Getallen en vectoren
advertisement
Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Getallen en vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Vector notatie Kolom vectoren in kolom notatie x1 x2 ~x = x = . .. x1 x2 .. . x = xn xn x1 x2 .. . xn Kolom vectoren in rij notatie ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ) x = [x1 , x2 , . . . , xn ] x = [x1 , x2 , . . . , xn ] Waarbij ~x ∈ Rn of x ∈ Rn . In de les n = 2, dus twee-dimensionale vectoren. Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Vector notatie Voorbeeld voor n = 2 ~x = (−1, 3.8) x = [−1, 3.8] Kolom vectoren in kolom notatie −1 −1 ~x = x= 3.8 3.8 Waarbij ~x ∈ Rn of x ∈ Rn . In de les n = 2, dus twee dimensionale vectoren. Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Transponeren: Van kolom naar rij Met ~x ∈ Rn bedoelen we een kolom vector met dimensie n, dan is ~x T of ~x 0 een rij vector ~x 0 = ~x T = x1 x2 .. . xn T = [x1 x2 . . . xn ] Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Voorbeeld Met ~x ∈ R2 bedoelen we een twee-dimensionale kolom vector, dan is ~x T of ~x 0 een rij vector ~0 ~T x =x = −1 3.8 T = [−1 3.8] Rij vectoren zijn moeilijk te lezen, daarom gebruiken we meestal kolom vectoren. Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Getallen en vectoren We kunnen rekenen met getallen en vectoren nemen de rol van getallen over. Voor getallen a, b, c ∈ R kunnen we optellen: Identiteit: a = 0 + a en a = 0 + a Commutatief: a + b = a + b Het maakt niet uit in welke volgorde we optellen Associativiteit: (a + b) + c = a + (b + c) Optellen van links naar rechts of rechts naar links is gelijk aan elkaar. (Haakjes zijn overbodig) Inverse: Voor elke a ∈ R bestaat er een b ∈ R zodanig dat a + b = 0. Deze b noemen we dan b = −a Distributief: Voor elke a, b, c ∈ R hebben we a(b + c) = ab + ac Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Getallen en vectoren We kunnen rekenen met getallen en vectoren nemen de rol van getallen over. Voor getallen a, b, c ∈ R kunnen we optellen: Identiteit: a = 0 + a en a = 0 + a Commutatief: a + b = a + b Het maakt niet uit in welke volgorde we optellen Associativiteit: (a + b) + c = a + (b + c) Optellen van links naar rechts of rechts naar links is gelijk aan elkaar. (Haakjes zijn overbodig) Inverse: Voor elke a ∈ R bestaat er een b ∈ R zodanig dat a + b = 0. Deze b noemen we dan b = −a Distributief: Voor elke a, b, c ∈ R hebben we a(b + c) = ab + ac Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Getallen en vectoren We kunnen rekenen met getallen en vectoren nemen de rol van getallen over. Voor getallen a, b, c ∈ R kunnen we optellen: Identiteit: a = 0 + a en a = 0 + a Commutatief: a + b = a + b Het maakt niet uit in welke volgorde we optellen Associativiteit: (a + b) + c = a + (b + c) Optellen van links naar rechts of rechts naar links is gelijk aan elkaar. (Haakjes zijn overbodig) Inverse: Voor elke a ∈ R bestaat er een b ∈ R zodanig dat a + b = 0. Deze b noemen we dan b = −a Distributief: Voor elke a, b, c ∈ R hebben we a(b + c) = ab + ac Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Getallen en vectoren We kunnen rekenen met getallen en vectoren nemen de rol van getallen over. Voor getallen a, b, c ∈ R kunnen we optellen: Identiteit: a = 0 + a en a = 0 + a Commutatief: a + b = a + b Het maakt niet uit in welke volgorde we optellen Associativiteit: (a + b) + c = a + (b + c) Optellen van links naar rechts of rechts naar links is gelijk aan elkaar. (Haakjes zijn overbodig) Inverse: Voor elke a ∈ R bestaat er een b ∈ R zodanig dat a + b = 0. Deze b noemen we dan b = −a Distributief: Voor elke a, b, c ∈ R hebben we a(b + c) = ab + ac Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Getallen en vectoren We kunnen rekenen met getallen en vectoren nemen de rol van getallen over. Voor getallen a, b, c ∈ R kunnen we optellen: Identiteit: a = 0 + a en a = 0 + a Commutatief: a + b = a + b Het maakt niet uit in welke volgorde we optellen Associativiteit: (a + b) + c = a + (b + c) Optellen van links naar rechts of rechts naar links is gelijk aan elkaar. (Haakjes zijn overbodig) Inverse: Voor elke a ∈ R bestaat er een b ∈ R zodanig dat a + b = 0. Deze b noemen we dan b = −a Distributief: Voor elke a, b, c ∈ R hebben we a(b + c) = ab + ac Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Nulelement: Op deze lijn leven getallen Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Optellen: Pijltjes aan elkaar plakken Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Commutatief: Volgorde van plakken is irrelevant Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Inverse: We definieerden aftrekken als de inverse van optellen Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Inverse: We definieerden aftrekken als de inverse van optellen Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Inverse: Als gevolg van deze definitie kregen we −−a=a Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Inverse: Als gevolg van deze definitie kregen we −−a=a Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse: Dus b − a = b + (−a) Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Getallen en vectoren We kunnen rekenen met getallen en vectoren nemen de rol van getallen over. Voor vectoren ~x , ~y , ~z ∈ Rn kunnen we optellen: Identiteit: ~x = 0 + ~x en ~x = 0 + ~x Commutatief: ~x + ~y = ~y + ~x Het maakt niet uit in welke volgorde we optellen Inverse: Voor elke ~x ∈ R bestaat er een ~y ∈ R zodanig dat ~x + ~y = 0. Deze ~y = −~x Associativiteit: (~x + ~y ) + ~z = ~x + (~y + ~z ) Optellen van links naar rechts of rechts naar links is gelijk aan elkaar. Distributief: a(~x + ~y ) = a~x + a~y , waarbij a ∈ R een scalair (een getal) is. Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Getallen en vectoren We kunnen rekenen met getallen en vectoren nemen de rol van getallen over. Voor vectoren ~x , ~y , ~z ∈ Rn kunnen we optellen: Identiteit: ~x = 0 + ~x en ~x = 0 + ~x Commutatief: ~x + ~y = ~y + ~x Het maakt niet uit in welke volgorde we optellen Inverse: Voor elke ~x ∈ R bestaat er een ~y ∈ R zodanig dat ~x + ~y = 0. Deze ~y = −~x Associativiteit: (~x + ~y ) + ~z = ~x + (~y + ~z ) Optellen van links naar rechts of rechts naar links is gelijk aan elkaar. Distributief: a(~x + ~y ) = a~x + a~y , waarbij a ∈ R een scalair (een getal) is. Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Het vlak is een uitbreiding van de lijn Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Eenheid op de lijn Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren De lijn Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit De uitbreiding via nul Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Naamgeving van de twee assen Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Het vlak Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Grid Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Nulelement: Vectoren zijn pijltjes in het vlak Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Nulelement: Vectoren zijn pijltjes in het vlak Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Optellen : Pijltjes aan elkaar plakken ~x + ~y Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Nulelement: Vectoren zijn pijltjes in het vlak Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Optellen : Pijltjes aan elkaar plakken ~y + ~x Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Commutatief: Volgorde van optellen is irrelevant Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Commutatief: Volgorde van optellen is irrelevant Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Commutatief: Volgorde van optellen is irrelevant Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Inverse: We definieren aftrekken als de inverse van optellen Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Inverse: We definieren aftrekken als de inverse van optellen Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Inverse: Als gevolg van deze definitie krijgen we − − ~x = ~x Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse: Dus ~y − ~x = ~y + (−~x ) Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse: Dus ~y − ~x = ~y + (−~x ) Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse: Dus ~y − ~x = ~y + (−~x ) Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Associatief: ~x , ~y , ~z Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Associatief: ~x + ~y en ~z Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Associatief: ~x + ~y en ~z Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Associatief: (~x + ~y ) + ~z Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Associatief: (~x + ~y ) + ~z Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Associatief: ~x , ~y , ~z Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Associatief: ~x en (~y + ~z ) Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Associatief: ~x en (~y + ~z ) Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Associatief: ~x en (~y + ~z ) Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Associatief: ~x + (~y + ~z ) Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Associatief: ~x + (~y + ~z ) Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Associatief: (~x + ~y ) + ~z = ~x + (~y + ~z ) Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Overview 1 Notatie 2 Getallen en vectoren 3 Identiteit 4 Commutativiteit 5 Inverse 6 Associativiteit 7 Distributief Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Vectoren ~x , ~y , ~z Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Vector ~y opgeschaald met 1 3 Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Vector ~x opgeschaald met 2 , 2~x Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Vector ~z opgeschaald met 2 , 2~z Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Eerst herschalen dan plakken 2~x + 2~z Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Inverse Eerst herschalen dan plakken 2~x + 2~z Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Vectoren ~x , ~z Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Vectoren ~x + ~z Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Vectoren ~x + ~z Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Vectoren 2(~x + ~z ) Identiteit Commutativiteit Inverse Associativiteit Distributief Notatie Getallen en vectoren Identiteit Commutativiteit Vectoren 2(~x + ~z ) = 2~x + 2~z Inverse Associativiteit Distributief
