Constructie opgave 1 Construeer 스ABC, als gegeven zijn: AB, ZA

Constructie opgave 1
Construeer 4ABC, als gegeven zijn:
AB, ∠A en ∠B.
Constructiebeschrijving:
1.
2.
3.
4.
Breng de lijn AB over naar de constructie
Breng ∠A over naar punt A volgens basisconstructie ?? (hoek verplaatsen)
Breng ∠B over naar punt B volgens basisconstructie ?? (hoek verplaatsen)
Verleng de benen van ∠A en ∠B tot zij elkaar snijden. Noem het snijpunt C
4ABC is de gevraagde driehoek.
Constructie opgave 2
Construeer 4ABC, als gegeven zijn:
∠A, AC en AB
Constructiebeschrijving:
1. Breng ∠A over naar punt A volgens basisconstructie ?? (verplaatsen van een
hoek)
2. Neem de afstand AC in de passer en pas af op het linker been, uitgaande van
∠A. (Eventueel dat been verlengen) dat geeft punt C.
3. Trek BC
Driehoek 4ABC is de gevraagde driehoek.
Constructie opgave 3
Construeer 4ABC, als gegeven zijn:
AB, AC en BC
Constructiebeschrijving:
1.
2.
3.
4.
5.
Teken de basis AB
Cirkel AC om met A als middelpunt
Cirkel BC om met B als middelpunt
Waar de beide cirkelbogen elkaar kruisen ontstaat punt C
Trek AC en BC
Driehoek 4ABC is de gevraagde driehoek.
Constructie opgave 4
Construeer 4 ABC, als gegeven zijn:
AB, AC en ∠B
Let op! Met deze gegevens ligt de 4ABC niet vast, er zijn twee mogelijkheden, laat
ze allebei zien.
Constructiebeschrijving:
1. Teken de basis AB
2. Breng ∠B over naar punt B volgens basisconstructie ?? (verplaatsen van een
hoek)
3. Neem de afstand AC in de passer en cirkel om met A als middelpunt
4. Waar de cirkelboog het schuine been van ∠B snijdt komt punt C
5. Trek AC
Driehoek 4ABC is de gevraagde driehoek
Let op! Hoeveel driehoeken 4ABC kun je met deze constructie maken? Schrijf het
antwoord bij de constructiebeschrijving.
Constructie opgave 5
Construeer de gelijkbenige 4ABC (AB als basis), als gegeven zijn: AB en ∠A
Constructiebeschrijving:
1. Trek voor de constructie een horizontale lijn en pas daarop met de passer de
afstand AB af
2. Verplaats ∠A naar punt A volgens basisconstructie?? (verplaatsen van een hoek)
3. Bij een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk, dus ∠A = ∠B. Breng
dus ∠A ook over naar punt B, maar zodanig dat de open kant van ∠B naar
binnen wijst, dus naar links
4. Verleng tenslotte de opstaande zijden van ∠A en ∠B. Waar die elkaar snijden
vind je punt C.
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 6
Construeer de gelijkbenige 4ABC (AB als basis), als gegeven zijn: AC en ∠C
Constructiebeschrijving:
1.
2.
3.
4.
5.
Teken eerst een lijn links op je papier.
Markeer punt C ergens bovenaan.
Breng de ∠C over naar punt C
Neem de lengte van AC in je passer en meet deze af langs beide benen van ∠C
dat geeft je de punten A en B.
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 7
Construeer de gelijkbenige 4ABC (AB als basis), als gegeven zijn: AB en AC
Constructiebeschrijving:
1. Teken de basis AB.
2. Bij een gelijkbenige driehoek — het woord zegt het al — zijn de opstaande zijden
even lang. De opstaande zijde AC was gegeven. Maar die is dus even lang als
de opstaande zijde BC. Cirkel dus met de passer de afstand BC om vanuit punt
B.
3. Cirkel dezelfde afstand AC om vanuit A.
4. Waar de beide kruisboogjes elkaar snijden vind je punt C.
5. Trek ten slotte AC en BC
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 8
Construeer de gelijkbenige 4ABC (AB als basis), als gegeven zijn: AC en ∠A
Constructiebeschrijving:
1. Maak een horizontale lijn en markeer daarop aan de linker kant punt A
2. Breng ∠A van de gegevens over naar het punt A op de horizontale lijn (volgens
basisconstructie nr. ??: het verplaatsen van een hoek)
3. Verleng het opstaande been van ∠A en pas daarop af de gegeven afstand AC.
Zo vind je punt C
4. Bij een gelijkbenige driehoek zijn de benen vanuit ∠C even lang, dus cirkel de
afstand AC om vanuit punt C. Waar deze de basislijn (rechts) snijdt, vind je
punt B
5. Trek tenslotte de lijn BC
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 9
Construeer de gelijkbenige 4 ABC (AB als basis), als gegeven zijn: AB en∠C
Constructiebeschrijving:
1. Teken in een hulpconstructie een horizontale lijn, met ergens in het midden punt
C
2. Breng de gegeven hoek ∠C over naar het punt C
3. Het supplement van ∠C is even groot als de twee hoeken ∠A en ∠B samen.
Construeer dus de bissectrice van dat supplement. Dat geeft je de hoeken ∠A
en ∠B
4. Teken de basis AB
5. Breng de hoeken ∠A en ∠B over naar de punten A en B
6. Trek de benen bij A en B door, dat geeft punt C
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 10
Construeer de rechthoekige 4ABC (AB als basis en hoek A = 90◦ ), als gegeven zijn:
AB en ∠B
Constructiebeschrijving:
1.
2.
3.
4.
Teken de basis AB, met een verlenging aan de kant van A
Richt een loodlijn op in A op AB (basisconstructie: ??)
Breng de hoek ∠B over naar punt B
Verleng de benen van de hoeken A en B dat geeft punt C
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 11
Construeer de rechthoekige 4ABC (AB als basis en hoek ∠A = 90◦ ), als gegeven
zijn: AC en ∠B
Constructiebeschrijving:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Teken een horizontale lijn, dat wordt de basis AB
Teken een punt A op die lijn
Richt een loodlijn op in A op AB (basisconstructie: ??)
Pas daarop de lengte AC af.
Teken in een hulpconstructie de hoek ∠B
trek één van de benen van deze hoek door en richt een loodlijn op in b dat geeft
het complement van ∠B, dat is precies ∠C
7. breng ∠C over naar de constructie, en verleng het been totdat het de horizontale
lijn snijdt, dat is punt B
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 12
Construeer de rechthoekige 4ABC (AB als basis en hoek ∠A = 90◦ ), als gegeven
zijn: AB en AC
Constructiebeschrijving:
1.
2.
3.
4.
Teken de basis AB, met een verlenging aan de kant van A
Richt een loodlijn op in A op AB (basisconstructie: ??)
Pas op deze loodlijn het lijnstuk AC af, dat geeft punt C
Verbind C met B
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 13
Construeer de rechthoekige 4ABC (AB als basis en hoek ∠A = 90◦ ), als gegeven
zijn: AC en BC
Constructiebeschrijving:
1.
2.
3.
4.
5.
Teken een horizontale lijn, dat wordt de basis AB.
Teken ergens een punt A.
Richt een loodlijn op in A op AB (basisconstructie: ??)
Pas op deze loodlijn het lijnstuk AC af, dat geeft punt C
Neem de lengte van lijnstuk BC in je passer en cirkel om met C als middelpunt
dat geeft punt B
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 14
Construeer de rechthoekige 4ABC (AB als basis en hoek ∠A = 90◦ ), als gegeven
zijn: BC en ∠C
Constructiebeschrijving:
1. Construeer de hoek ∠C
2. Pas op het rechter been de lengte van BC af. Dat geeft punt B
3. Laat vanuit B een loodlijn neer (basisconstructie ??) op het andere been van
∠C dat geeft punt A
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 15
Construeer de rechthoekig gelijkbenige 4ABC (AB als basis en ∠A = 90◦ ), als
gegeven is; AB
Constructiebeschrijving:
1.
2.
3.
4.
Teken de basis AB, met een verlenging aan de kant van A
Richt een loodlijn op in A op AB (basisconstructie: ??)
Pas op deze loodlijn het lijnstuk AB af, dat geeft punt C
Verbind C met B
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 16
Construeer de rechthoekig gelijkbenige 4ABC (AB als basis en ∠A = 90◦ ), als
gegeven is: BC
Constructiebeschrijving:
Bedek dat een gelijkbenig rechthoekige driehoek basishoeken heeft van 45◦
1.
2.
3.
4.
5.
Teken een horizontale lijn, dat wordt later de basis AB.
Teken hierop punt B en richt een loodlijn op in B
Construeer de bissectrice (basisconstructie ??) van deze hoek. Dat is hoek ∠B
Pas op het bovenste been van hoek ∠B de lengte van BC af, dat geeft punt C
Laat vanuit C een loodlijn neer (basisconstructie ??) op de basis. Dat geeft punt
A.
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 17
Construeer de gelijkzijdige 4ABC, als gegeven is: AB
Constructiebeschrijving:
1.
2.
3.
4.
Teken de basis AB
Neem de lengte van AB in je passer en cirkel om zowel vanuit A als van B
Dat geeft punt C
Trek AC en BC
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkzijdige driehoek.
Constructie opgave 18
Construeer de gelijkbenige 4ABC, basis AB, als gegeven zijn:
AB en hoogtelijn CD
Constructiebeschrijving:
Bedenk dat in een gelijkbenige driehoek de hoogtelijn vanuit de tophoek in het midden
van ed basis uitkomt. Deze hoogtelijn is tegelijk zwaartelijn en bissectrice van ∠C en
middelloodlijn van AB
1. Teken de basis AB
2. Construeer de middelloodlijn van AB, basisconstructie ??. Het midden van AB
is punt D
3. Pas op deze middelloodlijn de lengte van CD af. Dat geeft punt C.
4. Trek AC en BC
Driehoek 4ABC is de gevraagde gelijkbenige driehoek.
Constructie opgave 19
Construeer de gelijkbenige 4ABC, met basis AB, als gegeven zijn: hoogtelijn CD en
∠C.
Constructiebeschrijving:
1. Teken een horizontale lijn. Dat wordt straks de basis AB
2. Teken ergens in het midden een loodlijn omhoog. (basisconstructie ?? loodlijnoprichten.
3. Pas daarop de lengte van CD af. Dat geeft hoek C
4. Construeer in de gegeven ∠C de bissectrice (basisconstructie ??). Dat geeft de
hoeken ∠C1 en ∠C2 .
5. Verplaats deze hoeken nu naar het punt C in de driehoek. (basisconstructie ??
6. Verleng de benen van ∠C. Zo vind je de punten A en B.
Driehoek 4ABC is de gevraagde driehoek.
Constructie opgave 20
Construeer de gelijkbenige 4ABC, als gegeven zijn:
hoogtelijn BD en ∠C.
Hulpschets:
Constructiebeschrijving
1. Neem de gegeven ∠C over van de gegevens en maak een hulpconstructie als
volgt: Verplaats volgens basisconstructie nr. ??: ∠C naar de hulpconstructie
2. Maak nu het supplement van ∠C (dus de aanvulling tot 180◦ van ∠C)
3. De aanvulling tot 180◦ die nu ontstaat is gelijk aan ∠B + ∠A samen. Want
4ABC is gelijkbenig, dus zijn de basishoeken A en B gelijk. Dus als je het
supplement van ∠C doormidden deelt met de bissectrice constructie (basisconstructie nr. ??) dan krijg je hoeken A en B. Maak nu de hoofdconstructie als
volgt:
4. Verleng de hoogtelijn BD verder naar links.
5. Construeer in D een lijn loodrecht op de hoogtelijn. Dit wordt later AC. (basisconstructie nr. ??, loodlijn oprichten)
6. Markeer op deze loodlijn een paar cm boven punt D een willekeurig punt C 0 .
(C 0 =C-accent)
7. Breng ∠C over naar punt C 0 .
8. Construeer door punt B een lijn evenwijdig aan het rechter been van ∠C. Dit
doe je volgens basisconstructie nr. ??. (een lijn door een punt evenwijdige aan
een lijn). Die snijdt de loodlijn C 0 D in C. (Dit is het echte punt C). Zo krijg je
het been BC van de gelijkbenige driehoek.
9. Neem de afstand BC tussen de benen van de passer en cirkel die om vanuit C.
De cirkel snijdt de eerder gemaakte loodlijn CD in punt A. Want CB = CA
10. Trek nu de basis AB
Driehoek ABC is de gevraagde driehoek
Constructie opgave 21
Construeer de gelijkbenige 4ABC, als gegeven zijn:
hoogtelijn CD en AC
Constructiebeschrijving:
1. Trek hoogtelijn CD verticaal en verleng CD enigszins verder door naar onderen
2. Construeer in D een loodlijn op CD volgens basisconstructie nr. ??. (CD is
hoogtelijn dus komt CD loodrecht op de basis AB.) De loodlijn zal later AB
worden
3. Neem de afstand AC in de passer (was gegeven) en cirkel om met C als middelpunt. De cirkelboog snijdt de eerder gemaakte middelloodlijn in A en B
Driehoek ABC is de gevraagde driehoek.
Constructie opgave 22
Construeer de gelijkbenige 4ABC, als gegeven zijn:
AC en de zwaartelijn AD.
Constructiebeschrijving:
1. Teken AC.
2. Omdat AD een zwaartelijn is, komt die uit op het midden van BC. Dat middelpunt van BC heeft een overeenkomstig punt op het midden van AC. Bepaal
eerst het middelpunt van AC met baisconstructie nr. ??. Noem dit punt E.
3. Cirkel de afstand CE om, vanuit C. Zo ontstaat een cirkelboog.
4. Neem de afstand van de zwaartelijn AD over van de gegevens en cirkel om
vanuit A. Waar deze boog de boog van CE snijdt, vind je punt D.
5. Verleng het been CD naar beneden en pas daarop af de afstand AC (die immers
gelijk is aan AB, want de 4 is gelijkbenig!). Zo vind je punt B.
6. Trek tenslotte de basis AB
4 ABC is de gevraagde driehoek.
Constructie opgave 23
Construeer de rechthoekige 4ABC (hoek ∠A = 90◦ ) als gegeven zijn: hoogtelijn AD
en zijde AC
Constructie beschrijving:
1. Ga uit van de gegeven hoogtelijn AD. Zet AD in een schuine stand.
2. Verleng de hoogtelijn AD een stuk naar boven (boven punt D) en construeer in
D de loodlijn op de hoogtelijn AD. Zo ontstaat de lijn, waarop later de punten
C en B komen: de schuine zijde van de rechthoekige driehoek. Punt D hebben
we dus al.
3. Neem de gegeven afstand AC in de passer en cirkel om vanuit A op de toekomstige schuine zijde van de driehoek. Zo vind je punt C. Daarmee is ook ∠C
ontstaan.
4. Hoek ∠A = 90◦ . Dus verleng AC een stuk naar beneden onder punt A en richt
in A een loodlijn op volgens basisconstructie nr. ??. Deze vormt de basis van
4ABC. Verleng dan naar rechts. Waar de schuine zijde gesneden wordt, vind je
punt B. Trek het lijnstuk AB.
Driehoek ABC is de gevraagde driehoek.
Constructie opgave 24
Construeer een rechthoekige 4ABC (hoek ∠A = 90◦ ) als gegeven zijn: hoogtelijn
AD en ∠B
Constructie beschrijving:
1. Construeer hoek ∠B
2. Op de schuine zijde van 4ABC, moet “ergens” de hoogtelijn AD uitkomen.
Maak op het bovenste been van ∠B op een willekeurige plek een loodlijn, volgens
basisconstructie nr. ??. Deze loodlijn loopt in elk geval evenwijdig aan hoogtelijn
AD.
3. Pas op deze loodlijn de gegeven afstand AD af. Noem het punt F.
4. Richt in F weer een loodlijn op. Deze loodlijn loopt parallel aan BE. Waar deze
loodlijn door F het basisbeen van ∠B snijdt, ligt dus punt A.
5. ∠A is 90◦ , dus richt in A een loodlijn op. Waar deze de schuine zijde vanuit B
snijdt, ligt punt C. Trek de lijn AC.
Driehoek ABC is de gevraagde driehoek.
Constructie opgave 25
Construeer de rechthoekige 4ABC (∠A = 90◦ ) als gegeven zijn:
bissectrice AD en zijde AB
Constructie beschrijving:
1. Teken de basis AB.
2. Richt in A een loodlijn op.
3. Deel de rechte hoek ∠A doormidden m.b.v. de bissectrice-constructie (Basisconstructie nr. ??).
4. Pas op deze bissectrice de lengte AD af. Zo vind je punt D.
5. Trek een lijn van D naar B en verleng deze schuin naar boven, totdat de rechthoekszijde AC gesneden wordt. Zo vind je punt C. Trek de lijn AC.
Driehoek ABC is de gevraagde driehoek.
Constructie opgave 26
Construeer rechthoekige 4ABC (∠A = 90◦ ) als gegeven zijn:
zijde AC en zwaartelijn AD
Constructie beschrijving:
1.
2.
3.
4.
Teken een horizontale lijn, dat wordt later de basis AB
Kies een punt A op deze lijn en richt de loodlijn op in A.
Pas de lengte AC af op het verticale been van ∠A
Construeer de middelloodlijn van AC deze snijdt straks de schuine zijde van de
driehoek (zijde BC) in punt D, het midden van deze zijde.
5. Neem de lengte AD in de passer en cirkel om vanuit punt A, dat geeft punt D
op de middelloodlijn van BC
6. Trek CD en verleng totdat je de horizontale lijn in B snijdt.
4 ABC is de gevraagde driehoek.
Je kunt ook gebruik maken van de stelling dat de zwaartelijn vanuit de rechte hoek
gelijk is aan de helft van de schuine zijde:
1. Teken een schuine lijn, dat wordt zijde BC, kies daarop een punt D.
2. Neem de lengte AD in de passer en teken de (halve) cirkel1 Deze snijdt de
schuine lijn in C en in B
3. Neem nu de lengte AC in je passer en cirkel deze lengte om met C als middelpunt.
Deze boog snijdt de halve cirkel in A
1. Deze cirkel is de cirkel van Thales
Constructie opgave 27
Construeer rechthoekige 4ABC, (∠A = 90◦ ) als gegeven zijn AB en bissectrice BD
Constructie beschrijving:
1. Teken de basis AB met een verlenging aan de kant van A.
2. Construeer een loodlijn op deze basis in punt A.
3. neem de afstand BD in de passer en cirkel deze om rond punt B, de boog snijdt
de hoogtelijn in punt D
4. Breng de hoek bij B, (∠ABD) over op het bovenste been van ∠B
5. Verleng het bovenste been van deze hoek tot aan de loodlijn op A, dat geeft
punt C
Driehoek ABC is de gevraagde driehoek.