BIJLAGE: Als we kiezen voor bewijzen, laten we dan

BIJLAGE: Als we kiezen voor bewijzen, laten we dan niet toveren … Dag van de wiskunde, Kortrijk 26/11/2011 Anne Schatteman Erasmushogeschool Brussel Lerarenopleiding LSO [email protected] Inhoudstafel 1. ProblemSolving: schema en heuristieken .............................................. 3 2. Congruentiekenmerken van driehoeken ................................................ 4 3. Kenmerk van een middelloodlijn van een lijnstuk................................... 5 A. Probleemstelling.............................................................................. 5 B. Opbouw van het bewijs ................................................................... 7 C. Verder onderzoek ............................................................................ 8 4. Som van de hoeken van een driehoek ................................................ 10 A. Probleemstelling:........................................................................... 10 B. Opbouw van het bewijs ................................................................. 11 5. Kenmerk van een gelijkbenige driehoek.............................................. 15 A. Verloop van het instructie-leerproces: ............................................. 15 B. Nabespreking ................................................................................ 21 6. Middelpuntshoek versus omtrekshoek in een cirkel.............................. 22 A. Een onderzoek naar een hypothese ................................................ 22 B. Een bewijs zoeken is zoals het oplossen van een probleem: ............. 25 7. Eigenschap van een koorde in een cirkel ............................................ 29 A. Een onderzoek naar een hypothese ................................................ 29 B. Bewijzen zoeken............................................................................ 29 8. Stelling van Pythagoras: .................................................................... 31 A. Een verhaal van de opbouw van de hypothese met een heel klein
beetje toveren..................................................................................... 31 B. Opbouw van een bewijs................................................................. 34 C. Kritische terugblik.......................................................................... 37 9. Omgekeerd redeneren ...................................................................... 39 10. Belangrijke stellingen kunnen ook een eenvoudig bewijs hebben. ....... 41 11. Is er altijd nood aan een bewijs?...................................................... 42 a. Patroonherkenning is verschillend van een bewijs! ........................... 42 B. Pseudobewijzen ............................................................................ 43 12. De rol van kenmerken van begrippen ............................................... 45 13. Referenties ..................................................................................... 48 Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
2/48
1. ProblemSolving: schema en heuristieken Gebruik van heuristieken = vuistregels/hulpacties
1. Begrijpen van het probleem
- Wat is gegeven? Wat is gevraagd? Wat zijn de voorwaarden?
- Is de voorwaarde voldoende? Of niet? Kunnen de voorwaarden
gerealiseerd worden? In welke mate hebben ze een invloed op het
gevraagde?
- Maak een tekening. Voer aangepaste notaties in. Voer hulplijnen toe.
- Waarom is het een probleem? is het gevraagde logisch, …
aanvaardbaar?
2. Opstellen van een plan
- Ken je een eigenschap die nuttig zou zijn?
- Herinner je je een gelijkaardig probleem? Wat deed je toen?
- Ken je een probleem dat ermee verband houdt?
- Kijk naar het gevraagde! Is er een vertrouwd probleem met hetzelfde /
vergelijkbaar gevraagde? Kan je de methode gebruiken? Het resultaat?
- Kan je het probleem herformuleren? Ga terug naar de definities.
- Tracht een eenvoudiger probleem op te lossen? Een algemener? Een
deelprobleem? Laat enkele voorwaarden vallen …
- Werden alle gegevens gebruikt?
3. Uitvoeren van het plan
- Analyseer elke stap. Kan je elke stap verklaren?
- Welke vragen ga je jezelf stellen?
4. Reflectie
- Onderzoek het resultaat/ de methode die je gevonden hebt/ de
argumentering die gebruikt is. Zijn er fouten gemaakt?
- Is het algemeen toepasbaar, voor elke situatie?
- Kan het resultaat op een andere manier gevonden worden? Is het
misschien niet zo moeilijk als je dacht?
- Kan het uitgebreid worden in een ander probleem? Is er iets dat verder
kan onderzocht worden?
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
3/48
2. Congruentiekenmerken van driehoeken Probleemstelling
Hoeveel gegevens houdt een driehoek in? (6)
Moeten we over alle gegevens beschikken om de driehoek te kunnen
tekenen/te kennen?
Wat is het minimum aantal gegevens dat nodig is om een driehoek te kunnen
tekenen en welke zijn die gegevens?
Top down methode of Bottom up methode?
Top Down
• 6 gegevens zijn teveel; want één
hoekgrootte kan afgeleid worden
uit de twee andere (altijd waar!)
(ZHZHZ)
• Kan een ander gegeven dan één
hoek weggelaten worden ? (we
kunnen voorbeelden vinden voor
elk gegeven dat weggelaten wordt,
waaruit blijkt dat het voldoende is,
maar is het altijd zo? Dat vraagt
voor elke keuze een bewijs!)
• Zijn 4 gegevens voldoende? (welke
4? Voorbeelden geven aan van wel,
maar geen zekerheid, een bewijs is
nodig!)
• Zijn 3 gegevens voldoende?
• (voorbeelden geven aan van wel,
maar geen zekerheid, een bewijs is
nodig!)
• Zijn twee gegevens voldoende?
• (tegenvoorbeelden sluiten dit uit)
• Is één gegeven voldoende?
(tegenvoorbeelden sluiten dit uit!)
Besluit: minder goede aanpak want
er moeten heel veel tussenstappen
bewezen worden, ofwel
superveralgemeend worden vanuit
voorbeelden.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Bottom up
•
Is één gegeven voldoende?
Neen, voor elke soort is een
tegenvoorbeeld te vinden.
•
Zijn twee gegevens voldoende?
Neen, voor elke soort is een
tegenvoorbeeld te vinden.
•
Zijn drie gegevens voldoende?
Niet altijd: voor HHH en ZZH zijn
tegenvoorbeelden te vinden;
Voor de 4 andere gevallen is een
bewijs nodig. De bewijzen bevatten
veel parallelle elementen.
De gevallen kunnen bovendien nog
geïllustreerd worden ahv plastisch
materiaal (plooimeters, passers,
Meccanno, Geogebra …); de
leerlingen voelen dat het niet
anders kan.
Besluit: goede opbouw en aanpak
van het probleem want
- geen tovermomenten
- talrijke creatieve momenten
voor de leerlingen.
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
4/48
3. Kenmerk van een middelloodlijn van een lijnstuk A. Probleemstelling 1. Waar liggen de punten die even ver gelegen zijn van een gegeven punt?
2. Waar liggen de punten die even ver gelegen zijn van twee gegeven
punten?
1. De eerste vraag beantwoorden gaan de leerlingen niet als een probleem
ervaren. Ze kennen immers de definitie van een cirkel. We tekenen
verschillende oplossingen (concentrische cirkels) van het probleem in
Geogebra. Op elk van de cirkels is de afstand tot het gegeven punt een
constante.
2. De tweede vraag kunnen we experimenteel aanpakken.
We construeren met een passer punten die aan de voorwaarde voldoen.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
5/48
We vinden verschillende punten die aan de voorwaarde voldoen ( even ver
liggen van twee gegeven punten). Deze keer zijn er per gekozen afstand
maar 2 punten die voldoen.
Met Geogebra laten we een spoor tekenen, en er verschijnt een rechte. We
onderzoeken de kenmerken van die rechte en we stellen vast dat ze loodrecht
staat op het lijnstuk en door het midden gaat.
Een nieuwe onderzoeksvraag dringt zich op:
Heeft elk punt van de middelloodlijn de eigenschap dat het even ligt van de
twee gegeven punten?
We pakken dit experimenteel aan en laten de leerlingen tekenen en meten.
We vatten onze bevindingen samen en we komen met de
leerlingen tot een hypothese:
Wat was onze eerste vraag? wat hebben we vastgesteld?
o we stellen vast dat punten die even liggen van twee gegeven
punten op de middelloodlijn liggen van het lijnstuk bepaald door
de twee punten.
Waar waren we dan nog niet zeker van? wat hebben we verder
vastgesteld?
o Elk punt op de middelloodlijn ligt even van de twee gegeven
punten.
We vertalen onze twee bevindingen in één wiskundezin:

A ligt even ver van twee gegeven punten B en C
A is gelegen op de middelloodlijn van [BC].
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
6/48
B. Opbouw van het bewijs Op basis van de analyse van de dubbele pijl beslissen we met de lln in
hoeveel delen het bewijs moet gevoerd worden.
=>)
1. We tekenen het gegeven in het groen, het te bewijzen in het rood.
Er rijst een probleem om het te bewijzen te visualiseren. We kunnen de
middelloodlijn niet tekenen door de tophoek van de driehoek want dat moet
juist bewezen worden. Welke rechte tekenen we dan wel?
2. Tot welke rechte kan A behoren?
Zwaartelijn
Hoogtelijn
Bissectrice
Wat wordt het gevraagde in elk van de gevallen?
3. We vullen de tekeningen aan met kenniselementen uit de meetkunde.
Zwaartelijn
ZZZ
of
ZHZ
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Hoogtelijn
Bissectrice
ZZH (geen
congruentiekenmerk
tenzij voor rechthoekige
driehoeken)
ZHH doet het ook
ZHZ
of
HZH
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
7/48
4. We gebruiken congruentiekenmerken om de gelijkheid van zijden en/of van
hoeken te besluiten. We stellen vast dat we bij de situatie met de hoogtelijn
voorzichtig moeten zijn.
<=)
We kunnen deze pijl als klastaak / huistaak opgeven op voorwaarde dat we
vooraf een stappenplan bespreken met de leerlingen:
1. maak een tekening: markeer het gegeven in groen
2. markeer het gevraagde in rood.
3. In welke driehoeken ga je nadenken
4. Kan je een congruentiekenmerk toepassen
5. Verifieer elke voorwaarde die hierbij nodig zou zijn.
C. Verder onderzoek We gaan op het elan verder dat we in de probleemstelling hebben aangevat:
- Welke punten in het vlak liggen even ver van 3 gegeven
punten (niet op eenzelfde rechte gelegen)?
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
8/48
P ligt even ver van A en B => P ligt op de middelloodlijn van [AB].
P ligt even ver van B en C => P ligt op de middelloodlijn van [BC].
Dus P ligt op het snijpunt van de middelloodlijnen. Er is maar één punt dat
voldoet.
-
Kunnen we de ligging van P met meer details omschrijven?
o Ligt P ook op de derde middelloodlijn? Is dat toeval?
o Hoe liggen A, B en C tov P? Wat betekent dit?
En we hebben een nieuwe overgang gecreëerd naar een nieuwe eigenschap!
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
9/48
4. Som van de hoeken van een driehoek A. Probleemstelling: Is er een verband tussen de hoeken van een driehoek?
Stap 1: De lln voelen dat er een verband moet zijn, al weten ze nog niet
welk verband?
o Experimenteren: met een plooimeter, met Meccano, met Geogebra,
….
Vaststelling: als ik twee hoeken kies, dan is er geen vrije keuze meer
voor de derde hoek. Dus die ligt vast.
Stap 2: wat is het verband dan tussen de hoeken van een driehoek?
o Experimenteren:
o Groep 1: de lln tekenen allemaal een andere driehoek: Elke leerling
meet nauwkeurig de grootte van de drie hoeken. Is er een verband
tussen de groottes?
vaststelling: Hoe komt het dat niet iedereen hetzelfde resultaat
heeft? Wat kan hier meespelen? Liggen alle resultaten in elkaars
buurt? De lln formuleren een hypothese.
o Groep 2: De lln experimenteren met Geogebra en/of Cabri:
vaststelling: de lln vinden dat de som van de hoeken steeds gelijk is
aan 180°.
o Groep 3: Krijgt een uitgeknipte versie van de driehoek. Ze mogen
hem manipuleren hoe ze willen om iets over de som te kunnen
vaststellen.
vaststelling: na afscheuren van de hoeken en mooi positioneren
stellen ze vast dat de drie hoeken samen een gestrekte hoek
vormen.
Stap 3: We leggen de bevindingen van de drie groepen samen en we
oordelen kritisch:
o Hoe komt het dat er in de eerste groep verschillende resultaten
zijn? + Kritisch: we hebben enkele voorbeelden onderzocht. Is het
wel altijd waar?
o Groep 2: een duidelijk beeld; het vermoeden wordt sterk want het
aantal onderzochte voorbeelden is nu echt wel groot en de meting
gebeurde nauwkeurig. Maar toch, is het algemeen waar?
o Groep 3: kritisch: Vormen die drie hoeken samen wel echt een
gestrekte hoek; liggen die twee uiterste benen wel altijd in elkaars
verlengde? Of is er misschien een kleine knik? Is het toeval?
Stap 4: een hypothese wordt geformuleerd.
De som van de hoekgroottes van een driehoek is steeds 180°.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
10/48
Stap 5: Waarom is het altijd waar? We moeten een bewijs zoeken,
onafhankelijk van de voorbeelden die we onderzocht hebben.
Er zijn verschillende aanpakken mogelijk:
B. Opbouw van het bewijs Methode 1:
Sluit aan bij het scheurexperiment.
Wat was het probleem? Waar waren we niet zeker van?
We moeten dus nog verklaren dat in elk geval, voor elke driehoek die we
willekeurig kiezen, die drie hoeken samen een gestrekte hoek gaan vormen
en dus dat de uiterste benen in elkaars verlengde liggen. We maken een
schets van de situatie:
We hebben de hoek verlegd. Dat is in de wiskunde hetzelfde als een
transformatie uitvoeren. Welke transformatie kan die hoek sturen op één
van de hoeken in B? (bijv. een puntspiegeling tov het midden van [AB]. Wat
doet een puntspiegeling met een rechte? Met een hoek?
Analoge redenering voor de hoek in C.
sleutelideeën / te onthouden:
- scheurexperiment vertalen in een tekening.
- verleggen is een transformatie uitvoeren.
- effect van deze transformatie op rechten en op hoeken beschrijven.
Methode 2
Het bewijs zoeken is zoals het oplossen van een probleem.
o We proberen eerst een eenvoudiger probleem op te lossen:
wat in het geval van rechthoekige driehoeken? wat zouden we dan
moeten bewijzen?
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
11/48
o Metaniveau: Vooraleer we ons engageren moeten we zeker zijn dat
het antwoord op deze vraag ons gaat vooruithelpen. Gaan we de
methode kunnen veralgemenen? Gaan we het resultaat kunnen
gebruiken?
Als we weten dat de som van de twee scherpe hoeken in een rechthoekige
driehoek samen 90° is, dan kunnen we ook snel verklaren waarom de som
van de drie hoeken in een willekeurige driehoek gelijk is aan 180°, nadat we
de driehoek hebben verdeeld in twee rechthoekige driehoeken.
We vervangen dus het oorspronkelijk probleem door een
eenvoudiger, maar gelijkwaardig probleem.
o Kan ik dit probleem in verband brengen met situaties die ik al
ken?
Ken ik nog figuren met rechte hoeken? Wat is de som van de hoeken van
een rechthoek? 360°. Heeft mijn tekening verband met een rechthoek?
We leggen twee identieke rechthoekige driehoeken tegen elkaar zodat ze
samen een vierhoek vormen. Wiskundig vertaald wordt dat:
We roteren de figuur om het midden van de schuine zijde of we spiegelen de
rechthoekige driehoek tov het midden van de
schuine zijde.
Als we kunnen verklaren dat deze figuur een
rechthoek is, dan is het probleem opgelost.
Plan: We bewijzen dat
- de vierhoek een parallellogram is;
- de vier hoeken recht zijn;
Welke taal gaan we kiezen om te spreken
over een parallellogram? (lengtes van zijden?,
diagonalen?, evenwijdigheid?, ….) We
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
12/48
overleggen samen met de lln wat de meest strategische keuze is.
Met lengtes:
Vermits het twee identieke driehoeken zijn weten we zeker dat er lengtes
overeenkomen:
lJKl = lHIl en lJHl = lIKl en dus hebben we dat de overstaande zijden
even lang zijn.
OF
Met evenwijdigheid:
Puntspiegelen stuurt een rechte op een rechte die evenwijdig is:
HI // KJ en HJ // KI en dus hebben we dat overstaande zijden
evenwijdig zijn.
OF
Met hoeken:
Overstaande hoeken zijn even groot.
We kunnen dus concluderen dat we een parallellogram hebben.
o Welke kennis over evenwijdigheid en loodrechte stand kan me verder
helpen? (verband leggen met relevante kennis)
Als een rechte loodrecht staat op één van twee evenwijdige rechten, dan ook
op de tweede.
Methode 3:
Hier zullen de lln waarschijnlijk niet zelf opkomen. Daarom is het interessant
om hen voor de voorgestelde oplossing kritische vragen te laten stellen en
hen een schema van het oplossingsproces te laten bedenken.
ACTIE
We plooien de tophoek van de
driehoek tov de rechte die de
middens van twee aanliggende zijden
KRITISCHE VRAGEN
Vertaal dit in wiskunde? (we
spiegelen de hoek tov de rechte
DE)
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
13/48
verbindt.
We zien twee gelijkbenige driehoeken
verschijnen
We vullen de tekening aan met
kenniselementen.
We analyseren de situatie in C’:
Waarom zijn die driehoeken
gelijkbenig?
Wat weet ik allemaal over
gelijkbenige driehoeken?
Waarom ligt C’ precies op AB?
(∆CDE ~ ∆CAB want middenparallel is
evenwijdig met basis en half zo lang.
Dus de hoogte van de driehoek is ook
gehalveerd)
Dit zou dus een bewijs zonder woorden kunnen zijn, als we antwoord hebben
gevonden op al die kritische vragen!
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
14/48
5. Kenmerk van een gelijkbenige driehoek Een driehoek is gelijkbenig
 twee hoeken zijn even groot.
 een middelloodlijn van een zijde is tegelijkertijd een bissectrice,
een hoogtelijn, een zwaartelijn van de driehoek
A. Verloop van het instructie-­‐leerproces: I. Ontdekken van de kenmerken van een gelijkbenige driehoek
1. de leerlingen onderzoeken een gelijkbenige driehoek om vast te
stellen dat de basishoeken even groot zijn
2. de leerlingen ontdekken door te plooien dat de merkwaardige
lijnen in een gelijkbenige driehoek zeer bijzonder zijn.
3. de leerlingen stellen vast dat die eigenschappen zeker niet altijd
voldaan zijn in een willekeurige driehoek
4. de leerlingen tekenen driehoeken die aan de voorwaarden
voldoen en stellen vast dat die driehoeken noodzakelijk
gelijkbenig zijn.
5. de leerlingen komen tot het vermoeden dat die eigenschappen
kenmerken zijn; ze begrijpen dat uit de voorbeelden nog niet
met zekerheid algemene conclusies kunnen getrokken worden
II. Oefenen om een duidelijk onderscheid te leren maken tussen
gegevens en te bewijzen.
III. Abstractie: de leerlingen zien in dat congruentiekenmerken van
driehoeken sleutelelementen zijn in de verklaring van de
kenmerken.
IV.Opbouw van verschillende bewijzen
V. Nabespreking
VI.Oefenen op analoge redeneringen
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
15/48
I. Ontdekken van het kenmerk.
Indeling van de klas in 4 groepjes.
Alle groepjes krijgen een (gelijkbenige) driehoek.
Groepje 1: krijgt een uitgeknipte versie van de driehoek zonder
meetapparatuur
Groepje 2: Krijgt een uitgeknipte versie en een passer
Groepje 3: Krijgt een getekende versie (niet uitgeknipt) en een meetlat
Groepje 4: Krijgt een uitgeknipte versie en een gradenboog
Opdracht 1: Ga na of de driehoek bijzonder is.
Vaststelling/klasgesprek: Groepje 1: kan de zijden van de driehoek op elkaar leggen door te plooien en
stelt vast: twee zijden zijn even lang en twee hoeken zijn even groot
Groepje 2: past de zijden af met de passer en stelt vast: twee zijden zijn even
lang. Doen ze moeite om te plooien en iets over de hoeken te ontdekken?
Groepje 3: meet de zijden: lengten van twee zijden zijn gelijk
Groepje 4: meet de hoeken: twee hoeken zijn even groot; doen ze moeite om
door te plooien iets over de zijden te ontdekken?
Probleemstelling/klasgesprek: Vanuit de klas worden er vragen gegenereerd. Kan groepje 4 besluiten dat het een gelijkbenige driehoek is?
Zijn alle driehoeken die twee even grote hoeken hebben gelijkbenig?
Hebben alle gelijkbenige driehoeken twee even grote hoeken? Welke hoeken
zijn dat?
Groepje 1 kon door te plooien vaststellen dat beide uitspraken waar zijn op
hun exemplaar.
a. Als de twee zijden op elkaar gelegd worden, dan blijken de
hoeken elkaar te bedekken.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
16/48
b. Als de twee hoeken op elkaar gelegd werden, dan blijken de
zijden elkaar te bedekken.
We verifiëren beide uitspraken op extra voorbeelden ahv Geogebra of Cabri
…. en het vermoeden wordt sterk dat we hier met een eigenschap (kenmerk)
te maken hebben. We vertalen beide uitspraken in wiskundetaal:
a. Als een driehoek gelijkbenig is , dan zijn de basishoeken even groot.
b. Als twee hoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek
gelijkbenig.
We anticiperen op het bewijs:
Hoe noemen we figuren die elkaar volledig bedekken? Zijn we hier dergelijke
figuren tegengekomen?
- de twee opstaande zijden zijn congruent
- de twee basishoeken zijn congruent
- de plooilijn verdeelt de driehoek in twee congruente driehoeken.
Opdracht 2: De geplooide driehoek wordt geobserveerd. Wat stelt de
plooilijn voor? Verschillende juiste antwoorden zijn mogelijk.
- een symmetrieas; door punten te spiegelen tov de plooilijn zien we dat
de overeenkomstige punten opnieuw deel uitmaken van de driehoek.
- Een zwaartelijn: de plooilijn gaat door de top en de basis wordt precies
in twee geplooid (de helften bedekken elkaar);
- Een hoogtelijn: de twee hoeken in het voetpunt van de plooilijn
bedekken elkaar en zijn dus even groot, maw 90°
- Een middelloodlijn: want basis wordt gehalveerd en de twee hoeken in
voetpunt zijn even groot
- een bissectrice: de twee hoeken die samen de tophoek bepalen
worden op elkaar gelegd en zijn dus even groot.
We stellen al deze merkwaardigheden vast, gewoon door te kijken naar de
gevouwen driehoek.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
17/48
We vatten onze bevindingen samen in eigenschappen:
Als een driehoek gelijkbenig is dan is
de middelloodlijn van de basis een hoogtelijn
de bissectrice van de tophoek een zwaartelijn
…..
Opdracht 3: Gelden die eigenschappen ook in andere driehoeken? In
welke driehoeken gelden ze?
Verifieer enkele voorbeelden….
Groepje 1:
- teken een willekeurige driehoek: verifieer of
o twee hoeken even groot zijn
o een middelloodlijn ook een bissectrice is van de overstaande
hoek
o …..
o
Groepje 2: elke leerling tekent:
een driehoek waarvan een middelloodlijn ook een zwaartelijn is. Welke
driehoek heb je getekend?
Groepje 3: elke leerling tekent:
een driehoek waarvan een middelloodlijn ook een hoogtelijn is.
Groepje 4:elke leerling tekent:
een driehoek waarbij een hoogtelijn ook een bissectrice is
Groepje 5: elke leerling tekent:
een driehoek waarvan twee hoeken even groot zijn. Welke driehoek heb je
getekend?
….
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
18/48
Opdracht 4: Samenvatting: Waaraan kunnen we herkennen dat een
driehoek gelijkbenig is?
……
Te bespreken met de leerlingen:
- Wat betekent die dubbele pijl?
Wat als de basishoeken niet even groot zijn? (welke pijl gebruik je?)
Wat moet zeker waar zijn als de driehoek gelijkbenig is? (welke pijl
gebruik je?)
Wanneer ben ik zeker dat ik met een gelijkbenige driehoek te maken
heb? (welke pijl gebruik je?)
- Zijn we nu reeds zeker dat die pijl altijd waar is, voor alle mogelijke
tekeningen die we kunnen maken? Hebben we dat reeds geverifieerd?
Hoe kunnen we dat verifiëren?
- Wat zijn in elk van de gevallen de gegevens? wat is er te bewijzen?
II. Oefeningen op merkwaardige lijnen
Opdracht 5:
Voor elk van onderstaande beweringen maak je een tekening. Je duidt in
het groen aan wat er gegeven is, je duidt in het rood aan wat er te
bewijzen is.
In een gelijkbenige driehoek
-
is de zwaartelijn uit de tophoek ook een hoogtelijn
-
is de hoogtelijn uit de tophoek ook een bissectrice
-
is de bissectrice uit de tophoek ook de middelloodlijn van de basis
…..
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
19/48
III.
Abstractie
Probleemstelling:
We tekenen een gelijkbenige driehoek op het bord. We kunnen de
driehoek niet meer plooien om te verifiëren of de basishoeken even
groot zijn.
Welke theorie kunnen we gebruiken in plaats van het op elkaar leggen,
om te checken dat lijnstukken even lang zijn etc.….
(congruentiekenmerken)
Welke driehoeken kunnen we kiezen? Welke rechten kunnen we
gebruiken?
IV.Bewijzen van het kenmerk:
Een driehoek is gelijkbenig  twee hoeken zijn even groot.
=>) de leerlingen tekenen voor elke keuze van een merkwaardige lijn vanuit
de tophoek, wat gegeven is en wat gevraagd is: zo ontstaan er spontaan
verschillende bewijsmogelijkheden. De keuze wordt niet opgedrongen door de
leerkracht; de leerlingen beslissen wat kan en wat niet kan.
Zwaartelijn
Bissectrice
Hoogtelijn
Middelloodlijn
Gaat de
middelloodlijn met
zekerheid door
het overstaande
hoekpunt?
ZZZ
ZHZ
ZZH
enkel in
rechthoekige
driehoeken
- we tekenen een zwaartelijn uit het toppunt. De lln tekenen in rood en
groen wat er gegeven is en wat TB is.
- we tekenen een bissectrice van de tophoek. De lln tekenen in rood en
groen wat er gegeven is en wat TB is.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
20/48
- we tekenen een hoogtelijn uit de tophoek. De lln tekenen in rood en
groen wat er gegeven is en wat TB is.
- we denken aan een middelloodlijn maar bespreken het probleem van
de positie van de tophoek?
<=) Omgekeerd
Wat is nu gegeven? Wat is nu TB? Wat tekenen we in het groen? Wat in het
rood? Welke rechten kunnen ons helpen? De leerlingen ontdekken nu dat een
hoogtelijn en een bissectrice de context voor een bewijs kunnen bepalen.
Voor de zwaartelijn is er een probleem (ZZH); voor de middelloodlijn is er een
analoog probleem zoals met de heengaande pijl.
B. Nabespreking Hoe leren we dit bewijs?
- Goed begrijpen wat een dubbele pijl wil zeggen; dit leidt vaak tot
twee delen van een bewijs;
- Bij elke pijl goed nadenken: wat mogen we gebruiken? wat moeten
we bewijzen?
- Welke sleutelbegrippen onthouden we? (congruentiekenmerken van
driehoeken, merkwaardige lijnen in een driehoek)
- We leren de keuzes niet van buiten. Door een tekening te maken
beslissen we of de situatie leidt tot een echt congruentiekenmerk.
V. Oefenen op analoge redeneringen
Talrijke eigenschappen kunnen op basis van dezelfde methode verklaard
worden:
Maak een tekening.
Duid in het groen aan wat je krijgt! Zijn er keuzes?
Duid in het rood aan wat je moet bewijzen? Zijn er keuzes?
In welke driehoeken ga je nadenken?
Welke congruentiekenmerken bieden een oplossing?
- als een hoogtelijn ook een zwaartelijn is, dan is de driehoek
gelijkbenig.
- als een zwaartelijn ook een bissectrice is, dan …
- als een hoogtelijn ook een bissectrice is, dan …
- Als een driehoek gelijkbenig is, dan is een hoogtelijn ook een
bissectrice.
- ….
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
21/48
6. Middelpuntshoek versus omtrekshoek in een cirkel. A. Een onderzoek naar een hypothese Probleem: wat weet ik over de tophoek van een driehoek met vaste basis,
als het toppunt aan bepaalde voorwaarden voldoet?
1) Stel het toppunt behoort tot een rechte?
De grootte van de tophoek kan
oneindig veel waarden aannemen.
Er is dus geen regelmaat.
2) Stel de hoekpunten van de driehoek behoren tot een cirkel, de basis is fix.
Telkens wordt er een onderzoeksvraag bedacht om daarna tot een hypothese
te komen.
•
Met Cabri/Geogebra ontdekken we samen met de leerlingen
of er een verband is tussen alle tophoeken van driehoeken met
zelfde basis (=koorde).
We stellen vast dat alle
tophoeken even groot zijn.
Ook voor extreme posities van
de tophoek.
•
Speelt de positie van [BC] een rol? We onderzoeken het met
Cabri/Geogebra.
Voor gekozen koorde blijft de grootte van de tophoek een constante. (We
laten de koorde ook extreme posities innemen, bijvoorbeeld door het
middelpunt van de cirkel en stellen dan reeds een bijzondere hoekgrootte
vast).
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
22/48
•
Hoe groot is de tophoek? Wat kan hierbij bepalend zijn?
o Welke wijziging (van positie) van [BC]
heeft een invloed?
o Wat als de lengte van [BC] gewijzigd
wordt?
o Welke rol heeft de cirkel hierin?
 de lengte van het lijnstuk en de positie tov
het middelpunt spelen een rol. Waar zie ik
die elementen verschijnen?
 Dus eigenlijk is de grootte van de tophoek
volledig bepaald door de driehoek BMC
 de leerlingen zijn klaar om te ontdekken dat
de grootte van de tophoek de helft is van de
grootte van de middelpuntshoek.
•
Hoe ver kunnen we gaan met de positie van het hoekpunt A?
Met de positie van de koorde [BC]?
o A mag heel dicht bij een van de grenspunten B of C komen
o A kan op middellijnen CM of
BM gelegen zijn.
o [BC] kan door het middelpunt
gaan.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
23/48
o Het punt A mag voorbij de grenspunten gaan, dus bewegen op
de kleine cirkelboog: de grootte van de hoek blijft dan ook
constant, maar heeft een andere waarde (kan tot een nieuw
onderzoek leiden).
Verschillende hypothesen rollen uit dit onderzoek:
1. De grootte van de omtrekshoek is een constante als de hoek steunt
op een koorde [BC]; de constante hangt af van de cirkelboog waarop
het toppunt varieert.
2. Indien A gelegen is op de grote cirkelboog bepaald door [BC], dan is de
grootte van gelijk aan de helft van de grootte van de
middelpuntshoek bepaald door [BC].
3. Indien [BC] een middellijn is, dan is de omtrekshoek een rechte
hoek.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
24/48
B. Een bewijs zoeken is zoals het oplossen van een probleem: We gebruiken het strategische plan en de nodige heuristieken om een
verklaring te vinden voor de relatie die als hypothese werd gesteld.
1. Analyse van het probleem
•
•
Het begrijpen van het probleem: = het begrijpen van de
hypothese is reeds gebeurd via de instap omdat de opbouw door de
leerlingen zelf is gebeurd. Zij begrijpen/voelen dat er een verband
moet zijn tussen de omtrekshoek en de middelpuntshoek. Bovendien
heeft ICT hen overtuigd dat de hypothesen waar zijn. Ze begrijpen nog
niet waarom het waar is, maar ze geloven erin.
We maken een tekening van het probleem en markeren alle
gegevens. Eventueel het TB
in het rood met een ‘?’ erbij.
•
•
We tekenen hulplijnen
(verbindingslijnen met het
middelpunt om te kunnen
weergeven dat de punten op
een cirkel gelegen zijn)
We gebruiken eigenschappen van de gegevens
o basishoeken van gelijkbenige driehoeken zijn even groot;
o afstand tot het middelpunt is constant.
o de som van de hoeken in een driehoek is 180°.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
25/48
Indien we in dit stadium door de bomen het bos niet kunnen zien en dus nog
geen plan hebben (*):
•
we kijken of we eerst een eenvoudiger probleem kunnen oplossen
waarvan we het resultaat of de methode kunnen toepassen in het
algemene geval. Is er een eenvoudige positie van de tophoek waarbij
de relaties ook eenvoudig
worden? Wat maakte de
algemene situatie zo complex?
(te veel driehoeken)
 minder driehoeken creëren;
vanuit de instap was de positie
van de tophoek op een
middellijn al eens onderzocht.
•
Is het nuttig om deze situatie afzonderlijk op te lossen? Ben ik iets
met het resultaat? Met de methode?
Een willekeurige situatie kan teruggebracht worden tot een combinatie
van twee bijzondere situaties. We kunnen dus het resultaat van het
bijzondere geval gebruiken in het algemene geval.
Dus we gaan voor het eenvoudig probleem want het zal ons naar
succes leiden.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
26/48
2. Plan1
We werken al de relaties uit en hopen het gewenste verband tussen de
grootte van de middelpuntshoek
en de grootte van de omtrekshoek
in
een gelijkheid te vinden. Het komt er dus op neer om te rekenen.
Plan 2 (indien we (*) overwogen hadden)
1. We werken al de relaties uit in de eenvoudige situatie en hopen het
gewenste verband tussen de grootte van de middelpuntshoek
en
de grootte van de omtrekshoek
in een gelijkheid te vinden. Dus
rekenen en zonderen
2. We passen het resultaat toe voor de twee deelproblemen en tellen de
hoekgroottes
en
op.
3. Uitwerking van het plan
Plan 1:
Plan 2:
1.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
2.
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
27/48
4. Reflectie op de oplossingsmethode
•
Kan ik dit probleem op een andere manier oplossen? Op een
eenvoudigere manier?
Indien aan plan 2 gedacht was aanvankelijk, dan zou men nu misschien aan
plan 1 kunnen denken want de methode in het bijzondere geval kan
eveneens onmiddellijk toegepast worden, zonder veel extra problemen.
•
Is mijn methode (bijvoorbeeld plan 2) wel degelijk in elke
positie van de gegevens te gebruiken?
In de positie dat [BC] een middellijn is? Ja, de
situatie kan opnieuw in twee deelproblemen
opgesplitst worden. De twee resultaten worden
dan opnieuw opgeteld.
Het is wel ver gezocht, want in dit geval is het
makkelijker om het probleem direct aan te
pakken (zoals in plan 1).
In de positie dat het toppunt A verder
doorgetrokken wordt (het middelpunt M ligt nu
niet meer in het inwendige van de driehoek)?
Ja, de situatie kan opnieuw in twee
deelproblemen opgesplitst worden. De twee
resultaten worden dan niet meer opgeteld
maar afgetrokken van elkaar. Dus eigenlijk is
de methode dezelfde.
•
Kan ik nieuwe relaties ontdekken die verwant zijn met het
probleem?
In de instapfase zagen we dat indien A op de andere cirkelboog beweegt,
bepaald door de koorde [BC], dat de hoekgrootte dan eveneens constant is.
o Is er opnieuw een eenvoudige relatie met de grootte van de
middelpuntshoek?
o Kan ik mijn vorige oplossingsmethoden gebruiken?
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
28/48
7. Eigenschap van een koorde in een cirkel A. Een onderzoek naar een hypothese Probleemstelling:
1. Beschrijf de informatie die hier gegeven
wordt.
2. De klas wordt in drie groepen ingedeeld:
Groep 1: teken een koorde; teken dan de
middelloodlijn.
Groep 2: teken een koorde; teken de
loodlijn vanuit het middelpunt op de koorde.
Groep 3: teken een koorde; teken de rechte
door het middelpunt en die de rechte
halveert.
3. Kunnen jullie meer informatie geven over de ligging van de rechte tov van
de cirkel of van de koorde?
Wat stellen jullie vast?
 er werd te veel informatie gegeven in de oorspronkelijke tekening;
 de tekening onthult dus eigenlijk drie verhalen
…
…
…
We komen tot drie hypothesen.
B. Bewijzen zoeken De drie bewijzen worden het best tegelijkertijd aangepakt. De gelijkenis
moet ontdekt worden en uitgebuit worden.
1. Analyse van het probleem
•
Het begrijpen is al voor een deel gebeurd tijdens de ontdekking van
de drie beweringen; De leerlingen zijn overtuigd van de waarheid
ervan, want een grote groep leerlingen stelden hetzelfde vast, elk op
een aparte, niet voorgekauwde tekening. Ze geloven erin.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
29/48
2. Opstellen van een plan
•
Er dient handig gebruik gemaakt te worden van nuttige
heuristieken:
o Gebruik verschillende kleuren om het gegeven (groen) duidelijk
te onderscheiden van het te bewijzen (rood);
o Teken hulplijnen
o Markeer alle kenniselementen die je ontdekt door gebruik te
maken van eigenschappen die met de figuren die ontstaan,
gepaard gaan.
o Ben ik reeds gelijkaardige situaties tegengekomen?
(gelijkheid van lengtes van lijnstukken bewijzen; gelijkheid van
hoekgroottes bewijzen)
o Welke theorie/methode was in die situatie succesvol?
Congruentie van driehoeken/ eigenschap van een middelloodlijn
van een lijnstuk
3. Uitwerking van het plan
T.B. De middelloodlijn
T.B. De middellijn die de
van de koorde gaat door koorde middendoor
het middelpunt.
snijdt, staat loodrecht
op de koorde.
T.B. De loodlijn uit het
middelpunt op de
koorde staat loodrecht
op de koorde.
kenmerk middelloodlijn:
M ligt op de
middelloodlijn 
de driehoeken MBD en
MCD zijn congruent
( ZHH)
=>
de driehoeken MBD en
MCD zijn congruent
(ZHZ)
=>
=90°
(want som is 180°)
4. Reflectie op het verloop van de oplossing
•
Is er een andere bewijsmethode mogelijk? Wat weet ik nog
over de driehoeken die zichtbaar zijn?
In gelijkbenige driehoeken zijn de hoogtelijnen ook zwaartelijnen en
omgekeerd.
Kan ik in het eerste voorbeeld geen gebruik maken van congruente
driehoeken?
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
30/48
8. Stelling van Pythagoras: A. Een verhaal van de opbouw van de hypothese met een heel klein beetje toveren. Startprobleem:
We kennen een verband tussen de groottes van de hoeken van een driehoek
… is er ook een verband tussen de lengtes van de zijden van een driehoek?
Of
Stel 2 zijden van een driehoek zijn gekend. Ligt de derde zijde dan vast?
Eenvoudige gevallen:
Gebruik de reuzenpasser in de klas om gelijkbenige driehoeken te
onderzoeken: we zien dat er geen verband kan zijn tussen de zijden; dit idee
is trouwens uit te breiden naar andere driehoeken.
Dus er is nood aan een extra beperking: één hoek vastleggen.
•
•
•
•
We onderzoeken eerst enkele eenvoudige hoeken.
Hoek = 0° . We hebben geen driehoek. Het overblijvende lijnstuk heeft een
lengte gelijk aan het verschil van de gegeven lengtes.
Hoek= 180°. We hebben opnieuw geen driehoek. Het derde lijnstuk heeft een
lengte gelijk aan de som van de twee gegeven lengtes.
Hoek =90° ?
Willen we de zoektocht later uitbreiden dan komen we op de cosinusregel; we
kondigen dit al aan. We zullen dus zeker werken naar een algemene oplossing
toe, op termijn.
De bedoeling is om een didactische opbouw te bedenken die zo geloofwaardig
mogelijk is, getrouw aan een natuurlijk denkproces.
Opdracht 1: De leerlingen tekenen allemaal een rechthoekige driehoek. Zien
ze een verband tussen de lengtes van de rechthoekzijden en de lengte van de
schuine zijde?
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
31/48
NEEN. Onmogelijk. De kans is groot dat de lengte een irrationaal getal is, dus
niet exact te beschrijven. Het probleem is te moeilijk. Dit is een situatie die de
leerkracht niet uit de weg moet gaan. Bij het oplossen van problemen is de
realiteit zo dat er acties zijn die niet steeds tot een resultaat leiden.
Een belangrijke problemsolving heuristiek is dan om over te gaan naar een
eenvoudiger probleem.
Opdracht 2: De leerlingen onderzoeken de meest eenvoudige rechthoekige
driehoek: een gelijkbenige met lengte van de
rechthoekzijden gelijk aan 1. Kunnen ze de lengte van
de schuine zijde bepalen?
METEN: onmogelijk om de associatie te leggen met
.
De figuur kan niet eenvoudiger; dus we moeten de
methode over een andere boeg gooien. (= beslissing)
Opdracht 3: We proberen de lengte van de schuine zijde op een andere
(meetkundige) manier te betrekken bij deze driehoek. Wat kunnen we
berekenen van de driehoek?
We proberen de oppervlakte te berekenen.
OppΔ=
. Er verschijnt opnieuw geen a. Kan de
oppervlakte van de driehoek berekend worden op basis van a?
We tekenen hulplijnen en duiden aan wat we zeker weten in de
meetkundige figuur..
ΔADC ∼Δ CAB (HHH) (*)

= hoogte van de driehoek
 OppΔ =
=
 We vinden dus dat a2=2
(*) Ook zonder kennis over gelijkvormigheid zien de lln dat de driehoek ADC
gelijkbenig is en rechthoekig, want de basishoeken van de kleine driehoek zijn
even groot.
Op dit moment is het onmogelijk voor de leerlingen a2 te zien als de som van
de kwadraten van de rechthoekzijden.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
32/48
Opdracht 4: We onderzoeken nog meer gelijkbenige rechthoekige
driehoeken. We zoeken naar een patroon. We kunnen steeds gebruik
maken van dezelfde redenering.
Lengte rechthoekzijde
2
3
4
We begrijpen dat de methode in het
…b
a2
8
18
32
algemeen kan gebruikt worden
2b2
We komen tot een eerste bevinding(**): In een gelijkbenige rechthoekige
driehoek is het kwadraat van de lengte van de schuine zijde tweemaal het
kwadraat van de lengte van de rechthoekzijde.
(**) Dit is wel degelijk een bevinding want een bewijs is gevonden voor elke
gelijkbenige rechthoekige driehoek.
Opdracht 5: Kunnen we van hieruit een gooi doen naar een eerste
veralgemening voor een willekeurige rechthoekige driehoek?
-­‐ Ligt het aan het feit dat de driehoek gelijkbenig is, eerder dan aan het
feit dat hij rechthoekig is?
-­‐ Heeft het kwadraat van de lengte van de schuine zijde iets te maken
met het kwadraat van de lengtes van de rechthoekzijden?
We kunnen de leerlingen opnieuw niet loslaten en vrij rechthoekige
driehoeken laten onderzoeken, want de lengte van de schuine zijde van een
willekeurige rechthoekige driehoek kan nog steeds niet exact bepaald worden
door meting. We suggereren dus enkele voorbeelden die wel kunnen
onderzocht worden: rechthoekzijden (3, 4) (6, 8) … (5, 12) … Aangezien de
schuine zijde een natuurlijk getal is, kunnen ze het vermoeden checken.
Daarna kunnen de leerlingen een willekeurig voorbeeld onder de loep nemen
en verifiëren of hun vermoeden (bij benadering) ook hier geldt (ze begrijpen
nu de beperkingen van de meetresultaten).
De klas formuleert een hypothese:
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de schuine
zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de
rechthoekzijden.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
33/48
Gebruikte Problem solving technieken:
Heuristieken:
-­‐ Analyse van het probleem in eenvoudige gevallen
-­‐ Tekenen van hulplijnen
-­‐ Markeren van alles wat je weet op de tekening
-­‐ Een eenvoudiger probleem oplossen
-­‐ Kan het resultaat veralgemeend worden?
-­‐ Kan de methode veralgemeend worden?
-­‐ Zoeken naar een patroon
-­‐ Situaties inschatten en beslissingen nemen
B. Opbouw van een bewijs Is de methode die we in het eenvoudige geval gehanteerd hebben te
redden/te veralgemenen? Er zijn verschillende pistes.
Piste 1
We loodsen de leerlingen naar een zeer verwante redenering, eerst voor het
eenvoudige geval.
Sleutelelement in het geval van gelijkbenige rechthoekige driehoeken is
oppervlakteberekening. a2 is de waarde waarrond alles draait. Is a2 zelf ook
een oppervlakte? Van welke figuur? Van een vierkant.
Opdracht 1:
Wat is het verband tussen de
oppervlakte van het vierkant en de
oppervlakte van de driehoek?
De oppervlakte van het vierkant is 4
maal de oppervlakte van de driehoek.
Opp (vierkant) = 4 * oppΔ
 a2 = 4 *
=2
Kan deze methode veralgemeend worden?
Kan ik een willekeurige rechthoekige driehoek 4 maal nemen en daarmee een
figuur maken waarvan de oppervlakte eenvoudig te bepalen is?
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
34/48
Opdracht 2: De leerlingen proberen 4 exemplaren van de rechthoekige
driehoek zo te schikken dat er eenvoudige figuren ontstaan waarvan de
oppervlakte kan berekend worden.
We observeren de elementen in de tekening van de eenvoudige situatie en
trachten die te kopiëren:
- De vier hoekpunten samenbrengen in één punt.
- De vier schuine zijden van de vier driehoeken als zijden
van een 4-hoek schikken
- De vier schuine zijden van de vier driehoeken als zijden
van een vierkant schikken
- …
Er kunnen zo schikkingen voorgesteld worden waarmee we op een dood
spoor geraken:
De omhullende is wel een vierkant, maar
van de overblijvende driehoeken is het
moeilijk om de oppervlakte te berekenen.
Een ruit is wel degelijk een
eenvoudige figuur. De oppervlakte
kan echter niet uitgedrukt worden
uitsluitend in functie van de zijde,
maar in functie van de diagonalen.
Dit helpt ons niet.
Dus we proberen het tweede voorstel en
maken een vierkant met als zijde de schuine
zijde van de driehoek.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
35/48
Nu wordt het gewoon algebraïsch rekenwerk:
a2= 4* oppΔ + opp (klein vierkant)
=> a2= 4*
=b2 + c2
Kritisch:
- Is de omhullende wel degelijk een vierkant?
- Is het kleine vierhoekje wel degelijk een vierkant?
Piste 2.
We veralgemenen het bewijs van de eenvoudige situatie zo letterlijk mogelijk:
We berekenen de oppervlakte van de driehoek op twee verschillende
manieren.
oppΔ =
=
(1)
= som van de oppervlaktes van de
kleinere driehoeken
h
=
(2)
Het probleem is herleid tot twee gelijkwaardige eenvoudigere
problemen:
- We zoeken naar een uitdrukking voor x
Of
- We zoeken naar een uitdrukking voor h.
Hiervoor hebben we wel degelijk kennis nodig over gelijkvormige driehoeken.
Als we HHH gebruiken zien we dat de twee kleinere driehoeken gelijkvormig
zijn met de grote driehoek en ook onderling. We buiten de evenredigheid van
de zijden uit. De rest is rekenwerk.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
36/48
Bepaling van x
Bepaling van h
en
en
We substitueren x en a-x in
en
.
bovenstaande uitdrukking (2) voor de
oppervlaktes van de kleinere
We krijgen een uitdrukking voor h
driehoeken en vinden door de
onafhankelijk van x. Die uitdrukking
2
2
2
gelijkheid met
dat a =b +c .
substitueren we in (1) en we vinden
opnieuw dat a2=b2+c2.
C. Kritische terugblik Kan de eenvoudige situatie nog korter, subtieler bewezen worden?
Kan ik dit veralgemenen?
We moeten niet via de omweg van oppervlaktes gaan. De gelijkvormigheid
biedt onmiddellijk de uitkomst.
Voor de gelijkbenige rechthoekige driehoek met zijde 1:
=> z2 =2
Voor de algemene rechthoekige driehoek:
=> c2= a.x en b2 = a. (a-x) => b2 + c2 = a2
Andere pistes zijn mogelijk om tot even interessante bewijzen te
komen. De enige voorwaarde is de geloofwaardigheid die men in de
didactische opbouw aan de dag legt. Is het een logische
denkoefening, zoals bij het oplossen van een probleem? Dan is het
een waardevolle piste!
C. Klassieke formulering
We trachten niet te toveren om tot de klassieke voorstelling te komen, maar
we vertrekken opnieuw vanuit een probleem.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
37/48
Opdracht: Tangram
De leerlingen lossen een puzzel op: hoe kunnen ze hiermee de stelling van
Pythagoras bewijzen?
Door de stukken handig te schikken op het rode vierkant ontdekken ze dat de
oppervlakte van het grote gele vierkant gelijk is aan de som van de
oppervlaktes van de twee kleinere gele driehoeken.
De leerkracht is dan eindelijk klaar om tot de klassieke formulering van de
stelling te komen, inclusief de tekening van de rechthoekige driehoek waarbij
op elke zijde een vierkant staat getekend.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
38/48
9. Omgekeerd redeneren Een handboek vermeldt volgende stelling met bewijs:
Stelling: Als in een vierhoek twee overstaande zijden even lang zijn en
evenwijdig zijn, dan is de vierhoek een parallellogram.
Bewijs:
In onderstaande vierhoek ABCD met AD // BC en |AD| = |BC| trekken we de
diagonaal [BD].
Δ ABD ≅Δ CDB want |AD|=|CB| en
Daaruit volgt
en |BD|=|BD| (ZHZ)
. Dus dit zijn verwisselende binnenhoeken van AB en
CD , gesneden door de rechte BD. Daaruit volgt dat AB // CD.
De vierhoek heeft twee paar evenwijdige zijden en is dus een parallellogram.
Dit bewijs is helemaal correct maar kan onmogelijk in deze volgorde
aangebracht worden in de klas. Om het te ontdekken, gebeurt alles in de
omgekeerde volgorde!
Stap 1: we moeten bewijzen dat de vierhoek een parallellogram is. Welk
kenmerk gaan we gebruiken?
Met lengtes?
Met evenwijdigheid?
Met hoeken?
Met diagonalen?
Een consequente keuze zou zijn met lengtes of met evenwijdigheid,
aangezien de gegevens in deze taal zijn gegeven.
We beslissen bijvoorbeeld om het te proberen met evenwijdigheid.
Het te bewijzen wordt vervangen door een gelijkwaardig, maar eenvoudiger
probleem: TB AB//CD.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
39/48
Stap 2: welke eigenschappen kennen we om te bewijzen dat twee rechten
evenwijdig zijn?
• Een parallellogram herkennen (kunnen we nu niet gebruiken, want dat
moeten we hier juist bewijzen)
• Verwisselbare binnenhoeken, indien we beschikken over een rechte die
beide rechten snijdt;
• ….
We beslissen het tweede voorstel te gebruiken want de context is gunstig: de
rechte BD snijdt de rechten AB en CD.
We herleiden ons probleem tot een nieuw gelijkwaardig probleem:
TB
We onderzoeken onze tekening en vullen de gegevens aan; er verschijnen
driehoeken.
Stap 3: In welke context kunnen we gelijkheid van hoeken of zijden
gemakkelijk bewijzen? We zoeken naar congruente driehoeken (die keuze
komt nu nogal vanzelfsprekend ≠ tovermoment). In welke driehoeken gaan
we nadenken? Wat weten we over deze driehoeken? Waarom zijn ze
congruent? Kunnen we dit gebruiken voor ons TB?
En het bewijs is geleverd op basis van een probleemoplossende wijze. We
kunnen het bewijs makkelijk structureren en onthouden op deze manier.
• We bewijzen dat de overstaande zijden evenwijdig zijn
• Door gebruik te maken van verwisselende binnenhoeken
• Strategie=gebruik van congruente driehoeken.
Reflectie
We kozen voor de taal van evenwijdigheid. indien we hadden gekozen voor
de taal van ‘lengtes van zijden’, kan het bewijs even goed geleverd worden.
Wat zal er anders zijn?
Bij nader inzien, leidt dezelfde methode naar gelijkheid van de grootte van
overstaande hoeken.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde 26/11/2011
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
40/48
10. Belangrijke stellingen kunnen ook een eenvoudig bewijs hebben. In het vorige hoofdstuk bleek het bewijs van de stelling van Pythagoras zeker
haalbaar. Er is een grote variëteit in de keuze van de bewijzen voor deze
stelling met gelukkig een aantal eenvoudig te begrijpen bewijzen. Rekenen
met de oppervlakte van eenvoudige figuren die verschijnen, is een vaak
gebruikt recept in meetkundebewijzen.
Ook voor de stelling van Thales is er een keuze wat de bewijzen betreft.
Volgende contexten zijn bijvoorbeeld mogelijk:
- gelijkvormigheid van driehoeken;
- projectiestelling (verband tusen de lengte van een
lijnstuk en zijn orthogonale projectie op een rechte ahv
de cosinus van een hoek);
- de dichtheid van
in
;
In elk meetkundehandboek van het derde jaar vind je wel een bewijs dat
binnen één van de vorige contexten geplaatst kan worden. Afhankelijk van
het tijdstip in het schooljaar en de voorkennis van de leerlingen kan men voor
het ene of het andere bewijs kiezen. Maar die voorkennis is inderdaad niet
altijd eenvoudig.
Voor het volgende bewijs (http://www.youtube.com/watch?v=f07uVIHeI0M),
dat hier gewoon met een tekening zal geillustreerd worden, is er heel weinig
voorkennis nodig, op de oppervlakteformule voor driehoeken na. Dus geen
excuus meer om de stelling van Thales niet te bewijzen, zelfs in het begin van
het schooljaar. Het enige waar nog moet over nagedacht worden is een
geloofwaardige gedachtengang om tot deze context te komen!
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
41/48
11.
Is er altijd nood aan een bewijs? a. Patroonherkenning is verschillend van een bewijs! Voorbeeld 1: ∀ n ∈
n2+n+41 is een priemgetal
De leerlingen kunnen verschillende voorbeelden onderzoeken en vaststellen
dat het bijna altijd zo is, …. behalve bij n= 40, n= 41… begint het mis te
lopen.
Kunnen we er hen na enkele stappen laten inlopen en hen ten onrechte
overtuigen dat ze niet verder moeten gaan. Waarschijnlijk wel.
Voorbeeld 2: Plaats n punten (n>0) op een cirkel op een zodanige
manier dat geen drie diagonalen door een zelfde punt gaan. In
hoeveel domeinen wordt de cirkel verdeeld door de diagonalen.
De leerlingen ontdekken vrij snel een patroon:
n
1
2
3
4
5
6
Aantal
domeinen
1
2
4
8
16
…
Ze ontdekken telkens 2n-1 domeinen en verwachten dus bij n=6, 32
domeinen; jammer het zijn er maar ….31.
Kunnen we er hen na enkele stappen laten inlopen en hen ten onrechte
overtuigen dat ze niet verder moeten gaan. Waarschijnlijk wel.
Voorbeeld 3: Zoek een algemene uitdrukking voor de som
met n ∈
De leerlingen ontdekken snel een patroon:
Het patroon is zo sterk dat men moeilijk kan geloven dat het ergens misloopt.
Dat gebeurt ook niet. We kunnen de leerlingen vragen tot waar we moeten
gaan om zeker te zijn. Reken maar dat ze zeggen dat tot 100 gaan al
overdreven is. Maar zijn we zeker, zolang er geen bewijs is?
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
42/48
B. Pseudobewijzen Voorbeeld 1:
∀ a, b ∈
: kgv(a,b) =
Hoe kunnen we begrijpen wat hier staat … en waarom is het waar?
We bestuderen een voorbeeld:
Stel a=12 en b=1
a=22.3 en b= 2.32 => a . b = 2. (2.3) . (2.3).3
Met 2.3 kunnen we dus zowel a realiseren als b.
2. (2.3) .3 levert dus reeds een veelvoud van a op en eveneens een veelvoud
van b, dus een gemeenschappelijk veelvoud. (2.3) wegdelen uit het product
is het maximum dat we kunnen doen, anders maken we geen
gemeenschappelijk veelvoud meer.
Stel we willen het bewijs formeel opschrijven, dan is dit een lang, abstract
geformuleerd bewijs, maar in se komt er geen enkel extra inzicht in voor, dat
niet in het uitgeschreven voorbeeld begrepen is. Wat kan dat bewijs onze
leerlingen dan extra leren? Weinig!
Voorbeeld 2: ∀ n ∈
: 1 + ….. + n =
Beelddenkers vergeten deze relatie nooit en
begrijpen het waarom ervan omdat ze als volgt
hebben mogen redeneren:
Ze begrijpen onmiddellijk dat dit idee
veralgemeenbaar is.
Het is geen formeel bewijs, maar het bezorgt inzicht in de zaak, en het heeft
een sterke overtuigingskracht. Voor wie verder formeel wil denken, vindt hier
ook een basis voor een bewijs.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
43/48
Voorbeeld 3: Een natuurlijk getal verschillend van 0 is deelbaar door
9 als de som van de cijfers een veelvoud is van 9.
We begrijpen op een voorbeeld waarom dit waar is:
1764
= 1000 + 700 + 60 + 4
= (1+999) + 7.(1+99) + 6.(1+9) + 4
= (999 +7.99 + 6.9) + (1 + 7 + 6 + 4)
Is een veelvoud
van 9
Een abstract bewijs levert niet meer inzicht in de zaak, maar is gewoon een
abstracte vertaling van deze basisgedachte.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
44/48
12.
De rol van kenmerken van begrippen Voorbeeld 1: de drie middelloodlijnen in een driehoek
-> strategische keuze.
Voorbeeld 2: kenmerk van een parallellogram
-> consequente keuze
Voorbeeld 3: Middenparallel van een driehoek (herhaaldelijk
strategische keuzes)
Als in een driehoek ΔABC, M het midden is
van [AB] en N van [AC], dan geldt
- MN // BC
-
Bewijs:
1. Analyse van het probleem/opstellen van een plan
• hulplijnen tekenen
geeft aan dat het lijnstuk [MN] de helft is van
Opmerkingen
roept helemaal niet
dezelfde actie op.
een lijnstuk met lengte van [BC]. Dus we verlengen het
eerste.
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
45/48
• Probleem herleiden tot een gelijkwaardig
probleem
We moeten bewijzen dat MPBC een parallellogram is.
Er blijft maar één optie over: TB dat [MB] en [PC] even lang
en evenwijdig zijn.
De leerlingen kennen
verschillende kenmerken van
parallellogrammen:
- overstaande zijden
evenwijdig
- overstaande zijden even
lang
- overstaande hoeken even
groot
- diagonalen snijden elkaar
middendoor
- één paar overstaande
zijden even lang en
evenwijdig
- ….
• Welke theorie ken ik die hier van toepassing is?
Ontdek ik in de figuur eigenschappen die ik kan
toepassen?
Wat weet ik over parallellogrammen?
Als er nog niets ontdekt wordt, nieuwe hulplijnen
toevoegen:
Er verschijnen nieuwe figuren: APMC is een
parallellogram want de diagonalen snijden elkaar
middendoor.
En de voorgaande heuristieken worden opnieuw
doorlopen…..
- zijn er nieuwe aspecten die ik kan toevoegen?
- Welke theorie kan ik gebruiken?
- …..
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
46/48
2. Uitvoeren van het plan
3. Reflectie op het oplossingsproces
Wat was moeilijk:
- goede hulplijnen vinden
- verschillende kenmerken van de parallellogram door
elkaar gebruiken (drie!)
Hoe kwamen we op het idee om met parallellogrammen
te werken? Waar zat dat in verborgen?
Zijn er nog andere oplossingsmethoden die mogelijk zijn?
Betere?
Kunnen we het idee van gebruik van parallellogrammen
niet beter benutten?
Bovenstaande tekening kan ook geanalyseerd worden.
- markeringen aanbrengen rond alles wat we weten uit
de gegevens.
- Eigenschappen/ kenmerken van parallellogrammen
gebruiken
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
47/48
13.
-
Referenties Burger E. B.; Extending the frontiers of Mathematics; inquiries into
proof and argumentation; Key College Publishing; 2007
-
Cupilllari A.; The Nuts and Bolts of Proofs; Elsevier Academic Press,
2005
-
Epp S. S.; The role of Proof in Problem Solving. In: Schoenfeld A. H.
(Red.): Mathematical thinking and problem solving; Hillsdale (N.J.) :
Erlbaum, 1994
-
Kesselaers G., Roels J., Van Leemput G.; De stelling van Pythagoras
en een geïntegreerde aanpak in het derde jaar; Uitwiskeling 15, 2,
Onder de loep.
-
Lakatos I.; Proofs and refutations; The logic of Mathematical discovery;
Cambridge University Press; 1976
-
Polya G., How to Solve It, 2nd ed., Princeton University Press, 1957
-
Schoenfeld A.H.; Mathematical problem solving; Academic Press; 1985
-
Styianides G.J.; Stylianides A.J.; “Making proof central to prehighschool mathematics is an appropriate instructional goal”:provable,
refutable, or ubdecidable proposition?; 2006; Novotnà,J. and others
(Eds.) Proceedings 30th conference of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education, Vol. 5, pp. 209-216. Prague:
PME.
-
Argument 1, 2, 3, uitgeverij De Boeck
-
Van Basis tot limiet 1, 2, 3, 4; uitgeverij Die keure
Anne Schatteman
Erasmushogeschool Brussel
Dag van de wiskunde en de wetenschappen. 14/3/2009
Als we kiezen voor bewijzen laten we dan niet toveren …
48/48