MEETKUNDE leerweg 5

MEETKUNDE
leerweg 5
Philip Bogaert
Filip Geeurickx
Marc Muylaert
Roger Van Nieuwenhuyze
Erik Willockx
m.m.v. Björn Carreyn
Cartoons
Dave Vanroye
4
- Welke?
E
- staat Af loodrecht op het grondvlak?
B
koordenvierhoek
We zien dat de loodrechte stand van een rechte t.o.v. één rechte in een vlak
Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de vier hoekpunten op één cirkel liggen. de vier zijden zijn
niet volstaat opdat de eerste loodrecht op dat vlak zou staan.
koorden van deze omgeschreven cirkel.
- de rechte AE staat loodrecht op de rechten AB en Ad.
In een koordenvierhoek zijnWe
de weten
overstaande
hoeken supplementair.
dat AE loodrecht
staat op het grondvlak.
A
opdracht: teken op een blad papier twee snijdende rechten a en b. Leg je tekendrieh
gegeven:
ingeschreven vierhoek ABCd
dat een rechthoekszijde langs a valt.
R is de straal van de omgeschreven van D ABC.
t
B
A
A +W
B+ W
d = 180°
C= W
te bewijzen: W
3 ) Supplementaire
hoeken
M1
W
Bewijs:
M
A = 1X
2
b
a
11
10
9
8
30
40
50
60
20
7
7 ) Meetkundige plaatsen
10
70
1
80
6
3
80
4
90
5
70
2
60
1
1
50
0
40
2
30
3
2
1
b
a
4
1
20
4
supplementaire hoeken
C
t omtrekshoeken
D
Definities
vind je
W
W
M2
Pop
+W
A een
C = 1X
C = 1 · 360° = 1
en
&
2
2
middelpuntshoeken
op
BCD
Supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 180° is.
rode achtergrond,
meetkundige plaats
X
de andere
t van demethodes
tekendriehoek
dus loodrecht op a
in een
= 360° omtrekshoeken
en
M1 = X
Mrechthoekszijde
&staanstaat
2
5
6
10
7
8
9
10
11
Een meetkundige plaats is een verzameling van punten die aan een bepaalde
voorwaarde moeten
voldoen.
middelpuntshoeken
op BAD
Je ziet duidelijk dat t niet loodrechtoranje
op hetkader.
vlak staat. draai nu de tekendri
Dus:
a + (180° – a) = 180°
Voorbeelden:
•
loodrecht staat op b.
punten liggen.
•
hoek
Voorbeelden:
2
criterium
loodrechte stand rechte
30°
150°- vlak
–114°
294°
woorden:
Ook een parabool is een meetkundige in
plaats.
3
Hier vind je uitleg over
a als en slechts als ze loodrecht staat op
180°
Eenarechte staat loodrecht op
een– vlak
de geschiedenis van de
A(4, –1)
vlak.
wiskunde en herkomst
We berekenen nu met de rekenmachine:
Gevraagd:
Bepaal de verzameling van
alle punten P(x, y) zodat d(P, A) = d(P, a)
van begrippen.
in symbolen:
sin 30° = 0,5
cos 30° = 0,866025
tan 30° = 0,577350
Oplossing:
d(P, A) = d(P, a,
a) b ⊂ a en {s} = a ∩ b
y
⇒ p⊥a
sin 150° = 0,5
cos 150° 4= –0,866025
tan 150° = –0,577350
4
B
p ⊥ a en p ⊥ b
2
2
2
van Ptolemeus
sin_x114°
cos 114° = –0,406737
tanhet
114°
= –2,246037
We stimuleren
gebruik
– 4i +=_y0,913545
+ 1i = _y +stelling
3i
leefde incos
Alexandrië
in de tweede eeuw
na Christus.tan 66°
B beide Ptolemeus
leden kwadrateren
sin 66° = 0,913545
66° = 0,406737
van wiskundesoftware
x = 2,246037
(x – 4)2 + (y + 1)2 = (y + Het
3)2 product van de diagonalen van een (convexe)
koordenvierhoek
is
gelijk aan de som v
zoals GeoGebra.
Uit deze voorbeelden blijktBdat supplementaire
hoeken
gelijke
sinussen,
tegengestelde
cosinussen
en tegenge
producten van de overstaande zijden.
Gegeven:
3
Je merkt dat t nu wel loodrecht opEigenschappen
het vlak staat. vind je op
Supplementaire hoek
een groene achtergrond.
De bissectrices van twee snijdende rechten is de meetkundige plaats van alle punten die even ver van twee
gegeven rechten liggen.
•
2
Een middelloodlijn van een lijnstuk is de meetkundige plaats van alle punten die even ver van twee gegeven
a ↔ y = –3
– 8x + 16 + hebben.
y + 2y + 1 = y + 6y + 9
stelde xtangenten
a
ABCD is een korordenvierhoek F |AC|· |BD| =5
|AB| · |CD| + |AD| · |BC|
3 ) Sinusregel
2
2
2
B
A
Aan het einde van
a elke
paragraaf
eende naam 'Almages
vertalingen
samenvatting). Later kreeg dit werk, langs Arabische
Svind jeom,
aB = b = c
b
sin W
A 1sin W
C
B sin W
samenvatting.
2
C
y = x – 2x + 2
formule bewijst Ptolemeus in zijn werk 'Hè Megalè Syntaxis' (De grote
bestaande
2 metDe
–D ABC
8x
+bovenstaande
8 wiskundesoftware
4yOnderzoek
=in xelke
Supplementaire hoeken
dathebben
geldt:gelijke sinussenb en tegengestelde cosinussen.
c
Gegeven:
4
de hoek a
a
B
4
1 2
De grafiek
als–vergelijking
180°
a) = sin a y = 4 x – 2x + 2 is een parabool waarbij we A het brandpunt noemen
te bewijzen:
sin (met
p
en a de richtlijn.
cos (180° – a) = –cos a
Bewijs:
5
A is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel
y
pictogrammen
B is het beeldpunt van 180°
– a op de goniometrische cirkel.
E'
10 ) Samenvatting
B
WB + BO
WE'' = 180°
EO
A
o
• Je kent de definitie van afstand
180tussen
– α een punt en een rechte.
sinusregel
α berekenen.
elke driehoek
ABC geldt: a = b x= c
• Je kunt de afstand tussen twee Inpunten
sin W
A sin W
C
B sin W
E"(xC, y ) en co(QO
) = (x2, y2):
co(P) =
1
1
of:
L
WE'' = 180°
180° – a + BO
D E= _x2 – x1i + _y2 – y1i
|PQ|
2
2
L
WE'' = a
BO
In elke driehoek zijn de zijden evenredig met de sinussen van de overstaande hoeken.
• Je kunt de afstand van een punt tot een rechte analytisch bepalen.
We bewijzen hier de sinusregel in een scherphoekige driehoek.
Als m ↔ ax + by + c = 0 (met a ≠ 0 en b ≠ 0)
D ABC is scherphoekig
ax + by Gegeven:
+c
dan is d(A, m) = 1 2 1 2
a + bTebewijzen: sina WA = sinb WB = sinc WC
TE ONTHOUDEN
BETEKENIS
GESCHIEDENIS
REKENMACHINE
ICT
WB = 90° – a = AO
WE' en dus is
Dit betekent ook dat E'O
WB.
de y-as de deellijn van AO
en A(x1, y1),
• Je kunt een normaalvergelijking
van Aeen rechte opstellen.
Bewijs:
Teken de hoogtelijn [AD].
AD
AD
ax + by + c
In D ADC: sin W
C = L en in D ADB: sin W
B=
b
c
=
0
een
normaalvergelijking
van
m.
Als m ↔ ax + by + c = 0, dan is
L
b
a 2 + bc 2
W
W
sin B
|AD|B
= b ·=
sin C
A)= c ·want
|OB| = |OA| = 1 en D OAB is dus gelijkbenig en in een gelijkb
s en(|AD|
• Je weet wat een meetkundige plaats is.
In D OBC en D OAD geldt:
C
D
W
C= W
D = 90°
a
yL
B
C = c · sin W
B
b · sin W
b
L
c
driehoek is de deellijn uit de tophoek tevens middelloodlijn.
c
stel de vergelijkingen op van de drie middelloodlijnen.
d
Bepaal de coördinaat van het snijpunt M van de drie middelloodlijnen.
e
stel de vergelijkingen op van de drie zwaartelijnen.
f
Bepaal de coördinaat van het zwaartepunt Z.
g
toon aan dat deze drie punten (h en M en Z) op één rechte liggen (= de rechte van euler).
h
toon aan dat |hZ| = 2 · |ZM|.
i
Bepaal de grootte van de hoek in A.
j
Bereken de omtrek van driehoek ABC.
k
Bereken de oppervlakte van driehoek ABC.
15 Gegeven: a(1, 4), B(–4, –3) en c(6, 2)
V O OR WOORD
6
★★
Bij sommige
oefeningen vind je een of
twee
sterretjes.
Dit duidt de
Voorbeeld
2: ZhZ
moeilijkheidsgraad aan.
gegeven:
Δ ABC
★
b
stel de vergelijkingen op van de drie hoogtelijnen.
c
Zoek de coördinaat van het voetpunt van de hoogtelijn uit elk hoekpunt.
d
Bereken de lengte van de hoogte uit elk hoekpunt.
e
Bereken de oppervlakte D ABC.
6
hoofdstuk 1
16 Gegeven: B(3, –2) en c(–1, 3)
•
d r i e h o e k s m e t i n g e n d e c i r kel
7
TREFW OORDE
REGISTER
17 Op de zijden [aB], [Bc], [cd] en [da] van het vierkant aBcd, neemt men respectievelijk de punten
|aP| = |BQ| = |cR| = |ds|. toon analytisch aan dat PR ⊥ Qs.
18 in een driehoek aBc trekt men de hoogtelijnen ad en Be (d C Bc en e C ac). het midden m van [a
Achteraan hetb boek
= 4 vind je
W
een trefwoordenregister.
C = 37° 15'
gevraagd:
stel de vergelijkingen op van de rechten en AB, BC en CA.
Bepaal de punten op d ↔ x – y – 1 = 0 die met B en c een rechthoekige driehoek bepalen.
7
a=5
a
midden n van [de] verbonden. Bewijs analytisch dat mn ⊥ de.
A
19 Bewijs analytisch dat de middelloodlijnen van een driehoek
A concurrent zijn.
W
A, W
B en c (tot8op 10–2 nauwkeurig)
★
afstand punt – rechte > 118
afstandctussen twee punten > 118
anticomplementaire hoeken > 28
20 de middens van de zijden van een driehoek aBc en het voetpunt
van eenhoeken
hoogtelijn
antisupplementaire
> 25
apothema > 56
–2,
0
,
B
4,
1
en
c
2,
5
.
benige
trapezium.
Bewijs
dit
analytisch.
neem
voor
a
Archimedes > 91
2ab · cos W
C
8
b
Synthese opdracht:
(
) ( )
( )
C
B
= 25 + 16 –hoe
40 · cosver
37° 15'is de horizon?
a
9
21 Bewijs analytisch dat in een vierkant de diagonalen elkaarBloodrecht middendoor delen en even la
Elk hoofdstuk
oplossing:
eindigt
c = ? met
een vaardigheid.
c2 = a2 + b2 –
zijn hoekpunte
★
y
diaa
edri
nulm
binnenomtrekshoek > 77
= 9,159920
Hier wordt uitgelegd hoe
buitenomtrekshoek
> 77
Je hebt er wellicht al van gehoord in de les aardrijkskunde: lengtecirkels (ook meridianen
genoemd)
c = 3,03
*
Als
we
de
waarde
van
c
verder
gebruiken, maak je
en breedtecirkels.
een grafische
best gebruik
Cen b Π0 maken een scherpe
22 twee rechten met vergelijking
y = ax van
en yde
= bx sto
met atoets.
Œ0
rekenmachine je kan
cartesiaanse vergelijking cirkel > 128
W
?
b A =helpen.
hoek, respectievelijk a en b, met de x-as zodanig dat a + bcavalièreperspectief
= 90°. hieruit volgt:
> 150
NB > 56
cirkel
2
2
2
W
a = b + c – 2bc · cos A
cirkelboog > 85
a a+b=1
b a+b=2
c ab = 1
d a = 2b
e a = 4b
L*
complementaire hoeken > 27
Noorderbreedte
2
2
2
cosecansevenaar
> 13
VWO 2009, tweede
ronde,
probleem
17
©
Vlaamse
Wiskunde
Olympiade
vzw
a
–
b
–
c
Westerlengte
=
cosinus > 9
–2bc
cosinusregel > 41
Noorderbreedte
L
cotangens > 11
Oosterlengte
criterium loodrechte stand > 99
25 – 16 – 9, 159920
=
–2 $ 4 $ 3, 026536
Zuiderbreedte
D
L 0° Õ VA Õ 180°
Zuiderbreedte
Westerlengte
deellijn > 39
Oosterlengte
WL
= 89° 37' 18"
Descartes > 114
n
cirkelsector > 85
A
cos W
an
idia
mer
W
A
nul
A
cos W
dodecaëder > 191
OL
c W
B=?
Laat ons nog even herhalen.
W
B = 180° – ( W
A+ W
C)
E
Escher > 148
Je verdeelt de aardbol in 360°. De lengtecirkels lopen van de noordpool naar de zuidpool en worden beschreven
= 180° – (89° 37'
18" +ten
37°
15'of) ten westen van de nulmeridiaan (door Greenwich). Voor de breedte
in graden
oosten
F verdeel je de aardbol
formule
van Heroon
> 49
fotostock
die in
Keure.
Niets uit dezelopen
uitgave
mag verveelvoudigd
en/of
openbaar
gemaakt
ISBN: 978 90 4861 333=553° 7' 42" Foto’s:
aanShutterstock,
weerszijden van
de evenaar
90 schijven. Deze breedtecirkels
evenwijdig
met
de evenaar
en worden
worden
door
middel van
druk, fotokopie,
microfilm
of
op welke wijze
beschreven
in
graden
ten
noorden
of
ten
zuiden
van
de
evenaar.
De
grootste
breedtecirkel
is
dus
de
evenaar
zelf.
Kon. Bib.: D/2012/0147/14
Bestelnr.: 94 505 0071
NUR: 126
Voorbeeld 3: hZh
Lay-out en opmaak: die Keure
gegeven:
Druk:
die Keure
Δ ABC
W
A = 24° 13' 56"
W
B = 46° 14' 31"
c = 24
gevraagd:
G
zonder
toestemming
Voor de onderstaande oefeningen ga je ervan uit dat ook
de aarde
eenvoorafgaande
perfecte bol isschriftelijke
met een straal
r = 6378 km.van de uitgever.
No part of this book may be reproduced
in any
gelijke hoeken
> form
22 by print,
genormeerde
vector >written
96
photoprint, microfilm or any other
means without
permission
georiënteerd > 8
Opdracht 1:
NOORDPOOL
Verantwoordelijke
uitgever: N.V. die Keure,
from the publisher.
georiënteerd lijnstuk > 96
a Pathoekeweg
Bereken de omtrek
vanBrugge
de aarde
Kleine
3 - 8000
- België kreeftskeerkring
goniometrische cirkel > 9
b
Bereken
de
afstand
van
de
evenaar
tot
de
zuidpool
als
het
grondformule goniometrie > 14
H.R. Brugge 12.225
002_092-147_Vbtl4MeetkLw5.indd
117
traject over land wordt afgelegd.
Copyright by die Keure Brugge
c 2012
Bereken de omtrek van de poolcirkel die zich op 66° 33'
Druk:
zuiderbreedte bevindt en van de kreeftskeerkring die zich
C
op 23° 27' noorderbreedte bevindt.
d
EVENAAR
Twee steden A en B zijn verbonden door een perfect
rechtlijnige weg. Stel dat men door de aarde een
a
rechtlijnige tunnel wil bouwen van A naar B.
- Hoeveel korter is de tunnel dan de weg? B
en W
C onder de begane grond
a, b (tot op 10 nauwkeurig)
- Hoeveel
meter
A
–2
r
c
r
b
O
23o27'
66o33'
r
A
α
9O
β
Zoals je op de foto kunt zien is wiskunde een eeuwenoude
wetenschap. Bij de bouw van deze 4000 jaar oude piramides,
kwam er al heel wat wiskunde kijken. Ze bevinden zich in
Egypte, niet zover van Caïro, de stad die je op de achtergrond
ziet.
Driehoeksmeting en een ruime kennis van ruimtemeetkunde
waren nodig om het graf van koning Cheops (de grootste van de
drie piramides) op te trekken. Als basis een vierkant met een
zijde van 230 m. Inwendig een trapconstructie die zorgt voor
stabiliteit en waarlangs men de steenmassa naar boven sleurde, tot zelfs oorspronkelijk 146 m hoog! Hiervoor werd gebruik
gemaakt van schuin oplopende vlakken, onder een welbepaalde hellingshoek waarop de blokken op sleeën werden voortgetrokken. En hadden ze toen het hoofdstuk 'cirkels' gekend, dan
konden ze gebruik maken van wieltransport. Nadien werden
de horizontale 'trappen' met stenen volgebouwd zodat de piramide volwaardige zijvlakken kreeg onder een hoek van 51° 50'
met zijn grondvlak.
De auteurs van dit boek hebben getracht om je leerstof op een
boeiende en realistische wijze voor te stellen. Veel plezier met
het doorworstelen ervan.
I n hou d
D
riehoeksmeting en de cirkel
Ruimtemeetkunde
1
3
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Goniometrische getallen > 8
Goniometrische getallen en verwante hoeken
> 22
Willekeurige driehoeken > 36
De cirkel > 56
Regelmatige veelhoeken > 80
3.1Punten, rechten, vlakken > 150
3.2 Evenwijdige stand van rechten en vlakken > 166
3.3 Doorsneden > 173
3.4 Loodrechte stand van rechten en vlakken > 182
3.5 Eigenschappen van vlakke figuren gebruiken
in ruimtelijke situaties > 190
Vaardigheden:
Wiskunde en Archimedes > 91
Analytische meetkunde
2
2.1
2.2
2.3
2.4
Vectoren > 94
Punten en rechten > 104
Afstanden in het vlak > 118
Vergelijking van een cirkel > 128
Vaardigheden:
Wiskundige woordenschat > 144
ICT: meetkundige plaatsen > 145
Syntheseoefening:
De horizon en kimduiking > 198
Trefwoordenregister
> 201
Net over de grens, voorbij Maastricht, vind je dit verkeersbord aan de Keutenberg, die de steilste helling
van Nederland aankondigt. Deze helling maakt deel
uit van de Amstel Gold Race.
Op het bord merk je dat de zwarte driehoek geen
correcte wiskundige weergave. Zo moet de rechte
hoek onderaan zitten en hoort het getal 22 bij de
kortste rechthoekszijde en 100 bij de andere recht-
hoekszijde. Maar zo’n correcte weergave zou het
bord plots minder leesbaar maken.
Met al deze gegevens is het mogelijk om ook alle
hoeken van de driehoek terug te vinden. Ook als je de
hoeken gegeven hebt, kun je afstanden terugvinden.
Deze driehoeksmeting lukt dankzij de kennis van de
goniometrische waarden: sinus, cosinus en tangens.
Driehoeksmeting
en de cirkel
1.1
Goniometrische getallen
1 Hoofdwaarde van een goniometrische hoek > 8
2 De goniometrische cirkel > 9
3 Goniometrische getallen: sinus en cosinus > 9
4 Goniometrische getallen: tangens > 10
5 Goniometrische getallen: cotangens > 11
6 Goniometrische getallen: secans en cosecans > 13
7 Grondformule van de goniometrie > 14
8 Bewijzen van identiteiten > 15
9 Bijzondere hoeken > 15
10Samenvatting > 17
11Oefeningen > 18
1.2
oniometrische getallen en
G
verwante hoeken
1 Gelijke hoeken > 22
2 Tegengestelde hoeken > 23
3Supplementaire hoeken > 24
4Antisupplementaire hoeken > 25
5 Complementaire hoeken > 27
6Anticomplementaire hoeken > 28
7 Herleiden naar het eerste kwadrant > 29
8 Hoek bepalen als het goniometrisch getal
gegeven is > 30
9Samenvatting > 31
10Oefeningen > 32
1.3
Willekeurige driehoeken
1 Weet je nog… formules in een rechthoekige
driehoek > 36
2 Weet je nog… bijzondere lijnen in een driehoek
> 37
3Sinusregel > 40
4 Cosinusregel > 41
5Oplossen van willekeurige driehoeken > 43
6 Toepassingen > 47
7 Oppervlakte van een driehoek > 49
8Samenvatting > 50
9Oefeningen > 51
1.4
1
De cirkel
1 Terminologie > 56
2 Eigenschappen i.v.m. middellijnen en koorden > 58
3 Middelpuntshoek en omtrekshoek > 60
4 Eigenschappen i.v.m. middelpuntshoeken en
omtrekshoeken > 60
5 Toepassingen > 61
6 Koordenvierhoek > 63
7 Raaklijn aan een cirkel > 64
8 Constructies > 65
9 Gemeenschappelijke uitwendige raaklijn aan
twee cirkels > 66
10 Gemeenschappelijke inwendige raaklijn aan
twee cirkels > 67
11 Raakomtrekshoek > 68
12 Macht van een punt t.o.v. een cirkel > 69
13Samenvatting > 70
14Oefeningen > 72
1.5
Regelmatige veelhoeken
1 Begrippen en eigenschappen > 80
2 Grootte van een hoek van een regelmatige veelhoek
> 81
3 Zijde en omtrek van een regelmatige veelhoek > 82
4Oppervlakte van een regelmatige veelhoek > 83
5 De cirkel als regelmatige veelhoek > 84
6 Het getal p > 84
7Oppervlakte van een cirkel > 85
8 Cirkelboog en cirkelsector > 85
9Samenvatting > 86
10Oefeningen > 87
Vaardigheden
Wiskunde & Archimedes > 91
Goniometrische getallen
1.1
1 ) Hoofdwaarde van een georiënteerde hoek
Een hoek kan op twee manieren doorlopen of georiënteerd worden.
B
in negatieve zin:
in positieve zin:
O
B
O
60°
–60°
A
A
Het been [OA kan op [OB afgebeeld worden door oneindig veel draaiingen.
= r(O, –300°)
= r(O, 60° + (–1) · 360°)
= r(O, 60° + k · 360°)
WIJZERZIN
= NEGATIEF
1
60
0
8
10
= r(O, 60° + 3 · 360°)
50
= r(O, 1140°)
12
11
20
40
TEGEN
WIJZERZIN
= POSITIEF
6
= r(O, 60° + 2 · 360°)
4
= r(O, 780°)
2
2
= r(O, 60° + 360°)
9
30
3
met k C Ž
50
60
10
= r(O, 420°)
10
Zo is r(O, 60°)
40
8
4
20
30
5
6
7
Het been [OB kan op [OA afgebeeld worden door:
Zo is r(O, –60°)
= r(O, 300°)
= r(O, –60° + 360°)
= r(O, 660°)
= r(O, –60° + 2 · 360°)
= r(O, –420°)
= r(O, –60° – 360°)
= r(O, –60° + k · 360°) met k C Ž
Besluit:
Een georiënteerde hoek heeft oneindig veel waarden. Als a een waarde is van de hoek, dan zijn a + k · 360°
(met k C Ž) alle waarden voor die hoek. De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek is die waarde die behoort
tot ]–180°, 180°].
Voorbeelden:
8
hoek a
a + k · 360°
hoofdwaarde
428°
428° – 360°
68°
–237°
–237° + 360°
123°
–2670°
–2670° + 7 · 360°
–150°
–400°
–400° + 360°
–40°
•
hoo fds tuk 1
driehoeksmeting en de cirke l
2 ) De goniometrische cirkel
goniometrische cirkel
y
1
Een goniometrische cirkel is een cirkel waarvan het middelpunt de oorsprong is van
een orthonormaal assenstelsel en waarvan de straal als eenheid wordt gekozen.
–1
genoemd.
x
1
0
IV
III
Om een georiënteerde hoek in een goniometrische cirkel voor te stellen, kiezen we als beginbeen steeds het positieve gedeelte van de x-as.
Op de goniometrische cirkel kunnen we een punt F
W = PAQ
W .
aanduiden zodat EOF
I
II
De assen van het orthonormaal assenstelsel verdelen de cirkel in vier gebieden, kwadranten
y
Q
–1
F
Het snijpunt F van het eindbeen van de georiënteerde
hoek met de goniometrische cirkel noemen we het
W op de goniometrische cirkel.
beeldpunt van PAQ
A
x
O
P
E
Elke hoek heeft zo precies één beeldpunt.
3 ) Goniometrische getallen: sinus en cosinus
In 'VBTL 3 Meetkunde' hebben we de sinus en cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gedefinieerd.
AC
overstaande rechthoekszijde
C
B=
= b=
sin W
a
schuine zijde
BC
a
b
AB
aanliggende rechthoekszijde
B=
= c=
cos W
schuine zijde
BC a
B
A
c
Op de onderstaande goniometrische cirkel is M het beeldpunt van een georiënteerde hoek a.
X = 90°).
D OMN is rechthoekig ( N
cos a=
ON
ON
=
= ON 1
OM
sin a =
MN
MN
=
= MN
1
OM
–1
y
1 E'
0
O
M
N
1x
E
cos a is dus het eerste coördinaatgetal van M en
sin a is het tweede coördinaatgetal van M.
We breiden dit uit tot de volgende twee definities:
–1
cosinus
De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische
cirkel.
sinus
De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische
cirkel.
Opmerking:
Voor een beeldpunt M van een hoek a schrijven we: co(M) = (cos a, sin a)
9
1
y
M
1
y
Gevolgen:
• Tekentabel:
M
x
N
O 0
x
N
O 0
1
1
a
I
II
III
IV
cos a
+
–
–
+
sin a
+
+
–
–
• Bijzondere hoeken:
1
y
1
x
O
0
N
1
O
a
0°
90°
180°
–90°
cos a
1
0
–1
0
sin a
0
1
0
–1
y
x
0
N
1
• Merk op dat |ON| = |cos a|
M
M
|MN| = |sin a|
• –1 Æ cos a Æ 1 en –1 Æ sin a Æ 1
of: zowel cos a als sin a behoren tot [–1, 1].
4 ) Goniometrische getallen: tangens
Vorig jaar werd de tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gedefinieerd:
C
a
b
B
AC b overstaande rechthoekszijde
tan W
B=
= =
AB c aanliggende rechthoekszijde
A
c
Op de onderstaande goniometrische cirkel is M het beeldpunt van een georiënteerde hoek a.
y
1
O
M
X = 90°).
D OMN is rechthoekig ( N
x
N1E
Er geldt dus:
tan a =
MN sin a
=
ON cos a
We breiden dit uit tot de volgende definitie.
tangens
De tangens van een hoek a (a ≠ 90° + k · 180°) is het quotiënt van de sinus van die hoek a en de cosinus van die
hoek a.
tan a = sin a cos a
met cos a ≠ 0
Hoe kun je tan a aflezen op de goniometrische cirkel?
y
OM gaat door de oorsprong O(0, 0) en door M(cos a, sin a)
OM ↔ y = sin a · x
cos a
E'
1
x
O
1E
OM ↔ y = tan a · x
Hieruit leiden we af dat tan a de rico is van OM.
Tekenen we nu de raaklijn in E aan de goniometrische cirkel, dan kunnen we
de coördinaat van P bepalen.
co(P) = (1, tan a)
10
hoo fds tuk 1
•
driehoeksmeting en de cirke l
Besluit:
M
y
E'(0, 1)
sin α
• De tangens van een hoek a met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel,
lezen we af als het tweede coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als
x
snijpunt van de raaklijn in het punt (1, 0) aan de goniometrische cirkel en de
cos α
E(1, 0)
O
rechte OM.
• De tangens van de hoek a is de richtingscoëfficiënt van OM.
y
y
(1, tan α)
1
1
tan α
Gevolgen:
x
0
x
0
1
1
P(1, tan α)
• Merk op dat tan 90° en tan (90° + k · 180°) met k C Z
niet bestaan aangezien cos (90° + k · 180°) = 0 en je
(1, tan α)
dus in de noemer 0 krijgt. De raaklijn in (1, 0) snijdt
de rechte OM niet.
y
1
y
• tan a C R (a ≠ 90° + k · 180° met k C Z)
1
(1, tan α)
x
0
1
x
0
1
(1, tan α)
• Tekentabel:
a
I
II
III
IV
tan a
+
–
+
-
90°
180°
–90°
• Bijzondere hoeken:
a
0°
tan a
0
ÇR
ÇR
0
5 ) Goniometrische getallen: cotangens
cotangens
cot a = cos a sin a
(met sin a ≠ 0)
cot a =
Gevolg:
In een rechthoekige driehoek geldt:
cot a =
=
1 tan a
(met tan a ≠ 0)
B
aanliggende rechthoekszijde
overstaande rechthoekszijde
c
AB
=c
b
AC
A
a
Op de goniometrische cirkel is M het beeldpunt van een georiënteerde hoek a.
cot a =
ON
= cos a
sin a
MN
C
b
y
1
sin α
M
(met sin a ≠ 0)
0
cos α
1
N
x
11
Hoe kun je cot a aflezen op de goniometrische cirkel?
E’ y
P (cot α, 1)
1
M (cos α, sin α)
x
Q
cot α
cos α E
O
OM ↔ y = tan a · x
Tekenen we nu de raaklijn in E' aan de goniometrische cirkel dan kunnen we co(P) bepalen.
Het tweede coördinaatgetal van P is 1.
P C OM dus is: 1 = tan a · x
L
x=
1 = cot a
tan a
en dus is cot a het eerste coördinaatgetal van P.
P co(P) = (cot a, 1)
Besluit:
De cotangens van een hoek a, met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel, lezen we af als het eerste coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt (0, 1) aan de goniometrische cirkel
en de rechte OM.
- Merk op dat cot (k · 180°) (met k C Z ) niet bestaat omdat de raaklijn in (0, 1) de rechte OM
Gevolgen:
niet snijdt. Bij deze hoeken is de sinus ook altijd 0!
- cot a C R (a ≠ k · 180°)
- Tekentabel:
a
I
II
III
IV
cot a
+
–
+
-
90°
180°
–90°
- Bijzondere hoeken:
a
0°
ÇR
cot a
ÇR
0
0
Samenvatting:
I
II
III
IV
sin a
+
+
–
–
cos a
+
–
–
+
tan a
+
–
+
–
cot a
+
–
+
–
y
+
+
1
x
y
1
+
+
O
y
–
1
–y
+
1
1
+
+
–
O
1
x
–
–
O
–
1
x
O
+
1
x
–
–
12
hoo fds tuk 1
•
driehoeksmeting en de cirke l
6 ) Goniometrische getallen: secans en cosecans
secans, cosecans
sec a =
1 cos a
(cos a ≠ 0)
csc a =
1 sin a
(sin a ≠ 0)
Gevolgen:
- cos a en sec a hebben hetzelfde teken. Ook sin a en csc a hebben hetzelfde teken.
-Omdat sin a en cos a beiden tot het interval [–1, 1] behoren, geldt voor de reële getallen csc a en sec a dat zij
elementen zijn van ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[.
Waar vinden we de sec a en csc a op de goniometrische cirkel terug?
y
Construeer de raaklijn a in P die de x-as in Q en de y-as snijdt in S.
S (0, csc α)
In D OPQ geldt: cos a =
OP
OQ
1
L
|OQ| = 1 = sec a
cos a
O
P
1
Als P het beeldpunt is van a op de goniometrische cirkel en a
Q (sec α, 0) x
a
de raaklijn aan de cirkel in P, dan is sec a het eerste coördinaatgetal van het snijpunt van a met de x-as.
s = a
In DOPS geldt: W
OP
sin a = sin W
s=
OS
L
|OS| = 1 = csc a sin a
Q als complement
hebben beiden V
csc a is het tweede coördinaatgetal van het snijpunt van a met de y-as.
13
7 ) Grondformule van de goniometrie
Bereken met je rekenmachine: sin2 (41° 5' 11") + cos2 (41° 5' 11")
Vorig jaar leerde je de grondformule sin2a + cos2a = 1 voor scherpe hoeken.
Deze formule zullen we nu veralgemenen voor elke willekeurige, georiënteerde hoek.
grondformule goniometrie
sin2a + cos2a = 1
We bewijzen de stelling voor een hoek die behoort tot ]90°, 180[.
y
Gegeven: willekeurige hoek a in het tweede kwadrant met beeldpunt A
A(cos α, sin α)
1
Te bewijzen: sin2a + cos2a = 1
Bewijs:
D OAB is rechthoekig
L
x
|AB|2 + |OB|2 = |OA|2
O
1
B
L
(sin a)2 + (|cos a|)2 = 1
L
sin2a + cos2a = 1
Uit de grondformule leiden we af:
sin2 a + cos2 a = 1
L
sin2 a + cos2 a = 1
(indien sin a ≠ 0) en
2
2
sin a
sin a
L
1 + cot2 a = csc2 a en
sin 2 a + cos 2 a = 1
(indien cos a ≠ 0)
cos 2 a
cos2 a
1 + tan2 a = sec2 a
afgeleide formules:
1 + cot2a = csc2a
Toepassingen:
Bepaal de cos a en tan a (zonder deze hoek te
berekenen) als de hoek a behoort tot het eerste
kwadrant en als sin a = 0,2.
Bepaal cos a en sin a als de hoek a behoort tot het derde
kwadrant en als tan a = 3 .
Oplossing:
Oplossing:
 cos a = ?
sin2a + cos2a = 1 (grondformule)
L
cos a = 1 – sin2 a (vermits a behoort tot het eerste
kwadrant is cos a Π0)
L
2
cos a = 1 – 0, 2
L
2
cos a = 1 – d1n
5
L
cos a = 24
25
L
cos a = 2 6
5
 cos a = ?
1 + tan2a = sec2a
L
2
sec2a = 1 + ( 3 )
L
sec2a = 4
L
1 =4
2
cos a
L
cos2 a = 1
4
L
cos a = – 1 (vermits a behoort tot het derde
2 kwadrant is cos a Õ 0)
b tan a = ?
1
tan a = sin a = 5 = 6
cos a 2 6 12
5
b sin a = ?
tan a = sin a
cos a
L
sin a = tan a · cos a
= 3 · a– 1k
2
=– 3
2
14
1 + tan2a = sec2a
hoo fds tuk 1
•
driehoeksmeting en de cirke l
8 ) Bewijzen van identiteiten
Voorbeeld 1:
Toon aan dat voor elke a waarvoor de goniometrische getallen bestaan geldt:
1
= cos a
cos a + sin a $ tan a
Bewijs:
We starten in het linkerlid en proberen het rechterlid te bekomen.
1
1
=
cos a + sin a $ tan a cos a + sin a sin a
$ cos a
1
=
cos2 a + sin2 a
cos a
cos a
cos2 a + sin2 a
= cos a
1
= cos a
=
Voorbeeld 2:
Toon aan dat voor elke a waarvoor de goniometrische getallen bestaan geldt:
(tan a + cot a)2 = sec2 a + csc2 a
Bewijs:
We trachten de identiteit te bewijzen door beide leden tegelijkertijd om te vormen.
(tan a + cot a)2 = sec2 a + csc2 a
B
tan2 a + 2 tan a · cot a + cot2 a = (1 + tan2 a) + (1 + cot2 a)
B
tan2 a + 2 + cot2 a = 2 + tan2 a + cot2 a
De gelijkheid is waar.
9 ) Bijzondere hoeken
y
1 Goniometrische getallen van een hoek van 45°
sin 45° = cos 45° (D OAB is rechthoekig en gelijkbenig)
sin2 45° + cos2 45° = 1
L*
(grondformule)
A
C
2 sin 45° = 1
2
L
sin2 45° = 1
2
L
45o
sin 45° = cos 45° =
tan 45° = cot 45° = 1
O
B
x
1 = 2 (sin 45° en cos 45° zijn beide positief)
2
2
sin 45° = 2 2
tan 45° = 1
cos 45° = 2 2
cot 45° = 1
15
2 Goniometrische getallen van een hoek van 60°
Omdat |OA| = |OB| = 1, is D OAB gelijkbenig, dus W
a= W
B
W
a+ W
B+ W
o = 180°
A
P
L
W
W
a + a + 60° = 180°
y
L
W
2 a = 120°
L
W
a = 60° = W
B
60o
Q
O
B
x
Dus: D OAB is gelijkzijdig.
Nu: |OQ| = |QB| = 1 (in een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn tevens zwaartelijn en |OQ| = cos 60°)
2
Dus: cos 60° = 1
2
sin2 60° + cos2 60° = 1 (grondformule)
L
sin2 60° + 1 = 1
4
L
sin2 60° = 3
4
L
sin 60° = 3 (sin 60° is positief)
2
sin 60° = 3 2
tan 60° = 3
cos 60° = 1
2
cot 60° = 3
3
tan 60° = sin 60° = 3 : 1 = 3
cos 60° 2 2
cot 60° = cos 60° = 1 : 3 = 1 = 3
sin 60° 2 2
3
3
3 Goniometrische getallen van een hoek van 30°
y
W E' = OE’
XA
Omdat |OA| = |OE'| = 1, is D OE'A gelijkbenig, dus Oa
WE ' = 180°
W E' + OE’
XA + Ao
Oa
L
W E' + (90° – 30°) = 180°
2Oa
L
W E' = 60°
Oa
Dus: D OE'A is gelijkzijdig
Nu: |OP| = |PE'| = 1 (in een gelijkbenige driehoek is de
2
hoogtelijn tevens de zwaartelijn)
1
Dus: sin 30° =
2
sin2 30° + cos2 30° = 1 (grondformule)
L
1 + cos2 30° = 1
4
L
cos2 30° = 3
4
L
cos 30° = 3 (cos 30° is positief)
2
16
sin 30° = 1
2
tan 30° = 3
3
cos 30° = 3 2
cot 30° = 3
E'
A
P
30o
O
tan 30° = sin 30° = 1 : 3 = 1 = 3
cos 30° 2 2
3
3
cot 30° = cos 30° = 3 : 1 = 3
sin 30°
2 2
Q
E
x
•
hoo fds tuk 1
driehoeksmeting en de cirke l
10 ) Samenvatting
• Je kent de betekenis van de hoofdwaarde van een georiënteerde hoek.
De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek a is die waarde die behoort tot ]–180°, 180°].
Als a de hoofdwaarde is van een georiënteerde hoek, dan stelt a + k · 360° (k C Z) alle waarden van de
hoek voor.
• Je kent de betekenis van een goniometrische cirkel en kunt voor elke hoek het beeldpunt aanduiden op
deze cirkel.
Een goniometrische cirkel is een cirkel waarvan het middelpunt de oorsprong is van een orthogonaal
assenstelsel en waarvan de straal als een eenheid wordt gekozen.
• Je kunt de cosinus, sinus, tangens en cotangens terugvinden op de goniometrische cirkel.
1
cot α
sin α
0 cos
α
M
tan α
1
I
II
III
IV
cos a
+
–
–
+
sin a
+
+
–
–
tan a
+
–
+
–
cot a
+
–
+
-
- De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel.
- De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische cirkel.
- De tangens van een hoek met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel lezen we af als het tweede coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt (1, 0) aan
de goniometrische cirkel en de rechte OM. tan a = sin a .
cos a
- De cotangens van een hoek met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel, lezen we af als het
eerste coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt (0, 1)
aan de goniometrische cirkel en de rechte OM. cot a = cos a .
sin a
• Je kent de definities van secans en cosecans.
(cos a ≠ 0) csc a = sin1 a (sin a ≠ 0)
sec a = 1
cos a
• Je kunt de grondformule van de goniometrie, alsook de afgeleide formules.
sin2 a + cos2 a = 1
1 + cot2 a = csc2 a
1 + tan2 a = sec2 a
• Je kunt de goniometrische getallen van een hoek berekenen als je weet in welk kwadrant de hoek ligt en
als je één goniometrische waarde gegeven hebt.
• Je kent de goniometrische getallen van bijzondere hoeken.
a
0°
sin a
0
cos a
1
tan a
0
cot a
ÇR
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
1
2
3
2
3
3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
0
–1
0
0
–1
0
1
1
3
ÇR
0
ÇR
0
3
1
3
3
0
ÇR
0
ÇR
17
11 ) Oefeningen
1 Een hulpmiddeltje? Om de goniometrische getallen van enkele bijzondere hoeken uit het hoofd te leren, kun je onderstaand hulpmiddeltje gebruiken.
a Probeer de verschillende stappen te begrijpen.
b Leid ook volgende goniometrische getallen af voor sec a, csc a, tan a en cot a.
Stap 1
Stap 2
a
0°
30°
45°
60°
90°
sin a
0
1
2
3
4
cos a
4
3
2
1
0
a
0°
30°
45°
60°
90°
sin a
0
2
4
2
1
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
4
2
0
2
a
0°
30°
45°
60°
90°
sin a
0
1
2
2
2
2
3
2
1
2
1
cos a
1
2
3
2
cos a
Stap 3
2 Bepaal de hoofdwaarde van volgende georiënteerde hoeken.
a 75°
e –760°
i
6228° 16'
b 210°
f
j
278° 19' 34"
c –145°
g –761°
k –612° 26' 31"
d –300°
h –3428°
l
–455° 15' 42"
340°
3 Bereken (tot op 5 decimalen) met je rekenmachine.
a cos 35° 17' 48"
e csc 108° 44'
i
tan 246° 08'
b sin (–122° 1' 38")
f
j
cot 357° 19'
c tan 92° 1' 38"
g sin 123°
k csc (–100° 1' 10")
d sec 138° 17' 02"
h cos (–10° 20' 30")
l
cot 55° 33' 11"
sec 100° 1' 10"
4 Bereken (tot op 5 decimalen) met je rekenmachine als je weet dat a = 57° 12' 04" en b = 30° 11' 23".
18
a sin (a + b)
e tan (a – b)
i
cos (2a – 3b)
b sin a + sin b
f
tan (b – a)
j
c cos (2a)
g tan a – tan b
sin α – cos β
tan _α + βi
k cot (2b)
d 2cos a
h sin2 a
l
2sec (3b)
0
•
hoo fds tuk 1
driehoeksmeting en de cirke l
5 Bepaal.
a sin b
k cos 180°
b cos a
l
c |ON'|
m sin a
d cos 0°
n sin 90°
e cos 90°
o sin 180°
f
|OM|
p |ON|
g |OP|
q cot b
h |OQ|
r |ON| – |ON'|
i
tan a
s sec a
j
sin 0°
t
y
M'(–0,6; 0,8)
cos b
Q
M d 3 , 1n
2 2
P
β
N'
α
x
N
O
csc b
6 Teken een goniometrische cirkel (eenheidstraal 5 cm), teken hierin een georiënteerde hoek van –35° en stel de
sinus, cosinus, tangens en cotangens van deze hoek grafisch voor.
7 Bepaal het teken van de sinus, cosinus, tangens en contangens van volgende hoeken.
a
sin a
cos a
tan a
cot a
280°
–
+
–
–
a
220°
b
80°
c
160°
d
–50°
e
–200°
f
–140°
8 Bepaal de beeldpunten van de hoeken waarvan de volgende goniometrische getallen gegeven zijn.
a cos a = 0,5
b sin a = 0,5
c cos a = –2
3
d sin a = 3
4
e |cos a| = 3
4
tan a = 1
2
g tan a = –3
2
h |tan a| = 4
3
i cot a = –5
6
j (tan a)–1 = –1
2
f
k tan2 a = 4
l
cot2 a = 9
m sec a = 3
n csc a = –2
o |csc a| = 5
2
9 Onderzoek op de goniometrische cirkel welke waarden tan a in de volgende gevallen aanneemt.
a a = 45°
b 0° Æ a Æ 45°
c 45° Æ a Æ 90°
d 90° Õ a Æ 135°
g –90° Õ a Õ –45°
e 135° Õ a Æ 180°
h –135° Æ a Æ –90°
f
–45° Æ a Æ 0°
i –180° Æ a Õ –135°
10 Bestaan er hoeken a waarvoor geldt:
a sin a = 1,3 · tan 74°
b cos a = – 2 · tan 20°
3
Verklaar telkens je antwoord.
19
11 Bereken zonder rekenmachine:
a sin 30° · cos 60° + cos 30° · sin 60°
b
(cos 60° – sin 60°) · (cos 60° + sin 60°)
c cos 60° · cos 90° + sin 60° · sin 90°
d cos 60° · sin 45° · tan 45° + tan 30° · cos 45° · sin 60°
e 3 sec2 30° – 4 sin2 30° + tan2 60° + cot 45°
12 Bepaal zonder a te berekenen de goniometrische getallen van a.
gegeven
a in kwadrant
gegeven
a in kwadrant
a
sin a = 1
3
I
f
sec a = –5
III
b
cos a = –0,5
II
g
tan a = 5
I
c
sin a = –1
4
3
cos a =
5
III
h
cot a = – 3
3
IV
IV
i
sec a = –3
II
csc a = 3
I
j
csc a = 2 2
II
d
e
13 Bereken 3 tan a – 5 cos a + 2 als sin a = 4 en a tot het eerste kwadrant behoort.
5
★
14 Gegeven: sin a = 3 cos a. Bereken nu:
a tan a + cot a
b sin a · cos a
15 Vereenvoudig.
a sin a + cos a
cos a sin a
b
c 2 – sin2 a – (2 + cos2 a)
d
(1– cos2 a) · cot2 a
(1 – cos a) · (1 + cos a) + (cos a – sin a)2
16 Een parallellogram heeft zijden 7 en 3 en oppervlakte 18. Als a de kleinste hoek is tussen de zijden dan geldt:
a sin a = 6
7
b tan a = 6
7
c tan a = 7
3
d cot a = 7
3
e cos a = 6
7
VWO 2011, tweede ronde, probleem 15 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
17 In driehoek ABC zien we de hoogtelijnen uit A en B. De rechte BD deelt het lijnstuk [AE] middendoor zoals in de fiBCA . Dan is tan b · tan γ gelijk aan:
ABC en c = \
guur. Zij b = \
a 1
2
b 1
c 2
d 3
e 4
D
VWO 2011, tweede ronde, probleem 25 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
C
20
A
E
B
hoo fds tuk 1
•
driehoeksmeting en de cirke l
18 Toon volgende gelijkheden aan.
a sin a · cot a = cos a
b tan a · cot a = 1
c sin4 a + 2 · sin2 a · cos2 a + cos4 a =1
d
(sin a + cos a)2 + (sin a – cos a)2 = 2
e tan a + cot a =
1
sin a $ cos a
f
tan a = sin a $ cos a
1 – tan2 a cos2 a – sin2 a
g
a
(1 + tan a) · sin asin
= tan a
+ cos a
h
(sin a + cos a +1) · (sin a + cos a – 1) = 2 · sin a · cos a
i
sin2 a =
j
1 + cos a = sin a
1 – cos a
sin a
tan2 a
1 + tan2 a
k sin a – sin3 a = sin a · cos2 a
l
(1 + cot2 a) · (1 – cos2 a) = 1
m sin4 a – cos4 a = 1 – 2cos2 a
n sec2 a + csc2 a = sec2 a · csc2 a
o
(sec a + tan a – 1)(sec a – tan a + 1) = 2tan a
p tan2 a + csc2 a = cot2 a + sec2 a
★
q
sin a + cos a = sin a + cos a
1 – cot a 1 – tan a
★
r
sec2 a – tan 2 a = –1
cot2 a – csc 2 a
★
s
cos a + cos a · sin2a + sin a = sec a
cos a
★
t
cos a · (2 + tan a) · (1 + 2 tan a) =
★
u
(1 – tan a)2 + (1 – cot a)2 = (sec a – csc a)2
★
v
(sec a + csc a) · (sin a + cos a) = sec a · csc a + 2
4
2 + 5 sin a
cos a
21
1.2
Goniometrische getallen en verwante hoeken
1 ) Gelijke hoeken
y
De beeldpunten van a en van b = a + k · 360° (met k C R) vallen samen op de
A
goniometrische cirkel in het punt A.
α + 360o
O
α
x
B
Er geldt dus: A k C Z:
sin (a + k · 360°) = sin a
cos (a + k · 360°) = cos a
tan (a + k · 360°) = tan a
cot (a + k · 360°) = cot a
Voorbeelden:
sin 730° = sin(10° + 2 · 360°) = sin 10°
cos (–320°) = cos(–320° + 1 · 360°) = cos 40°
tan (–210°) = tan(–210° + 360°) = tan 150°
Goniometrie
In de tweede eeuw na Christus bevatte de Almagest, het grote werk van de Alexandrijnse sterrenkundige Claudius Ptolemeus
(85-165) belangrijke goniometrische methoden.
De formule sin2 a + cos2 a = 1 werd al door de Hindoes gebruikt, zij het onder een andere vorm, en verscheen in Arabische
vertaling in de achtste eeuw.
Het woord sinus komt het eerst voor bij de Italiaan Gerard Van Cremona (114-1187), die in 1175 in Toledo een Latijnse vertaling
maakte van de Arabische vertaling van de Almagest. Het Arabische woord 'jiba' (halve koorde) zou hierbij verward geworden zijn
met het Arabische woord 'jaib' (golf), wat tot het Latijnse woord 'sinus' (golf) zou geleid hebben.
Het woord cosinus komt voor het eerst voor in 1620 bij de Engelse sterrenkundige Gunter (1561-1626), tevens de maker van de
eerste rekenlat (Gunterschaal). Vanaf die tijd begint men de woorden sinus en cosinus af te korten. De eerste afkortingen waren
s, si, sin voor sinus en sco, sico, cos voor cosinus. Vanaf 1753 gebruikte de Zwitserse wiskundige Euler (1707-1783) nog alleen de
afkorting sin en cos en worden deze algemeen aanvaard. Het is ook Euler die in 1763 de betekenis van een sinus of een cosinus
vastlegde zoals we die nu kennen met de grondformule sin2 a+ cos2 a = 1.
De goniometrie krijgt vanaf 1763 haar hedendaagse gedaante.
Het woord tangens is een verouderde benaming voor 'raaklijn' en komt van het Latijnse 'tangere' (raken). Het woord secans
houdt verband met het Latijnse 'secare' (snijden).
Cosinus, cotangens en cosecans zijn gevormd uit sinus, tangens, secans van het complement.
22
hoo fds tuk 1
•
driehoeksmeting en de cirke l
2 ) Tegengestelde hoeken
y
Beschouwen we in de goniometrische
cirkel een georiënteerde hoek a.
A
1
De hoek –a kunnen we bepalen door [OA
te spiegelen t.o.v. de x-as.
Aangezien de x-as een symmetrieas is
WA = A'o
WB.
van de cirkel geldt: Bo
O
x
α
C
1
–α
a + (–a) = 0°
Bijgevolg is D OAC , D OA'C
B
A'
en cos(–a) = cos a en sin(–a) = –sin a.
sin _–ai
Uit tan(–a) =
leiden we af dat tan (–a) = –tan a.
cos _–ai
y
Besluit:
(1, tan α)
sin (–a) = –sin a
sin α
cos (–a) = cos a
1
tan (–a) = –tan a
cot (–a) = –cot a
α
0
–α
x
cos α 1
= cos (–α)
–sin α
= sin (–α)
(1, tan (–α))
= (1, – tan α)
Tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinussen en tegengestelde sinussen.
Gevolg:
Uit de eigenschap leiden we af dat tegengestelde hoeken een tegengestelde tangens en cotangens hebben.
Voorbeeld:
cos (–70°) = cos 70°
sin (–120°) = –sin 120°
tan (–34°) = –tan 34°
cos a = 3 F a = 41° 24' 35" + k · 360° (k C Z) 4
a = –41° 24' 35" + k · 360° (k C Z)
of
Opmerking:
Tegengestelde hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen
t.o.v. de x-as.
23
3 ) Supplementaire hoeken supplementaire hoeken
Supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 180° is.
Dus:
a + (180° – a) = 180°
Voorbeelden:
hoek
supplementaire hoek
30°
150°
–114°
294°
a
180° – a
We berekenen nu met de rekenmachine:
sin 30° = 0,5
cos 30° = 0,866025
tan 30° = 0,577350
sin 150° = 0,5
cos 150° = –0,866025
tan 150° = –0,577350
sin 114° = 0,913545
cos 114° = –0,406737
tan 114° = –2,246037
sin 66° = 0,913545
cos 66° = 0,406737
tan 66° = 2,246037
Uit deze voorbeelden blijkt dat supplementaire hoeken gelijke sinussen, tegengestelde cosinussen en tegengestelde tangenten hebben.
Supplementaire hoeken hebben gelijke sinussen en tegengestelde cosinussen.
Gegeven:
de hoek a
Te bewijzen: sin (180° – a) = sin a
cos (180° – a) = –cos a
Bewijs:A
is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.
y
B is het beeldpunt van 180° – a op de goniometrische cirkel.
E'
WB + Bo
WE'' = 180°
Eo
B
A
L
180o – α
W
180° – a + BoE'' = 180°
x
α
L
O
E" C
D E
W
BoE'' = a
WB = 90° – a = Ao
WE' en dus is
Dit betekent ook dat E'o
WB.
de y-as de deellijn van Ao
L
B = sy (A)
In D OBC en D OAD geldt: W
C= W
D = 90°
WC = Ao
WD = a
Bo
|OB| = |OA| = 1
P D OBC
4
, D OAD
ZHH
L
L
–cos (180° – a) = cos a en sin (180° – a) = sin a
definitie congruente driehoeken
|OC| = |OD| en |BC| = |AD|
want |OB| = |OA| = 1 en D OAB is dus gelijkbenig en in een gelijkbenige
driehoek is de deellijn uit de tophoek tevens middelloodlijn.
L
cos (180° – a) = –cos a en sin (180° – a) = sin a
Opmerking:
Supplementaire hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen t.o.v. de y-as.
24
hoo fds tuk 1
•
driehoeksmeting en de cirke l
Gevolg:
Supplementaire hoeken hebben tegengestelde tangenten.
sin _180° – ai sin a
=
= –tan a
Inderdaad, tan (180° – a) =
cos _180° – ai – cos a
Opmerking:
Als a = 90°, dan is cos a = 0 en dan is tan a niet gedefinieerd.
y
(1, tan α)
Besluit:
sin (180° – a) = sin a
sin α
= sin (180o – α)
cos (180° – a) = –cos a
tan (180° – a) = –tan a
180o – α
–cos α 0
= cos (180o – α)
α
cot (180° – a) = –cot a
x
1
(1, tan (180o – α))
= (1, –tan α)
Voorbeelden:
sin 150° = sin (180° – 150°) = sin 30°
cos 20° = –cos (180° – 20°) = –cos 160°
tan (–140°) = –tan 140° = tan (180° – 140°) = tan 40°
sin a = 2 F a = 41° 48' 37" + k · 360° (k C Z) of
3
a = 138° 11' 23" + k · 360° (k C Z)
4 ) Antisupplementaire hoeken
antisupplementaire hoeken
Antisupplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 180° is.
Dus:
(a + 180°) – a = 180°
Voorbeelden:
hoek
antisupplementaire hoek
30°
210°
–35°
145°
a
180° + a
We berekenen nu met de rekenmachine:
sin 30° = 0,5
cos 30° = 0,866025
tan 30° = 0,577350
sin 210° = –0,5
cos 210° = –0,866025
tan 210° = 0,577350
sin (–35°) = –0,573576
cos (–35°) = 0,819152
tan (–35°) = –0,700208
sin 145° = 0,573576
cos 145° = –0,819152
tan 145° = –0,700208
Uit deze voorbeelden blijkt dat antisupplementaire hoeken een gelijke tangens en een tegengestelde cosinus en
sinus hebben.
25
Antisupplementaire hoeken hebben tegengestelde sinussen en tegengestelde cosinussen.
Gegeven:
de hoek a
Te bewijzen: sin (180° + a) = –sin a
cos (180° + a) = –cos a
Bewijs:A is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.
y
B is het beeldpunt van 180° + a op de goniometrische cirkel.
In D ADO en D BCO geldt:
1
A
180o + α
x
C
α
O 1 D
B |OA| = |OB| = 1
WD = Bo
WC (overstaande hoeken)
Ao
W
D= W
C = 90°
\
L ZHH
D ADO , D BCO
L definitie congruente driehoeken
|AD| = |BC| en |OD| = |OC|
L
sin a = –sin (180° + a) en cos a = –cos (180° + a)
L
sin (180° + a) = –sin a en cos (180° + a) = –cos a
Gevolg:
Antisupplementaire hoeken die niet recht zijn, hebben gelijke tangenten.
sin _180° + ai – sin a
=
= tan a
Inderdaad, tan (180° + a) =
cos _180° + ai – cos a
Opmerking:
Anitsupplementaire hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen t.o.v. O.
y
Besluit:
(1, tan α)
= (1, tan (180o + α))
cos (180° + a) = –cos a
1
sin α
tan (180° + a) = tan a
cot (180° + a) = cot a
180o + α
–cos α
= cos (180o + α)
O
α
cos α
x
1
–sin α
= sin (180o + α)
Voorbeelden:
tan 224° = tan (180° + 44°) = tan 44°
sin 320° = –sin 140°
cos (–40°) = –cos 140°
tan a = 5 F a = 51° 20' 25" + k · 360° (k C Z) of
4
a = 231° 20' 25" + k · 360° (k C Z)
26
sin (180° + a) = –sin a
of korter: a = 51° 20' 25" + k · 180° (k C Z)
hoo fds tuk 1
•
driehoeksmeting en de cirke l
5 ) Complementaire hoeken
Complementaire hoeken
Complementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 90° is.
Dus:
a + (90° – a) = 90°
Voorbeelden:
hoek
complementaire hoek
30°
60°
150°
–60°
a
90° – a
We berekenen nu met de rekenmachine:
sin 30° = 0,5
cos 30° = 0,866025
tan 30° = 0,577350
cos 60° = 0,5
sin 60° = 0,866025
cot 60° = 0,577350
Uit deze voorbeelden blijkt dat de sinus van een hoek gelijk is aan de cosinus van zijn complement, dat de cosinus
van een hoek gelijk is aan de sinus van zijn complement, dat de tangens van een hoek gelijk is aan de cotangens van
zijn complement en dat de contangens van een hoek gelijk is aan de tangens van zijn complement.
De sinus van een hoek is gelijk aan de cosinus van zijn complement.
De cosinus van een hoek is gelijk aan de sinus van zijn complement.
Gegeven:
De hoek a
Te bewijzen: sin a = cos (90° – a)
cos a = sin (90° – a)
Bewijs:A is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.
B is het beeldpunt van 90° – a op de goniometrische cirkel.
WE' + Eo
WB = 90°
Bo
L
WE' + 90° – a = 90°
Bo
y
E'
B S
α
o –α
90
A
L
WE' = a
Bo
We tekenen de eerste bissectrice van het assenkruis met vergelijking y = x.
WB want
OS is deellijn van Ao
x
α
DE
O
WS = Eo
WS – a = 45° – a
Ao
W
W
o B = So E' – a = 45° – a
D AOB is gelijkbenig want |AO| = |OB| = 1
OS is ook een middelloodlijn in D AOB, dus is B = sOS (A)
co(A) = (cos a, sin a)
co(B) = (sin a, cos a) want B = sOS (A)
maar:
co(B) = (cos(90° – a), sin(90° – a))
dus:
sin a = cos (90° – a)
cos a = sin (90° – a)
Opmerking: De beeldpunten van complementaire hoeken zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. de eerste bissectrice.
sin _90° – ai cos a
Gevolg: tan (90° – a) =
=
= cot a
cos _90° – ai sin a
27
(1, tan (90o – α))
= (1, cot α)
y
Besluit:
sin (90° – a) = cos a
cos (90° – a) = sin a
tan (90° – a) = cot a
sin (90o – α)
= cos α
cot (90° – a) = tan a
sin α
1
(cot α, 1)
o –α
90
α
0
cos (90o – α)
= sin α
1
cos α
x
6 ) Anticomplementaire hoeken
Anticomplementaire hoeken
Anticomplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 90° is.
Voorbeeld: 156° en 66° zijn anticomplementaire heoeken want 156° – 66° = 90°
We berekenen nu met de rekenmachine:
sin 156° = 0,406737
cos 156° = –0,913545
tan 156° = –0,445229
cos 66° = 0,406737
sin 66° = 0,913545
cot 66° = 0,445229
Uit voorbeelden merken we op:
sin (90° + a) = cos a
cos (90° + a) = –sin a
Gegeven:
de hoek a
Te bewijzen: sin (90° + a) = cos a
cos (90° + a) = –sin a
Bewijs:A is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.
y
B is het beeldpunt van 90° + a op de goniometrische cirkel.
In D OBF en D OAD geldt:
1
B
F
|OB| = |OA| = 1
o
sin
90
+
α
WB = Do
WA
Fo
(
)
A
W
F= W
D = 90°
\
α
x L ZHH
O
D 1
D OBF , D OAD
Co
cos α
cos
90 + α
L definitie congruente driehoeken
|FO| = |OD| en |BF| = |AD|
L
|BC| = |OD| en |OC| = |AD|
L
sin (90° + a) = cos a en cos (90° + a) = –sin a
sin α
90 + α
o
(
28
)
hoo fds tuk 1
1
(cot α, 1)
sin (90o + α)
= cos α
sin α
tan (90° + a) = –cot a
driehoeksmeting en de cirke l
y
sin _90° + ai cos a
Gevolg: tan (90° + a) =
=
= –cot a
cos_90° + ai – sin a
Besluit:
(–tan α, 1) =
(cot (90o + α), 1)
sin (90° + a) = cos a
cos (90° + a) = –sin a
•
+α
90
α
(1, tan α)
o
cot (90° + a) = –tan a
cos (90o + α)
= –sin α
Voorbeelden:
0
cos α 1
x
sin 120° = cos 30°
cos 170° = –sin 80°
tan 40° = –cot 130°
(1, tan (90o + α))
= (1, –cot α)
7 ) Herleiden naar het eerste kwadrant
Door te steunen op de formules van verwante hoeken kan men de goniometrische getallen van hoeken waarvan
het beeldpunt niet tot het eerste kwadrant behoort, herleiden tot goniometrische getallen van hoeken waarvan het
beeldpunt wel tot het eerste kwadrant behoort.
Deze methode wordt ook 'herleiden naar het eerste kwadrant' genoemd.
Voorbeelden:
sin 160° = sin (180° – 160°) behoort tot
het tweede kwadrant
=
tan (–85°)
behoort tot
het vierde kwadrant
sin 20°
behoort tot
het eerste kwadrant
=
–tan 85°
behoort tot
het eerste kwadrant
1 Herleiden van het tweede kwadrant naar het eerste kwadrant
Door een geheel aantal keren 360° bij de gegeven hoek bij te tellen of af te trekken, kan men altijd een hoekgrootte
krijgen tussen 90° en 180°.
Daarna gebruikt men de formules voor supplementaire hoeken.
Voorbeelden:
cos 165° = –cos 15°
cot 828° = cot (828° – 720°) = cot 108° = –cot 72°
sin (–225°) = sin (–225° + 360°) = sin 135° = sin 45°
29
2 Herleiden van het derde kwadrant naar het eerste kwadrant
Door een geheel aantal keren 360° bij de gegeven hoek op te tellen of af te trekken, kan men altijd een hoekgrootte
krijgen tussen 180° en 270°.
Daarna gebruikt men de formules voor antisupplementaire hoeken.
Voorbeelden:
tan 220°
= tan (180° + 40°)
= tan 40°
cos (–107°)
= cos (–107° + 360°)
= cos 253°
= cos (180° + 73°)
= –cos 73°
3 Herleiden van het vierde kwadrant naar het eerste kwadrant
Door een geheel getal aantal keren 360° bij de gegeven hoek op te tellen of af te trekken, kan men altijd een hoekgrootte krijgen tussen –90° en 0°.
Daarna gebruikt men de formules voor tegengestelde hoeken.
Voorbeelden:
cot (–65°)
= –cot 65°
cos 700° = cos (700° – 720°)
= cos (–20°) = cos 20°
8 ) Hoek bepalen als het goniometrisch getal gegeven is
Voorbeeld 1:
Algemeen:
sin x = 3
2
B
sin x = sin 60°
B supplementaire hoeken
x = 60° + k · 360° of x = 120° + k · 360°
Voorbeeld 2:
cos x = cos 120°
x = a + k · 360° of x = 180° – a + k · 360°
met k C Z
cos x = cos a
B
x = a + k · 360° of x = –a + k · 360°
B tegengestelde hoeken
met k C Z
x = 120° + k · 360° of x = –120° + k · 360°
Voorbeeld 3:
Algemeen:
B
tan x = tan 60°
B antisupplementaire hoeken
x = 60° + k · 360° of x = 180° + 60° + k · 360°
B
x = 60° + 2k · 180° of x = 60° + (2k + 1) · 180°
tan x = tan a
tan x = 3
30
B
Algemeen:
cos x = –1
2
B
sin x = sin a
B
x = 60° + k' · 180°
B
x = a + k · 360° of x = 180° + a + k · 360°
B
x = a + 2k · 180° of x = a + (2k + 1) · 180°
B
x = a + k' · 180°
met k, k' C Z
hoo fds tuk 1
Voorbeeld 4:
cot x = –1
cot x = cot a
B
B
B
B
x = a + 2k · 180° of x = a + (2k + 1) · 180°
x = –45° + 2k · 180° of x = –45° + (2k + 1) · 180°
x = a + k · 360° of x = 180° + a + k · 360°
B antisupplementaire hoeken
x = –45° + k · 360° of x = –45° + 180° + k · 360°
B
cot x = cot (–45°)
driehoeksmeting en de cirke l
Algemeen:
•
B
x = a + k' · 180°
met k, k' C Z
x = –45° + k' · 180°
sin x = sin a
B
x = a + k · 360° of x = 180° – a + k · 360°
cos x = cos a
B
x = a + k · 360° of x = –a + k · 360°
tan x = tan a
B
x = a + k · 180°
cot x = cot a
B
x = a + k ·180°
met k C Z
met k C Z
9 ) Samenvatting
•Je kent de betekenis van tegengestelde, supplementaire, antisupplementaire, complementaire en anticomplementaire hoeken.
Tegengestelde hoeken zijn hoeken waarbij enkel het toestandsteken verschilt.
Supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 180° is.
Antisupplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 180° is.
Complementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 90° is.
Anticomplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 90° is.
•Je kent het verband tussen deze hoeken en hun goniometrische getallen.
gelijke
tegengestelde
supplemen-
antisupple-
complemen-
anticomple-
hoeken
hoeken
taire hoeken
mentaire
taire hoeken
mentaire
a + k · 360°
–a
180° – a
hoeken
90° – a
hoeken
180° + a
90° + a
sin …
sin a
– sin a
sin a
–sin a
cos a
cos a
cos …
cos a
cos a
–cos a
–cos a
sin a
–sin a
tan …
tan a
–tan a
–tan a
tan a
cot a
–cot a
cot …
cot a
–cot a
–cot a
cot a
tan a
–tan a
•Je kunt de hoeken herleiden naar het eerste kwadrant.
•Je kunt een hoek berekenen als een goniometrisch getal gegeven is. (k C Z)
sin x = sin a F x = a + k · 360° of x = 180° – a + k · 360°
cos x = cos a F x = a + k · 360° of x = –a + k · 360°
tan x = tan a F x = a + k · 180°
cot x = cot a F x = a + k · 180°
31
10 ) Oefeningen
1 Vul volgende tabel aan:
a
a
68°
b
134°
c
222°
d
281°
e
–37°
f
–100°
g
90°
h
180°
i
b + 10°
j
20° – b
k
b – 30°
l
b – 2γ
tegen-
supplement
gestelde
antisupplement
complement
2 Vereenvoudig.
a sin (360° + a)
b cos (a – 180°)
f
csc (540° – a)
g sin (270° – a)
k sec (810° + a)
l
csc (720° – a)
d cot (a – 90°)
h cos (a – 360°)
m sin (900° + a)
i
n tan (990° – a)
e sec (540° + a)
j
c tan (360° – a)
tan (a + 90°)
cot (a – 270°)
o cot (990° + a)
3 Herleid naar een goniometrisch getal van een hoek die tot het eerste kwadrant behoort.
a sin 130°
f
cos (–67° 20' 31")
k tan 96° 34' 22"
b cos 340°
g tan 110° 40' 38"
l
c tan 410°
h cot (–60 14' 33")
m sec 200° 40' 30"
cot 640° 22' 31"
d cot 100°
i
sin 428° 18' 31"
n csc (–43° 25' 31")
e sin (–43°)
j
cos (–92° 59' 59")
4 Bereken volgende goniometrische getallen zonder GRM door eerst te herleiden naar een goniometrisch getal van
een hoek die tot het eerste kwadrant behoort.
a sin 210°
g tan (–120°)
m sin 315°
b cos 300°
h cot (–60°)
n cos –135°
c tan (–45°)
i
sin 135°
o tan 150°
d cot 390°
j
cos 330°
p cot –30°
e sin 120°
k tan 405°
q sin 420°
f
32
cos 225°
l
cot (–150°)
r cos 240°
hoo fds tuk 1
•
thal es en gel ijkvormigheden
5 Gegeven: sin 23° = 0,390731
Gevraagd:Bereken zonder rekenmachine en verklaar.
a sin 157°
b cos 67°
c cos 113°
6 Gegeven: sin 75° = 6 + 2
4
Gevraagd:Bereken zonder rekenmachine en verantwoord:
a cos 15°
c sin 105°
b cos 165°
d sin (–75°)
y
7 Gegeven:
β
O
γ
α
δ
x
Vul aan:
a a en b zijn
_________________
c a en δ zijn
_________________
e b en δ zijn
_________________
b a en γ zijn
_________________
d b en γ zijn
_________________
f
γ + δ =
_________________
8 Waar of niet waar? Verklaar je antwoord.
a De sinus is een hoek tussen –1 en 1.
b In het eerste kwadrant wordt de sinus groter naarmate de hoek groter wordt.
c Met elke hoek komt één cosinuswaarde overeen en omgekeerd.
dAls de tangens van een hoek 1 is, is die hoek gelijk aan 45° (op 360° na).
e De cosecans van een hoek is in absolute waarde groter of gelijk aan 1.
f
g Cosinus en sinus van een hoek hebben altijd hetzelfde teken.
hAls de secans van een hoek negatief is en de cosecans van een hoek positief, dan ligt de hoek in het vierde kwadrant.
iSupplementaire hoeken hebben gelijke sinussen.
j
k De cosinus van de anticomplementaire hoek van een hoek is gelijk aan de sinus van die hoek.
lAls de sinus van een hoek –1 is, is die hoek gelijk aan –450° + k · 360°.
m De tangens is de inverse van de cotangens.
nAls de sinus en de cosinus van een hoek gelijk zijn, ligt deze hoek in het eerste of derde kwadrant.
oSecans kwadraat van een hoek plus één is gelijk aan de tangens kwadraat van die hoek.
p Gelijke hoeken zijn hoeken die dezelfde sinus hebben.
qAls de cosinus van een hoek negatief is en de cotangens van die hoek positief, dan ligt die hoek in het derde kwadrant.
r Tegengestelde hoeken hebben tegengestelde cosinussen.
sAls de tangens en de cotangens van een hoek gelijk zijn, ligt deze hoek in het eerste of derde kwadrant.
t
Bij een rechte hoek is de sinus gelijk aan de cosecans en omgekeerd.
In het tweede kwadrant wordt de cosinus groter naarmate de hoek kleiner wordt.
De cosinus van een hoek is de omgekeerde van de secans van die hoek.
9 Gegeven: sin a = 3 en cos a Õ 0
5
Gevraagd:a Bereken de tangens van de supplementaire hoek.
b Bereken de cotangens van de complementaire hoek.
c Bereken de cosinus van de antisupplementaire hoek.
d Bereken de secans van de tegengestelde hoek.
e Bereken de cosecans van de anticomplementaire hoek.
33
10 Vereenvoudig.
a sin a · cos (180° – a) + cos a · sin (180° – a)
b sin a · sin (180° – a) – cos a · cos (180° – a)
c cos (90° + a) + cos (90° – a) + cos (a – 90°) + cos (360° – a)
d cos (a – 180°) + cos (360° – a) + cos (90° – a) + cos (180° + a)
e tan (180° + a) + tan (90° + a) + tan (a – 90°) + tan (180° – a)
f
★
g
★
h
★
i
★
j
★
k
sin _180° + ai $ tan _180° – ai
cos _–a – 90°i $ cot _270°–ai
sin _720° – ai $ cos _180° + ai $ sec _90° – ai $ tan _360° + ai
cot _a – 270°i $ cot _540° – ai $ csc _1080° + ai $ cos2_a – 180°i
sin _540° + ai $ cos _90° – ai $ sec _a – 360°i
tan _270° – ai $ tan _–a – 540°i $ csc _a – 630°i
sin _a + 180°i $ sin _450° + ai $ sec _–360° + ai
csc _–ai $ tan _900° – ai
sin _270° + ai $ tan _450° – ai cos _a – 630°i $ csc _720° – ai
–
cot _a – 180°i $ sec _–ai
tan _180° – ai $ cot _180° + ai
tan _a – 720°i $ cot _a – 270°i sin _90° + ai $ sec _360° + ai
+
sin _540° + ai $ cos _270° – ai cos _a – 90°i $ sec _90° – ai
11 Verklaar volgende gelijkheden:
a sin (70° – a) = cos(20° + a)
b cos (65° + a) = sin (a + 155°)
c tan (48° – (a + b)) = cot (42° + a + b)
12 Toon volgende gelijkheden aan.
a cos a + cos(180° – a) = 0
b 2 · sin a + sin(180° – a) = 3 · sin a
★
c tan(36° + a) · tan(54° – a) = sin2(20° + a) + sin2(70° – a)
★
d sin(5° – a) · tan(85° + a) · sec(5° – a) = 1
13 Als a en b elkaars complement zijn, bewijs dan dat:
a sin2 a + sin2 b = 1
b tan a · tan b = 1
c cos2 a + cos2 b = 1
34
hoo fds tuk 1
•
driehoeksmeting en de cirke l
14 Toon aan:
a 4 · sin3 120° + 3 · sin 240° = 0
c cos2 30° + cos3 70° + cos3 110° + cos3 150° = 0
b 3 · sin 120° + 2 · cos 240° = 2
d 3 · tan2 30° + tan3 80° + tan 225° + tan3 280° = 2
2
3
15 Toon aan:
a + b = 90°
4
α
β
2
6
16 Bepaal a als:
a sin a = 0,25
e cot a = –1
b cos a = –0,38
sin a = 3
2
g cos a = – 1
2
h cot a = 3
f
c tan a = –15,62
d cos a = 0,5
17 Bepaal op de goniometrische cirkel de gevraagde hoeken zodat:
a
1
M
α
0
–1
c
1
b1 = a + 180°
b2 = –a + 90°
b3 = –a – 180°
b4 = 180° – a
b5 = –a – 90°
1
0
–1
α
1
M
–1
b
–1
d
1
1
M
α
–1
0
1
0
–1
1
α
M
–1
–1
18 Als a, b en γ de hoeken zijn van een driehoek, vereenvoudig dan
★
sin α + sin _β + γi
.
tan _β + γi
y
B
19 Als B het beeldpunt is van een georiënteerde hoek van 120° en D het beeldpunt is
★
1
van –30°, bereken dan de oppervlakte van de vierhoek ABCD.
A
C
x
1
0
D
35