2 > w2 ) + ...
f (x) = a0 + (a1 cos x + b1 sin x) + (a2 cos 2x + b2 sin 2x) + ...
(1.7)
(1.8)
In (1.7) stelt {v0 , v1 , w1 , v2 , w2 , ... } weer een complete set van orthonormale
basisvectoren voor waaruit een vector f kan worden opgebouwd, maar het zijn er nu
oneindig veel.
√
Deze set staat nu model voor de verzameling { 12 2, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,
... } in (1.8) die, bij het inproduct (1.4), een orthonormale basis vormt voor een ∞dimensionale vectorruimte met periodieke functies f (x) gegeven door (1.8) (we geven
geen streng bewijs).
Fourierreeks In compacte vorm is (1.8) te schrijven als
f (x) = a0 +
∞
P
(an cos nx + bn sin nx).
(1.9)
n=1
In (1.9) staat de oneindige Fourierreeks van een functie f (x) die veel algemener is dan
in het 2-dimensionale geval van (1.3). De functie is nu opgebouwd uit een constante
term a0 en oneindig veel termen an cos nx + bn sin nx, zodat de ne term een periode
heeft die n maal past op 2π, en f (x) als geheel nog steeds periodiek is met periode
2π. Aangetoond kan worden dat op deze manier bijna elke functie met periode 2π kan
worden opgebouwd: f (x) is willekeurig (wel bijna overal continu, met per periode een
eindig aantal sprongen en knikken in de grafiek).
De Fouriercoëfficiënten a0 , an en bn van de in (1.9) opgebouwde functie f (x) kunnen met behulp van (1.4) worden uitgedrukt in f (x) (en dus berekend als de gedaante
van f (x) bekend is!) door vergelijken van (1.8) met (1.7).
Pas op: voor n ≥ 1 komt an overeen met < f, vn > en bn met < f, wn >. Echter,
a0 komt overeen met < f, v0 > v0 , zodat de resultaten zijn:
8
HOOFDSTUK 1. FOURIERANALYSE
a0 =
1 Rπ
f (x) dx
2π −π
(1.10a)
an =
1 Rπ
f (x) cos nx dx (n ≥ 1)
π −π
(1.10b)
bn =
1 Rπ
f (x) sin nx dx (n ≥ 1)
π −π
(1.10c)
Let op: de constante term a0 stelt de gemiddelde waarde van f (x) over een periode
voor. Deze term zal dus in speciale gevallen nul kunnen zijn.
√
• Als de constante basisfunctie 12 2 de rol vervult van de vector v0 , wordt de
1 Rπ
f (x) dx. Toon
uitdrukking < f, v0 > v0 bij gebruik van (1.4) gelijk aan
2π −π
dit aan.
voorbeeld Neem voor f (x) een oneven blokfunctie (figuur 1.2):







f (x) heeft periode 2π
f (x) = − 12 (−π < x ≤ 0)
f (x) =
1
2
(0 < x ≤ π)




(1.11)



1 Rπ
1 Rπ
f (x) dx = 0, an =
f (x) cos nx dx = 0 en
Dit levert met (1.10): a0 =
−π
2π
π −π
π
π
2R 1
1 R
f (x) sin nx dx =
sin nx dx, dus
bn =
π −π
π0 2
1.3
bn
=
f (x)
=
2
(oneven n) dus
nπ
2
1
1
(sin x + sin 3x + sin 5x + ...)
π
3
5
0 (even n) en bn =
(1.12)
CONSEQUENTIES EN TOEPASSINGEN
We hebben nu gereedschap in handen om functies die periodiek zijn met periode 2π
te ontrafelen in sinussen en cosinussen. Maar het kan natuurlijk ook voorkomen dat
een functie wel periodiek is, maar een andere periode heeft. Ook is direct duidelijk
dat, hoewel er steeds x als variabele gebruikt is, er geen speciale eigenschappen van x
gebruikt zijn. De variabele kan dus ook door andere worden vervangen. In de praktijk
zijn het periodieke functies van de tijd en van de plaats, die het meest voorkomen.
1.4. SAMENVATTING
9
Figuur 1.2:
Een voorbeeld van een plaatsafhankelijke periodieke functie is sin kz, die een periode λ heeft met λ = 2π/k. Een voorbeeld van een periodieke tijdsafhankelijke functie
is sin ωt, die periode T heeft, met T = 2π/ω. Invoeren van een nieuwe variabele, zeg
x = ωt, geeft de functie weer de goede periode van 2π. In het eindresultaat kan dan
overal x weer vervangen worden door ωt. In het geval van een periodieke functie f (t)
met periode T wordt (1.10b) volgens dit recept:
2
an =
T
T /2
Z
f (t) cos
2πnt
T
dt (n ≥ 1)
(1.13)
−T /2
Wat dit opsplitsen in sinussen en cosinussen vooral zo nuttig maakt is het superpositieprincipe. In hoofdstuk 14 van Giancoli is behandeld hoe een harmonische oscillator
reageert op een externe kracht, die als cosinus van de tijd afhangt. Maar gewapend met
het superpositieprincipe en met Fourierreeksen, kunnen we nu de respons uitrekenen
van een harmonische oscillator op elke periodieke functie.
Het recept is dan als volgt: (i) ontbindt de periodieke drijvende kracht in de cosinus
en sinus componenten volgens het recept van (1.10) en (1.9); (ii) reken de respons van
de harmonische oscillator uit voor iedere afzonderlijke sinus en cosinus component;
(iii) gebruik het superpositieprincipe en tel de verschillende responsen op om de respons op de oorspronkelijke periodieke kracht te vinden; (iv) tel daarbij eventueel nog
een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking om aan de randvoorwaarden
te voldoen.
1.4
SAMENVATTING
(a) Een functie f (x) met periode 2π kan ontwikkeld worden in een Fourierreeks
f (x) = a0 +
∞
X
n=1
(an cos nx + bn sin nx)
(1.9)
10
HOOFDSTUK 1. FOURIERANALYSE
met coëfficiënten
1
a0 =
2π
Zπ
f (x) dx
(1.10a)
f (x) cos nx dx(n ≥ 1)
(1.10b)
f (x) sin nx dx(n ≥ 1)
(1.10c)
−π
1
an =
π
bn =
1
π
Zπ
−π
Zπ
−π
Hoofdstuk 2
Opgaven Fourieranalyse
Opgave 2.1 (Fourierreeks van een driehoek)
Gegeven is een periodieke functie f (x) met ’driehoekvorm’; in de figuur is één periode
(grootte 2π) getekend.
(a) Leg langs grafische weg uit dat voor de Fouriercoëfficiënten a0 , an en bn van
f (x) geldt:
a0 = 0; an = 0 (voor n > 0); bn = 0 (voor even n).
(b) Leg eveneens langs grafische weg uit dat
Z π2
4
bn =
x sin nx dx (voor oneven n)
π 0
(c) Geef de Fourierreeks van f (x).
R
Aanwijzing: gebruik de integraal y sin y dy = sin y − y cos y.
Opgave 2.2 (Fourierreeks van een ’gelijkgericht signaal’)
Gegeven de periodieke functie
1
f (t) = | sin t|.
2
11
12
HOOFDSTUK 2. OPGAVEN FOURIERANALYSE
(a) Bepaal de periode van f (t).
(b) Bepaal de Fourrierreeks van f (t).
(c) Beschouw de benaderingen
fN (t) = a0 +
N
X
(an cos nt + bn sin nt).
n=1
Teken in één figuur van f (t), f1 (t) en f2 (t) over enkele perioden.
Opgave 2.3 (Fourierreeks van een zweving)
Gegeven het signaal
f (t) = sin 17t − sin 20t.
(a) Geef alle Fouriercoëfficiënten van f (t).
(b) Bepaal de hoekfrequentie ω van:
• de zwevingen van f (t);
• de modulaties van f (t);
• het gemoduleerde signaal;
• f (t).
(c) Maak een grafiek van f (t) over één periode, en geef hierin de andere drie periodes aan.
Opgave 2.4 (een orthogonaal stelsel)
Laat zien dat bij gebruik van het inproduct
< f (x), g(x) >=
1
π
Z
π
f (x)g(x) dx
−π
de oneindige verzameling functies
{v0 , v1 , w1 , v2 , w2 , . . .} = {
1√
2, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . .}
2
orthonormaal is, d.w.z.
< vi , wj >= 0
en
< vi , vj >=< wi , wj >= δij .
Toelichting: per definitie geldt δij = 0 als i 6= j en δij = 1 als i = j.
13
Opgave 2.5 (even en oneven functies)
Gegeven is een periodieke functie F (t); in de figuur zijn twee perioden T1 = 4 getekend.
(a) Leg uit dat de functie f (x) uit de substitutie
F (t) = f (
2πt
) = f (ω1 t) = f (x)
T1
een periode 2π heeft.
(b) Laat langs grafische weg zien dat voor de Fouriercoëfficiënten moet gelden:
an = 0 voor oneven n
en
bn = 0 voor even n.
(c) Laat, uitgaande van de algemene formules voor de Fouriercoëfficiënten a0 , an
en bn van f (x), langs grafische weg zien dat in dit geval
a0
an
bn
=
=
=
2
π2
Z
4
π2
Z
4
π2
Z
π/2
x dx,
0
π/2
x cos(nx) dx (even n ≥ 1),
0
π/2
x sin(nx) dx (oneven n).
0
(d) Bepaal alle van 0 verschillende an en bn , inclusief a0 .
(e) Ga na dat F (t) te schrijven is als de som van een even en een oneven deel:
F (t) = Feven (t) + Foneven (t) =
1
1
[F (t) + F (−t)] + [F (t) − F (−t)]
2
2
en teken grafieken van F (t), Feven (t) en Foneven (t) in één figuur.
(f) Schrijf de Fourierreeksen voor F (t), Feven (t) en Foneven (t) op.