Meten aan Mensen 2 Elektrocardigrafie
advertisement
Meten aan Mensen 2 Elektrocardigrafie Studiehandleiding Dr. H.K. Hemmes Prof. Dr. M.J. Peters 2 Inhoudsopgave 1 Voorwoord---------------------------------------------------------------------------------------- 5 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.5 2.4 Studiewijzer -------------------------------------------------------------------------------------Algemene informatie ---------------------------------------------------------------------------------Logistiek ------------------------------------------------------------------------------------------------Weekrooster --------------------------------------------------------------------------------------------Indeling van de stof -----------------------------------------------------------------------------------Beoordeling---------------------------------------------------------------------------------------------Literatuur------------------------------------------------------------------------------------------------Lijst van Termen en Symbolen ---------------------------------------------------------------------- 7 7 7 7 8 8 8 9 3 Het ECG ----------------------------------------------------------------------------------------- 11 3.1 Inleiding------------------------------------------------------------------------------------------------- 13 3.2 Het hart van de mens --------------------------------------------------------------------------------- 15 3.3 Elektrofysiologie -------------------------------------------------------------------------------------- 18 3.4 Elektrofysiologie van het hart----------------------------------------------------------------------- 28 3.5 Volumegeleiding -------------------------------------------------------------------------------------- 31 3.6 Het meten van een elektrocardiogram------------------------------------------------------------- 36 3.7 Het magnetocardiogram------------------------------------------------------------------------------ 43 3.8 Het elektrocardiogram en de medische diagnose ----------------------------------------------- 48 3.9 Veiligheid ----------------------------------------------------------------------------------------------- 51 3.10 Elektrische stimulatie--------------------------------------------------------------------------------- 54 4 Huiswerkopgaven ------------------------------------------------------------------------------ 57 4.1 Opgaven ------------------------------------------------------------------------------------------------- 57 4.2 Antwoorden -------------------------------------------------------------------------------------------- 66 5 5.1 5.2 5.3 5.4 Practicum ---------------------------------------------------------------------------------------- 67 Organisatie---------------------------------------------------------------------------------------------- 67 Opdrachten---------------------------------------------------------------------------------------------- 71 Achtergrondmateriaal--------------------------------------------------------------------------------- 73 Experimentele apparatuur---------------------------------------------------------------------------- 84 3 4 1. Voorwoord Dit deel van de cursus Meten aan Mensen 2 richt zich op de beschrijving van elektrische en magnetische eigenschappen in biomedische systemen. Deze beschrijving wordt toegelicht aan de hand van de meetketen van het elektrocardiogram (ECG). Hierbij worden verschillende aspecten belicht die een rol spelen bij het meten aan mensen. Hierbij kun je denken aan de volgende onderwerpen: het ontstaan van het signaal, sensoren, data-acquisitie (de feitelijke meting), signaalverwerking en datarepresentatie. Door een wijziging in de opzet van het BMT curriculum heeft Meten aan Mensen 2- ECG een grote verandering ondergaan ten opzichte van vorig jaar. Een groot deel van het gebruikte studiemateriaal is daarom nieuw. Het kan dus voorkomen dat er zaken anders uitpakken dan wij ze bedoeld hebben. Hier zal dan tijdens de uitvoering op ingespeeld worden. februari 2003, Riet Peters Herman Hemmes 5 6 2. Studiewijzer 2.1 Algemene informatie 2.1.1 Computergebruik De computers op het TN-practicum kunnen worden gebruikt na inloggen met de ‘juiste’ username en password. Voor BMT studenten is de username een (hoofdletter) S gevolgd door het studentnummer (dus bijv. S0012345). Bij de eerste keer inloggen is het password: @BMT!02 . Je moet vervolgens een nieuw password kiezen. Dit nieuwe password moet je daarna gebruiken. Op de practicumzalen zijn printers aanwezig. 2.1.2 Docenten Naam Riet Peters Herman Hemmes Joris Bokkes e-mail [email protected] [email protected] [email protected] telefoon 053 4893138 053 4892104 onderdeel hoorcollege, werkcollege werkcollege, practicum practicum 2.2 Logistiek 2.2.1 Tijdbesteding Voor het ECG-deel van Meten aan Mensen 2 wordt met de volgende belasting in uren gerekend: − Hoorcollege (8x2uur): Elektriciteit & Magnetisme en het ECG − Huiswerk en zelfstudie (32 uur): uitwerking van principes uit het hoorcollege − Werkcollege (4x2uur): terugkoppeling op theorie en huiwerk − Practicum (4x4uur+4x1uur voorbereiding): potentialen meten aan een volumegeleider (ECG) 2.2.2 Huiswerk Het huiswerk voor week 1 moet klaar zijn bij het werkcollege van week 2, enzovoort. Bij het laatste werkcollege moet al het huiswerk klaar zijn. 2.2.3 Practicum Tijdens het practicum wordt een journaal bijgehouden van de meetresultaten, discussies en conclusies. Dit journaal moet op de laatste practicumdag ingeleverd worden. 2.3 Weekrooster Het weekrooster is voor iedere groep verschillend. De hoorcolleges zijn voor iedereen (binnen een blok) op dezelfde tijdstippen. Iedere groep (1,2,3 en 4) heeft zijn eigen werkcollege. Voor het practicum zijn de groepen nog weer onderverdeeld (A en B). Blok 5 (groepen 3 + 4) − Hoorcollege: maandag 3+4e en 5+6e uur (week 13-16). − Werkcollege: groep 3: vrijdag 3+4e uur (week 13-15 + 19) groep 4: vrijdag 3+4e uur (week 13-15 + 19) e − Practicum (1 -jaars practicum TN, ELTN vloer 4): groep 3A: donderdagmiddag (week 13-16) groep 3B: woensdagmiddag (week 13-16) groep 4A: dinsdagmiddag (week 13-16) groep 4B: woensdagochtend (week 13-16) Blok 6 (groepen 1+ 2) − Hoorcollege: maandag 5+6e uur en dinsdag 1+2e uur (week 21-23 + 25). − Werkcollege: groep 1: vrijdag 5+6e uur (week 21 + 23-25) groep 2: vrijdag 5+6e uur (week 21 + 23-25) 7 − Practicum (1e-jaars practicum TN, ELTN vloer 4): groep 1A: woensdagmiddag (week 21-24) groep 1B: vrijdagochtend (week 21 + 23-25) groep 2A: dinsdagmiddag (week 21 + 23-25) groep 2B: donderdagmiddag (week 21 + 23-25) 2.4 Indeling van de stof In onderstaande tabel staat per week aangegeven welke stof wordt behandeld tijdens de colleges. Bij iedere week horen een aantal opgaven die als huiswerk gemaakt moeten worden. Deze staan in hoofdstuk 4. Het practicum staat beschreven in hoofdstuk 5. Week 1 Physics for Scientists and Engineers, D. Giancoli Hoofdstuk 21, 22 en 23 Studiehandleiding MaM2-ECG paragraaf 3.1, 3.2 en 3.3 overslaan de paragrafen 21.4; 21.10 22.4; 23.7; 23.8 2 hoofdstuk 24 en 25 paragraaf 3.4 en 3.5 overslaan de paragrafen 24.4; 24.6 25.6; 25.7 3 hoofdstuk 27 en 28 paragraaf 3.6 en 3.7 overslaan de paragrafen 27.4; 27.6; 27.7; 27.8 28.7; 28.8; 28.9; 28.10 4 hoofdstuk 29 en 32* paragraaf 3.8, 3.9 en 3.10 overslaan de paragrafen 29.5; 29.6; 29.8 32.4; 32.7; 32.8 * Dit hoofdstuk komt aan bod als daar voldoende tijd voor is. 2.5 Beoordeling Voor het deel ‘ECG’ van het vak ‘Meten aan mensen 2’ is er geen tentamen. U wordt geacht alle opgaven die gemeld staan voor een bepaalde week te maken. Deze moeten klaar zijn voor het werkcollege van de week volgend op de week waar de stof in het hoorcollege wordt behandeld. Tevens moet het practicum gedaan zijn. Als u aan deze voorwaarden voldaan het dan bent u geslaagd voor het ‘ECG’-deel van het vak. 2.6 Literatuur − − − − Physics for Scientists and Engineers, D.C. Giancoli, Prentice Hall, 2000 Het ECG (hoofdstuk 3 van deze studiehandleiding) Huiswerk/Werkcollegeopdrachten (hoofdstuk 4 van deze studiehandleiding) Practicumopdrachten & achtergrondmateriaal (hoofdstuk 5 van deze studiehandleiding) 8 2.7 Lijst van termen en symbolen bij elektriciteit en magnetisme Natuurkundige Symbolen Angular velocity Capacitance Conductivity Current Current density Dielectric constant Electric dipole moment Electric field Hoeksnelheid Capaciteit Geleidbaarheid Stroom Stroomdichtheid Relatieve dielektrische constante Elektrische dipoolmoment Elektrisch veld ω C σ I J K P E Electric flux Elektrische flux Electric potential Elementary charge Electromotive force, emf Energy Length element Magnetic flux Magnetic dipole moment Mass Permittivity of free space Permeability of free space Power Resistance Resistivity Speed of light Surface element Torque Velocity Work Elektrisch dipoolmoment Elementaire lading Inductiespanning Energie Lengte-element Magnetische flux Magnetisch dipoolmoment Massa Permitiviteit vacuüm Permeabiliteit van vacuüm Vermogen Weerstand Soortelijke weerstand Lichtsnelheid Oppervlakte-element Koppel Snelheid Arbeid Φ E = ³ E ⋅ dA P E ℇ U Dl ΦB µ m ε0 µ0 P R ρ c dA τ v W Wiskundige Symbolen Cartesian coordinates Unit vectors Dot product of A and B Cartesische coordinaten Eenheidsvectoren Inwendig product van A en B Crossproduct of A en B Vectorproduct van A en B Gradient of T Gradient van T x, y, z i, j, k A.B = ABcosθ A × B = ABsinθn, n is unit vector perpendicular to the plane of A and B ∇T Laplacian Laplaciaan ∇2t = distance from source in (0,0,0) to observator in (x, y, z) afstand van bronpunt tot observatiepunt r = x 2 + y2 + z2 ∂2t ∂2t ∂2t + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 b Line integral Lijnintegraal ³ v ⋅ dl a Line integral around a closed loop Lijnintegraal langs gesloten weg Integral over a surface Integraal over een oppervlak Integral over a closed surface Intergraal over een gesloten oppervlak 9 ³ v ⋅ dl ³ E ⋅ dA ³ E ⋅ dA 10 3. Het ECG Inhoudsopgave 3.1 Inleiding ......................................................................................................................... 13 3.1.1 Overzicht dictaat elektrocardiografie ......................................................................... 14 3.2 Het hart van de mens .................................................................................................... 15 3.2.1 Bouw en functie van het hart...................................................................................... 15 3.2.2 Werking van het hart .................................................................................................. 15 3.2.3 Bouw en werking van de hartspier ............................................................................. 17 3.3 Elektrofysiologie............................................................................................................ 18 3.3.1 Elektrische verschijnselen in een spiercel.................................................................. 18 3.3.2 Elektrische verschijnselen van een hartcel in de rusttoestand.................................... 21 3.3.3 Depolariserende cellen ............................................................................................... 21 3.3.4 Stroomdipolen en stroomdipoollagen in het hart ....................................................... 26 3.4 Elektrofysiologie van het hart...................................................................................... 28 3.4.1 Voortplanting depolarisatie in het hart....................................................................... 28 3.4.2 Een typisch elektrocardiogram................................................................................... 29 3.5 Volumegeleiding ............................................................................................................ 31 3.5.1 Elektrische geleidbaarheid van weefsels.................................................................... 31 3.5.2 Het meten van de geleidbaarheid van weefsels.......................................................... 31 3.5.3 Volumegeleiding ........................................................................................................ 34 3.6 Het meten van een elektrocardiogram ........................................................................ 36 3.6.1 Inleiding...................................................................................................................... 36 3.6.2 De elektrodes.............................................................................................................. 36 3.6.3 De differentiële versterker.......................................................................................... 37 3.6.4 Weergave metingen .................................................................................................... 38 3.6.5 Standaardisatie............................................................................................................ 38 3.6.6 De hartritmemeter....................................................................................................... 39 3.6.7 Body surface mapping................................................................................................ 41 3.7 Het magnetocardiogram............................................................................................... 43 3.7.1 Inleiding...................................................................................................................... 43 3.7.2 Het magnetisch veld ten gevolge van een stroomdipool............................................ 43 3.7.3 Het meten van een MCG ............................................................................................ 46 3.7.4 Het foetale magnetocardiogram ................................................................................. 47 11 3.8 Het elektrocardiogram en medische diagnose............................................................ 48 3.8.1 Normale ECG's........................................................................................................... 48 3.8.2 ECG in geval van hartafwijkingen ............................................................................. 50 3.9 Veiligheid ....................................................................................................................... 51 3.9.1 Introductie .................................................................................................................. 51 3.9.2 Elektrische interferentie ............................................................................................. 52 3.10 Elektrische stimulatie ................................................................................................... 54 3.10.1 Interne pacemakers ................................................................................................ 54 3.10.2 Defibrilatie............................................................................................................. 55 Intermezzo’s De tekst in dit collegedictaat wordt soms onderbroken door een intermezzo. Hierin wordt relevante natuurkunde besproken. 12 3.1 Inleiding Het onderwerp van dit trimester is meten aan mensen. Het meten aan mensen is anders dan het meten aan een voorwerp. Het is bijvoorbeeld van belang dat men zorgt dat de meetomstandigheden voor de proefpersoon of patiënt zo comfortabel mogelijk zijn. Dit doet men natuurlijk allereerst uit respect voor de proefpersoon of patiënt. Het blijkt echter ook dat de metingen dan beter verlopen. Het meten van een elektrocardiogram bij een patiënt die niet comfortabel zit of ligt, gaat bijvoorbeeld gepaard met extra storing ten gevolge van elektrisch activiteit in andere spieren dan de hartspier. We zullen de diverse aspecten die bij meten aan mensen een rol spelen, behandelen aan de hand van een eenvoudige elektrofysiologische meetmethode elektrocardiografie. Ons primaire doel is dat het eigene van meten aan mensen naar voren komt. We gaan dus niet zeer diepgravend elektrocardiografie behandelen. Met elektrocardiografie (ECG) bestudeert men de elektrofysiologische verschijnselen van het hart door het meten van potentiaalverschillen tussen twee elektroden die op de huid zijn geplakt. Ook skeletspieren en zenuwcellen in de hersenen genereren potentiaalverschillen. Het potentiaalverschil geregistreerd als functie van de tijd die het gevolg is van activiteit in een skeletspier wordt een elektromyogram (EMG) genoemd. Het potentiaalverschil tussen twee elektroden geplakt op de hoofdhuid als functie van de tijd wordt een elektro-encefalogram (EEG) genoemd (zie tabel 1.1). Om een meetbaar potentiaalverschil te krijgen moeten er zo’n 105 neuronen synchroon actief zijn. Voorbeelden van spontane elektrische activiteit in de hersenen zijn alfaritme (een signaal in de frequentieband van 8 tot 13 Hz dat ontstaat als de ogen gesloten zijn) en epileptische activiteit. Als hersenactiviteit wordt opgewekt door het aanbieden van een stimulus dan spreekt men over een ‘evoked potential’. Bijvoorbeeld als een geluidsprikkel wordt gegeven dan noemt men het potentiaalverschil een ‘auditive evoked potential’. De respons op een visuele prikkel heet een ‘visual evoked potential’. Evoked potentials zijn zeer zwak en moeten worden gemiddeld om een meetbaar signaal te krijgen, dat wil zeggen een signaal dat groter is dan de ruisbijdrage. Onder ruis wordt hier verstaan alle potentiaalbijdragen die niet gerelateerd zijn aan de activiteit die het gevolg is van de stimulus, zoals spontane hersenactiviteit, het ECG, en het EOG (dat ontstaat ten gevolge van oogbewegingen). Door het middelen wordt de signaal-ruis verhouding verbeterd. De stimulus wordt steeds herhaald. De aangeboden stimulus wordt gebruikt als tijdreferentie voor het optellen van de evoked potentials. Het moge duidelijk zijn dat als men het ECG bestudeerd heeft dat men ook enig inzicht in de andere in tabel 1.1 genoemde elektrische metingen krijgt. 13 Signaal ECG IECG (intern) Foetaal ECG EEG, α-ritme Hersenen visual evoked potential (VEP) Via intracraniële elektroden ERG = elektroretinogram Oogactiviteit EOG = elektro-oculogram EMG = elektro-myogram Spieractiviteit EGG = elektrogastrogram Maagactiviteit Tabel 1.1 Overzicht van elektrische metingen amplitude 2mV 50 mV 10 µV 100 µV 50 µV 500 µV 100 µV 15 – 200 mV 1 mV 200 µV Hart frequentiebereik 0,05 - 80 Hz 0,005 – 400 Hz 2 – 100 Hz 0,5 – 100 Hz 0,5 – 100 Hz 0,5 – 100 Hz 0,05 – 1 HZ 0,02 – 10 Hz 10 Hz – 10 kHz 0,01 – 1 Hz Er zijn ook andere voorbeelden van medische toepassingen van elektrische stromen in een menselijk lichaam, bijvoorbeeld Electrical Impedance Tomography. Hieronder verstaan we het meten van de potentiaalverdeling op het lichaamsoppervlak door stromen die men in het lichaam laat lopen. De stromen worden via één elektrode toegevoerd en via een andere elektrode afgevoerd. Uit de gemeten potentiaalverdeling wordt de weerstand van de verschillende weefsels berekend. Ten gevolge van ziekte kan de weerstand van een weefsel veranderen. De weerstand van een tumor bijvoorbeeld is anders dan die van het omliggende weefsel. Een ander voorbeeld van het gebruik van stromen in een medische toepassing is het geven van een elektrische stimulus, bijvoorbeeld in het geval van een hartstilstand. Echter aan de hand van ECG is het ook mogelijk meer algemeen geldende aspecten van “meten aan de mens” te bespreken, zoals veiligheid, standaardisatie, signaalverwerking, modelberekeningen of toepassing van statistiek. 3.1.1 Overzicht dictaat elektrocardiografie 1. De anatomie, zoals besproken in hoofdstuk 2 2. De fysiologie, met hoe het hart functioneert en welke processen liggen er aan ten grondslag, zoals besproken in hoofdstukken 3 en 4 3. De invloed van de rest van het lichaam op de metingen wordt beschreven in hoofdstuk 5 4. De meettechniek, signaalbewerking en standaardisatie komt aan de orde in hoofdstuk 6 5. Een alternatief voor een elektrocardiogram is een magnetocardiogram. Dit wordt toegelicht in hoofdstuk 7 6. De statistische verwerking van gegevens, zie hoofdstuk 8, waar via statistiek de vraag beantwoord wordt wat normale waarden zijn voor de parameters die het ECG beschrijven 7. De veiligheid van elektrische metingen, de storing die onze meetapparatuur kan geven en de storing ten gevolge van andere apparatuur op onze meetmethode worden besproken in hoofdstuk 9. 8. In hoofdstuk 10 komt elektrisch stimulatie aan de orde. De American Hospital Association definieert een “clinical engineer” als “A person who adapts, maintains, and improves the safe use of equipment and instruments in the hospital”. Dus veiligheid is van groot belang. 14 3.2 Het hart van de mens 3.2.1 Bouw en functie van het hart Het hart is een orgaan dat zich tussen de longen iets links van het midden in de borstkas (thorax) bevindt. De taak van het hart is het rondpompen van het bloed langs de organen van het lichaam. Het hart bestaat voornamelijk uit spierweefsel. Het hart bestaat uit een linker en een rechter gedeelte. Elk gedeelte bestaat uit een dunwandige boezem (atrium), een soort reservoir waar het bloed het hart binnenstroomt, en een dikwandige kamer (ventrikel), van waaruit het bloed de slagaderen ingepompt wordt. De twee boezems worden gescheiden door het atriaal septum en de twee kamers door het intraventrculair septum (zie figuur 2.1). Vanuit het lichaam verzamelt zuurstofarm bloed zich in de bovenste en onderste holle ader (superior vena cava en inferior Figuur 2.1 Anatomie van het hart vena cava) en stroomt in de rechter boezem, van waaruit het via de drieslippige klep (valvula tricuspidalis) doorstroomt naar de rechter kamer. Vervolgens wordt het bloed vanuit de rechter kamer de longslagader (arteria pulmonalis) ingepompt, neemt in de longen zuurstof op en stroomt via de longader (vena pulmonalis) de linkerboezem van het hart binnen. Via de tweeslippige klep (valvula mitralis) stroomt dit zuurstofrijke bloed vervolgens naar de linker kamer van waaruit het de grootste lichaamsslagader, de aorta, wordt binnengepompt. Door contractie van de hartspier (myocardium) wordt het bloed uit de kamers in de longslagader en de aorta gepompt. De tweeslippige en drieslippige klep zorgen er door hun vorm voor dat het bloed tijdens het samentrekken van de hartspier niet in de boezems terug kan stromen. Voor het behoud van hun vorm en ter ondersteuning zijn zij ook nog eens door peesdraden, de chordae tendineae, met de papillaire spieren aan de onderzijde (apex) van het hart verbonden. Op een dergelijke manier zorgen de halvemaanvormige kleppen (valvules semilunares) aan de ingang van de aorta en de longslagader ervoor dat het bloed na het samentrekken van de hartspier niet van de aorta en de longslagader terug naar de kamers stroomt. 3.2.2 Werking van het hart Natuurkundig zijn de twee helften van het hart te beschouwen als twee in serie geschakelde pompen die in een cyclisch proces samentrekken en ontspannen. De hartspiercontractie zorgt in combinatie met de elasticiteit van de slagaderwanden voor een overdruk van het bloed in 15 de slagaders ten opzichte van de overige lichaamsvloeistoffen. Deze overdruk veroorzaakt het rondstromen van het bloed door het lichaam. Vanuit het oogpunt van de bloedsomloop gezien zijn er in de hartcyclus vier fasen te onderscheiden:1 In de uitgangssituatie is de druk in de linkerkamer veel kleiner dan die in de aorta. Zowel de tweeslippige klep als de halvemaanvormige klep zijn in deze fase gesloten. 1. de isovolumetrische fase waarin, bij constant volume, de druk in de linker hartkamer door aanspanning van de hartspier flink oploopt. Beide kleppen blijven in deze fase gesloten. Aan het eind van deze fase is de druk in de linkerkamer een fractie groter dan de druk in de aorta en gaat de halvemaanvormige klep open. 2. We bevinden ons dan in de uitdrijvingsfase, waarbij het bloed door contractie van de hartspier de aorta in stroomt. Hierbij wordt het volume van de linkerkamer steeds kleiner. Aan het eind van deze fase neemt de druk in de linkerkamer snel af zodat er in de (elastische) aorta een overdruk ten opzichte van de linkerkamer ontstaat. De terugwaardse bloedstroom die dan van de aorta naar de linkerkamer dreigt te ontstaan sluit hierbij de halvemaanvormige klep. 3. In de derde fase, de ontspanningsfase, ontspant de hartspier zich verder en zakt de druk in de linkerkamer verder af tot onder de druk in de boezem, waarop de tweeslippige klep zich opent. Dit moment markeert het begin van de vierde fase. 4. In de vierde fase, de vulfase, vult de linkerkamer zich met bloed uit de linkerboezem. Door het volstromen van de verslapte linkerkamer neemt de druk toe tot een bepaalde waarde waarbij de tweeslippige klep zich sluit. Vanaf dit moment begint de cyclus opnieuw. In de eerste twee fasen is het hart actief. Deze periode wordt de systole genoemd. Fase drie en vier vormen de passieve diastole. De druk in de linkerkamer varieert tijdens dit proces tussen enkele honderden Pa (enkele mmHg) in de diastole en 16 kPa (120 mmHg) in de systole. De druk in de aorta en de grotere lichaamsslagaderen varieert tussen 11 kPa (80 mmHg) en 16 kPa (120 mmHg). De druk in de boezem bereikt maxima van circa 1,2 kPa (9 mmHg) vlak voor en gedurende de vulfase (zie figuur 2.2, bovenste Figuur 2.2 Druk in de kamers tijdens de hartcyclus. grafiek) Bij een frequentie van 70 slagen per minuut duurt de isovolumetrische fase ± 80 ms, de uitdrijvingsfase 300 ms, de ontspanningsfase 80 ms en de vulfase 400 ms. Het volume bloed dat per hartslag in de aorta wordt gepompt, het slagvolume van het hart, bedraagt 60-70 ml. Het proces in de rechterhelft van het hart verloopt precies hetzelfde als in de linkerhelft en is 1 Hier besproken voor de linker harthelft. 16 bovendien gelijktijdig (in fase) met het proces in de linkerharthelft. De hierbij optredende drukken zijn echter lager: de druk in de rechterkamer ligt tussen de enkele honderden Pa (enkele mmHg) in de diastole en 3 kPa (25 mmHg) in de systole, terwijl de druk in de longslagader waarden tussen 1,5 kPa (10 mmHg) en 3 kPa (25 mmHg) (zie figuur 2.2, onderste grafiek). 3.2.3 Bouw en werking van de hartspier De hartspier bestaat uit de spierbundel van de boezems (atriale bundel), die van de kamers (ventriculaire bundel) en de atrioventriculaire bundel van His die door het septum loopt. De bundel van His verbindt de atrioventriculaire knoop, gelegen op de grens van boezems en kamers, met het systeem van Purkinje, een vertakking van de bundel van His aan de binnenkant van de ventriculaire spierbundel. De atrioventriculaire knoop staat via de internodale atriale vezels in de rechterboezemwand weer in verbinding met de sinusknoop (sinoatriale knoop), gelegen in de wand van de rechterboezem (zie figuur 2.3). Figuur 2.3 Anatomie van de hartspier De atriale en ventriculaire spierbundels zijn opgebouwd uit spiervezels van in de lengterichting aan elkaar gekoppelde cilindrische hartspiercellen. Naast elkaar liggende spiervezels zijn door vezels die er dwars op liggen met elkaar verbonden. Door veelvuldige splitsing en samenvoeging van spiervezels vormt het spierweefsel van het hart zo een soort rooster. De ventriculaire spierbundel en de atriale spierbundel zijn twee van elkaar gescheiden spieren die alleen met elkaar in verbinding staan door de spiervezels van het His-Purkinje systeem. 17 3.3 Elektrofysiologie De contractie van de hartspier gaat met elektrische verschijnselen gepaard. Aangezien deze elektrische verschijnselen in de elektrocardiografie gemeten worden, gaan we in dit hoofdstuk dieper in op de aard van deze verschijnselen. De sinusknoop, de atrioventrikulaire knoop en het His-Purkinje systeem bestaan uit gespecialiseerde spiervezels, die maar weinig kunnen samentrekken. Hun functie is het genereren en geleiden van de elektrische impuls die de hartspier doet samentrekken. De impuls die ontstaat in de sinusknoop, bereikt vervolgens via de boezemwand (die onder invloed van de impuls samentrekt) de atrioventrikulaire knoop. Van daaruit vervolgt de impuls zijn weg langs de vezels van het His-Purkinje systeem en komt zo uiteindelijk in de spierbundels van de hartkamer terecht die dan op zijn beurt samentrekt. Hiermee is de cyclus van de hartspier voltooid en kan een nieuwe cyclus beginnen. De sinusknoop, waar de impuls die het hart doet samentrekken gegenereerd wordt, is voor een groot deel autonoom. Haar werking kan door hormonen en het vegetatieve zenuwstelsel beïnvloed worden. 3.3.1 Elektrische verschijnselen in een spiercel Figuur 3.1 Depolarisatie van een hartcel spiercel Als een spiercel in rust is, is er een potentiaalverschil tussen de celinhoud (het cytoplasma = vloeistof in cel), en de omgeving van een cel. De celinhoud wordt van de omgeving gescheiden door de celmembraan. De potentiaal in de cel is lager dan de potentiaal in het omliggende medium (de interstitiële vloeistof). In het atrium is het potentiaalverschil ongeveer -70 mV en van een ventriculaire cel ongeveer – 90 mV. Dit potentiaalverschil wordt de rustpotentiaal1 van de celmembraan genoemd. De binnenkant van het membraan is hierbij negatief geladen en de buitenkant van het membraan heeft een positieve lading. Als de membraanpotentiaal afneemt tot ongeveer een derde van de rustpotentiaal (de drempelwaarde), dan vindt er een spontane plaatselijke ontlading, de depolarisatie, plaats. De membraanpotentiaal wordt dan plaatselijk +25 mV. Als reactie op de depolarisatie van het membraan trekt de spiercel samen. Dit laatste gebeurt ongeveer 0,02 tot 0,04 seconden na de depolarisatie. 1 De membraanpotentiaal wordt gemeten ten opzichte van de potentiaal van de omgeving die op 0 V gesteld wordt. 18 Nadat de celmembraan gedepolariseerd is, herstelt de cel spontaan de oorspronkelijke situatie. Dit herstel wordt de repolarisatie genoemd. In figuur 3.1 is voor een typische hartcel de membraanpotentiaal (van een willekeurige plaats op het membraan) tijdens een depolarisatie en de daarop volgende repolarisatie tegen de tijd uitgezet. Wat opvalt is dat de depolarisatie (d) zeer kort duurt (enkele tienden van milliseconden), terwijl de repolarisatie een langere tijd duurt (100-200 ms). Het potentiaalverschil tussen de rustpotentiaal van de cel (-100 mV) en de maximale membraanpotentiaal die tijdens de depolarisatie bereikt wordt (ca. +25 mV) heet de actiepotentiaal. De verschillende fasen van de actiepotentiaal hangen samen met de doorlaatbaarheid van de celmembraan voor vooral natrium, kalium en calcium ionen. Bijvoorbeeld de concentratie van kalium ionen is binnen in de cel veel hoger dan er buiten. Intermezzo 3A - Elektrische geleidbaarheid en capaciteit Elektrische geleidbaarheid Als een recht stukje draad verbonden wordt met de polen van een batterij dan gaat er een elektrische stroom door de draad lopen omdat de ladingsdragers een kracht ondervinden van de elektrische veldsterkte: E = ∆V/L (3A.1) Hierin is ∆V de spanning tussen de polen van de batterij en is L de lengte van de draad. In materialen die aan de wet van Ohm voldoen is de stroom (uitgedrukt in ampère) evenredig met het potentiaalverschil (uitgedrukt in volts). De evenredigheidsconstante wordt de weerstand van de draad genoemd (uitgedrukt in ohm). De wet van Ohm luidt I= ∆V R (3A.2) Als de draad een doorsnede A heeft en een lengte L dan is de weerstand R R =ρ L L = A σA (3A.3) Hierin is ρ de soortelijke weerstand (uitgedrukt in Ωm) en σ het geleidingsvermogen van de draad. De eenheid van de geleidbaarheid is siemens per meter (S/m). De wet van Ohm kan ook geschreven worden als j = σE (3A.4) Hierin is j de stroomdichtheid: j = I/A. De geleidbaarheid van een goede elektrische geleider zoals koper is 6 × 107 S/m, van een isolator zoals glas is de geleidbaarheid in de range 10-14– 10-10S/m. Elektrische geleiding in een metaal vindt plaats door het bewegen van elektronen. Het menselijk lichaam bestaat hoofdzakelijk uit water waarin zich ionen bevinden, zoals Na+ en Cl- ionen. Elektrische geleiding in een lichaam vindt plaats door ionen. De geleidbaarheid van lichaamsvloeistoffen, zoals urine en hersenvloeistof (cerebrospinal fluid) ligt in het 19 bereik van 1,5–1,8 S/m. De geleidbaarheid van weefsels hangt af van de frequentie van de stroom en van de temperatuur van het weefsel. materiaal geleidbaarheid (S/m) 5,8 × 107 4 2 × 10-4 materiaal geleidbaarheid (S/m) 0,6 0,003 0,2 koper bloed zeewater bot gedestilleerd hersenen water glas 10-10 – 10-14 vet 0,02 intracellulaire 0.55-0.80 extracellulaire 2.0-2.4 vloeistof vloeistof Tabel 3A.1 De elektrische geleidbaarheid van enige materialen bij kamertemperatuur en weefsels bij lichaamstemperatuur voor frequenties lager dan 1000 Hz Capaciteit Een geleider heeft in het algemeen een capaciteit, d.w.z. het vermogen om lading op te slaan. Tussen twee metalen platen die in een vacuüm zijn opgesteld, en tegengesteld geladen zijn met een lading Q, rep. –Q en waartussen een potentiaalverschil heerst van ∆V is de capaciteit per definitie C= Q . ∆V (3A.5) Figuur 3A.1 Capaciteit van twee evenwijdige platen met lading +Q en –Q De capaciteit van twee evenwijdige (zie figuur 3A.1), tegengesteld geladen, platen, waarbij de afstand tussen de platen, d, klein is ten opzichte van de afmetingen van de platen, A, is C= ε0 A , d (3A.6) hierin is ε0 = 8.85×10-12C2/Nm2, deze constante wordt de permittiviteit van vacuüm genoemd. De eenheid van capaciteit is de farad (F). Het stelsel platen wordt een (vlakke) condensator genoemd. Als tussen de platen materiaal zit, dan wordt de capaciteit verhoogd met een constante factor κ, die van het materiaal afhangt. Dus dan geldt C= ε 0κA d (3A.7) Deze constante wordt de diëlektrische constante van het materiaal genoemd. Enige voorbeelden van deze constante zijn gegeven in tabel 3.2 20 Materiaal Diëlektrische constante Vacuüm1 1 lucht1 1,00055 glas1 6 1 gedestilleerd water 80 lichaamsweefsel voor 10 Hz2 > 107 membraan van een axon 7 Tabel 3A.2 Diëlektrische constante voor enige materialen bij 1 atm. 1 bij kamer temperatuur; 2 bij lichaamstemperatuur 3.3.2 Elektrische verschijnselen van een hartcel in de rusttoestand (afschatten van grootte ordes) Zoals uit tabel 3.2 blijkt hebben menselijke weefsels een uitzonderlijke hoge diëlektrische constante. Dit komt omdat weefsels bestaan uit cellen die omgeven worden door extracellulaire vloeistof. Ieder cel wordt omgeven door een celmembraan. Geladen ionen hopen zich op aan beide zijden van de celmembranen. Een celmembraan is dus een soort condensator. De gezamenlijke capaciteit van veel cellen zorgt voor de hoge capaciteit en dus voor de hoge diëlektrische constante van een weefsel. In het volgende schatten we af hoeveel ionen zich ophopen aan weerszijden van het membraan rond een hartspiercel in rust. Hartspiercellen zijn cilindervormig, ze hebben een lengte van ongeveer 100 µm en een diameter van ongeveer 10 µm. Het spanningsverschil over het membraan in de rusttoestand is ongeveer –70mV. We nemen aan dat bij benadering de capaciteit van het cilindervormig membraan door formule (3A.7) gegeven wordt. De dikte van het membraan is ongeveer 6×10-9m en κ = ±7. Dus C ε 0κ 8.85 × 10 −12 × 7 F = ≈ = 0,01 2 −9 A d 6 × 10 m (3.2.1) De hoeveelheid lading per oppervlakte eenheid is dan volgens formule (3A.3): Q = 0.01 × 70 × 10 −3 = 7 × 10 −4 Cm −2 A (3.2.2) Dit betekent dat er 4,4 × 1015ionen per m2 zijn als ieder ion een lading heeft van 1,6 × 10-19C (dus eenwaardig is). Ieder ion neemt een oppervlak in van ongeveer 10-20m2. Er passen dus ongeveer 1020 ionen op een m2. Een geladen ion wordt geneutraliseerd door een tegengesteld geladen ion. Dus in rusttoestand is ruwweg één op de 20.000 atomen die zich bij het membraan bevinden geïoniseerd. 3.3.3 Depolariserende cellen De depolarisatie plant zich voort door een cel en vervolgens door aanliggende cellen. Dit kan men begrijpen door het celmembraan als een condensator voor te stellen waarop zich lading bevindt. Als plaatselijk de drempelwaarde van de potentiaal wordt bereikt dan depolariseert de cel ter plaatse. 21 In figuur 3.2 zien we een cel die depolariseert. In het nog niet gedepolariseerde gedeelte is het celbinnenste negatief geladen ten opzichte van de omgeving. In het gedepolariseerde gedeelte is het celbinnenste positief geladen ten opzichte van de omgeving. Dit betekent dat er in het grensgebied G positieve lading aan de buitenzijde van de celmembraan wegstroomt, terwijl binnen in de cel er juist positieve lading naar het membraan toe stroomt. Door deze ladingverplaatsingen wordt de membraanpotentiaal in het grensgebied steeds minder negatief, totdat de membraanpotentiaal de waarde bereikt waarbij er in het grensgebied spontaan depolarisatie optreedt en het depolarisatie-golffront dus iets opschuift. Figuur 3.2 Depolarisatiegolf en In het nog niet gedepolariseerde gedeelte is de potentiaal zijn voortplanting in een cel onafhankelijk van x (als x de coördinaat is langs de cel). Dus lopen er geen stromen binnen in het niet gedepolariseerde gedeelte van de cel. Een stroom is het gevolg van een potentiaalverschil. Ook het gedepolariseerde gedeelte heeft een potentiaal die bij benadering niet van x afhangt, want het duurt ongeveer 100 ms voordat de repolarisatie begint. Stel dat de depolarisatie plaatsvindt tussen x = 0 en x = x2 (zie figuur 3.3). Dan kunnen we de stroom binnen de cel Ii uitrekenen met behulp van formules (3A.2) en (3A.3) Ii = σ πa 2 ∆V σA = ∆V = ∆V i , R L x2 (3.3.1) hierin is σi het geleidingsvermogen binnenin de cel en a is de straal van de cel. Dus er loopt in het gebied tussen deze twee gebieden een stroom binnenin de cel. De wet van behoud van lading zegt dat lading zich niet kan ophopen, dus de stroom kan niet ergens zo maar ophouden. Dus bij x = x2 verlaat de stroom de cel: daar is een stroombron en de stroom komt terug bij x = 0: daar is een stroomput. Figuur 3.3. Depolarisatiemodel Intermezzo 3B - De ladingsdipool en de stroomdipool De ladingsdipool De kracht tussen twee puntladingen q1 en q2 die zich op een afstand r van elkaar bevinden (in vacuüm of lucht) wordt gegeven door de wet van Coulomb: F= 1 q1q2 er 4πε 0 r 2 (3B.1) 22 De kracht wordt uitgedrukt in newton, de lading in coulomb, de afstand in meter. Volgens uitdrukking 3B.1 geldt dat De kracht is omgekeerd evenredig met de afstand in het kwadraat • De kracht is afstotend als de ladingen beiden positief of beiden negatief zijn • De kracht is aantrekkend als de ladingen tegengesteld geladen zijn • (a) (b) Figuur 3B.1 Elektrische veldlijnen van (a) een positieve lading en (b) een negatieve lading Het elektrisch veld ten gevolge van een puntlading q in een punt op een afstand r van de puntlading is gelijk aan de kracht op een testlading q’ in dat punt gedeeld door de lading q’, dus F 1 q E= = er q' 4πε 0 r 2 (3B.2) Het elektrisch veld kan gevisualiseerd worden door veldlijnen. De richting van het elektrisch veld wordt aangegeven met een pijl, de sterkte van het veld door de dichtheid van de veldlijnen. In figuur 3B.1 zijn de veldlijnen getekend van een positieve en van een negatieve lading. Het elektrisch veld ten gevolge van twee puntladingen q1 en q2 wordt verkregen door het elektrisch veld ten gevolge van lading q1 (vectoriele) op te tellen bij het veld van lading q2 E = E1 + E2 In figuur 3B.2 is het veldlijnenpatroon getekend van twee tegengestelde even grote ladingen. Figuur 3B.2 Elektrische veldlijnen van twee tegengestelde even grote ladingen Het potentiaalverschil tussen twee punten P1 en P2 is 23 V ( P1 ) − V ( P2 ) = − ³ E ⋅ dl P2 (3B.3) P1 Als we de potentiaal in het oneindige nul stellen dan is de potentiaal in een punt P op afstand r van een puntlading q gelijk aan V ( P) = 1 q 4πε 0 r (3B.5) Figuur 3B.3 Geometrie voor berekening van potentiaal in punt P, ten gevolge van twee tegengestelde even grote ladingen De potentiaal in P ten gevolge van twee even grote maar tegengestelde ladingen q en -q is (zie figuur 3B.3) is V= 1 q 1 q q r2 − r1 − = 4πε 0 r1 4πε 0 r2 4πε 0 r1r2 (3B.5) Als voor de afstand l tussen de even grote, maar tegengestelde ladingen geldt l << r1 en l << r2 dan noemen we de combinatie van ladingen een ladingsdipool. Bij benadering geldt dan r2-r1 ≈ lcosθ; r1 ≈ r; r2 ≈ r. We kunnen dus uitdrukking (3B.5) voor een ladingsdipool benaderen door V≅ ql cosθ p cosθ = 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 (3B.6) Hierin is p =ql is het dipoolmoment. Zie voor de betekenis van de symbolen figuur 3B.3. Figuur 3B.4: Veldlijnen en equipotentiaallijnen van een ladingsdipool. In figuur 3B.4 is het veldlijnenpatroon van een ladingsdipool getekend. Ook zijn lijnen getekend waarvan alle punten dezelfde potentiaal hebben, zogenaamde equipotentiaallijnen. 24 Figuur 3B.5 Structuur van een watermolecuul In figuur 3B.5 is een watermolecuul geschetst. De elektronen van de H-atomen concentreren zich bij het zuurstofatoom en daarom is er links een overschot aan negatieve lading en heeft het molecuul aan de rechterzijde een positieve lading. Watermoleculen vormen dus een elektrische ladingsdipool. De stroomdipool Stel we hebben een stroombron in een punt. De stroomsterkte van de bron is I. De stroombron bevindt zich in een homogene isotrope geleider. We bekijken een bolvormig oppervlak rond de bron. De bron bevindt zich in het middelpunt. De lading hoopt zich nergens op dus door het oppervlak van de bol gaat een stroom I en de stroomdichtheid (uitgedrukt in A/m2) door het boloppervlak is j= I er 4πr 2 (3B.7) Passen we de wet van Ohm (formule 3A.4) toe dan vinden we voor de elektrische veldsterkte van een puntvormige stroombron 1 I E= er 4πσ r 2 (3B.8) Deze uitdrukking lijkt op de uitdrukking voor het elektrisch veld van een puntlading, zie formule (3B.2). Voor een stroombron verwachten we dus stroomlijnen die een patroon vormen zoals gegeven in figuur 3B.1a en voor een stroomput zoals gegeven in figuur 3B.1b. Het elektrisch veld van een stroombron krijgt men uit de uitdrukking voor het elektrisch veld van een lading door Q te vervangen door I en ε0 door σ. Van deze analogie maken we gebruik om een uitdrukking voor de potentiaal van een stroomdipool te verkrijgen. Als we in formule (3B.6) Q vervangen door I en ε0 door σ dan vinden we de potentiaal van een stroomdipool. De uitdrukking voor een stroomdipool (een puntvormige stroombron plus een stroomput op een afstand l van elkaar, waarbij l veel kleiner is dan de afstand van dipool tot het observatiepunt) luidt dus V= p cosθ 4πσr 2 (3B.9) Hierin is p=Il is het dipoolmoment. De stroomdipool bevindt zich in een oneindig uitgestrekt isotroop geleidend medium. De stroom en het potentiaalverloop rond een stroomdipool worden weergegeven door figuur 3B.4. 25 Een stroomdipoollaag Stel we hebben een oppervlak dat bedekt is met dipolen die loodrecht op het oppervlak staan. Het aantal dipolen per oppervlakteeenheid is constant: τ (in A/m). Dus een oppervlakteelement dS heeft een dipoolmoment τdS. De potentiaal ten gevolge van de dipoollaag verkrijgt men door de bijdragen van alle dipolen bij elkaar op te tellen. Omdat de dipolen een continue verdeling hebben, vervangen we de som door een integraal. Dus voor een dipoollaag in een homogeen geleidend oneindig uitgestrekt medium vinden we V= τdS cosθ τ = 2 4πσr 4πσ dipoollaag ³ τ dS cosθ = dΩ 2 4πσ r dipoollaag ³ (3B.10) hierin is dΩ de ruimtehoek waaronder men het oppervlakteelement dS vanuit het meetpunt ziet. Dit betekent dat iedere dipoollaag met dezelfde randkromme dezelfde potentiaal geeft. Een gesloten dipoollaag (bijvoorbeeld een bolvormige) heeft gezien vanuit een punt buiten de laag een ruimtehoek nul. Dus de potentiaal ten gevolge van een gesloten dipoollaag is nul in een punt buiten de laag. 3.3.4 Stroomdipolen en stroomdipoollagen in het hart Een depolariserende cel kan beschreven worden door een stroompje in de cel, een stroombron van waar uit stromen door de omliggende weefsels gaan lopen en een stroomput waar de stromen van uit het lichaam zich weer verzamelen. De combinatie stroompje plus stroombron plus stroomput wordt een stroomdipool genoemd. Een stroomdipool is een vector, de richting is die van de stroom in de cel. Volgens formule (3.3.1) is de sterkte van de stroomdipool p = I1 x 2 = ∆Vσ i πa 2 (3.4.1) Zoals gezegd gaan ten gevolge van zo een stroomdipool stromen lopen in de omliggende weefsels (de volumegeleider). Als een stroomdipool zich zou bevinden in een homogene, isotrope geleider met oneindige afmetingen dan krijgt men een potentiaalverdeling voor een dipool die zich in de oorsprong van ons coördinatensysteem bevindt, uit formules (3B.9) en (3.4.1). De potentiaal is 2 p cos θ ∆V σ i a V∞ = = cos θ 4πσ o r 2 4σ o r 2 (3.4.2) Hierin is r de afstand van dipool naar meetpunt, σo is de geleidbaarheid van het omliggende medium, σi is de geleidbaarheid van de intracellulaire vloeistof, a is de straal van de cel. In figuur 3.4a is de verdeling van de potentiaal getekend van een dipool die evenwijdig ligt met het meetvlak. In figuur 3.4b is de verdeling van de potentiaal getekend van een dipool die een richting heeft loodrecht op het meetvlak. De potentiaalverdeling van een willekeurige dipool verkrijgt men door de potentiaal en van de component van de stroomdipool die evenwijdig met het meetvlak ligt op te tellen bij die van de component die loodrecht staat op het meetvlak. 26 y Figuur 3.4 Isopotentiaallijnen in het vlak z = d ten gevolge van een stroomdipool in de oorsprong van een oneindig uitgestrekt homogeen medium. De dipool bevindt zich onder de getekende pijl in het vlak z = 0 en is gericht in de richting van de positieve y-as. De afstand tussen de twee extremen is gelijk aan d√2. x Figuur 3.5 Isopotentiaallijnen in het vlak z = d ten gevolge van een stroomdipool in de oorsprong van een oneindig uitgestrekt homogeen medium. De dipool bevindt zich onder het middelpunt in het vlak z = 0 en is gericht in de richting van de z-as (naar de kijker toe). We kunnen formule (3.4.2) gebruiken om af te schatten wat de bijdrage is aan het elektrocardiogram van een depolariserende cel. Bij benadering is ∆V = 70 mV = 70 × 10-3V; r = 10 cm = 0.1m (dit is de ordegrootte van de afstand tussen een punt in het hart en een punt op de borst waar het elektrocardiogram gemeten wordt); σi = 0.6S/m; σo = 0.2 S/m (dit is de geleidbaarheid die men in het algemeen aan de torso toekent als men de torso beschrijft als een homogene geleider) en a = 5 × 10-6m. Dus de bijdrage van een depolariserende cel is in de orde van 2,5 × 10-7V. De sterkte van het elektrocardiogram tijdens depolarisatie van de ventrikels is in de orde van 1 mV. Dit betekent dat het aantal cellen dat synchroon actief is in de orde ligt van 4 duizend. Cellen die synchroon depolariseren vormen een stroomdipoollaag of dubbellaag. Over het algemeen veronderstelt men dat de dipolen homogeen over de dipoollaag zijn verdeeld. In dat geval is de sterkte van de potentiaal evenredig met de ruimtehoek waaronder men de dipoollaag ziet vanuit het punt waar de potentiaal wordt bepaald (zie formule 3B.10). 27 3.4 Elektrofysiologie van het hart 3.4.1 Voortplanting depolarisatie in het hart Figuur 4.1. Voortplanting depolarisatiegolffront over het hart. (a) begin van depolarisatie bij de sinusknoop, (b) de atria bijna gedepolariseerd, (c) de AV knoop is geleidend, (d) begin van de depolarisatie van de linker ventrikel, (e, f) voortschrijdende depolarisatie van de ventrikels, (g) ventrikel depolarisatie bijna compleet. Figuur 4.2 Potentiaal van een automatische cel In het volgende zullen we nader ingaan op de voortplanting van het depolarisatie-golffront in het hart, zie figuur 4.1. Het depolarisatie-golffront begint in zogenaamde automatische cellen die op meerdere plekken in het hart1 zijn aangetoond. Dit zijn cellen met een membraanpotentiaal die vanuit de minimumwaarde spontaan oploopt en dus minder negatief wordt (zie figuur 4.2, interval 1), totdat de membraanpotentiaal de waarde B bereikt waarop spontane depolarisatie volgt (interval 2). Na de repolarisatie (interval 3) begint de cyclus op nieuw. De som van de drie tijdsintervallen, de periode van de spontane depolarisatiecyclus van de automatische cel bepaalt de frequentie van de automatische cel. Deze frequentie is niet voor iedere groep automatische cellen gelijk. In de normale situatie volgt het hart de automatische cellen met de grootste frequentie. Deze zijn gelegen in de sinusknoop. 1 In de sinusknoop, op sommige plaatsen in de boezemwand, in de atrioventriculaire knoop en in het HisPurkinje systeem. 28 Vanuit de sinusknoop verplaatst de depolarisatie zich door de boezemwand die onder invloed hiervan samentrekt. Via de boezemwand bereikt de impuls vervolgens de atrioventriculaire knoop, waar een fysiologische vertraging in de impulsoverdracht plaatsvindt. (De atrioventriculaire knoop vormt, via het His-Purkinje systeem immers de enige elektrische verbinding tussen de atriale spierbundels en de ventriculaire spierbundels.) Tijdens deze vertraging repolariseren de spierbundels van de boezemwand. Na deze vertraging verspreidt de depolarisatie zich zeer snel via de linker- en de rechtervertakking van de bundel van His en het Purkinje-systeem naar de binnenzijde van de ventriculaire spierbundels. Vervolgens verplaatst het golffront zich in deze spierbundels van de kamerwand van binnen naar buiten, waarbij de gehele kamerwand geactiveerd wordt (zie figuur 4.3) en dus samentrekt. Als laatste verplaatst het repolarisatie-golffront zich door de spierbundels van de kamers en ontspant de kamerwand zich weer. weefseltype atriaal spierweefsel 0,8-1,0 m/s atrioventriculaire knoop 0,1-0,2 m/s His-Purkinje systeem ventriculair spierweefsel Figuur 4.3 Voortplanting van de hartimpuls in de kamerwand snelheid 4,0 m/s 0,3-0,4 m/s Tabel 4.1 Voortplantingssnelheid van impuls In tabel 4.1 staan ter referentie de voortplantingssnelheden van de hartimpuls in de verschillende weefseltypen. Zoals betoogd in hoofdstuk 3 genereren depolariserende en repolariserende cellen stromen in het omliggende weefsel. Deze stromen verspreiden zich door de omliggende weefsels, de zogenaamde volumegeleider. Op het lichaamsoppervlak veroorzaken deze stromen potentiaalverschillen. De registratie van zo een potentiaalverschil als functie van de tijd wordt een ECG genoemd. Aangezien de verdeling van stromen door het lichaam afhangt van de geleidbaarheid van de weefsels hangt het ECG ook af van de geleidbaarheid van de weefsels. 3.4.2 Een typisch elektrocardiogram Figuur 4.4 Een typisch elektrocardiogram 29 Een typische elektrocardiografische registratie ziet er uit als in figuur 4.4. Hierin zijn de volgende onderdelen te onderscheiden: - P-golf: correspondeert met de depolarisatie van de boezems. Duurt maximaal 0,11 seconde. - PQ-segment: in dit tijdsinterval bevindt het depolarisatiegolffront zich in de atrioventriculaire knoop. - QRS-complex: correspondeert met de depolarisatie van de kamers. Het QRS-interval duurt tussen de 0,05 en 0,10 seconde. (De Q-, R- en S-top hoeven niet altijd allen aanwezig te zijn; R is de naam van het eerste maximum, en S het op R volgende minimum.) - ST-segment: de spierbundels van de kamers zijn gedurende dit tijdsinterval in contractie. - T-golf: correspondeert met de repolarisatie van de kamers. - U-golf: een soms aanwezige kleine golf waarvan de betekenis niet geheel duidelijk is. De repolarisatie van de atria vindt plaats tijdens de depolarisatie van de ventrikels. 30 3.5 Volumegeleiding 3.5.1 Elektrische geleidbaarheid van weefsels Als een stroom door ons lichaam te zwak is om een cel te activeren en de frequentie van de stroomtoevoer laag is (<1000 Hz) dan gedraagt het weefsel zich als een geleider. Hoe hoger de frequentie hoe meer de capaciteit een rol gaat spelen. Lichaamsweefsels voldoen voor zeer lage stromen en lage frequenties aan de wet van Ohm. Dit is dus het geval voor de stromen ten gevolge van hartactiviteit. Een weefsel bestaat uit cellen die omgeven zijn door de extracellulaire vloeistof (een zoutoplossing). Zwakke en laag frequente elektrische stromen in het menselijk lichaam, zijn het gevolg van beweging van ionen (vooral Na+ en Cl- ionen). Omdat cellen omgeven zijn door een elektrisch slecht geleidend celmembraan gaan de stromen in een weefsel vrijwel niet door de cellen. In goede benadering geldt dat de stroom om de cellen heen door de extracellulaire vloeistof gaat. Veel cellen zijn te beschrijven door ellipsoïdale deeltjes. Als deze deeltjes homogeen verdeeld zijn, geldt voor de elektrische geleidbaarheid de wet van Archie: σ weefsel = σ extracellulair (1 − p) m (5.1.1) Hierin is p de volumefractie die door de deeltjes (cellen) wordt ingenomen en m is een factor die afhangt van de vorm van de deeltjes en de richting van de aangelegde stroom. De geleidbaarheid is dus het grootst voor vloeistoffen waarin zich vrijwel geen cellen bevinden (dus p is laag), zoals vruchtwater, hersenvloeistof of urine. Als de cellen goed beschreven kunnen worden door bolletjes, zoals vetcellen, dan is m = 3/2. Als de cellen goed beschreven kunnen worden door cilinders die parallel aan elkaar liggen, dan is het geleidingsvermogen afhankelijk van de richting van de aangelegde stroom. Als de stroom evenwijdig met de cilinders is dan is m = 1 en als de stroom loodrecht staat op de cilinders dan is m = 2. Dit betekent dat de geleidbaarheid van de richting afhangt. We noemen de geleidbaarheid anisotroop. In dit dictaat laten we anisotropie verder buiten beschouwing. Voor lange spiercellen gaat de stroom die evenwijdig aan de as loopt ook door de cel en geldt formule (5.1.1) niet. De langste spiercellen kunnen een lengte van wel 50 cm hebben. Voor hartspiercellen geldt dit ook. Hartspiercellen zijn met elkaar verbonden door gap junctions. De weerstand van de gap junctions is van dezelfde ordegrootte als de weerstand van de vloeistof in de cel. Daarom gaat de volumestroom die evenwijdig loopt met de cellen ook door de cellen. Dus voor de geleidbaarheid evenwijdig met de hartspiercellen geldt formule (5.1.1) niet. 3.5.2 Het meten van de geleidbaarheid van weefsels De nauwkeurigheid van experimenteel bepaalde geleidbaarheden van weefsels is laag. Dit komt omdat de meting van deze grootheid zeer moeilijk is. Men kan de metingen doen in vivo of in vitro (letterlijk in glas (reageerbuis)). In het eerste geval worden hier proefdieren voor gebruikt en men kan zich afvragen in hoeverre een bepaald weefsel van de mens lijkt op dat van het proefdier. Bovendien lopen de stromen in het weefsel, waarvan men de geleidbaar31 heid wil bepalen, niet rechtstreeks van elektrode naar elektrode. De stromen verspreiden zich door de omliggende weefsels. Dit heeft (een onbekende) invloed op de te meten spanning tussen de elektroden. Doet men de meting in weefsel dat uit een lichaam verwijderd is dan is het vochtgehalte vaak veranderd, en dus p in formule (5.1.1) is veranderd. Cellen zwellen op door verandering van de osmotische druk en na enige tijd zullen cellen sterven, waardoor stromen ook door cellen gaan lopen en formule (5.1.1) helemaal niet meer geldig is. Intermezzo 5A - Het voorwaartse probleem In figuur 3B.4 is het veldlijnenpatroon getekend van een stroomdipool die zich bevindt in een oneindig uitgestrekte homogene isotrope geleider. De veldsterkte en de stroomdichtheid zijn recht evenredig, de evenredigheidsconstante is σ. Dus figuur 3B.4 illustreert ook hoe de stroomverdeling is rond een stroomdipool. In figuur 5A.1 is de stroomverdeling getekend van een stroomdipool in een homogeen geleidende bol. De vorm van het geleidend medium waarin de stroomdipool zich bevindt, de zogenaamde volumegeleider, heeft dus invloed op de verdeling van stromen en potentialen. De berekening van deze invloed wordt de oplossing van het voorwaartse probleem genoemd. In dit intermezzo zullen we een eenvoudige oplossing van het voorwaartse probleem bekijken. Figuur 5A.1 stroomverdeling van een stroomdipool in een homogeen geleidende bol. Met uitzondering van de plaats waar een stoomdipool zich bevindt, geldt dat in ieder punt van de ruimte de potentiaalverdeling voldoet aan de wet van Laplace. In cartesische coördinaten luidt de wet van Laplace ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 (5A.1) Hoe de wet in andere coördinaten luidt, kun je opzoeken in vrijwel ieder boek over elektromagnetisme. Oplossingen van deze wet heten harmonische functies. Als voldaan wordt aan bepaalde voorwaarden dan is een oplossing van de wet van Laplace een unieke oplossing. Dit betekent dat als we een oplossing vinden die aan de randvoorwaarden voldoet, dat we ook direct de juiste oplossing hebben. De randvoorwaarden, die gelden voor het voorwaartse probleem, zijn: − Bij een grensvlak tussen twee media met een verschillende geleidbaarheid is de component van de stroom loodrecht op het grensvlak continu. − V = 0 voor r → ∞ 32 De eerste grensvoorwaarde volgt uit de wet van behoud van lading. Alle stroom die door het oppervlak van een geleider naar binnen gaat, komt er ook weer uit. Stroom hoopt zich nergens op. De tweede voorwaarde geldt voor alle fysische grootheden. De uitdrukking voor een stroomdipool in een oneindig homogeen medium, uitdrukking (3A.9), moet natuurlijk ook in alle punten (behalve in het punt waar de dipool zich bevindt) aan de wet van Laplace voldoen. Bovendien moet aan voorwaarde 2 worden voldaan. Ga na of dit het geval is, bedenk dat r2 = x2 + y2 + z2. Als voorbeeld zullen we de potentiaal berekenen ten gevolge van een stroombron op een afstand d boven het vlak z = 0. Dit vlak is het grensvlak tussen een geleidend medium waarin zich de stroombron bevindt en een niet-geleidend medium. De vraag is wat de potentiaalverdeling in het geleidende medium is. Omdat de oplossing van de wet van Laplace die aan de voorwaarden voldoet uniek is, is een oplossing ongeacht hoe we er aan komen de juiste oplossing. We gebruiken de methode van spiegelbeeldbronnen. Figuur 5A.2 Oplossing van de Laplace vergelijking via de methode van spiegelbeeldbronnen In de linker figuur van figuur 5A.2 is de situatie getekend die we uit willen rekenen. De stroombron bevindt zich op een afstand d boven het grensvlak z = 0 in het geleidende medium. Er kunnen alleen stromen lopen in de geleider. In het niet-geleidende medium is de stroom nul en dus volgens voorwaarde 1 moet gelden Iz = 0. In de rechter figuur is de gehele ruimte geleidend en zijn er twee stroombronnen. De eerste bron bevindt zich op een afstand d boven het grensvlak z = 0 en de tweede op een afstand d onder het grensvlak. Men krijgt de tweede bron door de eerste te spiegelen ten opzichte van het grensvlak. In beide situaties van figuur 5A.2 wordt in alle punten van de geleider waar z > 0 (behalve op de plaats van de bron) aan de wet van Laplace voldaan. De potentiaal van een stroombron vinden we door in formule (3B.4) Q te vervangen door I en ε0 door σ. In de rechter figuur hebben we twee stroombronnen en de oplossing voor z > 0 luidt dus V ( x , y, z ) = 1 ª I I « + 4πσ « x 2 + y 2 + (z − d ) 2 x 2 + y 2 + (z + d) 2 ¬ waarbij 33 º » »¼ (5A.2) I z = −σ ∂V 1 § − I( z − d ) =− ¨ ∂z 4𠨩 x 2 + y 2 + (z − d) 2 ( ) 3/ 2 + (x − I( z + d ) 2 + y 2 + (z + d) ) 2 3/ 2 · ¸ ¸ ¹ (5A.3) Dit is inderdaad gelijk aan nul voor z = 0. Dus er wordt in het gebied z > 0 in beide situaties naast de wet van Laplace ook aan de randvoorwaarden voldaan. Dus is de oplossing de juiste. Uit formule (5A.2) volgt dat de potentiaal op het grensvlak z = 0 is V ( x , y) = 1 2I 4πσ r (5A.4) Dus de potentiaal op het grensvlak is twee maal de potentiaal van een bron in een oneindig groot homogeen medium. Een stroomdipool bestaat uit een stroombron en een stroomput, voor beide kunnen we de spiegelbeeldmethode toepassen. De oplossing van een stroomdipool is dus Vgrensvlak = 2V∞ = 2p cos θ 4πσr 2 (5A.5) Het feit dat de dipool zich in een begrensde ruimte bevindt heeft dus grote invloed op de potentiaal. In dit geval betekent het een verdubbeling. Voor een stroomdipool die zich in het middelpunt van een geleidende bol bevindt is de potentiaal driemaal de potentiaal van een 3.5.3 Volumegeleiding Het hart bevindt zich in de torso. In de torso zijn weefsels met verschillende geleidbaarheid te onderscheiden. De oplossing van de wet van Laplace is niet meer analytisch uit te rekenen. Voor de oplossing moeten een numerieke methode worden gebruikt, zoals de boundary element, de finite element of de finite difference methode. Figuur 5.2. Potentiaalverdeling op het torsooppervlak In figuur 5.2 is de potentiaalverdeling gegeven voor een realistisch gevormd model van de torso. In figuur 5.3 is het volumegeleider model afgebeeld. Dit model bestaat uit compartimenten. De geleidbaarheid van ieder compartiment wordt homogeen en isotroop, dat is onafhankelijk van de richting waarin de stroom door het weefsel gaat, verondersteld. De compartimenten zijn het hart met daarin de met bloed gevulde holtes, de longen en de rest van de torso. De geometrie is verkregen uit magnetoresonance images (MRI). 34 Figuur 5.3. Realistisch volumegeleidermodel met compartimenten.1 Met behulp van een compartimentenmodel van het lichaam als volumegeleider kan uit de potentiaalverdeling die gemeten is op het oppervlak van de torso, de generator in het hart worden berekend. De generator wordt meestal beschreven door een dipoollaag of door een of meer dipolen die bewegen. Men noemt deze berekening de oplossing van het inverse probleem. Deze berekeningen kunnen bijvoorbeeld gebruikt worden om te bepalen waar een ritmestoring ontstaat. Dit gebiedje kan dan via een katheter in het hart worden vernietigd. Zoals we in intermezzo 3B hebben gezien geeft iedere dipool met dezelfde randkromme dezelfde potentiaal. Dus een gemeten potentiaal kan het gevolg zijn van verschillende dipoollagen. Dus kan uit de potentiaal niet de exacte ligging van het dipoolfront bepaald worden. De oplossing van het inverse probleem is niet uniek. 1 Zie: http://www.sci.utah.edu/sci_images/images8.html voor een versie in kleur. 35 3.6 Het meten van een elektrocardiogram 3.6.1 Inleiding Het doel van het maken van een elektrocardiogram is het vergaren van informatie over de elektrische processen die zich in het hart van een bepaald individu afspelen. Hieruit kan men conclusies trekken over het al dan niet naar behoren functioneren van het hart. De gewenste informatie is alleen via het lichaam en de huid op eenvoudige manier te verkrijgen. Een nadeel hiervan is dat de gewenste informatie vervormd en verstoord wordt. Er moet dan ook grote zorg besteed worden aan het verwerken van de signalen. In figuur 6.1 is de basismeetopstelling voor het maken van een elektrocardiogram getekend. De signalen zijn afkomstig van (minimaal twee) op de huid bevestigde elektrodes. De elektrodes zijn verbonden Figuur 6.1 Elektrocardiografische meetopstelling met de ingangen van een differentiële versterker die het potentiaalverschil tussen de twee elektrodes, het te meten signaal dus, versterkt. Het uitgangssignaal van deze differentiële versterker kan vervolgens zichtbaar gemaakt worden met behulp van een monitor of een papierrecorder. 3.6.2 De elektrodes De elektrodes die bij elektrocardiografie gebruikt worden, worden huidoppervlakte elektrodes genoemd. Zo'n elektrode bestaat uit een geleidend plaatje metaal dat aan de ene kant in goed contact met de huid wordt gebracht, bijvoorbeeld via een geleidende gel, en aan de andere kant geleidend verbonden is met de differentiële versterker. Het belangrijkste bestanddeel van de gel is water met daar aan toegevoegd zouten, zoals keukenzout en kalium chloride. Het materiaal waarvan de elektrode gemaakt mag niet reageren met chemische verbindingen die op of in de huid voor kunnen komen. Geschikt zijn bijvoorbeeld verzilverd materiaal met een zilverchloride coating. Als zo’n Ag/AgCl elektrode in contact wordt gebracht met een geleider waar de geleiding plaats vindt door ionen, zoals weefsel, dan vinden er onder de elektrode elektrochemische veranderingen plaats, die reversibel of irreversibel kunnen zijn. De volgende vergelijking beschrijft de reversibele veranderingen die kunnen optreden: Ag + Cl- ⇔ AgCl + eDe chloride-ionen zijn de ladingsdragers in het weefsel en de elektronen zijn de ladingsdragers in het zilver. Als er irreversibele veranderingen plaats vinden onder de elektrode (de interface tussen elektrolyt en metaalelektrode) dan zal er een potentiaalverschil ontstaan over de elektrode. Deze potentiaalverschillen fluctueren en vormen belangrijke ruisbronnen in elektrische metingen. Zilver/zilverchloride elektroden zijn zeer stabiel. De gebruikte elektroden mogen niet van verschillend materiaal zijn gemaakt aangezien dit relatief grote potentiaalverschillen kan veroorzaken die het signaal kunnen verstoren. De vorm van de elektrodes moet zo zijn, dat kleine bewegingen ten opzichte van de huid zo min mogelijk storende signalen (ruis) opleveren. 36 Bij het gebruik van de elektrodes moet gecontroleerd worden of ze goed contact maken met de huid. Als een van de elektrodes los zit geeft dit een zeer wild beeld op het ECG (zie figuur 6.2). Figuur 6.2. Elektrocardiogram van een patiënt met een losse elektrode. 3.6.3 De differentiële versterker Bij het maken van een elektrocardiogram gaat het niet om de signalen die elk van de elektrodes afgeeft, maar om het verschil tussen de signalen van (minimaal) twee elektrodes die op de huid van de proefpersoon geplaatst zijn. We willen immers de potentiaalverschillen tussen verschillende plaatsen op de huid meten die veroorzaakt worden door de activiteit van het hart. Versterkers die de verschillen tussen twee signalen versterken heten differentiële versterkers. Het te meten potentiaalverschil varieert tussen de -1 en +1 mV, terwijl de frequenties van de te meten verschijnselen tussen de 0,05 Hz en 100 Hz in liggen. Het is van het grootste belang dat ongewenste informatie, de zogenaamde common-mode signalen (veroorzaakt door het oppikken van 50 Hz en 100 Hz signalen van het lichtnet door de elektrodes, ruis, en andere stoorsignalen), onderdrukt wordt. Hiertoe hebben de in de elektrocardiografie gebruikte versterkers een common-mode onderdrukkingsniveau (CMR) van 100-120 dB. Versterkers die deze eigenschap hebben zijn differentiële versterkers. Bovendien worden 50 en 100 Hz signalen en signalen met frequenties hoger dan 100 Hz uit het meetsignaal weggefilterd. Figuur 6.3: ECG-signaal voorgesteld als spanningsbron met amplitude van 1 mV in serie met een weerstand van 10 kΩ. Als de huid goed geprepareerd is dan is de weerstand van de elektroden minder dan 10 kΩ. In figuur 6.3 kan het ECG worden beschouwd als een spanningsbron van 1 mV in serie met een bronweerstand van 10 kΩ. De weerstand representeert de weerstand van de huid plus die van de elektrode. Als R = 1 MΩ dan is de spanning over deze weerstand 1MΩ 100 × 1mV = × 1 mV 1MΩ + 10kΩ 101 (6.3.1) Dus de fout in het gemeten ECG signaal is ongeveer 1%. 37 Conclusie: Bij elektrofysiologische metingen moeten de weerstand van bron en elektrode ongeveer bekend zijn en de ingangsweerstand van de versterker moet veel hoger zijn dan de weerstand van bron plus elektrode. 3.6.4 Weergave metingen Uiteindelijk zal het versterkte meetsignaal zichtbaar gemaakt moeten worden. Men kan dan kiezen voor het direct en continu zichtbaar maken van het signaal of voor een meer duurzame opslag. Men kan het versterkte meetsignaal direct zichtbaar maken met een oscilloscoop. Het voordeel hiervan is dat het signaal continu in de gaten kan worden gehouden, bijvoorbeeld als er direct gevaar voor een hartstilstand is (intensive care). Wil men echter een diagnose maken aan de hand van een elektrocardiogram, dan is een vrij uitgebreide analyse van het signaal noodzakelijk. Hiertoe moet men een meer duurzame vorm van opslag gebruiken, zoals een recorder waar een pen het signaal op een continu doorlopende rol millimeterpapier schrijft. ECG-apparatuur is zo geijkt dat een spanningsverschil van 1 mV overeenkomt met 10 mm. Een tijd van 1 seconde komt overeen met 25 mm. Het hart trekt in 24 uur ongeveer 100.000 keer samen. Als zo’n opname op papier wordt weergeven dan is het papier 1.26 km lang. Dus opslag van het signaal in een computergeheugen en geautomatiseerde analyse is voor 24-uurs recording van groot belang. 3.6.5 Standaardisatie De Nederlander Willem Einthoven is als eerste ECG gaan gebruiken voor de diagnose van hartziektes (1906). Hij heeft hiervoor een Nobelprijs gekregen. Hij benoemde de golven in het ECG; P-golf, QRS-complex, T-golf. Door Einthoven werden ook drie standaardafleidingen om elektrocardiografische metingen te verrichten geïntroduceerd. Hierbij worden er drie elektrodes geplaatst: één bij de rechter arm (R), één bij de linkerarm (L) en één bij het linkerbeen (F). Vervolgens worden de volgende potentiaalverschillen gemeten: lead I = L - R lead II = F - R lead III = F - L Hierin staan de hoofdletters L, R en F voor de potentiaal van de elektrodes L, R en F respectievelijk, en bijvoorbeeld L - R voor het potentiaalverschil tussen L en R (zie figuur 6.4). Uit de bovenstaande definities blijkt dat meetsignaal II gelijk moet zijn aan de som van meetsignaal I en meetsignaal III. Figuur 6.4. standaardafleidingen van Einthoven 38 Er zijn nog negen standaardafleidingen: aVR, aVL, aVF en V1 t/m V6. De afleidingen aVR, aVL en aVF zijn gebaseerd op dezelfde drie elektrodes R, L en F als de methode van Einthoven, alleen wordt nu bij iedere elektrode niet het potentiaalverschil met één van de twee andere elektrodes gemeten, maar het potentiaalverschil met het gemiddelde van de potentiaal van de andere twee elektrodes (zie figuur 6.5). De gemeten potentiaalverschillen zijn: aVR = R - (L + F)/2; aVL = L - (R + F)/2; aVF = F - (R + L)/2 Figuur 6.5 De standaardafleidingen aVL, aVR, aVF, V1 t/m V6 De afleidingen V1 t/m V6 meet men met elektrodes die op de borst worden aangebracht. De potentialen van de oorspronkelijke drie elektrodes worden gemiddeld. De gemeten potentiaalverschillen zijn Vi - (R + L + F)/3 waarin i de waarden 1 t/m 6 kan aannemen. 3.6.6 De hartritmemeter In het college Meten aan Mensen 1 heeft u een hartritmemeter gebruikt. De werking van de hartritmemeter wordt hier in het kort besproken. De elektrodes die gebruikt worden in de band die u omdoet bij het bepalen van het hartritme zijn flexibel en zijn gemaakt van polymeren die elektrisch geleidend zijn gemaakt door toevoeging van koolstof of metaaldeeltjes. De meter bestaat uit twee delen: de riem en het horloge. In intermezzo 6A wordt het blokdiagram van het gedeelte van de hartritmemeter dat zich in de riem bevindt besproken. In het horloge bevindt zich de ontvanger. Intermezzo 6A - Beschrijving meetdiagram hartritmemeter Ieder signaal dat een functie is van de tijd kan worden geschreven als een som van sinusvormige signalen. Deze sinusvormige signalen worden harmonische functies genoemd. Het ECG is te schrijven als een som van sinusvormige signalen die allen een frequentie hebben tussen 1 en 100 Hz. In andere woorden; het ECG ligt in de frequentieband van 1 – 100 Hz. Signalen die buiten deze frequentieband liggen, zoals ademhaling en instrumentatieruis kunnen met filters worden verwijderd. 39 Figuur 6A.1 Blokdiagram van gedeelte ritmemeter dat in de riem zit Het blokdiagram van het gedeelte van de hartritmemeter dat zich in de riem bevindt is getekend in figuur 6A.1. De twee elektrodes (E) zijn in contact met de borst van de patiënt. De afstand tussen de elektroden is zo gekozen dat het potentiaalverschil dat gemeten wordt groot is. Het potentiaalverschil vormt het ingangssignaal van de versterker (V). Deze verschilversterker heeft een hoge ingangsweerstand, dus de ingangsstroom is zeer klein. Het signaal dat uit de versterker komt is weergegeven in figuur 6A.1-1. Om de signaal-ruis verhouding te verbeteren wordt het signaal gefilterd door het bandpassfilter (BPF1). Het gefilterde signaal is getekend in figuur 6A.1-2. Met detector D worden alle signalen die boven een drempelwaarde liggen, geselecteerd. De drempelwaarde is zo gekozen dat de QRS-complexen worden gedetecteerd. Het signaal na de detector is getekend in figuur 6A.13. Eisen die aan het ontwerp van de ritmemeter zijn gesteld zijn onder meer: de meter moet goedkoop zijn, hij moet kleine afmetingen hebben, hij moet niet erg storingsgevoelig zijn en hij moet zijn vermogen uit een celbatterij betrekken. De antenne voor de ontvangst van frequenties tot 100 Hz zou zeer lang moeten zijn of er zou een zeer hoog vermogen nodig zijn om het signaal te verzenden. Daarom moet het signaal worden omgezet naar hogere frequenties. Dit omzetten naar een signaal met hogere frequenties gebeurt met de modulator (M). De draagfrequentie (met hoekfrequentie ω = 2πν) wordt gedefinieerd door de oscillator (OSC). Er zijn drie manieren om het signaal S(t) te moduleren: • S' ( t ) = S( t ) cos(ωt ) amplitudemodulatie (AM) (dit signaal wordt weergegeven in figuur 6A.1-4) 40 (6A.1) • fasemodulatie (PM) S ' (t ) = A0 cos(ωt + kS (t )) (6A.2) t • frequentiemodulatie(FM) S ' (t ) = A0 cos(ωt + k ³ S (t )dt ) (6A.3) 0 De voordelen van FM en PM vergeleken met AM zijn: 1. De gevoeligheid voor stoorvelden is minder (de beste kwaliteit radio programma’s is in het FM frequentiegebied 68 – 108 MHz). 2. Het gevolg is dat minder vermogen nodig is om bij de ontvanger een goede signaal – ruis verhouding te krijgen. Dat is van groot belang als de zender en ontvanger hun benodigd vermogen uit batterijen halen. Een nadeel van FM en PM is dat een grotere bandbreedte nodig is. Het gemoduleerde signaal wordt vervolgens versterkt (I), gefilterd door het bandpassfilter BPF2 en vervolgens uitgezonden via een ingebouwde antenne. De versterker bepaalt de afstand waarop het signaal nog kan worden ontvangen. Het bandpassfilter is nodig om de stoorsignalen die door de oscillator en modulator zijn geproduceerd, weg te filteren. Dit is nodig om aan de eisen te voldoen die aan de elektromagnetische comptabiliteit (zie hoofdstuk 9) worden gesteld. 3.6.7 Body surface mapping Men kan het potentiaalverloop tegelijkertijd registreren in veel plaatsen op het lichaam door veel elektroden (vaak plakt men meer dan 100 elektroden) te plakken en het potentiaalverschil te meten tussen elk van deze elektroden en een vaste referentieelektrode. De potentiaalverdeling kan gegeven worden in de vorm van een kleurenplot op een bepaald tijdstip van de hartcyclus (zie figuur 6.6). De potentiaalverdeling op een bepaald moment binnen de hartcyclus kan worden gebruikt om de oplossing van het inverse probleem te berekenen. Figuur 6.6. Stroomverdeling in lichaam en potentiaalverdeling aan oppervlak op een bepaald moment van de hartcyclus.1 1 Zie: http://www.sci.utah.edu/sci_images/images8.html voor een versie in kleur. 41 Sommige patiënten hebben naast de AV knoop en de bundel van His een extra elektrische verbinding tussen atria en ventrikels. Deze extra verbinding wordt een bundel van Kent genoemd. Prikkels die via de bundel van Kent van de atria naar de ventrikels worden geleid ondergaan geen vertraging zoals wel in de AV-knoop plaatsvindt. Dat is een reden waarom in zo’n geval in het ECG het QRS-complex al begint vaak nog voordat de P-golf volledig is verschenen. Men noemt dit het Wolff-Parkinson-White (WPW) syndroom. Het WPW syndroom wordt in het ECG gekenmerkt door een verkort PR-interval (< 0,12 s), een verbreed QRS-complex (≥ 0,10 s) en een deltagolf. Een deltagolf is een langzaam stijgend of dalend begin van het QRS-complex. Als men de plaats van de bundel van Kent weet, kan men deze extra verbinding vernietigen door bijvoorbeeld laser ablatie via een katheter. De oplossing van het inverse probleem kan worden gebruikt om, bijvoorbeeld, vast te stellen waar de bundel van Kent zich bevindt. De oplossing van het inverse probleem is in dit geval uniek omdat men weet dat de bundel van Kent goed beschreven kan worden door één dipool die zich in de tijd verplaatst. De nauwkeurigheid van de plaatsbepaling ligt in de orde van millimeters. 42 3.7 Het magnetocardiogram 3.7.1 Inleiding Zoals uit het voorgaande bleek, worden door actieve cellen stromen opgewekt. De stromen die langs het lichaamsoppervlak lopen, veroorzaken potentiaalverschillen. De registratie van het potentiaalverschil dat door hartactivatie wordt veroorzaakt tussen twee op de huid geplakte elektroden wordt een elektrocardiogram genoemd. Echter ieder stroompje wekt ook een magnetisch veld op. Het magnetisch veld is een vector, dus heeft een richting en grootte. Het magnetisch veld wordt gesymboliseerd door het symbool B . De registratie van een component van het magnetisch veld gemeten boven de borst heet een magnetocardiogram of MCG. Een MCG heeft dezelfde kenmerken als een ECG, namelijk een P-golf, een QRScomplex en een T-golf. Ook hersenen en spieren wekken een magnetisch veld op buiten het lichaam. De registratie van het magnetisch veld ten gevolge van hersenactiviteit wordt een magneto-encephalogram (MEG) genoemd en van spieractiviteit een magnetomyogram (MMG). Een overzicht is gegeven in tabel 7.1. Biomagnetisch signaal Magnetocardiogram Foetaal MCG Visual Evoked Field Sterkte in picotesla 50 1 0.1 Magnetomyogram 10 Magneto-oculogram 10 Magnetisch signaal Sterkte in tesla Veld van de aarde Veld gebruikt in MRI Maximum veld opgewekt in een laboratorium Stoorvelden ten gevolge van stedelijke omgeving luchtpompje in aquarium op een meter afstand 5 × 10-5 1,5 30 10-10-10-8 0.3 × 10-6 Tabel 7.1 Overzicht van magnetische veldsterkte. 1 picotesla = 1 pT =10-12 tesla 3.7.2 Het magnetisch veld ten gevolge van een stroomdipool Zoals gezegd, een actieve hartcel kan worden beschreven door een stroomdipool, bestaand uit een intracellulair stroompje, een stroombron en een stroomput. Binnen in de cel loopt een stroom van put naar bron, door de omliggende weefsels lopen de stromen van bron naar put, waarbij de stromen zich door het gehele lichaam verspreiden. De verdeling van deze stromen hangt af van de geleidbaarheid van de verschillende weefsels. Intermezzo 7A - Het magnetisch veld De wet van Biot en Savart Iedere stroom wekt een magnetisch veld op. Een stukje stroomdraad waardoor heen een stroom loopt geeft een magnetisch veld (zie figuur 7A.1) µ 0 Id l × e r B= 4π r 2 r met e r = is de eenheidsvector r 43 (7A.1) hierin staat een vectorproduct, I is de stroom door de draad, dl is de lengte van het stukje stroomdraad, r is de afstand tot de draad, er is een eenheidsvector gericht langs de verbinding tussen stroomelement en meetpunt en de constante µ0 is de permeabiliteit van vacuüm; µ0 = 4π×10-7Ns2/C2. Figuur 7A.1: Uitdrukking (7A.1) wordt de wet van Biot en Savart genoemd. Het magnetisch veld van een stroomgeleider met een wilkeurige lengte en willekeurige vorm kan worden berekend door de geleider in kleine stroomelementjes te verdelen en de bijdragen van al deze elementen aan het veld vectoriëel bij elkaar op te tellen (integreren). Dit geeft voor het magnetisch veld van een stroom door een oneindig lange stroomdraad, B= µ0I 2πr (7A.2) De veldlijnen vormen cirkels rond de draad (zie figuur 7A.2). Figuur 7A.2: Magnetische veldlijnen van een stroom door een rechte draad. Magnetische materialen In materie is het magnetisch veld een factor µr groter. Deze factor wordt de permeabiliteit genoemd en is een eigenschap van de materie. Er zijn drie soorten materialen te onderscheiden: • diamagnetisme: de permeabiliteit µr ≈ 1, maar iets kleiner dan 1 • paramagnetisme: de permeabiliteit µr ≈ 1, maar iets groter dan 1 • ferromagnetisme: de permeabiliteit µr kan een heel hoge waarde hebben (bijvoorbeeld 100.000), deze waarde is afhankelijk van de behandeling van het materiaal. Wanneer men er bijvoorbeeld met een hamer op slaat verandert de waarde. Ferromagnetische materialen zijn onder meer ijzer, nikkel, gadolinium en kobalt. Voor menselijk weefsel geldt in zeer goede benadering µr = 1. Gezond menselijk weefsel is diamagnetisch met uitzondering van zuurstofarm bloed dat paramagnetisch is. Dit laatste 44 vindt zijn toepassing in ''functional MRI" waar de overgang van zuurstofrijk naar zuurstofarm bloed in de hersenen wordt afgebeeld. Deze overgang hangt samen met activiteit in de hersenen. Dus de actieve gebieden in de hersenen worden hiermee afgebeeld. Bij patiënten die lijden aan de erfelijke ziekte hemochromatose is er een overmaat van ijzer in de lever. De lever is in dit geval paramagnetisch. Door zeer nauwkeurig het magneetveld te meten, kan de overmaat van ijzer worden bepaald. Intermezzo 7B - Magnetisch veld van stroomdipool Een stoomdipool bestaat uit een stroomelement. Volgens de definitie is de sterkte van de stroomdipool p = Il. We kunnen dus met behulp van formule (7A.1) het magnetisch veld van p een stroomdipool uitrekenen. Een stroomdipool in de oorsprong van een carthesisch coördinatensysteem geeft in een punt op afstand r van de dipool een magnetisch veld µ 0 p × e r r B= met e r = 2 4π r r (7B.1) Hieruit volgt: de component van het veld parallel aan de dipool is nul. In het geval dat de dipool zich bevindt in een oneindig uitgestrekte geleider, geven de stromen in de volumegeleider geen bijdrage tot het veld. Dus het veld wordt in dat geval gegeven door bovenstaande vergelijkingen. Als de volumegeleider een homogene geleidende bol is dan is het totale magneetveld (dus het veld van de stroomdipool plus het veld van de stromen in de volumegeleider) van een radiële stroomdipool nul. Voor een tangentiële stroomdipool is de bijdrage van de stromen in de homogeen geleidende bol nul. Als de stroomdipool zich in een geleider bevindt die bestaat uit concentrische bollen, waarvan ieder bolschil een andere geleidbaarheid heeft, dan geldt voor een radiële dipool dat het totale veld nul is en dat voor tangentiële dipolen de bijdrage van de volumestromen nul is. Een hoofd van een mens wordt vaak beschreven door een concentrisch driebollenmodel. De binnenste bol beschrijft de hersenen, de schil daaromheen de schedel en de buitenste schil beschrijft de hoofdhuid. Men gebruikt dit model vaak om de bron te lokaliseren. De berekening van de oplossing van het inverse probleem kan voor dit model met een analytische methode. Bij patiënten met epilepsie kan bijvoorbeeld uit magnetisch metingen het gebiedje van de hersenen worden bepaald waar de epilepsie ontstaat (het epileptisch focus). Als de plaats van dit gebiedje bekend is, kan het operatief worden verwijderd. In figuur 7B.1 zijn magnetische velden ten gevolge van een stroomdipool getekend. Figuur 7B.1: “isoveldlijnen” van de z-component van het magnetisch veld in het vlak z=d ten gevolge van een stroomdipool in de oorsprong van een oneindig uitgestrekt homogeen medium. De dipool bevindt zich in het vlak z=0 en is gericht in de richting van de y-as. 45 3.7.3 Het meten van een MCG Zoals uit tabel 7.1 blijkt, zijn de magneetvelden ten gevolge van elektrische activiteit in het lichaam, de zogenaamde biomagnetische velden, extreem zwak. Het QRS-complex in een foetaal MCG bijvoorbeeld is een factor miljoen keer zwakker dan het magnetisch veld van de aarde. Daarom vinden de meeste biomagnetische metingen in een magnetisch afgeschermde kamer plaats. De enige sensor die gevoelig genoeg is om deze zwakke velden te detecteren is een SQUID (Superconducting QUantum Interference Device). Een SQUID moet worden gekoeld door vloeibaar helium. Bij biomagnetische metingen wordt gebruik gemaakt van het zogenaamde gradiometer principe. Het veld wordt via een spoel opgepikt die zich vlak boven het hart bevindt. Dat veld bestaat dus uit het veld van het hart plus het veld ten gevolge van stoorbronnen. Ook wordt het veld opgepikt dat zich bevindt op enige afstand van de borst. Dat veld bestaat hoofdzakelijk uit het veld ten gevolge van stoorbronnen. Als de stoorbronnen zich op enige afstand bevinden dan zijn deze velden meer of minder homogeen. Dus als we de metingen door beide spoeltjes van elkaar aftrekken dan meten we hoofdzakelijk het veld ten gevolge van het hart. Bovendien is de signaalverwerking belangrijk, aangezien de signaal-ruis verhouding in de ruwe signalen niet hoog is. Onder signaalverwerking wordt verstaan het filteren en middelen van de signalen. In figuur 7.1 wordt de meetopstelling schematisch weergegeven. Figuur 7.1: Meetopstelling voor foetaal magnetocardiografie. 46 Intermezzo 7C - Supergeleiding Sommige materialen worden bij extreem lage temperaturen supergeleidend. Supergeleiders zijn perfecte geleiders, hun weerstand is nul. De temperatuur waar beneden de weestand nul is wordt de kritische temperatuur genoemd. Tot 1986 waren er slechts materialen bekend waarvoor de kritische temperatuur beneden de 30 kelvin lag. In 1986 zijn er materialen ontdekt met een kritische temperatuur tussen 30 en 100 kelvin. Om beneden de kritische temperatuur te komen worden de materialen gekoeld door vloeibaar helium met een temperatuur van 4,2 kelvin of vloeibare stikstof met een temperatuur van 77 kelvin. Als er in een gesloten winding van supergeleidend materiaal een stroom loopt dan blijft deze stroom lopen, de sterkte verandert niet en het kost geen extra energie om de stroom te laten lopen. Koelen met vloeibare stikstof is goedkoop, echter de materialen met een voldoend hoge kritische temperatuur zijn keramische materialen en zijn daarom moeilijk te bewerken Voor MRI is een zeer sterk homogeen magneetveld nodig. Veel ziekenhuizen hebben een MRI waar dit veld 1,5 tesla is, er zijn ook MRI's met een hoger veld. Veel van deze MRI’s hebben een supergeleidende magneet. Om niet te vaak helium te hoeven bij te vullen is de heliumcontainer veelwandig. Rond de heliumruimte bevindt zich een ruimte waar vacuüm heerst. Hieromheen bevindt zich een ruimte met vloeibare stikstof en daaromheen bevindt zich weer een vacuümruimte. 3.7.4 Het foetale magnetocardiogram De foetus wordt omgeven door vruchtwater. Het vruchtwater heeft een hogere geleidbaarheid dan het omliggende weefsel. Omstreeks de dertigste week van zwangerschap vormt zich rond de foetus een door de huid afgestoten laagje dat elektrisch zeer slecht geleidend is. Dit isolerende laagje wordt de vernix caseosa genoemd. Dit betekent dat in het tweede trimester van zwangerschap de stromen die in het hartje van de foetus worden opgewekt zich concentreren in het vruchtwater. In het derde trimester van zwangerschap kunnen de stromen door de aanwezigheid van de vernix caseosa de foetus nauwelijks verlaten. Dus concentreren dan de stromen zich in de foetus. Er lopen vrijwel geen volumestromen aan het oppervlak van de moederbuik. Het gevolg is dat op de moederbuik nauwelijks potentiaalverschillen ontstaan. Dit betekent dat een foetaal ECG met twee elektroden geplakt op de moederbuik vaak te zwak is om te meten. Een foetaal MCG is wel meetbaar. 47 3.8 Het elektrocardiogram en medische diagnose 3.8.1 Normale ECG's Op basis van het elektrocardiogram van een patiënt kan een arts de mogelijke aanwezigheid van een groot aantal (hart-)afwijkingen afleiden, zoals: verschillende vormen van hartritmestoornissen, vroegtijdige samentrekking van (delen van) de hartspier, hartinfarct, aangeboren afwijkingen in het hart, afwijkingen in de voortplanting van de hartimpuls, enzovoorts. Voor een definitieve diagnose zijn meestal secundaire technieken nodig. Voordat we een afwijkend ECG bespreken, zullen we eerst het een en ander zeggen over het elektrocardiogram van een individu met een gezond hart. Figuur 8.1: Duur van het QRS-complex als functie van de leeftijd voor kinderen. In figuur 8.1 is de duur van het QRS-complex als functie van de leeftijd gegeven voor kinderen. De studie is uitgevoerd in Canada, de ECG's waren afkomstig van 2141 blanke kinderen in de leeftijd tussen 0 en 16 jaar. De totale leeftijdsgroep was onderverdeeld in 12 leeftijdsgroepen (zie tabel 8.1). De anthropometrische karakteristieken, namelijk gewicht, lengte, en lichaamsoppervlak kwamen redelijk goed overeen met die van de Noord Amerikaanse populatie. Groep Leeftijd Jongens meisjes Totaal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Totaal 0 – 24 uur 1 – 3 dagen 3 – 7 dagen 1 – 4 weken 1 – 3 maanden 3 – 6 maanden 6 – 12 maanden 1 – 3 jaar 3 – 5 jaar 5 – 8 jaar 8 – 12 jaar 12 – 16 jaar 85 85 88 59 51 44 60 94 114 114 110 105 1009 104 94 93 60 64 65 78 98 98 112 124 142 1132 189 179 181 119 115 109 138 192 212 226 234 247 2141 Tabel 8.1. Leeftijd- en sekse- verdeling van de populatie waarvan de duur van het QRS-complex is weergegeven in figuur 8.1. 48 De duur van het QRS-complex is zowel via een computerprogramma als visueel uit de papierregistratie bepaald. De intervalduur bepaald door de computer was 4 tot 6 ms langer. De metingen zijn na korte tijd herhaald. De grootste fouten waren het gevolg van de positionering van de elektroden. Op grond van resultaten als in figuur 8.1 definieert men een normaal ECG. Over het algemeen liggen “normale” waarden in het bereik van 2de tot het 98ste percentiel. De duur van het QRS-complex, zoals gegeven in figuur 8.1, was gemeten in afleiding V5 omdat in die afleiding het begin het eenvoudigst was vast te stellen. In sommige afleidingen wijkt het begin of eind van het QRS-complex nauwelijks af van de basislijn. In figuur 8.2 zien we een normaal elektrocardiogram, waarmee we het elektrocardiogram van een individu bedoelen dat geen afwijkingen heeft die in het elektrocardiogram tot uitdrukking kunnen komen. Het herkennen van een elektrocardiogram als zijnde normaal is echter geen sinecure, aangezien een groot aantal factoren van invloed kan zijn op de vorm van het elektrocardiogram. Zo vertoont het elektrocardiogram van een (gezond) kind in afleidingen V1, V2 en V3 een negatieve T-golf in plaats van een positieve, zoals bij volwassenen. Ook de oriëntatie van het hart in de borstkas varieert van individu tot individu, wat uiteraard ook gevolgen heeft voor de vorm van het elektrocardiogram. Andere factoren die van invloed kunnen zijn, zijn gebruik van sommige medicijnen, longziekten, herkomst en het fysieke uiterlijk van het individu. Figuur 8.2. Een normaal elektrocardiogram Men kan de karakteristieken in het elektrocardiogram waar de arts zijn informatie uit kan halen in twee groepen onderverdelen: 1. de tijd tussen opeenvolgende hartslagen, de periodiciteit van het signaal, waaruit de arts informatie over het hartritme, hartritmestoornissen en hun eventuele oorzaak kan halen. 2. de vorm van het signaal tijdens een hartcyclus, waaruit de arts informatie over de vorm van het vectorcardiogram kan halen. 49 3.8.2 ECG in geval van hartafwijkingen Omdat vele afwijkingen van het hart gepaard gaan aan een gestoorde voortplanting van het golffront, betekent dit dat deze afwijkingen ook een afwijkend elektrocardiogram veroorzaken. Het normale hartritme wordt een sinusritme genoemd. Afwijkingen van het normale ritme worden arrhythmia genoemd. Als de geleiding tussen de atria en ventrikels volledig wordt geblokkeerd dan spreekt men van een AV hartblok. Cellen in de AV knoop of cellen distaal van het blok zullen de pacing overnemen. Echter, het ritme van andere cellen dan SA knoop ligt een stuk lager. Men noemt zo’n ritme een bradycardie. Vrijwel altijd is dan een pacemaker de aangewezen therapie. Als voorbeeld van een hartafwijking waarvan de diagnose met behulp van ECG is te stellen bespreken we een afwijking die bekend staat als een rechter bundeltakblok. De rechtertak van de bundel van His is in dit geval onderbroken is en kan de hartimpuls niet naar de rechterkamer geleiden. De gevolgen zijn a) dat het depolarisatiegolffront pas later bij de rechterkamer aankomt (de “snelle” route door de bundel van His is immers geblokkeerd) en b) dat de depolarisatie van de rechterkamer langer duurt (want de vertakkingen van het Purkinje systeem zijn niet meer bruikbaar). De gevolgen voor het elektrocardiogram zijn: - een verbreding van het QRS-complex, vooral in het laatste gedeelte; - een prominente tweede positieve golf in het V1-signaal; - een brede S-golf in het V6-signaal. In figuur 8.3 zien we het elektrocardiogram van een patiënt met een rechter-bundeltakblock. Figuur 8.3. ECG van een patiënt met een rechter bundeltakblok 50 3.9 Veiligheid De patiënt moet uit veiligheidsoverwegingen gevrijwaard blijven van stromen door het lichaam. Ook moet de apparatuur betrouwbaar zijn en dus niet onnodig storing ondervinden. Bij aanbrengen van de elektroden op de huid (soms schuurt men de huid om een beter elektrisch contact te krijgen, bijvoorbeeld bij het meten van ‘evoked potentials’) moet men oppassen dat er geen bloed van een vorige patient op de elektrode zit. Denk aan HIV of hepatitis. 3.9.1 Introductie Ieder jaar sterven er in de VS ongeveer 1000 mensen door een elektrocutieongeval. Een veel groter aantal mensen hebben een niet-dodelijk ongeval ten gevolge van stroomdoorgang. Gelukkig is onze huid een redelijk goede isolator en vormt daardoor een bescherming. De weerstand van huid is gegeven in tabel 9.1. Conditie droge huid huid met elektrode gel Doorgeprikte huid Weerstand huid 93 kΩ 10,8 kΩ 200 Ω Tabel 9.1. Weerstand van 1 cm2 huid bij 60 Hz De weerstand van de huid hangt af van • de dikte (de dikte van de huid varieert en is afhankelijk van de plaats op het lichaam); • de vochtigheid; • de conditie (kapotte huid of huid dat litteken weefsel bevat verschilt in eigenschappen van dat van gezonde huid); • de temperatuur van de huid; • het potentiaalverschil. (Dit betekent dat de huid niet voldoet aan de wet van Ohm). Hulp aan slachtoffers begint met het verbreken van de elektrische verbinding. Als er geen schakelaar in de buurt is dan moet het slachtoffer met isolerend materiaal, zoals droog hout of touw, van de elektrische geleider worden verwijderd. De hulpverlener dient elektrisch contact met het slachtoffer te vermijden. Als het slachtoffer niet ademt, dan moet het slachtoffer beademd worden. Is er geen hartslag dan moet er hartmassage plaatsvinden en moet er onmiddellijk een arts met een hartdefibrilatie-apparaat worden geroepen. Zenuw- en spierweefsel kunnen door elektrische stroom worden gestimuleerd. Bij gebruik van elektrische apparatuur in de medische praktijk is de belangrijkste gevarenbron dat elektrische stromen door de patiënt hun weg vinden. Afgezien van verbrandingseffecten bij elektrische storingen waarbij veel energie vrijkomt, is het gevaar gelegen in de verstoring van de hartfunctie. Hierbij is primair de stroomdichtheid door het hartweefsel van belang, niet het in het lichaam gedissipeerde elektrische vermogen. De stroomweg door het lichaam is dus essentieel. Indien een deel van de hartspier door stroomdoorgang geactiveerd wordt buiten de normale cyclus om, kan deze hartactivatie zich uitbreiden waardoor ongecoördineerde contractiepatronen ontstaan, het zogenaamde kamerfibrileren, waarbij de pompfunctie wegvalt. Ook wanneer de elektrocuterende stroom wordt uitgeschakeld, blijft deze toestand bestaan. Dit leidt tot de dood. Het fibrilatieproces is slechts door een gecontroleerde stoomstoot, met behulp van op de borst geplaatste elektrodes, tot staan te brengen. Deze zogenaamde defibrilatie brengt de hartcellen gelijktijdig in dezelfde toestand waardoor het rondgaande fibrilatieverschijnsel wordt onderbroken en de SA-knoop de triggering weer kan 51 overnemen. Bij stroomdoorgang door de handen is het boven een bepaalde stroomsterkte onmogelijk de geleider los te laten. Deze stroomsterkte is afhankelijk van de frequentie. Stroomsterkte bij 50 Hz 0,5 – 2 mA > 2 mA 10 – 15 mA > 25 mA > 100 mA 30 – 200 mA Enkele ampères Reactie lichte trilling spiercontracties, pijndrempel pijnlijke schokeffecten, het slachtoffer kan zich niet bevrijden zeer sterke spiercontracties en verbrandingen ademhalingsmoeilijkheden, dit leidt tot dood door verstikking als stroom een paar minuten aanhoudt fibrilatie van de hartspier, dit verschijnsel is fataal als niet onmiddellijk defibrilatie wordt toegepast centrale zenuwstelsel geblokkeerd en verlamming van ademhalingsspieren, redding soms mogelijk door beademing. Tabel 9.2 Reactie bij stroomdoorgang van hand naar voet of tussen twee handen. De reactie is afhankelijk van de plaats van intreden en uittreden van de stromen, de frequentie, de wijze waarop de elektrodes zijn aangebracht en de conditie van de patiënt. Het blijkt dat de frequentie voor elektrische energiedistributie (50 of 60 Hz) wat dit betreft niet ongelukkiger had kunnen worden gekozen. Bij dierproeven is gebleken dat de overlevingskans bij in aanraking komen met wisselspanning als functie van de frequentie een minimum heeft bij de genoemde frequenties. Boven de 100 kHz treedt geen sensatie van schok en ook geen spiersamentrekking op, maar kan afhankelijk van het geabsorbeerde vermogen oververhitting van het lichaam plaatsvinden. Bij stroomdoorgang door het lichaam vloeit slechts een gedeelte van de totale stroom door het hart. De International Electrical Commission stelt als grens dat continu toelaatbare stroom tot een frequentie van 1 kHz maximaal 100 µA mag zijn. 3.9.2 Elektrische interferentie Elektromagnetische compatibiliteit wordt een steeds belangrijker item naarmate het gebruik van draagbare telefoons en computers toeneemt. Elektrofysiologische metingen zoals EEG en ECG zijn zeer gevoelig voor stoorvelden. Stoorvelden kunnen afkomstig zijn van elektrische apparatuur zoals liften, de airconditioner, computers en mobiele telefoons. Interferentie tussen apparatuur en elektrofysiologische metingen kan op verschillende manieren ontstaan: Een wisselend elektrisch veld in een stroomdraad veroorzaakt stromen in het lichaam • van een mens in de buurt van de stroomdraad doordat ertussen de stroomdraad en het lichaam een capaciteit zit. Een wisselend magneetveld rond een stroomdraad induceert magnetische potentiaal• verschillen en dus stromen in een menselijk lochaam of in de draden die naar de elektroden lopen (wet van Faraday). Dit effect blijkt te klein om enig effect op een ECG meting te hebben. Als, zoals in uw ritmemeter, het signaal radiografisch verzonden wordt naar een ont• vanger ondervindt de meting storing van apparatuur die zenders bevatten. Dit betekent dat uw ritmemeter gestoord wordt door die van uw buurman. 52 Intermezzo 9A - Afschatting storing door het elektriciteitsnet Tussen twee geleiders is er een capaciteit. Dus ook tussen de mens en het lichtnet. De capaciteit hangt onder meer af van de afstand tussen persoon en lichtnet en het postuur van de persoon. De capaciteit tussen mens en een niet afgeschermde kabel van het lichtnet is ongeveer 3 pF = 3×10-12F als de afstand tussen mens en kabel ongeveer een meter is. De spanning van het lichtnet heeft een effectieve waarde van √2 × 240 V en een frequentie van 50 Hz. Dus V = √2 × 240 × cos(2π50t) en dV/dt = √2 × 240 × 2π50 × cos(2π50t). Dan is de effectieve stroom door de mens dQ/dt = C dV/dt = 0.2 µA. Deze stroom gaat naar aarde via een capaciteit van ongeveer 30 pF. 53 3.10 Elektrische stimulatie 3.10.1 Interne pacemakers Zoals beschreven in hoofdstuk 8 is bij een volledig AV blok de voor de hand liggende therapie dat een pacemaker wordt aangebracht. De meeste pacemakers worden aangebracht bij patiënten met bradycardie gepaard gaande aan duizeligheid, flauw vallen of hart falen. Wereldwijd worden er 250.000 pacemakers per jaar geïmplanteerd. Een stroompuls wordt gezonden naar de elektrode die gebruikt wordt voor de stimulatie. De stroom die nodig is, hangt af van de vorm van de elektrode, de afmetingen van de elektrode, de plaats waar de elektrode wordt aangebracht, het soort cel dat wordt gestimuleerd en de duur van de puls. Hoe korter de puls duurt hoe groter de stroom moet zijn. De pacemaker kan via een ader vanuit de schouder in het rechter ventrikel worden aangebracht of rechtstreeks gedurende een operatie. Als gestimuleerd wordt met een unipolaire elektrode keert de stroom terug naar het pacemakerkastje. Dit kastje is vaak aangebracht in een spier in de borst. Typische waarden zijn: elektrodeoppervlak 10 mm2; weerstand weefsel 150-500 Ω; een stroomdichtheid van 100-1000 Am-2. Als de elektrode is aangebracht raakt het weefsel rond de elektrode ontstoken waardoor de afstand tussen elektrode en myocardium groter wordt en dus neemt de benodigde spanning toe. Uit veiligheidsoverwegingen wordt er een condensator in serie met de uitgang van de pulsgenerator geschakeld zodat er geen DC stroom (gelijkspanningsstroom) naar de elektrode of door het lichaam kan vloeien. De pacemakers moeten kunnen worden gesteriliseerd. Intermezzo 10A - Keuze voeding voor pacemaker Interne pacemakers geven vaak een rechthoekige puls met een duur van 1 ms en een amplitude van 10 mA aan het hart. De vraag is wat voor batterij is hier voor nodig en hoe lang gaat hij mee. Hieronder volgt een grove afschatting. Allereerst schatten we het benodigde vermogen. Als de weerstand van elektroden plus weefsel ongeveer 500 Ω is dan wordt er aan vermogen gevraagd ( ) 2 −2 × 500 = 50mW I2R = 10 (10.1.1) De meeste pacemakers leveren 70 slagen per minuut. Dus het vermogen van 50 mW wordt ongeveer eenmaal per seconde gevraagd gedurende een puls van 1 ms. Dus het benodigde gemiddelde vermogen is ongeveer 50 µW. Als we een pacemaker door een batterij laten voeden dan moeten we weten wat de uitgangsspanning moet zijn. De benodigde uitgangsspanning van de batterij is 10 mA × 500 Ω = 5 V. Een typische kleine lithium jodide celbatterij levert één ampère-uur. De stroom die door de batterij gedurende 1 microseconde per seconde moet worden geleverd is 10 mA. Dus de gemiddeld geleverde stroom is 10 µA. Dit houdt in dat de batterij ongeveer 1/10-5 uur ≈ 11 jaar kan meegaan. Dus we kunnen concluderen dat een kleine celbatterij jaren meegaat. 54 3.10.2 Defibrilatie Defibrilators zijn apparaten waarmee een elektrische schok aan het hart wordt toegediend. De veiligheidseisen voor een defibrilatie-apparaat zijn heel anders dan voor een ECG apparaat. Een ECG apparaat mag geen letsel veroorzaken, een defibrilatie apparaat moet het altijd doen, anders sterft de patiënt. Defibrilatie wordt toegepast bij kamerfibrilatie. De oorzaak van kamerfibrilatie is meestal ischemie van hartweefsel (dit is onvoldoende bloedtoevoer naar het myocardium). Fibrilatie kan echter ook worden veroorzaakt door een elektrische ontlading, drugs, elektrolytische verstoring, verdrinking of onderkoeling (atriumfibrilatie is niet zo gevaarlijk, aangezien het bloed nog wel in de kamers komt). Een hartspiercel is intrinsiek actief en is niet altijd elektrisch te stimuleren. (Met intrinsiek actief wordt bedoeld dat als de hartspier gedeeltelijk uit het lichaam wordt verwijderd dat hij blijft samen knijpen.) Hartcellen hebben een refractaire periode van ongeveer 250 ms, die begint na de depolarisatie. Gedurende de refractaire periode is het membraan ongevoelig voor een stimulus. Daarom moet de stimulatie langer duren dan als we bijvoorbeeld een skeletspier willen activeren. Er kunnen ook kortdurende pulsen worden gegeven, maar dan is de benodigde amplitude hoger. Een stroom van ongeveer 50 A is nodig. De weerstand hangt af van de afmetingen van de elektroden en de grootte van de patiënt. Voor een volwassene is deze weerstand ongeveer R = 50 Ω. Het vermogen dat dus nodig is = I2 R = 125 kW. De eerste fibrilators gebruikten het net en een transformator. Echter het maximale vermogen dat op deze manier verkregen wordt is te laag (ongeveer 15 kW, genoeg om een kind te defibrileren). Nu wordt het vermogen verkregen uit een geladen condensator. 55 56 4. Huiswerk In dit hoofdstuk staan de opgaven die in de vier weken gemaakt moeten worden. Hier zijn vragen bij die een concreet antwoord vereisen, maar er zijn ook opgaven waar een redenering, een stukje inzicht of een activiteit gevraagd wordt. Voor de (meeste) vragen waar een concreet antwoord gevraagd wordt staat het resultaat in paragraaf 4.2. 4.1 Opgaven 4.1.1 Week 1 Opgave 1 Leg uit waarom zogenaamde “evoked potentials” vaak worden gemeten in een kooi van Faraday. Opgave 2 Opgave 21.65 uit het boek Opgave 3 Lees paragraaf 18.7 in het boek “Physics” van Giancoli. Volgens de theorie in paragraaf 18.7 zullen moleculen bewegen van een gebied waar de concentratie hoog is naar een gebied waar de concentratie laag is (dit wordt diffusie genoemd). Figuur 1 laat een eenvoudig model van een hartcel in rust zien. Het enige ion waarvoor het membraan permeabel is, is het kalium ion. De concentratie van kalium ionen binnen de cel is veel hoger dan buiten de cel, dus volgens paragraaf 18.7 zullen de ionen van binnen naar buiten bewegen, echter in rusttoestand gebeurt dit niet. Wat weerhoudt de kalium ionen er van de cel te verlaten? Intracellular Extracellular + K i 135 mM + K o 4 mM –95 mV 0 mV Figuur 1. Het membraan is alleen permeabel voor kalium ionen. De concentratie van de kalium ionen is gegeven in millimol (mM). Opgave 4 Een zenuw of spiercel ligt gestrekt langs de x-as en is omgeven door een oneindig uitgestrekt homogeen geleidend medium. Een stroom io verlaat de cel in x = b en komt weer terug in de cel in x =-b. Geef een uitdrukking voor de stroomdichtheid j op een afstand r van de as in het x = 0 vlak. Laat zien dat voor punten ver weg van de bron en put de gevonden uitdrukking lijkt op formule 23.7. Opgave 5 De potentiaal van een stroomdipool in een oneindig uitgestrekte homogene isotrope geleider wordt gegeven door formule 3B.9. In deze formule is θ de hoek tussen r en de dipool, waarbij r de vector is van bronpunt (de dipool) naar meetpunt. In figuur 3.4 van het dictaat ‘Elektrocardiografie’ is de potentiaallijnen kaart getekend die we krijgen als gevolg van een stroomdipool in de y-richting. De oorsprong van het coördinatensysteem is geko- 57 zen op de plaats van de dipool. De dipool bevindt zich in een oneindig uitgestrekte homogene isotrope geleider. a) Laat zien dat in het vlak z = d, de potentiaal in punten waar geldt y = 0 gelijk is aan 0. b) Laat zien dat de afstand tussen de extremen gelijk is aan d√2, waarbij d de afstand is tussen dipool en meetvlak. Opgave 6 De potentiaal van een stroomdipool in een oneindig uitgestrekte homogene isotrope geleider wordt gegeven door formule 3B.9. In deze formule is θ de hoek tussen r en de dipool, waarbij r de vector is van bronpunt (de dipool) naar meetpunt. In figuur 3.5 van het dictaat ‘Elektrocardiografie’ is de potentiaallijnen kaart getekend die we krijgen als gevolg van een stroomdipool in de z-richting. De oorsprong van het coordinatensysteem is gekozen op de plaats van de dipool. De dipool bevindt zich een oneindig uitgestrekte homogene isotrope geleider. a) Waarom zijn de equipotentiaallijnen cirkels? b) Waarom wordt de afstand tussen twee opeenvolgende equipotentiaallijnen steeds groter. (Het potentiaalverschil tussen opeenvolgende potentiaallijnen is steeds hetzelfde). Opgave 7 Bekijk op Internet http://www-medlib.med.utah.edu/kw/pharm/hyper_heart1.html Beschrijf het verband tussen de mechanische en de elektrische verschijnselen gedurende een hart cyclus. Geef de betekenis van systole, diastole en diastasis. Opgave 8 In de figuur hiernaast is een actief neuron getekend dat zich gedraagt als een zogenaamd stroomquadrupool, twee stroomdipolen dicht bij elkaar. Een ladingsquadrupool is getekend in figuur 21.61 van Giancoli. Veronderstel een quadrupool bestaande uit twee even grote maar tegengesteld gerichte dipolen langs de x-as. De dipool gericht in de positieve xrichting bevindt zich in x = -x0, de dipool in de negatieve x-richting bevindt zich in x = x0. Gevraagd wordt de potentiaal in een punt (xP, 0) waarbij xP >> x0. 4.1.2 Week 2 Opgave 1 Oedeem is een abnormale opeenhoping van extracellulaire vloeistof in de interstitiële ruimte (ruimte tussen de cellen). Wat gebeurt er met het geleidingsvermogen van een weefsel als oedeem optreedt? Opgave 2 Download het programma http://www.ecgsim.org. Met behulp van dit programma kan je ECG’s en maps van de potentiaalverdeling op de torso simuleren. De volumegeleider bestaat uit drie compartimenten, het hart, waarbinnen bloed, de longen en de rest van de torso. Simuleer een hartinfarct en beschrijf de invloed op het ECG. Er is natuurlijk een verband met waar je het infarct simuleert en in welke afleiding het effect het grootste is. Ga dat na. Opgave 3 Het axon wordt omgeven door een membraan die de intra- en extracellulaire vloeistof van elkaar scheidt. Over het membraan staat een spanningsverschil van V = 70 mV. De dikte van het membraan is d = 6 nm. De dielectrische constante van het membraan is K = 7. 58 a) b) c) d) Wat is de elektrische veldsterkte in het membraan? Neem aan dat E in het membraan constant is. Wat is de capaciteit per m2? U mag het membraan beschrijven als een vlakke condensator. Wat is de lading per m2 op het oppervlak van het membraan? Wat is de kracht per m2 die de ionen aan weerszijden van het membraan op elkaar uitoefenen? De kracht is de lading op een vlak maal de elektrische veldsterkte ten gevolge van de lading in het andere vlak. Denk na over een factor 2. Het membraan is in contact met atomen. We schatten dat ieder atoom een diameter heeft van ongeveer 10-10m. Dus er zijn ongeveer 1020 atomen in contact met een m2 van het oppervlak. Veronderstel dat ieder atoom of neutraal is of een monovalent ion is. e) Wat is het aantal geladen atomen per m2? f) Welke fractie van de aanwezige atomen aan het oppervlak zijn geladen? Opgave 4 Deze opgave heeft tot doel de effectieve dielektrische constante Keff van een stukje weefsel te schatten. In een weefsel heeft alleen het membraan een capaciteit. figuur 1. (a) condensator met dubbele dikte; (b) twee identieke condensatoren in serie A. Twee identieke condensatoren met capaciteit C zijn in serie geschakeld, zie figuur 1. Dit stelsel kan door één enkele condensator worden vervangen. Wat is de capaciteit van deze condensator? figuur 2. Laag epitheelcellen B. Een epitheelcel kan in goede benadering worden beschreven door een cirkelvormig plat schijfje omgeven door een celmembraan (zie figuur 2). De dikte van het membraan is ongeveer een nanometer. De diëlektrische constante is 7. Gevraagd de capaciteit van één membraan te berekenen waarbij het membraan als een vlakke condensator beschouwd wordt met oppervlak O. C. De epidermis bestaat uit gestapelde epitheelcellen. De dikte van de cel is ongeveer een micron. De dikte van de epidermis is ongeveer 1 mm. We nemen als model voor de epidermis gestapelde cirkel- 59 vormige identieke schijfjes waarbij ieder schijfje van boven en onder begrensd wordt door een membraan. Het bovenoppervlak van een cel is O (m2). a) Wat is de capaciteit van de in serie geschakelde membranen? b) Wat is de vervangingscapaciteit als het stukje epidermis als één condensator wordt beschouwd? c) Wat is in dat geval de effectieve diëlektrische constante van het stukje huid? Opgave 5 Gegeven een ladingsdipool in de oorsprong van ons coordinatensysteem Laat zien dat als de dipool zich bevindt in een oneindig uitgestrekt homogeen isotroop medium, namelijk vacuüm, de potentiaal overal behalve in de oorsprong voldoet aan de wet van Laplace. Wat zijn de randvoorwaarden van dit probleem? Dat wil zeggen waar aan moet V voldoen in het oneindig e en in de oorsprong? Laat zien dat hier ook aan wordt voldaan. Opgave 6 Geef aan wat u allemaal moet weten als u het inverse probleem voor EEG wil oplossen. Opgave 7 Stel dat we een actief gebiedje in de hersenen kunnen beschrijven door een stroomdipool. Hoeveel metingen van de potentiaal op de hoofdhuid zijn er dan minstens nodig om het inverse probleem op te lossen. Opgave 8 Als u de geometrie van lichaamsdelen nodig hebt en u kunt volstaan met een standaard model dan kunt u deze informatie krijgen via het Internet, zoek op “visible man” en “visible woman”. http://www.nlm.nih.gov/research/visible/visible_human.html Gevraagd om een doorsnede van de thorax waar het hart op te zien is. 4.1.3 Week 3 Opgave 1 Een hartdefribillator geeft gedurende 5 ms een stroompuls van 20 A af aan het lichaam met weerstand 50 Ω. Wat is de geleverde energie? Opgave 2 Een pacemaker geeft een stroompuls van 1mA met een duur van 1ms. a) Hoeveel lading levert de pacemaker gedurende een puls? Neem aan dat de pacemaker iedere seconde een puls geeft. (In werkelijkheid geeft een pacemaker als hij een vast ritme heeft 72 pulsen per minuut). 60 b) Hoeveel pulsen geeft de pacemaker per jaar? c) Hoeveel lading levert de pacemaker in 10 jaar (dit is ongeveer de levensduur van de batterij). Druk de lading uit is Ah (ampère uur). De batterij levert gedurende zijn levensduur ongeveer 2Ah. De meeste lading wordt verbruikt in het elektrische circuit van de pacemaker. Opgave 3 Het is de bedoeling in deze opgave dat u een grove schatting maakt, het model dat wordt gebruikt is ook een zeer grove benadering van de werkelijkheid. Iemand raakt gedurende 0,1 seconde met een vinger een hoogspanningskabel (U = 12000 V) aan terwijl zijn voet contact maakt met de aarde (U = 0 V). De stroom gaat via een vinger (een cilinder met lengte 6 cm en straal 1 cm) via een arm (cilinder met lengte 60 cm en straal 5 cm), romp (cilinder met lengte 45 cm en straal 15 cm) en been (cilinder met lengte 98 cm en straal 7 cm) naar aarde. De gemiddelde geleidbaarheid van het menselijk lichaam 0,2 S/m. a) Wat is ongeveer de stroom door het lichaam? b) Welk genoemd lichaamsdeel krijgt het meeste vermogen? Neem aan dat de gemiddelde soortelijke massa van een mens ongeveer hetzelfde is als dat van water. Dus 1 cm3 mens weegt ongeveer 1gram. De hoeveelheid warmte om 1 kg mens een graad in temperatuur te doen stijgen is ongeveer 3500 J (zie tabel 19.1 boek). c) Is er dan een lichaamsdeel waarin het aanwezige water aan de kook komt? Opgave 4 Beschouw twee concentrische bolvormige elektroden; de ruimte tussen de bollen is gevuld met een materiaal met geleidingsvermogen σ. De binnenste bol heeft straal a en de buitenste bol straal b. Het potentiaalverschil tussen de bollen wordt constant gehouden. De stroomdichtheid in het geleidende materiaal dat zich tussen de elektroden bevindt wordt gegeven door j = σE . a) Bepaal de totale stroom I. b) Bepaal de totale weerstand R = V/I. c) Wat is de weerstand als b >> a? (hint: deel eerst teller en noemer door b) In de berekende uitdrukking blijkt de buitenste straal b irrelevant. De berekende uitdrukking wordt gebruikt om de weerstand tussen een kleine bolvormige elektrode en een elektrode op grote afstand te meten. Bijvoorbeeld de kleine elektrode bevindt zich diep in de hersenen en de tweede bevindt zich op het hersenoppervlak. Opgave 5 Sommige dieren (zoals sommige bacteriën, bijen, duiven, tonijnen) gebruiken het magnetisch veld van de aarde om zich te oriënteren. In hun lichaam bevinden zich stukjes magnetiet die samen een lijn vormen dat omgeven wordt door een membraan (zie figuur). Een magnetische bacterie gedraagt zich als een kompasnaald en laat zich richten door het magnetisch veld van de aarde. Stel het magnetisch moment van de bacterie is µ = 1,3 × 10-15Am2. Het aardmagnetisch veld ter plaatse van de bacterie is 5 × 10-5T. De lengte van de lijn gevormd door het magnetiet is ongeveer een micrometer. 61 a) Wat is het koppel dat de bacterie ondervindt? b) Hoe groot zijn dan de twee even grote maar tegengestelde krachten die samen het koppel vormen? Opgave 6 Sommige vissen (zoals haaien) beschikken over gevoelige elektroreceptoren waarmee ze het elektrisch veld voelen. Stel dat een vis zich passief laat meevoeren met een horizontale stroom in de oceaan. Stel de snelheid van het water is v. De verticale component van het aardmagnetisch veld is Bv. a) Waardoor ontstaat er een elektrisch veld in de vis. Waardoor ontstaat er een stroom in de vis? Hoe groot is de stroomdichtheid in de vis. Is er ook een stroom is de oceaan? Maak een schets waarin de relevante vectoren zijn aangegeven. b) Wat gebeurt er met een mens in een vliegtuig, gaan daar ook stromen in lopen? Opgave 7 In de figuur hiernaast is een magnetisch bloedstroom meter getekend. Bloed is geleidend, de elektrisch geladen deeltjes zijn ionen. Stel het magnetisch veld is B, de afstand tussen de elektroden is d (is de diameter van het bloedvat), de gemiddelde snelheid van het bloed is v en het gemeten potentiaalverschil is V. a) Geef het verband aan tussen B en V. b) Geef een uitdrukking voor de hoeveelheid bloed die per seconde door het bloedvat stroomt. Stel dat het bloedvat een diameter heeft van 5 × 10-3m. Het magnetisch veld is 3 × 10-2T en de gemeten potentiaal is 15 × 10-6V. c) Wat is de gemiddelde snelheid van het bloed? d) Hoeveel bloed is er per seconde door het bloedvat gestroomd? Opgave 8 Stel een axon bevindt zich langs de x-as. De depolarisatie vindt plaats tussen x = -b en x = b. Het potentiaalverschil tussen x = -b en x = b is V. De diameter van het axon is 4 µm, de geleidbaarheid is 0,25 S/m en U = 10 mV. a) Bereken de sterkte van de stroomdipool. In het xy vlak op een afstand y = 10mm van de dipool wordt het magnetisch veld gemeten. b) Hoe groot is dat magnetisch veld? Opgave 9 Gegeven een stroomdipool in de oorsprong. De dipool is gericht in de x-richting van ons coördinatensysteem. a) b) c) d) Bepaal Bz in het xz-vlak Bepaal Bz in een punt (0,y,d) Schets Bz voor de lijn x = 0 in het vlak z=d. Wat is de afstand tussen de extremen uitgedrukt in d. Lees MEG source estimation op INTERNET: http://www.ctf.com/Pages/page33.html. 62 4.1.4 Week 4 Opgave 1 Magnetische stimulatie kan worden gebruikt om neuronen te activeren. Stel dat de stimulator bestaat uit een cirkelvormige winding met straal a = 2cm. Stel dat het veld in een punt op de as op een afstand van 2 cm van de winding 2 T moet zijn. Voor een mens geldt dat in zeer goede benadering µ = µ0. a) Gevraagd de benodigde stroom door de winding. Stel dat het magnetisch veld lineair met de tijd in 100 µs verandert van 0 tot 2 Tesla. Laten we een cirkelvormig stukje geleider (hersenweefsel) bekijken dat evenwijdig ligt aan de winding, op een afstand 2 cm van de winding. De straal van de cirkel is r = 1 cm. Stel dat de flux in het cirkelvormige oppervlak gelijk is aan het veld in het middelpunt van de winding maal het oppervlak van de cirkel (in werkelijkheid is de flux kleiner). b) Bepaal het elektrisch veld in een punt P op de rand van het cirkelvormige oppervlak Het elektrisch geleidingsvermogen van de hersenen is 0,33 S/m. c) Wat is de stroomdichtheid in punt P van de hersenen? Om hersencellen te activeren is een stroomdichtheid nodig van 90 A/m2. Dat betekent dat voor deze stroomdichtheid kan je bijvoorbeeld het gebied in de motorisch cortex activeren waardoor bijvoorbeeld buiten jouw wil een vinger zich buigt. d) Geef aan hoe je kan zorgen dat een stimulator voldoend hoge stroomdichtheden opwekt.. Opgave 2 Elektrisch actieve neuronen genereren een magnetisch veld. Een meting van een component van het magnetisch veld dichtbij het hoofd als functie van de tijd wordt een magneto-encephalogram genoemd. De grootte van het magnetisch veld is in de orde van 10-13 T. Om een signaal-ruis verhouding van 10 te krijgen mogen de stoorvelden niet groter zijn dan 10-14 T. Het magnetisch veld van de aarde is ongeveer 5 × 10-5 T. a) Over welke hoek mag de detector vibreren zonder dat het de metingen stoort? Het magnetisch veld van de aarde heeft een gradiënt van ongeveer 10-11 Tm-1. Dit geldt in het vrije veld, in een ziekenhuis is de gradiënt veel groter, namelijk ongeveer 100 nTm-1 = 10-7 Tm-1. b) Over welke afstand mag de magnetometer bewegen zonder dat het de metingen verstoort. Om de magnetometer ongevoelig te maken voor homogene stoorvelden maakt men gebruik van een fluxtransformer, zie het figuur hiernaast. De fluxtransformer is supergeleidend (wordt gekoeld door kokend helium). Daarom is de flux in de fluxtransformer constant (immers omdat er geen weerstand is werkt de wet van Lenz perfect, iedere verandering van flux in de flux in de fluxtransformer wordt opgeheven door een stroom door de fluxtransformer). De onderste twee wikkelingen zijn even groot maar tegengesteld gewikkeld. De flux door het bovenste spoeltje wordt gekoppeld naar de magnetische sensor. c) Leg uit waarom de fluxtransformer werkt. 63 Opgave 3 Een MRI apparaat bevat verschillende magneten. Een daarvan zorgt voor een constant homogeen veld, Stel dat dit constante magneetveld wordt opgewekt door een strak gewonden solenoïde die supergeleidend is. Alle draden liggen zo goed mogelijk naast elkaar in een laag en als het nodig is dan zijn er meerder lagen aanwezig. Het constante magneetveld heeft een sterkte van 1,5 Tesla. De stroom is 200 A en de dikte van de draad is 1 mm. De diameter van de solenoïde is 1,3 m en de lengte is 2 m. Beschouw de solenoïde als lang. Hoeveel meter draad is nodig om deze solenoïde te wikkelen? Opgave 4 a) Leg uit waarom een kamer die wanden heeft van 2 cm dik aluminium gebruikt kan worden voor biomagnetische metingen, zoals bijvoorbeeld een magnetocardiogram. b) Voor wat voor wisselend magnetisch veld helpt zo’n kamer beter: een veld met een frequentie van 1 Hz of een veld met een frequentie van 100 Hz? Opgave 5 Wat wordt bedoeld met 98ste percentiel? Opgave 6 Stel een kind van 6 jaar heeft een QRS-complex met een duur van 80 ms, is dit normaal? Wat moet je meer weten om de vraag te beantwoorden. Opgave 7 Stel je meet een visueel opgewekte potentiaal via elektroden op het hoofdoppervlak (dit is de potentiaal die na het aanbieden van een visuele prikkel zoals een lichtflits op het oppervalk van het achterhoofd (boven de visuele cortex) verschijnt. De signaal-ruis verhouding in deze metingen is zeer slecht. Wat voor oorzaken kan je daarvoor bedenken. Wat voor oplossingen kun je daarvoor bedenken. Opgave 8 Kijk naar het volgende adres http://www.who.int/health_topics/electromagnetic_fields/en/ Geef aan of elektromagnetische verschijnselen in onze omgeving mogelijk van invloed zijn op onze gezondheid. Denk aan mobiles, extremely low frequency fields, radar etc. Opgave 9 De meeste tijdschriften waarop de UT is geabonneerd kunt u vinden op Internet. (Ga naar de homepage van de UT, ga dan naar diensten, kies het Dinkelinstituut, kies vervolgens Wetenschappelijke informatiebronnen en vervolgens zoeken naar elektronische tijdschriften gerangschikt naar alfabet.) Zoek op en lees één van de volgende artikelen en maak er een uittreksel van. A. Hirata, K. Caputa, T.W.Dawsond, M.A.Stuchly, “Dosimetry in models of child and adult for lowfrequency electric field”, IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 48, Sept. 2001, pp. 10071012. F.S. Barnes, “The effects of time varying magnetic fields on biological materials”, IEEE Transactions on Magnetics, 26, 5, Sept. 1990, pp. 2092-2097. D. Noble, “Modeling the heart-from genes to cells to the whole organ”, Science, 295, March 2002, pp. 1678-1682. Opgave 10 Een patiënt die in een MRI ligt wordt blootgesteld aan een groot constant magneetveld (in de meeste MRI scanners is dit veld 1,5 tesla) en bovendien staat hij bloot aan in de tijd variërende magneetvelden. 64 a) Waarom moet je alle metalen voorwerpen uit je zak halen voordat je de kamer waarin de MRI staat binnen gaat? b) Waarom mag je met een pacemaker niet in een MRI? Opgave 11 Wat verstaat men onder elektromagnetische compatibiliteit? Ga na of draadloze telefoons pacemakers voor het hart nadelig beïnvloeden, zie http://www.ou.edu/engineering/emc/. 65 4.2 Antwoorden 4.2.1 Week 1 opgave 8 U(XP,0) ≈ − 4.2.2 px 0 πε 0 x 3 Week 2 Opgave 3 a) 1,7 × 10 7 V / m ; b) 0.01F/m2 ; c) 7 × !0-4C/m2; d) 6 × 103; 3e) 4,3 × 1015; f) 4,3 × 10-5 Aan het oppervlak bevinden zich atomen, die neutraal zijn of positief of negatief geladen. Hoewel geladen worden de meeste deeltjes geneutraliseerd door een naburig deeltje met een tegengestelde lading. Opgave 4 A) C/n; B) 63 × 10-3× O Farad; 4.2.3 C-c) κ ≈ 30 Week 3 Opgave1 E = 100 Joule Opgave 2 a) 1µC; b) 31536000; c) 0,087Ah Opgave 4 a) I = σQ b−a ; b) R = ; ε0 4πσab c) R ≈ 1 4πσa Opgave 5 T = 5,5 × 10-14 Nm. Opgave 7 c) vgem = 0,1m/s; d) dV/dt = 1,9 cm3/s Opgave 8 a) dipoolsterkte = ± 3 × 10-14 Am; b) B = ± 3 × 10-17 Tesla. Dit veld is veel te klein om te meten. 4.2.4 Week 4 Opgave 1 a) I = ± 0,5 × 109A; b) E(XP) = 100V/m; c) J(XP) = 33A/m2 Opgave 2 a) dα ≤ 0,2 × 10-8 radialen; b) dx ≤ 1 mm Opgave 3 ldraad = 60 km 66 5. Practicum Het practicum vult het hoorcollege aan. Onderwerpen uit het hoorcollege worden in het practicum van een experimentele kant benaderd. In het practicum is ook meer aandacht voor het instrumentatiedeel van de meetketen. De benadering is meer abstract: er wordt niet aldoor verwezen naar de fysiologische achtergronden van de verschijnselen. Vanwege de korte beschikbare tijd is het niet mogelijk om met de practicumopdrachten precies in pas te lopen met de theorie. Daarom is er voor het practicum achtergrondinformatie die voor een deel overlapt met het hoorcollege, maar die al in een eerder aan bod komt. 5.1 Organisatie 5.1.1 Opzet Het practicum bestaat uit twee groepen opdrachten: Serie A. Start in week 1. Gaat in op de invloed die weerstanden en condensatoren op signalen hebben. Dit gebeurt door experimenten en analyses waarbij de invloed van weerstanden en condensatoren op signalen als functie van tijd en frequentie te bestudeerd worden. Serie B. Start in week 3. Gaat in op de waarneming van een gemeten ECG in verschillende situaties. Bij de experimenten wordt naast een modelsysteem ook gebruik gemaakt van metingen aan de jezelf. In deze opdrachten komen zaken als de invloed van volumegeleiding, plaatsing van de elektroden, invloed van filteren aan de orde. Zoals hierboven al gezegd wordt met serie A in de eerste practicumweek begonnen. In de volgende Vanaf week drie wordt de tijd verdeeld tussen de opdrachten series A en B. Bij de practicumopdrachten is aanvullende informatie beschikbaar die ingaat op theoretische achtergronden of de werking van gebruikte apparatuur. 5.1.2 Tijdbesteding De globale tijdbesteding voor het practicum is als volgt: − − − 4 keer een halve dag practicum 2 series opdrachten; voor serie A ±3 halve dagen gepland en voor serie B ±1 halve dag per week is ± één uur voorbereiding gepland De voorbereiding is bedoeld om de aanvullende informatie te bestuderen, zowel voor het eerste practicum als tussendoor bij de analyse van meetresultaten. Alle andere activiteiten zoals metingen doen, ze uitwerken en het journaliseren van de uitkomsten vinden tijdens het practicum plaats. Het journaal wordt op de laatste practicumdag ingeleverd bij de begeleider. Over het doel van het journaliseren en de eisen die aan het journaal gesteld worden wordt in §5.1.3 iets gezegd. 5.1.3 Journaliseren Het schriftelijk vastleggen van bevindingen is een essentieel onderdeel van experimenteel onderzoek. Hierdoor gaat het verrichte werk niet verloren en kunnen de beschikbaar gekomen gegevens verder worden uitgewerkt. Ook wordt het werk zo toegankelijk voor anderen dan de experimentator alleen. 67 In een experiment zijn twee manieren van rapporteren te onderscheiden: journaliseren en verslaggeven. Tijdens dit practicum wordt er alleen een journaal bijgehouden. Het journaal is een gestructureerd dagboek dat tijdens het experiment wordt bijgehouden en vooral bedoeld is voor degene die het experiment uitvoert. Het doel van het journaal is drieledig: - de gegevens die nodig zijn voor de voorbereiding en planning van het experiment vastleggen; tijdens de uitvoering van het experiment direct de verkregen gegevens compleet en overzichtelijk vastleggen; (tussen)tijdse conclusies mogelijk maken. Omstandigheden, condities en verkregen resultaten worden vastgelegd om ze verder uit te werken. Ook kan er in een later stadium op teruggevallen worden en wordt het mogelijk het experiment te reproduceren. De journalisering volgt de gedachtegang van de experimentator tijdens de uitvoering van het experiment en is daarom chronologisch. Zo worden ook ondervonden problemen en de wijze waarop deze zijn aangepakt in het journaal vastgelegd. Vanwege de aard van dit practicum ligt het zwaartepunt vooral op het tweede en derde punt. 68 5.2 Opdrachten 5.2.1 Serie A 5.2.1.1 - Doelstellingen inzicht in het gedrag van weerstand (R) en capaciteit (C) bij veranderende stromen inzicht in de invloed van eenvoudige RC-filters op elektrische signalen kennis van beschrijving van eenvoudige RC-filters in het frequentiedomein kennis van beïnvloeding van signalen in het tijddomein 5.2.1.2 Schakelingen (a) (b) Figuur 1. (a) laagdoorlaatfilter, (b) hoogdoorlaatfilter (a) (b) Figuur 2. spanningsdeler met (a) twee weerstanden, (b) weerstand en condensator 5.2.1.3 Opdrachten Opdracht A.1 – Relatie tussen spanning over en stroom door een weerstand - Bouw de spanningsdeler met twee weerstanden uit figuur 2a. - Meet de spanning over de bovenste (Uin) en middelste (Uuit) aftakking als functie van frequentie tussen 10 Hz en 10 kHz. - Plot de verhouding Uuit/Uin tegen de frequentie Opdracht A.2 – Relatie tussen stroom door en spanning over een condensator - Bouw de spanningsdeler met weerstand en condensator uit figuur 2b. - Meet de spanning over de bovenste (Uin) en middelste (Uuit) aftakking als functie van frequentie tussen 10 Hz en 10 kHz. Bepaal daarvan de amplitudeverhouding Auit/Ain en het faseverschil. - Plot de verhouding Auit/Ain en faseverschil tegen de frequentie. - Begrijp je de resultaten als je ze vergelijkt met die uit opdracht 1? Opdracht A.3 – Invloed van een RC-filter op een sinusvormig signaal: frequentiedomein - Bouw het RC-filter uit figuur 1a. - Bepaal voor frequenties tussen 10 Hz en 10 kHz de verhouding tussen in en uitgangsamplitude. Plot deze in een dubbellogaritmische grafiek (d.w.z plot log(Auit/Ain) tegen log(f)). - Bepaal voor frequenties tussen 10 Hz en 10 kHz het faseverschil (ϕ) tussen in- en uitgangssignaal. Plot deze in een enkellogaritmische grafiek (d.w.z. plot ϕ tegen log(f)). Opdracht A.4 – Invloed van een RC filter op een blokvormig signaal: tijddomein - Gebruik het RC-filter uit opdracht 3. - Bekijk globaal wat de invloed is van het filter op een blokvormig ingangssignaal. - Op welke manier hangt de vervorming van de frequentie van de blokgolf af? - Geef een kwalitatieve verklaring van de waarnemingen. - Wat is de relatie tussen de waarnemingen in het tijddomein en die uit opdracht 3? Opdracht A.5 - Voer opdrachten 3 en 4 voor het RC-filter uit figuur 1b. 69 5.2.2 Serie B 5.2.2.1 - Doelstellingen Inzicht in de rol van volumegeleiding bij heb meten van een ECG Inzicht in de relatie tussen de positie van de elektroden en de gemeten potentiaal kennis van de invloed van filters op gemeten ECG signalen kennis van de vertaling van een gemeten model-ECG naar een eenvoudig RC-model 5.2.2.2 Opdrachten Opdracht B.1 – Frequentiespectrum van het signaal - Start het programma Hartslag. - Stel een hartritme in van 120 slagen/min., de pulsbreedte op 0.5 sec. en het aantal perioden op 10. - Varieer het signaaltype (sinus, blok, driehoek, zaagtand) en vergelijk de frequentiespectra van de signalen. - Wat kan je concluderen over de relatie tussen de frequenties die voorkomen in het signaal en de signaalvorm? Wat gebeurt er met het frequentiespectrum als het signaal door een (laag- of hoogdoorlaat-) filter wordt gehaald? Hoe wordt het signaal (in het tijddomein) vervormd door het filter? Opdracht B.2 – Oefening in het gebruik van de opstelling - Positioneer de stroomdipool in het midden van de bol en sluit de elektrodekabels aan op de bol. - Start de programma’s Hartslag en PortiDB. - Stel met Hartslag een hartsignaal met een ritme van 60 slagen/minuut en een pulsbreedte van 0.02 seconde in. - Maak een nieuwe gebruiker aan in PortiDB, start een meting en sla deze op onder een zelfgekozen naam. - Manipuleer tijdens het meetproces de schaal van de grafische weergave (zowel de tijdas als de spanningsas) en meet de amplitude van het signaal. - Bekijk de opgeslagen meting met de REVIEW functie. Exporteer de meting naar de je netwerkdirectory (de z-schijf). - ‘Speel’ met de parameters tot je het gebruik goed onder de knie hebt. Opdracht B.3 – Relatie tussen oppervlaktepotentialen en positie van dipool In het studiemateriaal (intermezzo 3B en 5A) en het huiswerk is voor verschillende situaties de relatie afgeleid van de potentiaal die door een stroomdipool wordt veroorzaakt. In alle gevallen zijn ze op dezelfde manier afhankelijk van de hoek tussen de richting van de dipool en de richting van de potentiaalmeting. - Stel met Hartslag een hartsignaal met sinusvormige puls, een ritme van 60 slagen/minuut en een pulsbreedte van 0.02 seconde in. - Meet met de dipool in het midden van de bol de amplitude van de potentiaal van twee tegenover elkaar gelegen elektrodes (op dezelfde hoogte als de dipool). Doe dit voor verschillende hoeken tussen de dipool en de verbindingslijn tussen de elektrodes (draai de dipool). Plot het resultaat en vergelijk dit met de theoretische relatie. Opdracht B.4 – Invloed van filteren op signaalvorm Meet eerst met de Porti het signaal zonder extra filteren en bekijk de signaalvorm (gebruik een blokvormig signaal) als functie van de breedte van de puls. Het signaal is geen perfecte blok. Welk filter kan deze vervorming veroorzaken? - Pas de meetinstellingen in PortiDB aan door er een extra filteractie aan toe te voegen. Gebruik verschillende filters en kantelfrequenties en probeer de resultaten te begrijpen. Opdracht B.5 – ECG van de mens - Bevestig elektroden aan een proefpersoon volgens de standaard afleiding van Einthoven - Meet het ECG. onder verschillende omstandigheden (bijv. volledige rust, actief,…) - Welke verschillen zie je? 70 5.3 Achtergrondmateriaal 5.3.1 Meten van elektrische signalen Bij een elektrische lading hoort een elektrisch veld E. Bij het elektrische veld hoort een met de positie veranderende (elektrische) potentiaal U(x): E = -dU/dx. Als een elektrische lading zich in een elektrisch veld bevindt , dan voelt deze lading een kracht. Onder invloed van deze kracht kan de lading gaan bewegen. Dit is een (elektrische) stroom I. Als elektrische lading niet vast zit leidt een potentiaalverschil U tot stroom I. Het potentiaalverschil wordt meestal gewoon potentiaal of spanning genoemd. In een elektrische isolator zitten alle ladingen vast en gaat er geen stroom lopen als er een potentiaalverschil aanwezig is. In metalen zijn wel vrije ladingsdragers (elektronen) aanwezig zodat er dan wel een stroom gaat lopen (bijv. koper, zilver, ijzer, …). In vloeistoffen waar in geïoniseerde atomen/moleculen aanwezig zijn (bijv. water met keukenzout) kan ook een stroom gaan lopen als er een potentiaalverschil wordt aangelegd. Omdat ionen veel zwaarder zijn dan elektronen, zal de stroom i.h.a. een stuk kleiner zijn. De weerstand van de zoutoplossing is dan groter dan de weerstand van het metaal. Een speciaal geval ontstaat als je de stroom door een metaal wilt laten overgaan naar een stroom door een zoutoplossing. Dit gebeurt door het metaal contact te laten maken met de vloeistof. De elektronenstroom in het metaal moet dan op het grensvlak tussen metaal en zoutoplossing omgezet worden in een ionen stroom. Dit gebeurt door chemische reacties. Hierbij kunnen neveneffecten ontstaan die de relatie tussen spanning en stroom beïnvloeden. 5.3.2 Invloed van lichaam op elektrische signalen Veel biologische systemen zoals cellen en groepen van cellen bestaan voor een groot deel uit ionen in oplossing. Ze geleiden dus elektrische stroom. Een celwand geleid bijna geen stroom. De manier waarop de geleiding plaatsvindt beïnvloedt de relatie tussen de spanning en de stroom. Een goed begrip van dit proces is nodig om bijvoorbeeld elektrische metingen aan het menselijk lichaam (ECG, EMG, EEG) op de juiste manier te interpreteren. Als er een spanning over de ionenoplossing in de cel (of tussen de cellen) gedraagt zich als een weerstand. Dat houdt in dat de stroom op ieder moment evenredig is met de spanning. De evenredigheidsconstante wordt de weerstand (R)genoemd. Een celwand gedraagt bevat nagenoeg geen vrije ladingsdragers waardoor het geen elektrische stroom geleid. Een spanningsverschil over de celwand kan echter wel een stroom tot gevolg hebben. Hiervoor moet de spanning over de celwand als functie van de tijd veranderen. Er ontstaat dan een ophoping van lading aan beide kanten van de celwand, waarbij de lading aan de ene kant positief is en aan de andere kant negatief. Om aan een kant een ophoping van positieve lading te krijgen moet een elektrische stroom positieve lading naar de celwand toe brengen. Om aan de andere kant een negatieve lading te krijgen moet een stroom de elektrische lading afvoeren. Hoewel er geen lading door de celwand gaat loopt er aan de ene kant toch een stroom naar de celwand toe en komt er aan de andere kant een stroom vanaf. Echter alleen zolang de spanning verandert. Zodra de spanning constant is loopt er geen stroom meer. Het vermogen om lading op te slaan als er een spanningsverschil wordt aangelegd wordt aangegeven met de capaciteit. Voor een berekening van de capaciteit van een celwand wordt verwezen naar intermezzo 3A in §3.3 van deze studiehandleiding. Om de invloed van weerstand en capaciteit van weefsels op stromen en spanningen te leren inschatten is het nodig om de relatie tussen de stroom door de weefsels en de spanning over de weefsels te kennen. Deze wordt in abstracte vorm behandeld §5.3.4. 71 5.3.3 Signalen: tijdsafhankelijkheid en frequentieafhankelijkheid 5.3.3.1 Signaal in het tijdsdomein Deze vorm van weergave van een signaal is aan iedereen bekend. Het grootte van het signaal wordt hierbij uitgezet tegen de tijd. Zie bijvoorbeeld de ECG signalen in hoofdstuk 3 van deze studiehandleiding. 5.3.3.2 Periodieke signalen Als een signaal periodiek is, d.w.z. dat het zich na een bepaalde tijd herhaalt (de periodetijd T), dan is er een belangrijke en krachtige manier om op een andere manier naar het signaal te kijken. Periodieke signalen (bijv. ECG) kunnen opgebouwd worden uit sinussen en cosinussen (die zijn namelijk ook periodiek). De sinussen en cosinussen waar een periodiek signaal uit opgebouwd is hebben heel specifieke frequenties: alleen veelvouden van de grondfrequentie f0 van het periodieke signaal komen voor. De grondfrequentie wordt zo genoemd omdat het de laagste frequentie is die in het signaal voorkomt. Deze wordt bepaald door de periodetijd: f0 = 1/T. De amplitudes van de sinussen en cosinussen die samen het periodieke signaal opbouwen bepalen de vorm van het signaal. ∞ ∞ n =0 n =0 f (t ) = ¦ An sin (2πnf 0t ) + ¦ Bn cos(2πnf 0t ) Omdat de sinus en cosinus alleen in fase van elkaar verschillen kan bovenstaande relatie ook met de volgende vergelijking beschreven worden: ∞ f (t ) = ¦ Cn sin (2πnf 0t + ϕ n ) n =0 Het belangrijkste hiervan is dat deze uitdrukking duidelijk maakt dat het signaal volledig beschreven wordt als voor iedere frequentie fn = nf0 de bijbehorende amplitude Cn en fase ϕn bekend is. Naast het gewone plaatje van signaalsterke tegen de tijd kunnen we nu ook een plaatje maken waarbij de amplitudes uitzetten tegen de frequenties van de sinussen. Het plaatje waarbij de fases tegen de frequentie wordt uitgezet is minder vaak nodig voor een goed begrip van de eigenschappen van het signaal. 5.3.3.3 Signaal in het frequentiedomein 5.3.4 Frequentieafhankelijkheid van weerstanden en condensatoren Eigenschappen van lineaire componenten en filters De informatie in deze paragraaf is uitgebreider dan nodig voor het practicum. Naast de eigenschappen van weerstanden en condensatoren geeft tegelijkertijd een inleiding in de principes en het jargon wat bij dit soort analyses hoort. Daarom is ervoor gekozen om dit verhaal toch in z’n geheel op te nemen. Het is voor het practicum dus niet nodig om alles te verwerken. Wees dus selectief bij het verwerken van de informatie in deze paragraaf, het gaat om begrip van de principes en niet om alles zelf uit te kunnen rekenen. Lineaire componenten zijn weerstanden, spoelen (inducties) en condensatoren (capaciteiten). Ze worden tot de lineaire componenten gerekend omdat de grootte van de spanning over de component evenredig is met de grootte van de stroom door de component. 5.3.4.1 De spanning-stroom (U-I) relatie De relatie tussen de spanning (U) over en de stroom (I) door een weerstand, spoel of condensator wordt gegeven in tabel 1. 72 U = f(I) I = g(U) Weerstand (R in ohm) U = IR I= U R (1) Spoel (L in henry) U =L I= 1 Udt L³ (2) Condensator (C in farad) U= I= dQ dU =C dt dt (3) dI dt Q 1 = Idt C C³ Tabel 1 - Spanning-stroom relaties voor weerstand, spoel en condensator. 5.3.4.2 Sinusoïdale analyse Voor een sinusvormige stroom I=I0sin(ωt) door een component (of een sinusoïdale spanning U=U0sin(ωt) over een component) volgt uit tabel 1 direct de tijdsafhankelijkheid van de spanning (stroom). Hierbij is ω = 2πf, waarbij f de frequentie van de sinus is. De periode (T) van de sinus is dan T = 1/f. R (Ω) L (H) I = I0sin(ωt) U = U0sin(ωt) U = I 0 R sin (ωt ) I= U = I 0ωL cos(ωt ) I =− = I 0ωL sin (ωt + π 2 ) U =− U0 sin (ωt ) R U0 U cos(ωt ) = 0 sin (ωt − π 2 ) ωL ωL (4) (5) I0 cos(ωt ) ωC I = U 0ωC cos ωt = U 0ωC sin (ωt + π 2) (6) I0 = sin (ωt − π 2) ωC Tabel 2 - Spanning-stroom relaties voor weerstand, spoel en condensator in het geval van sinusoïdale stroom of spanning. C (F) Voor de spoel en de condensator blijkt er een faseverschil te bestaan tussen de spanning en de stroom. De relatie cos(ωt ) = sin(ωt + π 2) laat zien dat voor een spoel het faseverschil tussen spanning en stroom +π/2 is (d.w.z. dat de spanning een kwart periode voorloopt op de stroom). Voor een condensator geldt de relatie − cos(ωt ) = sin(ωt − π 2) . Hieruit volgt dat het faseverschil -π/2 is (d.w.z. dat de spanning een kwart periode achterloopt op de stroom). Bij de weerstand is de spanning in fase met de stroom. Dit maakt de weerstand bij uitstek geschikt om een stroomsignaal om te zetten in een (gelijkvormig) spanningssignaal. Zoals blijkt uit tabel 2 is de amplitude van de spanning over een weerstand, spoel of condensator evenredig met de amplitude van de stroom. Daarom worden ze lineaire componenten genoemd. Dit in tegenstelling tot niet-lineaire componenten, zoals bijvoorbeeld een diode, waarvoor de spanning niet evenredig met de stroom is. 5.3.4.3 Effectieve weerstand en de impedantie Z Uit tabel 2 volgt dat, net als in het geval van de weerstand, een stroom door een spoel of condensator een spanning tot gevolg heeft. Deze componenten hebben dus een effectieve weerstand. Omdat de effectieve weerstand voor een wisselstroom wordt gedefinieerd (gelijkstroom is hier een bijzonder geval van) komt men soms ook wel de term wisselstroom-weerstand tegen. 73 De impedantie, aangegeven met de letter Z, wordt gekarakteriseerd door twee grootheden: de effectieve weerstand en het faseverschil tussen spanning en stroom, aangegeven met de letter ϕ. De effectieve weerstand is de absolute waarde van de impedantie gedefinieerd door het quotiënt van de spanningsamplitude en de stroomamplitude: Z = U 0 I 0 . Uit de definitie volgt direct dat de impedantie dezelfde eenheid heeft als de weerstand. De bovenstaande definitie geldt alleen voor sinusoïdale spanning en stroom. Het geldt dus niet voor een willekeurige tijdsafhankelijkheid! De effectieve weerstand is direct te bepalen uit tabel 2. Voor de weerstand is Z = R, (7a) voor de spoel Z = ωL = 2πfL , (7b) en voor de condensator Z = 1 1 = . ωC 2πfC (7c) Hierbij is f de frequentie van de wisselstroom(-spanning). Zoals uit vgl. (7) blijkt is de effectieve weerstand van de spoel en de condensator afhankelijk van de frequentie. Voor f → 0). (d.w.z. gelijkspanning) gaat voor de spoel |Z| → 0 (kortsluiting) en voor de condensator |Z| → ∞ (open). Voor f → ∞ gaat voor de spoel |Z| → ∞ (open) en voor de condensator |Z| → 0 (kortsluiting) 5.3.4.4 Bepaling van de effectieve weerstand uit de spanning-stroom relatie In de literatuur wordt de term impedantie vaak losjes gebruikt en bedoeld men eigenlijk alleen de effectieve weerstand. Uit de context moet dan duidelijk worden in welke betekenis de term impedantie wordt gebruikt. Om erachter te komen in welke betekenis de term impedantie gebruikt wordt is het nodig te achterhalen of de fase relevant is. Als de fase in de analyse niet van belang is wordt de effectieve weerstand bedoeld. In deze handleiding wordt geprobeerd om verwarring te voorkomen. Als de fase niet van belang is in de analyse wordt de term effectieve weerstand gebruikt. Als de fase wel van belang is wordt de term impedantie gebruikt. Voor de weerstand zijn de spanning en stroom in fase: het faseverschil is altijd nul! De impedantie is dan op ieder tijdstip gelijk aan het quotiënt van de spannings- en de stroomamplitude. Voor de spoel ligt het iets lastiger. Uit tabel 2 volgt dat de spanning over de spoel gelijk is aan de amplitude op het moment dat de stroom door de spoel nul is. Door de spanning bij de nuldoorgang van de stroom te meten en de amplitude van de stroom te meten kan de effectieve weerstand van de spoel bepaald worden. Voor de condensator geldt een analoge redenering als voor de spoel. Ook hier is de amplitude gelijk aan de spanning over de condensator op het moment dat de stroom door de condensator nul is. Op dezelfde manier als voor de spoel kan dan de effectieve weerstand van de condensator bepaald worden. Oefening Teken m.b.v. tabel 2 de U-I karakteristiek van een weerstand, een spoel en een condensator. Neem bijvoorbeeld R = 100 Ω, L = 1 mH, C = 1 µF en f = 1000 Hz. Zet de stroom op de x-as en de spanning op de y-as uit. Geef aan hoe je uit de U-I curve de effectieve weerstand van de componenten bepaalt. 5.3.4.5 Impedanties van serie- en parallelschakelingen Losse componenten komen eigenlijk nooit voor. De eenvoudigste uitbreiding is een combinatie van twee componenten. Dit kan in de vorm van een serieschakeling of een parallelschakeling. De effectieve weerstand is, net als voor de losse componenten, gedefinieerd als het quotiënt van de spannings- en 74 stroomamplitude voor de gehele schakeling. De effectieve weerstand van de afzonderlijke componenten in de schakeling is, net als voorheen, gedefinieerd als het quotiënt van spannings- en stroomamplitude voor de betreffende componenten. Serieschakeling van weerstand en condensator In het geval van een serieschakeling is de stroom door de componenten hetzelfde. De spanning over de afzonderlijke componenten voor een gegeven stroom wordt gegeven in tabel 2. Door de spanning van de twee componenten op te tellen wordt de totale spanning over de serieschakeling verkregen. Als de amplitude van de totale spanning en de amplitude van de stroom bekend is kan de effectieve weerstand van de serieschakeling berekend worden. Voor de stroom wordt I = I0sin(ωt) genomen. Uit tabel 2 volgt dan voor de weerstand UR = U0Rsin(ωt), met U0R= I0R. Voor de condensator volgt UC = U0Ccos(ωt), met U0C = I0/ωC. De totale spanning wordt dan U = UR+UC = U0Rsin(ωt) - U0Ccos(ωt). De spanning over deze serieschakeling bevat een component die in fase is met de stroom en een component die een kwart periode voorloopt. Uitwerking. Uit de U-I karakteristiek kan zowel de totale effectieve weerstand als de effectieve weerstanden van de weerstand en de condensator bepaald worden. Voor de effectieve weerstand van de serieschakeling wordt de amplitude van de totale spanning bepaald en door de amplitude van de stroom gedeeld. De effectieve weerstand van het weerstandsdeel volgt uit de spanningsamplitude over de weerstand. Deze kan gemeten worden op het moment dat de stroom maximaal is (dan is de spanning over de condensator nul!). Het quotiënt van de gemeten spanningsamplitude en de stroomamplitude geeft de gezochte effectieve weerstand. Voor de effectieve weerstand van de condensator wordt de spanning gemeten op het moment dat de stroom nul is. De spanning over de weerstand is dan ook nul en de gemeten spanning is meteen de amplitude van de spanning over de condensator. Het quotiënt van de gemeten spanningsamplitude en de stroomamplitude geeft de effectieve weerstand van de condensator. Oefening Teken m.b.v. de beschreven relatie de U-I karakteristiek van de serieschakeling van een weerstand en een condensator. Neem R = 100 Ω, C = 1 µF en f = 1000 Hz. Geef aan hoe je uit de U-I karakteristiek de effectieve weerstand van de componenten en de effectieve weerstand van de serieschakeling bepaalt. Parallelschakeling van spoel en weerstand In het geval van een parallelschakeling is de spanning over de componenten hetzelfde. De stroom door de componenten voor een gegeven spanning wordt gegeven door tabel 2. Door de stroom door de twee componenten op te tellen wordt de totale stroom door de parallelschakeling verkregen. De effectieve weerstand van de parallelschakeling wordt gegeven door het quotiënt van de amplitude van de spanning en de amplitude van de totale stroom. Uitwerking. De spanning is U = U0sin(ωt). Uit tabel 1 volgt dan voor de weerstand IR = I0Rsin(ωt), met I0R = U0/R. Voor de spoel volgt IL = -I0Lcos(ωt), met I0L = U0/ωL. De totale stroom wordt dan gegeven door I = IR + IL = I0Rsin(ωt) - I0Lcos(ωt). Analoog aan het geval van de serieschakeling wordt de totale effectieve weerstand gegeven door het quotiënt van de spanningsamplitude en de totale stroomamplitude. De effectieve weerstand van de weerstand in de schakeling wordt bepaald m.b.v. de stroom bij maximale spanning (dan is de stroom door de spoel nul). De impedantie van de spoel wordt bepaald m.b.v. de stroom bij spanning nul (dan is de stroom door de weerstand nul). De benodigde spanningsamplitude kan direct bepaald worden en is gelijk voor beide componenten. De gebruikelijke quotiënten geven ons weer de effectieve weerstanden. Oefeningen • In de praktijk is de serieschakeling van een weerstand en een spoel een vaker voorkomende situatie. Een echte spoel is namelijk gewikkeld van koperdraad met een ohmse weerstand. Deze weer- 75 stand wordt in het elektrische schema opgenomen als een weerstand in serie met een (ideale) spoel. Doe de bovenstaande analyse voor de serieschakeling van een weerstand en een spoel. • In de praktijk is de parallelschakeling van een weerstand met een condensator ook een vaker voorkomende situatie. Een echte condensator heeft vaak een diëlectricum tussen de condensatorplaten om de capaciteit te vergroten. Dit diëlectricum heeft een (meestal grote) lekweerstand met ohmse karakteristieken. Deze lekweerstand wordt in het elektrische schema opgenomen als een weerstand parallel aan de (ideale) condensator. Doe de bovenstaande analyse voor de parallelschakeling van een weerstand en een condensator 5.3.4.6 Amplitude en fase: de impedantie Z Hoewel het waarschijnlijk vanuit de vergelijkingen niet direct duidelijk is heeft de spanning over een serieschakeling en de stroom door een parallelschakeling ook een zuivere sinusvorm, zij het dat deze in fase verschoven is ten opzichte van de stroom resp. spanning. In een vergelijking uitgedrukt geeft dit voor de serieschakeling van een weerstand en een condensator: I = I 0 sin (ωt ) U = U 0 R sin (ωt ) − U 0C cos(ωt ) = U 0 sin (ωt + ϕ ) (8a) en voor de parallelschakeling van een weerstand en een spoel: U = U 0 sin (ωt ) I = I 0 R sin (ωt ) − I 0 L cos(ωt ) = I 0 sin (ωt − ϕ ) (8b) Merk op dat de faseverschuivingen in vgl. (8a) en (8b) een verschillend teken hebben. Dat is om een éénduidig faseverschil te krijgen tussen spanning en stroom. In vgl. (8a) staat de fase in uitdrukking voor de spanning en in vgl. (8b) staat de fase in de uitdrukking voor de stroom. Als de spanning voorloopt op de stroom dan is de fase in vgl. (8a) positief. De stroom loopt dan achter op de spanning en de fase van de stroom is dan negatief. Het minteken in vgl. (8b) zorgt er dan voor dat de waarde van ϕ in vgl. (8b) hetzelfde is als in vgl. (8a). Controleer zelf het geval dat de spanning achterloopt op de stroom. Uitwerking voor de serieschakeling van weerstand en condensator. Dat een som van een sinus en cosinus als één sinus met faseverschuiving geschreven kan worden worden afgeleiden m.b.v. de volgende goniometrische relatie: sin(a + b) = cos b sin a + sin b cos a (9) Met a = ωt en b = ϕ geldt voor de serieschakeling U0R = U0cos(ϕ) en U0C = -U0sin(ϕ). Hieruit volgt voor de totale spanningsamplitude en de fase tussen stroom en spanning direct de volgende relaties: U 0 = U 02R + U 02C = I 0 R 2 + 1 ω 2 C 2 , tan ϕ = U 0C 1 =− . U 0R ωRC (10a) (10b) Uitwerking voor de parallelschakeling van weerstand en spoel. Met gebruik van a = ωt en b = -ϕ volgt voor de parallelschakeling van weerstand en spoel I0R = I0cosϕ en I0L = I0sinϕ. Voor de stroomamplitude en het faseverschil geldt dan: 1 1 I 0 = I 02R + I 02L = U 0 + 2 2 , (11a) 2 R ω L 76 tan ϕ = I 0L R = . I 0 R ωL (11b) Oefeningen • Leid de relatie tussen spannings- en stroomamplitude en de relatie voor de faseverschuiving af voor een weerstand in serie met een spoel. • Leid de relatie tussen stroom- en spanningsamplitude en de relatie voor de faseverschuiving af voor een weerstand parallel aan een condensator. 5.3.4.7 Willekeurige impedanties In het voorgaande is getoont dat het gedrag van zowel één als de combinatie van twee passieve componenten gekarakteriseerd kan worden d.m.v. een impedantie, bestaande uit een effectieve weerstand (het quotiënt van spannings- en stroomamplitude) en een faseverschil tussen stroom en spanning. Dit kan nog een stap verder uitgebreid worden. Een impedantie kan uit een willekeurig aantal passieve lineaire componenten (R, L, C) bestaan. Net als bij de impedantie van één component kan deze volledig worden gekarakteriseerd door een effectieve weerstand en een faseverschil. 5.3.4.8 Filters Wordt aan de ingang van een netwerk van lineaire passieve componenten een sinusoïdale spanning(stroom) aangeboden dan is er aan de uitgang ook een sinusoïdale spanning(stroom) aanwezig met dezelfde frequentie, maar, in het algemeen, met een andere amplitude en fase. De relatie tussen de amplitudes en de fases aan de ingang en uitgang wordt de overdrachtsfunctie genoemd. In principe kan zowel een overdrachtsfunctie voor de stroom als voor de spanning gedefinieerd worden. Hier wordt alleen de overdrachtsfunctie van het spanningssignaal bekeken. De overdrachtsfunctie legt vast hoe het quotiënt van de amplitudes en het faseverschil tussen ingang en uitgang van de frequentie afhangen. Voor een ingangsspanning u in = uˆ i sin (ωt + ϕ i ) en een uit- gangsspanning u uit = uˆ u sin (ωt + ϕ u ) wordt de overdrachtsfunctie gegeven door: uˆ u , uˆ i ϕ (ω ) = ϕ u − ϕ i . A(ω ) = (12a) (12b) Figuur 1 laat de eenvoudigste netwerken zien. Deze bestaan uit slechts één component. De overdrachtsfunctie is dan triviaal en voor alle netwerken hetzelfde: A(ω) = 1 en ϕ(ω) = 0. (b) (a) (c) Figuur 1 1-components netwerken De eenvoudigste niet-triviale netwerken bestaan uit twee componenten. Als voorbeeld zijn hier de twee RC-netwerken in fig. 2 genomen: het laag-doorlaatfilter en het hoog-doorlaatfilter. De naamgeving wordt duidelijk na analyse van de overdrachtsfunctie. (b) (a) Figuur 2 (a) Laag-doorlaat filter, (b) Hoog-doorlaat filter 77 De ingangsstroom en de in- en uitgangsspanningen voor de netwerken in fig. 2 kan geschreven worden zoals aangegeven in vgl. (13). I in = Iˆ0 sin (ωt ) u in = uˆ i sin (ωt + ϕ i ) u uit = uˆ u sin (ωt + ϕ u ) (13a) (13b) (13c) Als de amplitudes en faseverschuivingen in vgl. (13) bekend zijn dan kan vgl. (12) gebruikt worden om de overdrachtsfunctie te bepalen. Merk op dat in vgl. (13) de fase van de ingangsspanning en uitgangsspanning gedefinieerd zijn ten opzichte van de fase van de stroom (deze is nul genomen). Dit is handig in het geval van een serieschakeling van componenten zoals in de schakelingen van fig. 2. In het geval van een parallelschakeling kan het nuttig zijn om de fase van de stroom t.o.v. de spanning te definieren, aangezien de spanning over de componenten dan hetzelfde is. Uitwerking voor laag-doorlaatfilter Voor het laag-doorlaatfilter is de relatie tussen ingangsstroom en -spanning al eerder afgeleid (vgl. (8a) en (10)). Dit geeft voor de ingangsspanning: u in = Iˆ0 R 2 + 1 ω 2 C 2 sin (ωt + ϕ i ) § −1 · ϕ i = arctan¨ ¸ © ωRC ¹ (14a) De uitgangsspanning is de spanning over de condensator. Uit tabel 2 volgt: Iˆ0 sin (ωt + ϕ u ) ωC π ϕu = − 2 u uit = (14b) Merk op dat de fase in vgl. (14) voor beide spanningen t.o.v. de stroom is genomen. Dit is geen beperking omdat alleen het faseverschil tussen in- en uitgang van belang is. Vgl. (14) en (12) geven samen de overdrachtsfunctie van het laag-doorlaatfilter: A(ω ) = uˆ u = uˆ i 1 ωC R +1 ω C 2 2 2 = 1 ω R 2C 2 + 1 2 π § 1 · ϕ (ω ) = ϕ u − ϕ i = − + arctan¨ ¸ 2 © ωRC ¹ (15) Voor lage en hoge frequenties is het limietgedrag van de overdrachtsfunctie voor ω → 0: A(ω) → 1 en ϕ(ω) → 0 en voor ω → ∞: A(ω) → 0 en ϕ(ω) → -π/2. Bij lage frequenties wordt het spanningssignaal doorgelaten en voor hoge frequenties wordt het signaal verzwakt. Vandaar de naam laag-doorlaatfilter. Bij lage frequenties is er geen faseverschil tussen in- en uitgang, terwijl bij hoge frequenties het faseverschil steeds negatiever wordt (met als limiet -π/2). Dit betekent dat bij hoge frequenties de uitgangsspanning achterloopt op de ingangsspanning, met een maximale achterstand van een kwart periode. 78 De frequentie waarbij ω = (RC)-1 wordt de kantelfrequentie (fk) genoemd. fk is de frequentie waarbij A serieus kleiner dan één wordt, bij toenemende frequentie. Hoewel fk in principe ook anders gedefinieerd had kunnen worden is dit de standaarddefinitie. Aangezien ω = 2πf volgt fk = (2πRC)-1. Vgl. (15) kan nu ook geformuleerd worden in termen van fk: A( f ) = 1 1+ ( f fk ) 2 (16) π ϕ ( f ) = − + arctan( f k f ) 2 Vgl. (15) heeft het voordeel dat de parameters direct gerelateerd zijn aan de componenten die gebruikt worden, terwijl vgl. (16) gebruik maakt van de ontwerpparameter kantelfrequentie. De ‘versterking’ bij de kantelfrequentie is gelijk aan 1/√2. De versterking wordt vaak in decibels uitgedrukt: H = 20⋅10log(Uuit/Uin). Hier is H de versterking in dB (=decibel). Bij de kantelfrequentie is de versterking dan 20⋅10log(1/√2) = -3 dB. Voor een uitgebreidere inleiding op de decibel wordt verwezen naar het intermezzo op de volgende pagina. Voor frequenties beduidend groter dan de kantelfrequentie kan de versterkingsfactor benaderd worden met A(f) = fk/f. Voor een constante ingangsamplitude is de uitgangsamplitude evenredig met de versterkingsfactor. De verhouding van de uitgangsamplitude bij twee frequenties wordt dan gegeven door A2/A1 = f1/f2. De dB-waarde van deze amplitudeverhouding is dan 2010log(f1/f2). Een toename van één octaaf in frequentie, d.w.z. f2 = 2·f1, geeft een amplitudeverandering van 2010log(1/2) = -6 dB. De helling van de versterking van het laag-doorlaatfilter als functie van de frequentie is dus -6 dB/octaaf. Analoog geeft een toename van één decade in frequentie, d.w.z. een factor 10, een amplitudeverandering van -20 dB. De helling is dus -20 dB/decade. Merk op dat een verandering van -6 dB/octaaf gelijk is aan -20 dB/decade. Oefening Uitwerking voor het hoog-doorlaatfilter. Analoog aan het geval voor het laag-doorlaatfilter kan de overdrachtsfunctie afgeleid worden voor het hoog-doorlaatfilter. De uitgangsspanning is nu de spanning over de weerstand. Leid de overdrachtsfunctie voor het hoog-doorlaatfilter af. Het bandfilter Figuur 3 - Bandfilter opgebouwd uit een laag- en een hoog-doorlaatfilter Door het combineren van een laag-doorlaatfilter met een hoog-doorlaatfilter, zoals getoond in fig. 3, kan een filter gemaakt worden die het signaal in een bepaalde frequentieband doorlaat. Hierbij wordt de kantelfrequentie van het laag-doorlaatfilter hoger gekozen dan dat van het hoog-doorlaatfilter. De analyse van het bandfilter is een stuk lastiger dan van de aparte filters waar het uit opgebouwd is. De reden is dat het tweede filter het eerste filter belast, d.w.z. dat het tweede filter stroom trekt uit het eerste filter. Een gevolg hiervan is dat de spanning op de uitgang van het eerste filter anders zal zijn dan in het onbelaste geval. Met de sinusoïdaal analyse kan het effect van het 2e filter op het gedrag van het 1e filter wel in rekening gebracht worden, maar dat vraagt heel wat rekenwerk. Zonder de overdrachtsfunctie van het filter exact op te lossen kan wel een aardig idee gekregen worden van de eigenschappen van het filter. Het filter kan zelfs zo ontworpen worden dat de overdrachtsfuncties van de aparte filters gebruikt kunnen worden. 79 Als het bandfilter zo ontworpen wordt dat het 2e filter geen stroom trekt uit het eerste filter, dan zijn de twee filters onafhankelijk en is de versterking gelijk aan het produkt van de versterkingen van de twee aparte filters. De faseverschuiving van het bandfilter wordt dan gegeven door de som van de faseverschuivingen van de aparte filters: Aband (ω ) = Alaag (ω )Ahoog (ω ) (17) ϕ band (ω ) = ϕ laag (ω ) + ϕ hoog (ω ) Zonder een exacte analyse te moeten maken kan een afschatting gemaakt worden hoe het bandfilter ontworpen moet worden opdat de overdrachtsfunctie in vgl. (17) van toepassing is. Hiertoe wordt eerst gekeken naar de gevolgen van het combineren van de twee filters. De stroom die uit R1 komt moet zich in het bandfilter verdelen over twee takken: C1 en het 2e filter. De tak met de kleinste effectieve weerstand zal het meeste stroom trekken. Dus als de effectieve weerstand van het 2e filter klein is t.o.v. de effectieve weerstand van C1, dan zal de meeste stroom door het 2e filter lopen en zal het 1e filter een heel andere uitgangsspanning hebben dan in het onbelaste geval. Vgl. (16) is dan onbruikbaar als overdrachtsfunctie voor het laag-doorlaatfilter. Omgekeerd, als de effectieve weerstand van het 2e filter groot is t.o.v. die van C1, dan zal door C1 praktisch dezelfde stroom lopen als in het onbelaste geval en zal het 1e filter zich gedragen als in het onbelaste geval. Dan is vgl. (17) een goede benadering van de overdrachtsfunctie van het bandfilter. Hoe kan er een afschatting maken of vgl. (17) van toepassing is voor het bandfilter? Zoals hierboven al gezegd moet in dat geval de effectieve weerstand |Z2| van het 2e filter veel groter zijn dan de effectieve weerstand |ZC1| van C1: |Z2| >> |ZC1|. De effectieve weerstand van de condensator is |ZC1| = 1/ωC1 en de effectieve weerstand van de weerstand en condensator van het 2e filter is |Z2| = De conditie |Z2| >> |ZC1| gaat dan over in R22 + 1 ω 2 C 22 . R22 + 1 ω 2 C 22 >> 1 ωC1 . Hieruit volgt ω 2 C12 R22 + C12 C 22 >> 1 , waaraan is voldaan als R2 >> 1/ωC1 en/of C1 >> C2. Met deze ongelijkheden kan getoetst worden of de overdrachtsfunctie van vgl. (17) gebruikt mag worden. Als de twee filters verwisseld worden dan kan een analoge analyse als hierboven gemaakt worden, waarbij de totale effectieve weerstand van het laag-doorlaatfilter vergeleken wordt met de waarde van de weerstand in het hoog-doorlaatfilter. 80 Intermezzo: de decibel. In veel situaties is niet de spanning of de stroom de belangrijkste grootheid maar het vermogen. Het vermogen wordt voorgesteld door de letter P (de letter P staat voor Power). Vaak kan het vermogen over meerdere ordes van grootte (d.w.z. factoren 10) variëren. Het uitzetten van vermogensverhoudingen op een lineaire schaal is dan onhandig. In zo’n geval wordt de vermogensverhouding op een logaritmische schaal uitgezet. De decibel is een logaritmische maat voor vermogensverhoudingen. De bel (= 10 decibel) wordt zelden gebruikt. Het symbool voor de decibel is dB. De decibel is gedefinieerd als 10 keer de logaritme (met grondtal 10) van de vermogensverhouding P2/P1: §P · H = 1010 log¨¨ 2 ¸¸ © P1 ¹ (I-1) In een aantal gevallen wordt de dB niet alleen gebruikt voor het aangeven van verhoudingen. Als P1 een bekende referentiewaarde is , geeft de dB een absolute waarde aan. Het bekendste voorbeeld is misschien wel het gebruik van de dB als geluidsniveau. Voor P1 wordt dan de gevoeligheidsgrens van het menselijk oor gebruikt. I.p.v. vermogensverhoudingen wordt de decibel ook vaak gebruikt voor het aangeven van verhoudingen van andere grootheden. Hieronder zijn ook amplitudeverhoudingen. Tussen vermogen en amplitude van fysische grootheden bestaat bij lineaire systemen een kwadratisch verband. Zo is het elektrische vermogen dat in een weerstand gedissipeerd wordt gelijk aan P = U ⋅ I = I 2 R = U 2 R . De verhouding van twee vermogens, betrokken op dezelfde weerstand (of impedantie) wordt dan P2 P1 = I 22 I12 = U 22 U12 . Voor de amplitudeverhouding volgt hieruit: §U · H = 2010 log¨¨ 2 ¸¸ © U1 ¹ (I-2) In vgl. (I-2) wordt de vermogensverhouding in dB bepaald vanuit de amplitudeverhouding. Dit is alleen juist onder de voorwaarde dat de vermogens betrokken worden op dezelfde impedantie. In de regel wordt er bij het berekenen van amplitudeverhoudingen niet op deze voorwaarde gelet. In dat geval is de dB-waarde uit vgl. (I-2) alleen een maat voor de amplitudeverhouding en kan deze niet geïnterpreteerd worden als vermogensverhouding. Voorbeeld: het laag-doorlaatfilter De versterking van het laag-doorlaatfilter bij de kantelfrequentie is, volgens de definitie, -3 dB (zie stukje na vgl. (16)). De amplitudeverhouding tussen in- en uitgang is in het kantelpunt dus 1/√2. Aangezien de spanningsamplitudes op de in- en uitgang niet op dezelfde impedantie betrekking hebben kan de waarde -3 dB niet geïnterpreteerd worden als het van de ingang naar de uitgang doorgegeven vermogen. 81 5.4 Experimentele apparatuur 5.4.1 Het principe van de oscilloscoop De oscilloscoop is het meest toegepaste meetinstrument op tal van vakgebieden: elektrotechniek, elektronica, natuurkunde, werktuigbouwkunde, chemie, geneeskunde etc. De toepassing heeft vooral een grote vlucht kunnen nemen door de ontwikkeling van betrouwbare en gevoelige transducers. Transducers zetten niet-elektrische grootheden, bijv. kracht, lengteverandering, temperatuur etc., om in elektrische signalen (sensoren) of andersom (actuatoren). Op de opbouw, werking, calibratie en bediening van de oscilloscoop wordt hier niet ingegaan. We beschrijven alleen een aantal (standaard) functionele aspecten van de oscilloscoop om een idee te geven van de belangrijkste mogelijkheden. Met een oscilloscoop kunnen gemeten worden: • Tijd en frequentie. Daartoe wordt de tijdbasis gebruikt (‘tijd per hokje (= division = div) knop’). Deze is in stappen instelbaar met een typisch bereik van 0,2 s/div tot 0,5 s/div. In de cal(ibratie) stand komt één cm op de horizontale schaal van het oscilloscoopscherm overeen met de ingestelde tijdbasis. • Amplitude en verloop van het signaal als functie van de tijd. Daartoe wordt de gevoeligheid van de verticale schaal ingesteld met de ‘volt per div knop’. Deze is ook in stappen instelbaar met een typisch bereik van 5 mV/div tot 10 V/div. Hiermee wordt het signaal op maat gemaakt voor optimale afbeelding op het scherm. In de cal(ibratie) stand van deze knop komt één cm op de verticale schaal van het oscilloscoopscherm overeen met de ingestelde spanningschaal. • Fase. Bij tweekanaalsoscilloscopen kan men twee signalen tegelijk afbeelden. Het faseverschil is dan meetbaar omdat de periode en het tijdsverschil tussen de signalen via het scherm gemeten kunnen worden (faseverschil is tijdsverschil gedeeld door periodeduur). • AC of DC. Met behulp van deze knop kan van een signaal dat is samengesteld uit een gelijkspanning en een wisselspanning, het totale signaal of het wisselspanningsdeel op het scherm zichtbaar worden gemaakt. − In de DC-stand wordt het totale signaal op het scherm afgebeeld. − In de AC-stand wordt het signaal opgesplitst in een gelijkspannings- en wisselspanningsdeel. Om dit mogelijk te maken wordt het signaal via een condensator doorgegeven. Alleen de wisselspanning kan de scheidingscondensator passeren. Schematisch is de werking aangegeven in figuur. 2.7. AC DC in C R in Cin naar verdere verwerking Figuur 2.7 – De ingang van een oscilloscoop. Typische waarden zijn: Rin ≈ 1MΩ, Cin ≈ 30 pF en C ≈ 1 µF Triggering, zaagtandspanning De oscilloscoop wordt in het algemeen gebruikt om signalen y(t), die zichzelf periodiek herhalen, als functie van de tijd zichtbaar te maken. Die signalen worden op de y-ingang van de oscilloscoop aangesloten. Op de x-as dient dan een signaal te komen, dat lineair oploopt in de tijd (x is immers een "t-as") 82 en waarbij er bovendien voor gezorgd wordt dat elk nieuw geschreven signaal over het oude signaal heen komt. Van belang is dus het synchroniseren van beide signalen, het juist kiezen van de starttijdstippen waarop het (herhaald) schrijven begint. Dit synchronisatieproces heet de triggering. Het principe wordt toegelicht in fig. 2.8, die verder voor zichzelf spreekt. De x-spanning, die in de oscilloscoop zelf wordt opgewekt, heet naar de vorm wel zaagtandspanning. Het onderdeel (schakeling) in de oscilloscoop die dit realiseert, wordt de tijdbasis genoemd. De precieze tijdsintervallen van de zaagtand worden mede bepaald door het ingangssignaal, de globale instelling ervan is in te stellen met de knop die meestal het opschrift "time base" of "time/div" heeft. Figuur 2.8 - Het principe van triggering. (a) De frequentie van de zaagtand en het triggerniveau(b1,...,b4) kunnen worden ingesteld. (b) Looptijd + wachttijd = nT (hier n=2). (c) Iedere periode ontstaat hetzelfde beeld 83 5.4.2 De digitale oscilloscoop: TDS 210/220 De principes achter de werking van de digitale oscilloscoop zijn hetzelfde als voor de analoge oscilloscoop. Echter de signalen worden direct gedigitaliseerd. Veel van de functies van de oscilloscoop worden in de vorm van programmatuur verwezenlijkt. De aanwezigheid van een processor maakt het ook allerlei andere functies mogelijk. De belangrijkste zijn: 1. Autoset (knop rechtsboven) De oscilloscoop stelt zichzelf zo in dat het signaal goed zichtbaar op het scherm komt. Verdere afregeling gebeurt door de gebruiker. 2. Measure (knop middenboven) Aan de rechterkant van het scherm worden vier gemeten grootheden zichtbaar. Met het menuknopjes (direct rechts van het scherm) kan per gemeten grootheid het kanaal en het type (frequentie, amplitude, …) ingesteld worden. 3. Instellingen Meetkanalen (knoppengroepen Ch.1 en Ch.2) Voor meetkanalen 1 en 2 zijn er aparte instelknoppen die de weergave op het scherm kunnen veranderen. Met de draaiknop wordt de schaal van spanningsas veranderd (d.i. de verticale as op het scherm). Door de selectieknop van een kanaal meermalen in te drukken kan het signaal zichtbaar of onzichtbaar gemaakt worden. Voor de meeste toepassingen is het wenselijke om de meetkanalen op DC-koppeling te zetten. 4. Tijdas (knoppengroep Trigger) Rechts van de knoppen voor kanaal 2 zit de knoppengroep die de tijdas (d.i. de horizontale as op het scherm) beïnvloedt. Met de draaiknop wordt de schaal van de tijdas veranderd (snelle signalen hebben een kortere meettijd nodig dan langzame signalen). 5. Fase (knoppengroep …) Met behulp van de cursors kan een tijdsverschil en de periode op het scherm bepaald worden. 5.4.3 Het Experimenteerbordje Een experimenteerbordje bevat gaatjes waarin elektronische componenten gestoken kunnen worden. Om het mogelijk te maken verschillende componenten te verbinden zijn de gaatjes in het experimenteerbordje in groepen elektrisch doorverbonden (zie figuur 3a). In dit practicum beperken we ons wat componenten betreft tot weerstanden (R) en condensatoren (C). In figuur 3b is de schakeling uit figuur 1a gebouwd. Het experimenteerbordje is op zijn beurt weer op een print bevestigd. De connectoren op de print kunnen met draadjes eenvoudig op het experimenteerbordje aangesloten worden. Externe apparatuur (zoals de oscilloscoop en de functiegenerator) kunnen met coax-kabels op de connectoren aangesloten worden (zie figuur 3b). (a) (b) Figuur 3. (a) elektrisch schema van experimenteerbordje (b) voorbeeld van aansluitingen voor metingen aan een laagdoorlaatfilter 84 5.4.4 De Bol De Bol is een modelsysteem waarmee o.a. het effect van volumegeleiding bij ECG metingen onderzocht kan worden. bovenring dipooldoorvoer onderring transparante bol stop elektrode stroomdipool bodemplaat Figuur 1. Bol met stroomdipool en oppervlakteelektrodes voor potentiaalmetingen. Transparante bol en bodemplaat De kern van de opstelling wordt gevormd door een transparante bol, gevuld met water. Het water wordt met keukenzout op de gewenste geleidbaarheid gebracht (hoe meer zout, hoe beter de geleiding). De bol steunt op een bodemplaat. Stroomdipool & Elektrodes In de bol zijn op diverse plekken doorvoeren gemaakt waarin elektrodes bevestigd zijn. Deze zitten in een rubber dopje. Niet te hard aan trekken dus! De niet gebruikte doorvoeren zijn afgedicht. De stroomdipool wordt gevormd door twee koperdraden die via een doorvoer in de vloeistof hangen. Als er spanning op de draden wordt gezet (+ op de ene en – op de andere) dan loopt de elektrische stroom via de vloeistof van de ene koperdraad naar de andere. De stroom door de vloeistof zorgt voor potentiaalverschillen in de vloeistof en dus ook aan het oppervlak van de bol. Hier kunnen ze m.b.v. de elektrodes gemeten worden. Stop, dipooldoorvoer en ringen De bol wordt aan de bovenkant afgesloten met een rubber stop. De stroomdipool wordt d.m.v. een buis, de dipooldoorvoer, door de stop geleid. De dipooldoorvoer kan zowel draaien in het horizontale vlak als bewegen in het verticale vlak. Hiermee kan de positie en richting van de stroomdipool ten opzichte van de elektrodes veranderd worden. De positie van de dipool kan vastgezet worden met de twee ringen die op de dipooldoorvoer bevestigd zijn. Met de bovenring kan de verticale positie vastgezet worden, terwijl de onderring de richting in het horizontale vlak vast kan zetten. 85
