Uittreksel boek Calculus 5e editie hoofdstuk 1 t/m 4

Uittreksel Analyse C
Inhoudsopgave
8. Technieken van integreren ........................................................................................ 2
8.1 Partiële integratie (Integration by Parts) ............................................................... 2
8.2 Goniometrische integralen ................................................................................... 3
8.3 Goniometrische substituties ................................................................................. 3
8.4 Breuksplitsing ...................................................................................................... 4
8.5 Strategieën voor integreren.................................................................................. 4
8.6 Integreren met behulp van tabellen en een CAS .................................................. 5
8.7 Benaderingen ...................................................................................................... 6
8.8 Oneigenlijke integralen ........................................................................................ 7
9. Verdere toepassingen van integralen ........................................................................ 9
9.1 Booglengte .......................................................................................................... 9
9.2 Oppervlakte van ronde voorwerpen ..................................................................... 9
9.5 Kansrekening ..................................................................................................... 10
10. Differentievergelijkingen ........................................................................................ 11
10.1 Modelleren met differentievergelijkingen .......................................................... 11
10.2 Grafische en numerieke benaderingen ............................................................ 11
10.3 Opdeelbare vergelijkingen ............................................................................... 11
10.4 Exponentiële toename en afname.................................................................... 12
10.5 De logistische differentievergelijking ................................................................ 13
10.6 Lineaire vergelijkingen ..................................................................................... 13
10.7 Prooi-roofdier vergelijkingen ............................................................................ 13
18. Tweedegraads differentievergelijkingen ................................................................ 14
18.1 Tweedegraads lineaire vergelijkingen .............................................................. 14
18.2 Niet homogene lineaire vergelijkingen.............................................................. 15
Gebruik van de TI-89 bij Analyse C ............................................................................. 17
Voorwoord
Dit is een uitgebreid uittreksel van hoofdstuk 8, 9, 10 en 18 uit het boek Calculus 5e
editie. Het bevat alle begrippen en formules in de volgorde waarin die in het boek aan
bod komen. Als er in de studiewijzer staat dat bewijzen gereproduceerd moeten
worden, heb ik die in dit uittreksel opgenomen. In de bijlage bespreek ik enkele
belangrijke functies m.b.t. het integreren op de TI-89.
Succes met de module Analyse C.
Bert Kraai
Uittreksel Analyse C
8. Technieken van integreren
Dit hoofdstuk start met een herhaling van de belangrijkste integralen uit module
Analyse B (hoofdstuk 5 t/m 7). Zie ook het uittreksel van Analyse B.
8.1 Partiële integratie (Integration by Parts)
Iedere regel voor differentiëren heeft een corresponderende regel voor integreren.
Zo hoort bij de kettingregel (differentiëren) hoort de substitutieregel (integreren).
Bij de productregel (differentiëren) hoort de partiële integratieregel (integreren).
Productregel:
d
 f ( x) g ( x)  f ( x) g '( x)  f '( x) g ( x) .
dx
Afleiding partiële integratieregel:
  f ( x) g '( x)  f '( x) g ( x) dx  f ( x) g ( x) somregel integralen
 f ( x) g '( x)dx   g ( x) f '( x)dx  f ( x) g ( x)
1
Partiële integratieregel
Stel nu u  f ( x ) en v  g ( x) .
2
Dan ontstaat na substitutie:
 f ( x) g '( x)dx  f ( x) g ( x)   g ( x) f '( x)dx
 u dv  uv   v du .
Tip: bij toepassen van partiële integratie is het over het algemeen handig om voor u de
functie te kiezen die eenvoudiger wordt als we deze differentiëren.
Combineren van de partiële integratieregel met het tweede deel van de hoofdstelling
van de analyse (§ 5.3) levert:
b
6
Partiële integratieregel

f ( x) g '( x)dx  f ( x) g ( x)a 
b
a
b
of, na substitutie:
 udv
a
b
 g ( x) f '( x)dx
a
 uv a 
b
b
 vdu
a
In het facultatieve voorbeeld 6 wordt een reductieformule aangetoond. Met behulp van
dit soort formules kunnen we de complexiteit van integralen reduceren, zodat we ze op
die manier uiteindelijk op kunnen lossen.
Let op: voeg de constante C altijd pas als laatste toe aan de uitkomst. Ga hier niet mee
rekenen, zoals bij voorbeeld 3 wordt gesuggereerd.
Versie 1.0
blz. 2 van 19
Uittreksel Analyse C
8.2 Goniometrische integralen
Bij het oplossen van goniometrische integralen is kennis van de goniometrische
vergelijkingen onontbeerlijk. Kijk nog eens naar het uittreksel van Analyse A bij
paragraaf 3.5 of in Appendix D van het boek.
Integralen van de vorm
 sin
m
x cos n xdx
Bij oneven machten van sinus en cosinus maken we gebruik van de regel
sin 2 x  cos 2 x  1 . Hiervoor splitsen we eerst kwadraten van sinus of cosinus af.
Zie voorbeelden 1 en 2.
Als zowel sinus als cosinus beiden even machten hebben, kunnen we gebruik maken
2
van de halve hoekidentiteiten: sin x 
1
1
1  cos 2 x  en cos 2 x  1  cos 2 x  of van
2
2
1
sin x cos x  sin 2 x . Zie de samenvatting van deze strategie op blz. 520.
2
Nog een voorbeeld uit de studiewijzer:
sin 2 x
1  cos2 x
 1

dx

 cos2 x  cos2 x dx    cos2 x 1 dx  tan x  x  C
Integralen van de vorm
 sin mx cos nxdx ,  sin mx sin nxdx en  cos mx cos nxdx .
Bij deze integralen kunnen we gebruik maken van de volgende identiteiten:
sin A cos B  12 sin  A  B   sin  A  B  
sin A sin B  12 cos  A  B   cos  A  B  
cos A cos B  12 cos  A  B   cos  A  B  
8.3 Goniometrische substituties
Bij het bepalen van de oppervlakte van een cirkel of een ellips komen we de volgende
integraal tegen:

a 2  x 2 dx . Substitutie van u  a 2  x 2 helpt ons in dit geval niet
verder, omdat de afgeleide hiervan du  2xdx is en er is geen x aanwezig.
Dus passen we inverse substitutie toe. De volgende tabel is van belang:
Uitdrukking
Substitutie
a2  x2
x  a sin 
a x
2
x  a tan 
x a
2
2
2
Versie 1.0
a
x
cos 
Formule
Domein
1  sin   cos 
2
1  tan 2  
2
1
cos 2 
1
 1  tan 2 
2
cos 



2

2
 
 
0  


2

2
3
    
2
2
blz. 3 van 19
Uittreksel Analyse C
8.4 Breuksplitsing
Bij integreren van breuken loont het de moeite om eerst te kijken of het mogelijk is om
deze breuken te vereenvoudigen. Hierbij onderscheidt het boek 3 stappen:
1. Het uitvoeren van een staartdeling als de graad van de teller groter of gelijk is
aan de graad van de noemer.
2. De noemer ontbinden in factoren.
3. De breuk opdelen in een som van partiële breuken van de vorm
A
 ax  b 
i
of
Ax  B
 ax  bx  c 
j
.
Bij de derde en laatste stap kunnen er 4 situaties (cases) ontstaan. Achtereenvolgens:
Case I:
Case II:
Case III:
Case IV:
de noemer is een product van verschillende eerstegraads factoren.
de noemer is een product van eerstegraads factoren,
waarbij sommige zich herhalen.
de noemer bevat factoren van de tweede graad die niet verder
vereenvoudigd kunnen worden, zonder dat zij zich herhalen.
de noemer bevat factoren van de tweede graad die niet verder
vereenvoudigd kunnen worden, waarvan sommige zich herhalen.
Bij factoren van de tweede graad (case III en IV) wordt regelmatig gebruik gemaakt van
de volgende integraal:
10
x
2
dx
1
x
 arctan    C
2
a
a
a
Als een breuk een wortelvorm bevat, kan het een uitkomst zijn om de hele wortelvorm
te substitueren. Zie voorbeeld 9.
8.5 Strategieën voor integreren
Bij differentiëren gelden een groot aantal regels en formules en is een vaste
voorgeschreven werkwijze te bedenken. Voor het integreren van functies is helaas
geen algoritme. Wel zijn er in de loop der jaren een scala aan technieken ontwikkeld,
maar daarmee zijn nog steeds niet alle integralen uit te rekenen. Het vraagt dus veel
training om inzicht en ervaring op te bouwen welke technieken in welke situaties het
beste resultaat op kunnen leveren. Een basisstrategie:
1. Vereenvoudig de integrand zover mogelijk.
2. Zoek naar een voor de hand liggende substitutie.
3. Classificeer de integraal op basis van zijn vorm in:
a. Goniometrische functies
b. Rationale functies (breuken)
c. Partieel integreren (bij producten of machten van x , goniometrische,
exponentiële of logaritmische functies)
d. Wortelvormen zoals  x 2  a 2 (goniometrische substitutie) of
(substitutie hele wortelvorm)
4. Probeer opnieuw:
a. Een minder voor de hand liggende substitutie
b. Opdelen van de integrand in delen
c. Manipuleren met de integrand
d. Zoek overeenkomsten met eerdere opgaven
e. Gebruik meerdere technieken cq. invalshoeken
Versie 1.0
n
ax  b
blz. 4 van 19
Uittreksel Analyse C
De integralen van de meeste elementaire functies (polynomen, rationele, machts-,
exponentiële, logaritmische, (inverse) goniometrische en (inverse) hyperbolische
functies) blijken zelfs geen elementaire functie op te leveren! Wordt vervolgd in
hoofdstuk 11.
8.6 Integreren met behulp van tabellen en een CAS
In paragraaf 8.5 wordt de volgende tabel met 20 veel toepasbare integralen gegeven.
Het lijkt mij handig om de eerste 18 integralen uit je hoofd te kennen en toe te kunnen
passen. Achterin het boek staan op referentiebladen nog eens 100 integralen.
Deze integralen zijn ook met behulp van het CAS van de TI-89 te genereren.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
1 n 1
x
n 1
 x dx
n
1
 x dx
 e dx
ln x
x
e x dx
x
 a dx
ax
ln a
cos x
 sin xdx
 cos xdx
1
dx
cos 2 x
1
2
 csc xdx   sin 2 x dx
tan x
 sec x tan xdx   cos x dx
1
 csc x cot xdx   sin x tan x dx
1
 sec xdx   cos dx
1
 csc dx   sin x dx
 sec
2
xdx  
 tan xdx
 cot xdx
 sinh dx
 cosh dx
17.
x
18.

Versie 1.0
2
(n  1)
1
dx
 a2
1
a2  x2
 sin x
tan x
1
tan x
1
sec x 
cos x
1
 csc x 
sin x
 cot x 
1
 tan x
cos x
1
1
ln csc x  cot x  ln

sin x
tan x
1
ln sec x  ln
cos x
ln sec x  tan x  ln
ln sin x
cosh x
sinh x
1
x
arctan  
a
a
x
arcsin  
a
blz. 5 van 19
Uittreksel Analyse C
8.7 Benaderingen
Er zijn twee situaties waarin het onmogelijk is om een exacte waarde van een bepaalde
integraal te berekenen:
1. Het is niet mogelijk om een primitieve te vinden van de integrand.
2. Het functievoorschrift van de integrand is niet bekend; er zijn slechts door
meting een beperkt aantal functiewaarden gevonden.
Er zijn drie manieren om een bepaalde integraal te benaderen:
1. Met behulp van Riemann-sommen
2. Met behulp van de trapeziumregel
3. Met behulp van de regel van Simpson.
Riemann-sommen
Deze berekening maakt gebruik van het feit dat een bepaalde integraal gedefinieerd is
als de limiet van Riemann-sommen. Deze sommen kunnen we berekenen met behulp
van linker- of rechtereindpunten of met behulp van het midden van elk deelinterval en
geven we aan met respectievelijk Ln , Rn en M n .
b

Algemeen:
a
b

Linkersom:
a
b

Rechtersom:
a
b
Middelpuntsregel:

a
n
 
f ( x)dx   f xi* x
i 1
x 
ba
n
xi* een punt in  xi 1 , xi 
n
f ( x)dx  Ln   f  xi 1  x
i 1
n
f ( x)dx  Rn   f  xi  x
i 1
n
 
f ( x)dx  M n  x f xi
i 1
xi =
xi 1  xi
2
Trapeziumregel
Bij de trapeziumregel wordt bij ieder deelinterval de functiewaarden van het linker- en
rechtereindpunt met elkaar verbonden. Zo ontstaat binnen elk deelinterval een trapezium,
waarbij de oppervlakte gelijk is aan de breedte van het deelinterval maal het gemiddelde
van de hoogte bij het linker- en rechtereindpunt, dus: x 
b
 f ( x)dx  T
n
a

1
 f ( xi1 )  f ( xi )  .
2
x
 f  x0   2 f  x1   2 f  x2   ...  2 f  xn1   f  xn 
2 
xi  a  ix
Uit berekeningen over de afwijkingen bij deze verschillende benaderingen blijkt dat over
het algemeen geldt dat:
 De benaderingen worden betrouwbaarder naarmate het aantal deelintervallen
toeneemt.
 De afwijking bij de Linker- en Rechtersom zijn tegengesteld van teken en nemen
ongeveer met factor 2 af wanneer het aantal deelintervallen met factor 2
toeneemt.
 De Trapezium- en Middelpuntsregel zijn nauwkeuriger dan de Linker- en
Rechtersom.
Versie 1.0
blz. 6 van 19
Uittreksel Analyse C


3
De afwijking bij de Trapezium- en Middelpuntsregel zijn tegengesteld van teken
en nemen ongeveer met factor 4 af wanneer het aantal deelintervallen met
factor 2 toeneemt.
De afwijking bij de Trapeziumregel is ongeveer 2 keer zo groot als de afwijking
bij de Middelpuntsregel.
De grootte van de van afwijking is voor de Trapezium- en Middelpuntsregel
gedefinieerd met de volgende formules, die gebruik maken van de tweede afgeleide:
Gegeven f '' ( x )  K voor a  x  b . Dan geldt dat:
ET 
K b  a 
3
Em 
en
12n 2
K b  a 
3
24n 2
Regel van Simpson
De regel van Simpson maakt gebruik van parabolen i.p.v. rechte lijnen om de
oppervlakte te bepalen en van een even aantal deelintervallen.
b
 f ( x)dx  S
n
a

x
 f  x0   4 f  x1   2 f  x2   4 f  x3   ...  2 f  xn2   4 f  xn1   f  xn 
3 
De grootte van de van afwijking is bij voor de regel van Simpson gedefinieerd met de
volgende formule, die gebruik maakt van de vierde afgeleide:
4
(4)
Gegeven f
( x)  K voor a  x  b . Dan geldt dat: ES 
K b  a 
5
180n 4
8.8 Oneigenlijke integralen
Er bestaan twee typen oneigenlijke integralen:
1. bepaalde integralen waarbij de boven- en/of onderwaarde doorloopt tot in het
oneindige: oneindige intervallen.
2. bepaalde integralen waarbij de integrand een oneindige discontinuïteit bevat.
Type 1. Voor oneigenlijke integralen met oneindige intervallen geldt:

t
1
(a)
Als
 f ( x)dx
bestaat voor elk getal t  a , dan
t
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx
t 
a
a
a
op voorwaarde dat deze limiet bestaat als een eindige waarde.
b
(b)
Als

b
f ( x)dx bestaat voor elk getal t  b , dan


t
b
f ( x)dx  lim  f ( x)dx
t 
t
op voorwaarde dat deze limiet bestaat als een eindige waarde.

De oneigenlijke integralen

b
f ( x)dx en

f ( x)dx noemen we convergent als de

a
corresponderende limiet bestaat en divergent als deze limiet niet bestaat.

(c)
Als zowel
 f ( x)dx
a



Versie 1.0
a
f ( x)dx 


a
als

f ( x)dx convergent zijn, dan definiëren we


f ( x)dx   f ( x)dx ( aR willekeurig)
a
blz. 7 van 19
Uittreksel Analyse C

2
1
x
p
dx is convergent als p  1 en divergent als p  1 .
1
Type 2. Voor oneigenlijke integralen met oneindige discontinuïteit geldt:
3
(a)
Als f continu is op  a , b en discontinu in b dan is
b
t
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx
t b
a
a
op voorwaarde dat deze limiet bestaat als een eindige waarde.
(b)
Als f continu is op a , b en discontinu in a dan is
b

b
f ( x)dx  lim  f ( x)dx
t a
a
t
op voorwaarde dat deze limiet bestaat als een eindige waarde.
b
De oneigenlijke integraal
 f ( x)dx
noemen we convergent als de corresponderende
a
limiet bestaat en divergent als deze limiet niet bestaat.
c
(c)
 f ( x)dx
Als f discontinu is bij c met a  c  b en zowel
a
b
convergent, dan geldt dat

c
b
a
c
b
als
 f ( x)dx
zijn
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
a
Oneigenlijke integralen vergelijken
Soms lukt het niet om een bepaalde oneigenlijke integraal te berekenen, maar willen
we wel graag weten of deze integraal convergent of divergent is. Dit laatste kunnen we
nagaan door de integraal te vergelijken met een andere vergelijkbare integraal, die we
wel uit kunnen rekenen.
Stel dat f en g beide continue functies zijn met f ( x)  g ( x)  0 voor alle x  a .

(a)
Als
 f ( x)dx

convergent is, is
a

(b)
Als
 g ( x)dx divergent is, is
a
Versie 1.0
 g ( x)dx
ook convergent.
a

 f ( x)dx
ook divergent.
a
blz. 8 van 19
Uittreksel Analyse C
9. Verdere toepassingen van integralen
9.1 Booglengte
1,2,3
We kunnen de booglengte van een deel van een grafiek berekenen door de limiet van
de Riemann-som van de lijnstukjes te bepalen.
Als f ' continu is op  a, b dan is de booglengte van de grafiek y  f ( x) , a  x  b
n
 
n
b
b
L  lim  Pi 1Pi  lim  1   f ' x  x   1   f '  x  dx  
n
n
i 1
i 1
*
i
2
2
a
4
a
Is de functie gedefinieerd als x  g ( y ) , c  x  d dan wisselen de rollen van x en y in
d
deze formule om: L 
d

1   g '  y   dy  
c
c
2
2
 dx 
1    dy .
 dy 
De functie voor de booglengte van f (t ) van beginpunt a tot aan variabel punt x is:
x
5
s( x)   1   f '  t  dt .
2
a
Uit het eerste deel van de hoofdstelling van de analyse volgt nu dat
6
2
ds
 dy 
 1   f '  x    1   
dx
 dx 
2
Dit kan herschreven worden tot
2
7,8
 dy 
ds  1    dx
 dx 

 ds 
2
  dx    dy 
2
2
.
9.2 Oppervlakte van ronde voorwerpen
We weten dat de oppervlakte van een cilinder gelijk is aan 2 rh (met h de hoogte).
De oppervlakte van een conus is gelijk aan  rl (met l de lengte van de zijde).
Voor het bepalen van de oppervlakte van een rond voorwerp zoals een liggende vaas,
zagen we de vaas in n banden, waarvan we de oppervlakte benaderen door iedere
band als een cilinder te beschouwen.
Versie 1.0
2
 dy 
1    dx
 dx 
blz. 9 van 19
Uittreksel Analyse C
De oppervlakte van een positieve functie f met een continue afgeleide die ontstaat
door y  f ( x) , a  x  b te roteren om de x -as is:
b
S   2 f ( x ) 1   f '  x   dx
4,5
2
a
2
 dy 
  2 y 1    dx
 dx 
a
b
Als de functie beschreven is als x  g ( y ) , c  y  d , dan wordt de formule:
2
6
 dx 
S   2 y 1    dy .
 dy 
c
7
8
Bij roteren om de x -as beginnen de integralen met 2 y .
Bij roteren om de y -as beginnen de integralen met 2 x .
Zie de geheugensteun op blz. 593.
d
2
 dx 
 dy 
De integralen eindigen naar keuze op ds  1    dx of ds  1    dy .
 dx 
 dy 
2
Dit is afhankelijk van hoe de functie is beschreven of hoe de afgeleide het eenvoudigst
bepaald kan worden: naar x of naar y . Zie ook opgave 27 bij deze paragraaf.
9.5 Kansrekening
Elke continue kansvariabele X heeft een kansdichtheidsfunctie (ook wel
kansverdelingsfunctie) f waarvoor geldt
b
1
P(a  X  b)   f ( x)dx
a
Dit komt overeen met de oppervlakte onder de grafiek. 0  P( X )  1 .
In voorbeeld 2 wordt aangetoond dat de functie van iedere exponentieel afnemende
als t  0
0
kansdichtheidsfunctie de vorm heeft van f (t )  
ce
 ct
als t  0
Voorbeeld: de wachttijd aan de telefoon.
De verwachtingswaarde  van iedere continue kansverdelingsfunctie is

 xf ( x)dx .

t
1
1
Dit komt overeen met het gemiddelde x . Er geldt dus   , dus f (t )  e  .
c

De normale verdeling met verwachtingswaarde  en standaardafwijking  heeft als
formule
f ( x) 
Versie 1.0
2
 x    /  2 2 
1
e
 2
(deze formule hoef je niet te kennen).
blz. 10 van 19
Uittreksel Analyse C
10. Differentievergelijkingen
10.1 Modelleren met differentievergelijkingen
Een differentievergelijking (dv.) bevat een onbekende functie en 1 of meer van zijn
afgeleiden. De orde van de dv. wordt bepaald door de orde van de hoogste afgeleide in
de vergelijking.
Een functie f is een oplossing van een dv. als de vergelijking voldoet wanneer
y  f ( x) en zijn afgeleiden in de vergelijking worden gesubstitueerd. Bij het generiek
oplossen van een dv. is het de bedoeling om alle mogelijke oplossingen op te sporen.
Deze oplossingen heten ook wel integraalkrommen. In praktijk is het soms voldoende
om voor één bepaalde beginwaarde de initiële oplossing te vinden.
10.2 Grafische en numerieke benaderingen
Helaas is het niet mogelijk om de meeste dv’s op te lossen. Toch kunnen we wel
informatie over de oplossing verzamelen via:
1. een grafische benadering met een lijnelementenveld
2. een numerieke benadering: de methode van Euler
Een lijnelementenveld toont fragmenten van de raaklijnen op de coördinaten van een
roosterveld. Zodra een beginwaarde bekend is, is met behulp van deze raaklijnen de
grafiek van de dv. te tekenen.
Met behulp van de methode van Euler is de grafiek van de dv. te benaderen door vanuit
het beginpunt de raaklijn te tekenen en hiervan de richting steeds na een vooraf
gekozen interval te herijken. Door dit interval steeds kleiner te nemen, wordt de
benadering van de werkelijkheid steeds nauwkeuriger.
10.3 Opdeelbare vergelijkingen
Een opdeelbare vergelijking is een dv. die te schrijven is als
Voor f ( y )  0 kunnen we dit herschrijven tot
dy
 g ( x) f ( y ) .
dx
h( y )dy  g ( x)dx
met h( y ) 
1
.
f ( y)
We hebben nu links een functie van y en rechts een functie van x staan.
Door deze opdeelbare vergelijking links en rechts integreren:
 h( y)dy   g ( x)dx
krijgen we de oplossingsvergelijking, waarbij y impliciet is gedefinieerd als een functie
van x . In sommige gevallen lukt het om y hieruit vrij te maken en ontstaat een
algemene oplossingsfunctie uitgedrukt in x .
Versie 1.0
blz. 11 van 19
Uittreksel Analyse C
Orthogonale trajectoriën
Een orthogonale trajectorie van een stelsel krommen is de oplossingsverzameling van
alle lijnen dit stelsel loodrecht snijden. Een voorbeeld hiervan zijn de lijnen door de
oorsprong, die alle concentrische cirkels snijden met als middelpunt de oorsprong.
Algemene aanpak:
 Stel een algemene vergelijking op van het stelsel krommen.
 Differentieer deze vergelijking links en rechts (naar x ). Denk om de kettingregel.
 Elimineer de parameter uit de ontstane dv., zodat er een dv. ontstaat met
uitsluitend x , y , dy en dx .
dy f ( x, y )
.

dx g ( x, y )

Schrijf de dv. in de vorm van

Lijnen snijden elkaar loodrecht als het product van de richtingscoëfficiënten
gelijk is aan -1. Dus de dv. van de orthogonale trajectoriën is

dy
g ( x, y )
.
 
dx
f ( x, y )
Los deze dv. op.
10.4 Exponentiële toename en afname
In het dagelijks leven komen veel groeisituaties voor die zich in eerste instantie
exponentieel ontwikkelen. Denk aan de groei van een populatie, tegoed op een
spaarrekening of de afname van radioactieve straling. In al deze situaties geldt
dy
 ky , waarbij k  0 een toename betekent en k  0 een afname.
dt
Omdat dit een opdeelbare vergelijking is, is hij eenvoudig oplosbaar:
dy
dy
 ky  
 kdt  ln y  kt  C 
dt
y 
met A  eC  0 en y(0)  A  ek 0  A .
Samenvattend:
dy
 ky 
dt
y (t )  Ae kt
y  ekt C  eC  ekt  y  Ae kt
met A de beginhoeveelheid op t = 0.
Afkoelingswet van Newton
Het afkoelingspercentage van een object is proportioneel afhankelijk van het
dT
 k T  Ts  .
dt
dy
 ky .
 y '(t )  T '(t ) levert weer
dt
temperatuurverschil tussen het object en zijn omgeving:
Substitutie y(t )  T (t )  Ts
Continue renteberekening
Nog een toepassing komen we tegen bij het continu berekenen van rente op spaargeld.
Uit voorbeeld 5 blijkt dat
jaren.
Versie 1.0
A(t )  A0  e r t met r het rentepercentage per jaar en t in
blz. 12 van 19
Uittreksel Analyse C
10.5 De logistische differentievergelijking
dP
P

 kP 1   ,
dt
 K
waarbij P de populatie is, t de tijd, k de groeifactor en K de grenswaarde.
1
Logistieke differentievergelijkingen hebben de vorm van
2,3
dP
P

 kP 1   
dt
 K
1
1

dP
 P(1  P / K )   kdt
  P  K  P dP   kdt
4
K
 P( K  P)dP   kdt

K P
 Ae  kt met A  e C
P
 ... 
Hieruit volgt, na vrijmaken van P, dat

P(t ) 
K
1  Ae  kt
en
A
K  P0
P0
.
10.6 Lineaire vergelijkingen
Een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde kan geschreven worden als
dy
 P( x)  y  Q( x)
dx
Ook
met P en Q continue functies.
dx
 P( y )  x  Q( y ) is een lineaire dv. van de eerste orde ( x en y verwisseld).
dy
Om deze vergelijking op te lossen, vermenigvuldigen we links en rechts met een
5
integrerende factor
I ( x)  e 
P ( x ) dx
en gaan vervolgens beide zijden integreren.
10.7 Prooi-roofdier vergelijkingen
Prooi-roofdiervergelijkingen is een stelsel van 2 differentiaalvergelijkingen, waarbij de
populaties van prooidieren en roofdieren onderling afhankelijk zijn. Bijvoorbeeld:
 dP
 dt   aP  bPR

 dR  cR  dPR
 dt
met P prooidieren, R roofdieren en a, b, c, d positieve constanten
Dit stelsel staat ook bekend als Lotke-Voterra-vergelijkingen.
Door beide differentievergelijkingen op nul te stellen, vind je de evenwichtstoestanden.
Door de afgeleiden te schetsen ontstaan tijdgrafieken die het verloop van de aantallen
prooi- en roofdieren weergeven.
Door beide differentievergelijkingen op elkaar te delen, krijg je de roofdieren als functie
van de prooidieren, in de vorm van een prooi-roofdierdiagram.
Versie 1.0
blz. 13 van 19
Uittreksel Analyse C
18. Tweedegraads differentievergelijkingen
18.1 Tweedegraads lineaire differentievergelijkingen
Een tweedegraads lineaire differentievergelijking heeft de vorm
P( x)
d2y
dy
 Q( x)  R( x) y  G( x) waarbij P, Q, R en G continue functies zijn.
2
dx
dx
Als G  0 spreken we van een homogene lineaire differentievergelijking (§ 8.1).
Is G  0 dan spreken we van een niet-homogene lineaire differentievergelijking (§ 8.2).
3
Als y1 ( x) en y2 ( x) beide oplossingen zijn van een lineaire homogene
differentievergelijking en c1 en c2 zijn constanten met ci  R , dan is de functie
d2y
dy
y( x)  c1 y1 ( x)  c2 y2 ( x) ook een oplossing van P( x) 2  Q( x)  R( x) y  0 .
dx
dx
Bewijs (moeten we kunnen reproduceren):
Als y1 ( x) en y2 ( x) beide oplossingen zijn, dan geldt dus dat
P( x) y1 " Q( x) y1 ' R( x) y1  0 en P( x) y2 " Q( x) y2 ' R( x) y2  0 .
Nu is
P( x) y " Q( x) y ' R( x) y
 P( x)  c1 y1  c2 y2  " Q( x)  c1 y1  c2 y2  ' R ( x )  c1 y1  c2 y2 




 P( x) c1 y1"  c2 y2"  Q ( x) c1 y1'  c2 y1'  R ( x )  c1 y1  c2 y2 
 c1  P ( x) y1"  Q ( x ) y1'  R ( x ) y1   c2  P ( x ) y2"  Q ( x ) y2'  R ( x ) y2 
 c1 (0)  c2 (0)  0
Conclusie: y( x)  c1 y1 ( x)  c2 y2 ( x) is ook een oplossing.
4
Als y1 en y2 lineair onafhankelijke oplossingen zijn van een homogene tweedeorde
lineaire differentievergelijking, dan vormt y( x)  c1 y1 ( x)  c2 y2 ( x) met ci  R alle
oplossingen van deze differentievergelijking.
5
Hoewel het over het algemeen lastig is om tweedegraads lineaire dv.’s op te lossen, is
dit wel vaak mogelijk als de functies P, Q en R constanten zijn en de dv. dus de vorm
heeft van
ay"  by '  cy  0 ( a, b, c
We zien dat
 
"
y  erx
 
zijn constanten en a  0 ).
een oplossing is van deze vergelijking als geldt dat
 
'
a e rx  b e rx  c e rx  0 
ar e  bre  ce  0 
2 rx

rx
rx

e rx ar 2  br  c  0 


ar 2  br  c  0
Versie 1.0
b  b2  4ac
b  b2  4ac
waarbij r1 
en r2 
2a
2a
blz. 14 van 19
Uittreksel Analyse C
Bij het oplossen van deze tweedegraads vergelijking kunnen zich de volgende situaties
voordoen:
Algemene oplossing
ar 2  br  c  0 Wortels van ar 2  br  c  0
b 2  4ac  0
r1 , r2 zijn 2 verschillende reële getallen
y  c1er1x  c2er2 x
b 2  4ac  0
r1  r2  r
y  c1e rx  c2 xe rx
b 2  4ac  0
r1 , r2 zijn complexe getallen   i 
y  e x  c1 cos  x  c2 sin  x 
met  
b
b2  4ac
en  
2a
2a
Initiële waarde probleem
Als y( x0 )  y0 en y '( x0 )  y1 , waarbij y0 en y1 gegeven constanten zijn, en er geldt
bovendien dat P, Q, R en G continu zijn op een interval en dat P ( x )  0 is op dit
interval, dan geldt dat er een unieke oplossing te vinden is voor deze initiële waarden.
De werkwijze hierbij is steeds om eerst de algemene oplossing y ( x) te vinden en deze
vervolgens te differentiëren. Door invullen van de initiële waarden vind je de unieke
oplossing voor de constanten c1 en c2 .
Grenswaarde probleem
Nu zijn twee grenswaarden gegeven y( x0 )  y0 en y( x1 )  y1 waarvoor een oplossing
gevonden moet worden voor de dv. Dit is niet altijd mogelijk. Ook nu starten we met het
bepalen van de algemene oplossing y ( x) . Door het invullen van de twee
grenswaarden is het soms mogelijk de waarden van de constanten c1 en c2 te bepalen.
18.2 Niet homogene lineaire vergelijkingen
Niet homogene lineaire differentievergelijkingen hebben de vorm
ay"  by '  cy  G( x) , waarbij a, b, c constanten zijn en G ( x) een continue functie.
De algemene oplossing van niet homogene lineaire dv.’s kan geschreven worden als
y ( x)  yc ( x)  y p ( x)
waarbij yc ( x) de algemene oplossing voor de gereduceerde
lineaire dv. ay"  by '  cy  0 en y p ( x) de specifieke oplossing.
Bewijs (moeten we kunnen reproduceren):
Aan te tonen: y ( x)  yc ( x)  y p ( x)  y ( x)  y p ( x)  yc ( x)
Dus: als y een oplossing is voor ay"  by '  cy  G( x) dan moeten we aantonen dat ook
y  y p een oplossing is voor de gereduceerde lineaire dv. ay"  by '  cy  0 . Welnu:
a  y  yp   b  y  yp   c  y  yp 
"
'
 ay"  ay "p  by '  by 'p  cy  cy p

 
 ay"  by '  cy  ay "p  by 'p  cy p

 G ( x)  G ( x)  0
Versie 1.0
blz. 15 van 19
Uittreksel Analyse C
Er zijn twee methoden om een specifieke oplossing te vinden:
1. Vaststellen van de coëfficiënten
Deze methode stelt G ( x ) gelijk aan een polynoom van dezelfde graad en
rekent vervolgens uit wat de coëfficiënten in deze polynoom moeten zijn.
Voorbeelden:
a. Bij G( x)  ax 2 dan y p gelijkstellen aan Ax 2  Bx  C
b. Bij G( x)  C  ekx gelijkstellen aan Ae kx
c. Bij G ( x)  C  cos kx of C  sin kx gelijkstellen aan A cos kx  B sin kx
d. Bij G( x)  G1 ( x)  G2 ( x) gelijkstellen aan product van overeenkomstige
functies en als één geheel verder uitwerken tot y p .
e. Bij G( x)  G1 ( x)  G2 ( x) gelijkstellen aan optelling van overeenkomstige
functies. Deze apart uitwerken tot y p1 en y p2 en vervolgens de
algemene oplossing berekenen met y ( x)  yc ( x)  y p1 ( x)  y p2 ( x) .
f.
Soms blijkt bij uitwerken de oplossing van y p gelijk te zijn aan yc . In die
gevallen vermenigvuldigen we y p met x (of zelfs met x 2 indien nodig).
In het boek wordt dit samengevat als:
 Als G( x)  P( x)  ekx dan is y p ( x)  Q( x)  ekx ,
waarbij P ( x ) en Q ( x ) polynomen zijn van dezelfde graad

Als G( x)  P( x)  ekx  cos mx of G( x)  P( x)  ekx  sin mx dan is
y p ( x)  Q( x)  ekx  cos mx  R( x)  ekx  cos mx ,
waarbij P ( x ) , Q ( x ) en R ( x ) polynomen zijn van dezelfde graad.
2. Variatie van constanten
Uitgaande van de oplossing y  c1 y1 ( x)  c2 y2 ( x) van de gereduceerde dv. gaan we
op zoek naar y p ( x)  u1 ( x) y1 ( x)  u2 ( x) y2 ( x) voor de niet-gereduceerde dv..

 

Door nu deze vergelijking te differentiëren ontstaat: y 'p  u1' y1  u2' y2  u1 y1'  u2 y2' .
We stellen nu dat u y  u y2  0 (1) en gaan verder met y 'p  u1 y1'  u2 y2' .
'
1 1
'
2
Nu is y"p  u1' y1'  u2' y2'  u1 y1"  u2 y2" . Invullen in de dv. levert vergelijking (2) op.
Uit (1) en (2) zijn u1' en u2' af te leiden. Met integreren vinden we u1 ( x) en u2 ( x) .
Versie 1.0
blz. 16 van 19
Uittreksel Analyse C
Gebruik van de TI-89 bij Analyse C
Kijk allereerst naar de aanwijzingen voor het gebruik van de TI-89 in de bijlage bij
Analyse A en B. Ik heb mij hier beperkt tot de specifieke functies voor Analyse C.
Bij paragraaf 8.1
Neem bij integralen expliciet een maal-teken (*) op als je wilt dat de TI-89 partieel gaat
integreren. Voorbeeld: ( x cos( x), x) levert niets op, maar ( x  cos( x), x) wel.


Neem evenzo bij het controleren van de uitkomst een maal-teken op als je het
verkregen antwoord gaat differentiëren, zodat het CAS de productregel gaat toepassen.
Voorbeeld: d  x ln x  x, x  geeft
d
 x ln x   1 , maar d  x  ln x  x, x  geeft ln x .
dx
Bij paragraaf 8.4
Het splitsen van breuken is op de TI-83 uit te voeren met het commando expand.
2
1
 x5 

 geeft als antwoord
2
x 1
x2
 x  x2
Bijvoorbeeld: expand 
Met comdenom breng je breuken weer onder één noemer.
x5
1 
 2

 geeft als antwoord 2
x  x2
x2
 x 1
Dus comdenom 
Ook het uitvoeren van een staartdeling zoals onderaan blz. 532 kun je met het
commando expand uitvoeren.
 x3  x 
2
 x2  x  2 .
 geeft als uitwerking
x

1
x

1


Dus: expand 
Tenslotte is het commando expand handig als je natuurlijk logaritme met een complexe
breuk wilt vereenvoudigen.
  x 5  2 x  1 

ln 
x

2


2
x  2x 1

.
Bijvoorbeeld:  3
dx geeft op de TI-83 als antwoord
2
10
2 x  3x  2 x
ln  2 x  1 
ln  x  2  ln  x 
Als je hier vervolgens expand voor plakt, krijg je:
, het


10
10
2
antwoord zoals dit op blz. 534 staat.
Versie 1.0
blz. 17 van 19
Uittreksel Analyse C
Bij paragraaf 10.2: Tekenen van een lijnelementenveld
(NB. Op de TI-89 kun je alleen differentiaalvergelijkingen van de eerste orde plotten. In
de handleiding staat beschreven hoe je een differentiaalvergelijking van een hogere
orde om kunt zetten naar een stelsel van eerstegraads differentiaalvergelijkingen.)
 Kies Mode, Graph, Diff Equations.
 Kies Y= en wis alle aanwezige functies met F1, Clear Functions.
 Voer bij y1’ de differentievergelijking in. Bijvoorbeeld: 0.001*y1*(100-y1).
Voer Y1 in als met letter Y gevolgd door cijfer 1. Neem expliciete
vermenigvuldigingstekens op, anders ziet de TI-89 het als een functie.
 Kies ♦ (ruitje) gevolgd door | (verticale streep) voor het activeren van
Graph formats. Alternatief: vanuit Y=: F1, 9.
Kies Axes On, Labels On, Solution Method Euler en Fields Slpfld.
 Kies Window en stel de grenswaarden van x en y in.
Bij het voorbeeld: 10  x  110 en 10  y  120 .
 Kies Graph. Het lijnelementenveld wordt nu getekend.
 Ga terug naar Y= en voer een beginwaarde in bij Yi1. Bijvoorbeeld: 10.
Druk op Graph. Alternatieven:
o een lijst invoeren bij Yi1. Bijvoorbeeld {10, 20}.
o Interactief een beginwaarde invoeren met F8. Bijvoorbeeld F8, 40, 45.
Bij paragraaf 10.2: Methode van Euler
Hier heb ik nog geen berekeningswijze voor gevonden. Waarschijnlijk is het het beste
om hiervoor een recursief programmaatje te schrijven met als parameters de
differentievergelijking, beginwaarde en de stapgrootte.
Bij paragraaf 10.3: Oplossen van differentiaalvergelijkingen
De algemene oplossing kun je vinden met
deSolve(differentiaalvergelijking, onafhankelijke variabele, afhankelijke variabele).
deSolve kun je vinden bij F3 (Calc, optie C).
Voorbeeld: deSolve(y’ = 1/1000*y*(100-y), t, y).
Het accentteken staat boven de “=”-toets. Gebruik weer expliciete vermenigvuldigingen.
t
Uitkomst: y 
100  e10
t
e10  100  @1
De oplossingsfunctie kun je vervolgens vastleggen door voor deze uitkomst Define te
plakken. Define kun je vinden bij F4. De oplossingsfunctie bevat een variabele @.
t
Dus: Define y 
100  e10
t
10
legt deze formule vast onder de letter y.
e  100  @1
Met Solve kun je de waarde van @1 bepalen bij een bepaalde beginwaarde.
Voorbeeld: Solve(y=10, @1) | t = 0 geeft @1 = 9/100.
De @ kun je vinden met ♦ (ruitje) gevolgd door STO►
Deze waarde kun je invullen in het functievoorschrift.
t
Voorbeeld: Y | @1 = 9/100 resulteert in:
100  e10
t
10
.
e 9
Alle stappen in één commando: deSolve(y’ = 1/1000*y*(100-y) and y(0)=10, t, y).
Versie 1.0
blz. 18 van 19
Uittreksel Analyse C
Bij paragraaf 10.7: Prooi-roofdiermodel
Zet in Y1’ de differentiaalvergelijking van de roofdieren, bijvoorbeeld:
Y1’ = -Y1 +0,1Y1*Y2
Zet in Y2’ de dv. van de prooidieren, bijvoorbeeld:
Y2 = 3Y2 - Y1*Y2
Kies Graph formats en zet Fields op Fldoff.
Terug in de vergelijkingseditor kies F7. Bevestig de instelling op Time (tijdgrafieken).
Stel de assen in bij Window en druk op Graph.
Voor een prooiroofdierdiagram kies Graph formats en zet Fields op DirFld.
Terug in de vergelijkingseditor kies F7. Bevestig de Custom instellingen.
Stel de assen in bij Window en druk op Graph.
Bij paragraaf 18.1: tweede orde lineaire differentievergelijkingen
Het is mogelijk op de TI-89 lineaire differentievergelijkingen van de tweede orde in te
voeren, door deze eerst te herschrijven. De wijze waarop dit moet gebeuren staat
beschreven in de handleiding, maar vind ik dusdanig ondoorzichtig dat ik mijn handen
er niet aan durf te branden.
Bij het oplossen van tweedegraads vergelijkingen waarbij de determinant kleiner is dan
0, kun je profijt hebben van de functie cSolve, te vinden bij F2, Complex.
Voorbeeld: cSolve( x 2  4 x  8  0, x) geeft x  2  2i of x  2  2i .
Versie 1.0
blz. 19 van 19