Tentamen Lineaire Algebra wi1311Wb, deel 2

Technische Universiteit Delft
Faculteit Informatietechnologie en Systemen
Mekelweg 4
2628 CD Delft
Tentamen Lineaire Algebra
wi1311Wb, deel 2
Voorbeeldtentamen 4
HET GEBRUIK VAN EEN REKENMACHINE IS NIET TOEGESTAAN
1. Beschouw de vectorruimte P2 van alle polynomen van de graad ≤ 2 met standaardbasis
E = {1, t, t2 }. Verder zijn gegeven de verzameling B = {1 + t2 , 1 + 2t2 , t} en de lineaire
afbeelding
F : P2 → P2 ,
F(a0 + a1 t + a2 t2 ) = a0 + a1 + (a1 + a2 )t + (a0 − a2 )t2 .
(a) Toon aan dat B een basis van P2 is.
(b) Bepaal [F(1 + t + t2 )]E , de coördinaatvector van F(1 + t + t2 ) ten opzichte van de
basis E.
(c) Bepaal [F(1 + t + t2 )]B , de coördinaatvector van F(1 + t + t2 ) ten opzichte van de
basis B.
(d) Bepaal alle polynomen p(t) ∈ P2 waarvoor geldt dat F(p(t)) = 1 + t2 .
2. Voor iedere n ∈ {2, 3, 4, . . . } verstaan we onder Mn×n de vectorruimte van alle (n × n)matrices. Verder staat Sn×n voor de verzameling van alle symmetrische (n×n)-matrices,
dat wil zeggen : Sn×n = {A ∈ Mn×n |AT = A}.
Beschouw verder de lineaire afbeelding
T : S2×2 → S2×2 ,
a+c b+c
a b
T(
)=
b+c
a
b c
en de deelruimte V van S2×2 gegeven door
V = {A ∈ S2×2 |T (A) = A}.
(a) Toon aan dat Sn×n een deelruimte is van Mn×n .
0 0
0 1
1 0
} een basis van S2×2 is.
(b) Toon aan dat C = {
,
,
0 1
1 0
0 0
(c) Bepaal dim(S3×3 ), de dimensie van S3×3 .
(d) Bepaal een basis van de deelruimte V . Wat is dim V , de dimensie van V ?
3. (a) Gegeven zijn de matrices
A1 =
0 1
1 0
,
A2 =
0 −1
1
0
en
A3 =
1 1
−1 1
.
Beantwoord voor elke i ∈ {1, 2, 3} de volgende vragen :
i. Is de matrix Ai diagonaliseerbaar ? Zo ja, bepaal dan een inverteerbare matrix
P en een diagonaalmatrix D zodat Ai = P DP −1 . Zo nee, waarom niet ?
ii. Geef een meetkundige beschrijving van de lineaire afbeelding Ai : R2 → R2 ,
waarvan Ai de standaardmatrix is, dat wil zeggen : Ai (x) = Ai x.
(b) M is een (3×3) Markov (of stochastische) matrix. Toon aan dat M een eigenwaarde
1 heeft.
(c) A en B zijn gelijkvormige matrices. Toon aan dat A en B hetzelfde karakteristieke
polynoom hebben.
4. Beschouw de vectorruimte V = C[0, 2π] van alle continue functies gedefinieerd op het
interval [0, 2π]. Gegeven is de deelruimte H van V bepaald door
H = Span {1, sin 2t, cos 2t}.
Verder is gegeven dat voor alle t ∈ [0, 2π]
sin 2t = 2 sin t cos t
cos 2t = cos2 t − sin2 t
en
sin2 t + cos2 t = 1.
(a) Toon aan dat B = {1, sin 2t, cos 2t} een basis van H is.
(b) Bepaal dim H, de dimensie van H.
(c) Toon aan dat
C = {sin2 t, cos2 t, (cos t − sin t)2 }
ook een basis van H is.
(d) Bepaal de overgangsmatrix P van basis C naar basis B.
B←C


1
(e) Gegeven is een functie f met [f (t)]C =  1 . Bepaal [f (t)]B en controleer uw
−1
antwoord.
5. Beschouw de differentievergelijking
yk+3 + 3yk+2 − yk+1 − 3yk = 0,
k = 0, 1, 2, . . . .
(a) Toon aan dat de differentievergelijking geschreven kan worden in de vorm
xk+1 = Axk , k = 0, 1, 2, . . .
met

yk

xk =  yk+1 
yk+2
en


0 1
0
1 .
A= 0 0
3 1 −3
(b) Bepaal de eigenwaarden van A. [Hint : λ = 1 is een eigenwaarde.]
(c) Bepaal een inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D zodat A = P DP −1 .
(d) Bepaal de algemene oplossing xk van het dynamische systeem xk+1 = Axk .
(e) Wat is nu de oplossing yk van de oorspronkelijke differentievergelijking ?
6. Beschouw het volgende stelsel gekoppelde differentiaalvergelijkingen
 0
x1 (t) + 2x2 (t) − x3 (t)
 x1 (t) =
x02 (t) = −x1 (t) + x2 (t) + 2x3 (t)
 0
x3 (t) =
x1 (t) + 2x2 (t) + x3 (t) .
Dit stelsel kan geschreven worden in de vorm
x0 (t) = Ax(t)
met


x1 (t)
x(t) =  x2 (t) 
x3 (t)
en


1 2 −1
2 .
A =  −1 1
1 2
1
(a) Bepaal de (complexe) eigenwaarden van de matrix A.
[Hint : λ = 3 is een eigenwaarde.]
(b) Bepaal de algemene
(reële)
oplossing x(t) van het stelsel differentiaalvergelijkingen.
√
√
[Hint : (1 + i 2)(1 − i 2) = 3.]
(c) Bepaal de (reële) oplossing van het beginwaardenprobleem :
x0 (t) = Ax(t),
x1 (0) = 5,
x2 (0) = 4
en
x3 (0) = 7.


1/2 1/6 1/4
7. Beschouw de Markov-matrix M =  0 1/3 1/4 .
1/2 1/2 1/2
(a) Bereken de eigenwaarden van M .
(b) Bepaal een inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D zodat M = P DP −1 .
[Aanwijzing : de eigenwaarden van M zijn 0,
1
3
en 1.]
(c) Bepaal de oplossing van de Markov-keten
xk+1 = M xk ,
k = 0, 1, 2, . . .


4
x0 =  2  .
2
met startvector
(d) Bepaal (zo mogelijk) lim xk .
k→∞
8. Bepaal een spectraaldecompositie van de matrix A =
7 2
2 4
.


1
0
 0
0 
.
9. Bepaal een singuliere-waardendecompositie van de matrix B = 
 1
1 
0 −1
10. Gegeven zijn de volgende kwadratische vormen op R3 :
Q1 (x) = xT Ax met


3 2 1
A= 2 3 1 
1 1 4
en
Q2 (x) = −(x1 − 2x2 )2 − 3(x2 − 4x3 )2 .
(a) Is de kwadratische vorm Q1 positief/negatief (semi)definiet of indefiniet ? Beargumenteer uw antwoord.
(b) Bepaal het maximum M van Q1 (x) onder de voorwaarde dat xT x = 1 en bepaal
een eenheidsvector x zodat Q1 (x) = M .
(c) Bepaal het minimum m van Q1 (x) onder de voorwaarde dat xT x = 1 en bepaal
een eenheidsvector x zodat Q1 (x) = m.
(d) Is de kwadratische vorm Q2 positief/negatief (semi)definiet of indefiniet ? Beargumenteer uw antwoord.