7 Rekenen 2 - de Wageningse Methode

7 Rekenen 2
Dit hoofdstuk is bedoeld als aanvulling op het boek voor
4VWO wiskunde B
Inhoudsopgave
7 Rekenen 2
1
2
3
4
Breuken
Wortels
Rekenen in de meetkunde
Rekenen in de kansrekening
1
8
14
17
eerste verbeterde experimentele uitgave, juli 2008
Colofon
© 2008
Stichting De Wageningse Methode
Auteurs
Leon van den Broek, Maris van Haandel, Dolf van den Hombergh,
Aafke Piekaar, Daan van Smaalen
Illustraties
Wilson Design, Uden
Distributie
Iddink voortgezet onderwijs bv, Postbus 14, 6710 BA Ede
ISBN
isbn
Homepage
www.wageningse-methode.nl
Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie,
microfilm of op welke andere wijze ook, zonder voorafgaande toestemming van de houder van het copyright.
Het is aan te bevelen in geen enkele opgave het rekenmachientje te gebruiken.
1 Breuken
Je herinnert je de volgende sommetjes van de basisschool nog wel:
3 ⋅ = 12 ;
7 ⋅ = 140 enzovoort.
De getallen die ingevuld moeten worden, kun je ook
schrijven als:
12 : 3 ; 140 : 7 enzovoort
of als
12/3 , 140/3 enzovoort
of als
12 140
,
enzovoort.
3
7
De getallen die je in moet vullen, hoeven niet geheel te
zijn, bijvoorbeeld 13/3.
a
= c komt op hetzelfde neer als a = b ⋅ c .
b
a a
= ⋅b = a .
b b
Dit geldt voor alle getallen a, b en c met b ≠ 0.
Dus: b ⋅
Waarom heeft de uitdrukking
a
geen zin als b = 0?
b
1 Bereken (schrijf zo eenvoudig mogelijk):
111 ⋅ 87
222 ⋅ 87
111 ⋅ 87
4 3 2 1
⋅ ⋅ ⋅
5 4 3 2
22 505 9
⋅
⋅
303 9 55
a 5
⋅
5 2a
111
a⋅
a⋅
b
a
ap ⋅
b
a
111
2
a⋅
b
a
b
ap
222
a2 ⋅
a⋅
b
a
bp
a
Hierbij zijn a, b en p getallen met a ≠ 0 en p ≠ 0.
Breuken
1
2 Vereenvoudig
3 x +1
⋅
x +1 7
3 2x + 2
⋅
x +1
7
3
2x + 2
⋅
5x + 5
7
3 x − 3 2x + 2
⋅
5x + 5 7x − 7
x 2 22
⋅
33 5 x
( x + 1) 2
22
⋅
33
( x + 1) 2
3 Welke van de volgende formules zijn goed?
(Dat wil zeggen, zijn ze waar voor alle a en b waarvoor
ze zin hebben?)
a−2
=a
a
2−a
= −1
2+a
2a
a
=
2 + a 1+ a
1
a
=
2+a 2
2+a a
=
2+b b
2a + b
=2
a + 21 b
1a
2
1b
3
a a2
=
b b2
=
1
a b
=
b 1
a
3a
2b
a − 3b 3b − a
=
b − 2a 2a − b
4 Verandert in het algemeen een breuk als
• je bij teller en noemer hetzelfde getal optelt?
• als je teller en noemer kwadrateert?
• als je van teller en noemer het tegengestelde neemt?
• als je van teller en noemer het omgekeerde neemt?
• als je teller en noemer met hetzelfde getal
vermenigvuldigt?
Voor alle getallen t, n en p met n ≠ 0 en t ≠ 0 geldt:
t
t⋅p
=
n n⋅p
2
Rekenen 2
+ = + = De som van twee breuken
De som van twee breuken kun je als één breuk schrijven
door de noemers gelijknamig te maken.
Voorbeelden:
2 2 6 2 8
+ = + =
3 9 9 9 9
2 1
6
5
11
+ =
+
=
5 3 15 15 15
b b
ab b
ab + b
+
=
+
=
2
2
2
a a
a
a
a2
2 b
6 ab 6 + ab
+ =
+
=
a 3 3a 3a
3a
5 Schrijf als één breuk met zo eenvoudig mogelijke
noemer.
7 1
5 4
−
−
9 3
11 9
1
5
2
+
+
10 12 15
1 1 1 1
1
+ + +
+
2 4 8 16 32
3 2
+
t t
3 t
+
t 3
t t
+
2 3
3
+2
t
1
1
+
x +1 x −1
1
1
−
x +1 x −1
1
x
+
x +1 x −1
x
−1
x +1
x+
3x
x −3
5
3
−
x +5 x +3
x−
3x
x −3
x
( x + 5)
2
−
1
x +5
6 Los op:
Breuken
4
4
+
=3
x +1 x −1
1
3
+
=2
x x+2
2x
x +1
−
=1
x +1 x + 3
x−
x2 +1
=1
x
3
Vereenvoudigen
Nog twee voorbeelden
2
3
3
4
2
⋅ 12 8
= 3
=
3 ⋅ 12
9
4
2
3
x
=
2⋅ x
3
x
⋅x
2x
3
=
7 Schrijf zo eenvoudig mogelijk.
3
16
4
9
3
8
9
16
6
t
3
t
6
t
6
n
t
t
6
t
1
3
t
t
3
t
t
n
8 Maak de breuk rechts van het = -teken af.
1 +a
1 +a
3+
1+
2
2
=
=
1
3+b
−a
2
9 Schrijf als enkelvoudige breuk, dat wil zeggen zonder
breuk in teller en noemer.
1 + 1
1+ 1
10 20
a
b
1−
1
200
1
1− ab
11
1
11
11 + 12
1+
1
a +1
1
a
a +1
a +1
1
a
10 Welke van de volgende formules zijn goed?
a
a
a+b
b
= 1+
= 1+
a+b
b
a
a
a+b a b
= +
c+d c d
a+b b
=
a+d d
Vereenvoudigen
Voorbeeld
x 2 + 5x + 6
2
x −4
4
=
( x + 2 )( x + 3 ) x + 3
=
( x + 2 )( x − 2 ) x − 2
Rekenen 2
11 Vereenvoudig door teller en noemer eerst te ontbinden.
9 − x2
x 2 + 3x
x2 − x − 6
x2 + x − 6
x 4 + 2x 3 − 8 x 2
3
2x + 6
2
1
2
x + x − 12 x
x + 1 21
4x + 8
x 2 + 4x + 4
x2 − 4
x2 − 4
−2 x + 4
x 10 − 1
x2 − 4
x5 −1
Op de GR zit de toets x −1 . Een andere schrijfwijze van
1
x −1 is
. We noemen x −1 het omgekeerde van x. Er
x
1
t
n
geldt: x ⋅ = 1 . Als x = dan is x −1 = .
x
n
t
t
In het volgende is x = .
n
Er geldt:
a a⋅n a⋅n
n
a: x = =
=
= a ⋅ = a ⋅ x −1 .
t
t ⋅n
t
t
n
n
Conclusie (dit heb je misschien op de basisschool al
gehad)
Delen door een breuk
is hetzelfde als
vermenigvuldigen met het omgekeerde van die
breuk.
12 Bereken en schrijf zo eenvoudig mogelijk.
2 3
:
3 4
2 4
:
3 9
0,27 : 0,03
a 1
:
x x
a
:a
x
a x
:
x a
a b a
 : :
x x x
x 2 : a2
x :a
a
x
b a
: : 
x x
( x − 1) :
Breuken
1
x
x − 1:
1
x
x:
1
x −1
5
13 Los de volgende vergelijkingen in x op.
2
3
x=
3
4
0,11x = 1,21
3
10
x = −1
1 41 x =
3
8
14 Voowerp en beeld
Een lampje is opgesteld voor een lens. Achter de lens
bevindt zich een scherm waarop het beeld van het
lampje wordt opgevangen. Als het lampje verplaatst
wordt, moet je het scherm meebewegen om een scherp
beeld te houden. De afstand lampje-lens noemen we v.
(de voorwerpsafstand), de afstand scherm-lens noemen
we b, (de beeldsafstand), beide in dm.
1 1
Voor onze lens geldt: + = 1 .
v b
a. Geef een formule voor b uitgedrukt in v. Schrijf het
antwoord als één zo eenvoudig mogelijke breuk.
b
.
v
b. Geef een formule voor V uitgedrukt in v. Schrijf het
antwoord als één zo eenvoudig mogelijke breuk.
c. Voor welke v is V = 2?
De vergroting V van de lens is
We bewegen het lampje 1 dm verder van de lens af.
d. Beweegt het beeld dan naar de lens toe of er van af?
1 1
Hoe kun je dat aan de formule + = 1 zien?
v b
Het aantal dm dat het beeld zich verplaatst naar de lens,
noemen we A.
e. Geef een formule voor A uitgedrukt in v. Schrijf het
antwoord als één zo eenvoudig mogelijke breuk.
15 Een schakeling
Ui de wet van Ohm volgt dat een parallelschakeling met
twee weerstanden R1 en R2 kan worden vervangen door
1
1
1
één weerstand R, waarbij: =
+
.
R R1 R 2
(Dat wil zeggen dat als je over de schakeling en over de
weerstand R hetzelfde spanningsverschil zet, er bij beide
schakelingen dezelfde stroom zal lopen.)
In de parallelschakeling hiernaast is R1 een weerstand
van 10 Ω en R2 een schuifweerstand die kan variëren van
0 tot 10 Ω.
a. Wat gebeurt er met R als R2 groter wordt?
6
Rekenen 2
b. Welke waarden kan R aannemen?
De schuifweerstand is gezet op x Ω.
c. Druk R uit in x.
De schuifweerstand wordt 1 Ω groter, dus R2 wordt x + 1.
d. Druk het aantal Ω dat R groter wordt uit in x.
16 a. Ga na dat 21 − 31 = 21 ⋅ 31 , 31 − 41 = 31 ⋅ 41 enzovoort.
1
1
1
−
=
.
x x − 1 x( x − 1)
b. Voor welke x heeft de formule geen betekenis?
c. Bewijs dat formule juist is voor alle getallen x
waarvoor hij betekenis heeft.
Bekijk de formule
Breuken
7
2 Wortels
1 De oppervlakte van een vierkant hangt af van de grootte
van zijn zijde. De zijde van een vierkant met oppervlakte
A is A .
a. Vul in:
als de oppervlakte 9 keer zo groot wordt, wordt de zijde
⋅ A.
zo groot. In formule: 9 A =
b. Vul in:
als de oppervlakte 3 keer zo groot wordt, wordt de zijde
zo groot.
In formule:
1
4
⋅ A.
A=
c. Vul in:
als de oppervlakte 2 keer zo groot wordt, wordt de zijde
zo groot.
Geef deze bewering ook in formulevorm.
Factoren voor het wortelteken brengen
Voorbeelden
18 = 9 ⋅ 2 = 3 2
700 = 100 ⋅ 7 = 10 7
2 Schrijf zo ook met een zo klein mogelijk geheel getal
onder het
-teken.
75
80
90
0,05
5
9
3
4
3 a. Leg uit dat
1
2
=
1
2
b. Behandel zo ook:
c. Leg uit dat geldt:
d. Behandel zo ook:
2
1
3
2
3
3
5
1
5
,
=
,
1
3
en
1
n
.
p
q
.
6.
5
7
en
De variabelen n, p en q zijn positief geheel.
8
Rekenen 2
Een wortel in de noemer
Voorbeeld
3
3⋅ 2
6 1
=
=
=2 6
2
2
2⋅ 2
Het kan ook zo:
3
3
6
=
=
=
2
4
2
6
=
4
6
=
2
1
2
6
van de noemer een kwadraat maken
4 Schrijf zonder wortel in de noemer, met een zo klein
mogelijk getal onder het
6
-teken.
6
6
a
5
4
3
a en b zijn positieve gehele getallen.
b
Als wortel van één getal schrijven
Voorbeeld
3 2 = 9 ⋅ 2 = 18
1
2
7=
1
4
⋅ 7=
7
4
5 Schrijf als wortel van één getal.
1
2
1
2
8
3 8
10
3 10
0,1 8
0,1 10
2⋅ 8
2 ⋅ 10
6 Toon aan
a.
4− 7 ⋅ 4+ 7 =3
b.
4+ 7 − 4− 7 = 2
Tip. Kwadrateer!
Peter kwadrateert 4 − 7 − 4 + 7 en vindt 2.
c. Ga na dat Peter dat goed gedaan heeft.
Peter concludeert nu dat 4 − 7 − 4 + 7 = 2 .
d. Wat is hierop je commentaar?
Wortels
9
7 Vereenvoudig:
63 + 28
10 + 2 21
63 − 28
10 − 2 21
63 ⋅ 28
10 ⋅ 2 21
63 : 28
10 : 2 21
8 Schrijf zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.
( 3 − 2 )2
( 11 − 10 )2
( n + 1 − n )2
(2 10 )2
 9 + 1 
9

( 12 + 8 )2
 10 + 1 
10 

( 13 + 7 )2
 11 + 1 
11 

( 14 + 6 )2
 12 + 1 
12 

( 10 + n +
10 − n
( 3 − 2 )( 3 + 2 )
( 11 − 10 )( 11 + 10 )
( n + 1 − n )( n + 1 + n )
)2
2
2
2
2
 10 + n +
1 
10 + n 

2
9 Schrijf zo eenvoudig mogelijk, zonder wortel in de
noemer (x > 0).
9
3
x
9
3
x
2x
x
2x
2 x
2x
x
2x + 4
x
2x + 4
2x
x2 + x
x
10
x2
x
x2 + x
x
x2
2 x
+ 21 x x
Rekenen 2
10 Schrijf zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.
(x + x )2
( x −1 +
(x x )2
)
x +1
11 a. Reken na dat
Kun je nu ook

1 
 x +

x

2
2
8 + 2 7 = 7 + 1.
8 − 2 7 vereenvoudigen?
8+2 7 − 8−2 7 ?
En
b. Reken na dat
Kun je nu ook
3 + 5 = 2 21 +
1
2
3 − 5 vereenvoudigen?
En 3 + 5 − 3 − 5 ?
c. Vul passende gehele getallen in:
12 + 80 =
__ + __
12 Los de volgende vergelijkingen op.
x =5
x = −5
x =x
x = −x
x = 2x
x x = 2x
2 x +1 = 2 + x +1
x +1
x
x+2 = x
2
= 1+ x

3 
 x −
 = 4
x

13 A, B, C en D zijn hoekpunten van een vierkant met zijden
van lengte 8. P en Q liggen zó binnen het vierkant dat
AP = BQ = CQ = DP. Er wordt een wegennet aangelegd
zoals in de tekening hiernaast. De lengte van het net
hangt af van de lengte van PQ, die we x noemen.
a. Druk AP in x uit.
b. Bereken x als AP = PQ.
c. Bereken x als de lengte van het net 22 is.
Wortels
11
14 Schrijf als één zo eenvoudig mogelijke enkelvoudige
breuk.
1
1
1
+ x
+
x
x x
1
2
x+
x−
x
x
2x + 2
x −2
Voorbeeld
Schrijf zonder wortel in de noemer:
2
2
=
3− 2
⋅
3− 2
3+ 2
3+ 2
=
2 3 +2 2
=2 3 +2 2
3−2
15 Schrijf zonder wortel in de noemer.
2
2
2 −1
2 +1
3+ 2
1
2 +1
a+b − b
2
 1
 
1
16 Bekijk de formule: x 2 + 1 
+ 1 =  x +  .
2
x


x

a. Laat dat deze formule geldt voor elke x ≠ 0.
(
)
Bekijk de formule:
x2 +1 +
1
+1 =
(x + 1)2 +  1 + 1
2
x

x2
b. Toon aan dat die voor positieve getallen x geldt.
Laat met een tegenvoorbeeld zien dat die niet voor
negatieve getallen x geldt.
In de rechthoekige driehoek ABC hiernaast, ligt M op AB,
N op BC en Q op AC zó, dat BM = BN = 1 en BNQM een
rechthoek is. De lengte van AM noemen we x.
1
c. Toon aan dat CN = . Tip. Gebruik gelijkvormigheid.
x
Door AC op twee manieren in x uit te drukken, kun je de
formule boven aan de bladzijde meetkundig bewijzen.
d. Doe dat.
12
Rekenen 2
17 Bekijk de volgende formules:
1
x
x
x +1
=
en
=
.
2
1
1
2
1+ x 2
1
+
x
1+
1+ x + 1+
x2
x2
a. Toon aan dat die voor positieve getallen x gelden.
Laat met een tegenvoorbeeld zien dat die niet voor
negatieve getallen x gelden.
Bekijk nog eens de driehoek van de vorige opgave. Hoek
CAB noemen we α.
Door in drie verschillende driehoeken te kijken, kun je
cos α op drie manieren in x uitdrukken.
b. Laat op die manier meetkundig zien dat de formules
juist zijn voor positieve x.
18 Nederlandse wiskunde olympiade, 1991
Van trapezium ABCD is gegeven: DA = AB = BC = 4 en
CD = 2.
Bereken de oppervlakte van de cirkel door de punten A,
B, C en D.
Wortels
13
3 Rekenen in de meetkunde
1 We trekken in een driehoek met zijden 5, 6 en 8 een
lijnstuk evenwijdig aan een van de zijden.
Bereken x in elk van de gevallen.
2 Een driehoek wordt door een lijnstuk evenwijdig aan de
basis verdeeld in twee stukken. De oppervlakte van elk
van de stukken is gegeven. De basis van de driehoek is
gegeven.
Bereken de lengte van het lijnstuk.
3 ABCD is een parallellogram. M is het midden van CD. S
is het snijpunt van AM en BD. Gegeven is dat AM = 6 en
BD = 10.
a. Bereken AS, BS, MS en DS.
b. Bereken de verhouding van oppervlakten van de vier
stukken waarin het parallellogram is verdeeld.
4 In een driehoek zijn twee lijnstukken evenwijdig aan de
basis getekend. De lijnstukken hebben lengte B en H. De
basis heeft lengte 1.
Bereken de verhouding van de drie stukken waarin de
opstaande zijden worden verdeeld.
5 De twee driehoeken in de
gelijkvormig. Verder zie plaatje.
Bereken x.
figuur
hieronder
zijn
6 In vierkant ABCD is M het midden van AD en staat CP
loodrecht op BM.
Bereken de lengte van CP.
14
Rekenen 2
7 Driehoek ABC is rechthoekig. CD is de hoogtelijn op de
schuine zijde.
a. Bewijs dat de driehoeken ADC, CDB en ABC
gelijkvormig zijn.
b. Bereken de stukken waarin D de schuine zijde
verdeelt.
8 Bereken x in de figuur hieronder.
9 Op 3 meter afstand van een huis staat een viermeter
hoge schutting. Een ladder staat tegen de gevel en
steunt precies op de schutting.
Bereken hoe ver de voet van de ladder voor de schutting
staat als hij 10 meter hoog reikt.
10 We biljarten zonder effect via de x-as van (6,2) naar
(0,3). De bal vertrekt van de band onder dezelfde hoek
als hij er aankomt.
In welk punt moeten we de x-as raken?
11 ABCDE is een regelmatige vijfhoek met zijden van lengte
1. De diagonalen AD en CE snijden elkaar in S.
a. Laat zien dat de driehoeken ACS en DES gelijkvormig
zijn.
De lengte van AC noemen we x.
b. Laat zien dat x 2 − x = 1 .
c. Bereken de exacte waarde van x.
Rekenen in de meetkunde
15
De verhouding van de stukken waarin de diagonalen elkaar verdelen
stond al bij de oude Grieken in de belangstelling. Het is de zogenaamde
gulden verhouding.
diagonaal grote stuk
=
grote stuk kleine stuk
12 OABC ⋅ EFGH is een kubus met O(0,0,0), A(6,0,0),
C(0,6,0) en D(0,0,6). Op de x-as ligt P(8,0,0) en op de zas Q(0,0,9). Driehoek PQC snijdt vier ribben van de
kubus. De snijpunten noemen we R, S, T en U, zie
plaatje.
a. Bereken de coördinaten van de snijpunten.
b. Welk deel van de oppervlakte van driehoek PQC ligt
binnen de kubus?
Q beweegt over de z-as. Hierdoor verandert de lengte
van lijnstuk TR.
c. Bereken de z–coördinaat van Q als T = (0,5,6).
d. Wat is de maximale lengte van lijnstuk RT en bij welke
z-coördinaat van Q wordt die bereikt?
13 Van driehoek ABC hiernaast is gegeven AB = 16 en
AC = BC = 10.
a. Bereken de oppervlakte van driehoek ABC.
b. Bereken de straal van de omgeschreven cirkel van
driehoek ABC.
Tip. Stel een vergelijking op met behulp van de stelling van Pythagoras.
14 De twee verticale palen van lengte 3 en 8 meter in het
plaatje hieronder staan op een horizontaal terrein.
Tussen de palen loopt een strak gespannen draad. De
draad is verdeeld in drie even lange stukken.
a. Hoe hoog liggen de verdeelpunten boven het terrein?
b. Dezelfde vraag als de palen a en b meter lang zijn
Vereenvoudig
je
antwoord.
(met
a < b).
16
Rekenen 2
4 Rekenen in de kansrekening
1 In een doos zitten witte en zwarte ballen. Jaap trekt twee
keer een bal uit de doos. De kans dat de eerste bal wit is,
is even groot als de kans dat de tweede wit is. Ook als
Jaap zonder terugleggen trekt.
Veronderstel dat er n witte en m zwarte ballen in de doos
zitten.
a. Neem n = 5 en m = 3 en bereken P(eerste wit) en
P(tweede wit) = P(eerste wit en tweede wit) + P(eerste
zwart en tweede wit).
b. Druk P(eerste wit) en P(tweede wit) uit in m en n.
Blijkbaar moet je laten zien dat:
n
n
n −1
m
n
=
⋅
+
⋅
m + n m + n m + n −1 m + n m + n −1
c. Doe dat algebraïsch.
2 In een vaas zitten 100 knikkers, witte en zwarte. Het
aantal witte knikkers in de vaas noemen we k. Anne trekt
met terugleggen twee knikkers uit de vaas. P(k) is de
kans dat de knikkers verschillend van kleur zijn.
a. Geef een formule voor P(k).
b. Voor welke k is P(k) maximaal?
3 In twee vazen zitten elk 50 knikkers. In de ene vaas witte,
in de andere zwarte. Anne mag uit een van de vazen
zoveel knikkers in de andere vaas stoppen als ze wil.
Vervolgens moet ze, zonder te kijken uit één van de
vazen een knikker halen. Als de knikker wit is, krijgt ze
een prijs.
Als Anne geen knikker verplaatst, of alle witte knikkers in
één vaas stopt, is de kans dat ze een witte knikker pakt 1.
Veronderstel dat ze k witte knikkers bij de zwarte doet.
a. Druk de kans dat Anne een witte knikker pakt in k uit
25
en laat zien dat deze kans gelijk is aan 1 – .
50 + k
b. Wat adviseer jij Anne?
4 In een vaas zitten 10 witte knikkers. Anne stopt er k
zwarte bij. Nu pakt ze twee knikkers uit de vaas, met
terugleggen. P(k) is de kans dat beide knikkers dezelfde
kleur hebben.
Als k = 0, dan is P(k) natuurlijk 1. Als k > 0,dan is
P(k) < 1, maar als k erg groot is, dan is P(k) weer bijna 1.
a. Geef een formule voor P(k).
b. Voor welke k geldt: P(k) > 59 ?
Rekenen in de kansrekening
17
2
 k − 10 
P(k) = 21 + 21 ⋅ 

 k + 10 
c. Toon dat aan.
d. Voor welke k is P(k) minimaal?
18
Rekenen 2
5 Antwoorden
Paragraaf 1 Breuken
1 87
2
174
431
1
5
2
3
1
2
b
b
a
bp
b
p
ab
3
7
6
35
6
7
6
35
2x
15
2
3
3 fout
fout
fout
goed
goed
bp
fout
fout
goed
fout
goed
4 • ja
• ja
• nee
• ja
• nee
5
4
9
13
20
5
t
5t
6
2x
t +9
3t
2t + 3
t
−2
x2 −1
x2 +1
x2 −1
−1
x +1
x2 −1
x2
x −3
2x
(x + 5)(x + 3)
Antwoorden
1
99
31
32
2
x 2 − 6x
x −3
−5
(x + 5)2
19
6 3, 31
geen oplossing
1, -1
-1
27
64
2
3
t2
3
3
8
3 + 6a
18 + 6b
1 + 2a
1 − 2a
9
30
199
7
2
6
t2
n
t
n
t
a+b
ab − 1
a +1
a+2
12
13
1
a2 + a
2
a +a
10 fout
fout
goed
fout
x +3
x+2
x (x − 2 )
x −3
4
x −2
−2
x +2
11 −
4
x +2
x−2
x5 +1
12 89
3
2
a
1
x
a2
bx
x2 − x
x
b
0
13 98
14 a. b =
9
a2
x2
x
a
x2 − x
- 10
3
3
10
11
20
x
x −2
v
v −1
Rekenen 2
1
v −1
b. V =
c. 1 21
d. Naar de lens toe. Als v groter wordt, dan wordt
kleiner, dus
e.
1
v
1
groter, dus b kleiner.
b
1
v ( v − 1)
1
1
wordt dan kleiner, dus
ook, dus R wordt groter.
R2
R
1
b. Als R2 heel groot is, dan is
bijna 0, dus dan R ≈
R2
1
erg groot, dus dan R ≈
10. Als R2 bijna 0 is, dan is
R2
R2, dus R neemt waarden tussen 0 en 10 aan.
15 a.
10 x
x + 10
10
d.
(x + 10 )(x + 11)
c. R =
16 b. x = 0 en x = 1
Paragraaf 2
Wortels
1 a. 3, 3,
b. 21 , 21
c.
2
2,
2A = 2 ⋅ A
5 3
1
10
3 a.
5
1
2
=
2
4
=
4 5
3 10
1
3
5
1
2
1
4
⋅2 =
1
2
2
1
3
6
3
b. 31 3 , 51 5 , n1 n
c.
2
3
=
6
9
=
1 ⋅6
9
=
d. 51 15 , 71 35 , q1 pq
Antwoorden
21
4
1
5
1
2
30
6
1
b
2
2
2 21
0,08
0,1
72
90
16
20
5
6 a.
4− 7 ⋅ 4+ 7 =
(4 −
(
ab
))
7 ⋅ 4 + 7 = 16 − 7 = 3
2
b.  4 + 7 − 4 − 7  =


2
2
 4 + 7  − 2 4 + 7 ⋅ 4 − 7 +  4 − 7  = 







4 + 7 + 2 4 + 7 ⋅ 4 − 7 + 4 − 7 = 8 – 6 = 2.
c. Zie b.
d. 4 − 7 − 4 + 7 = − 2 , want
negatief.
7
1 21 10
5 7
1
2
7
42
5−2 6
1
21− 2 110
1
2n + 1 − 2 n( n + 1)
1
40
11 91
20 + 4 6
1
12 10
20 + 2 91
1
13 11
20 + 4 21
1
14 12
20 + 2 100 − n 2
12 + n + 101+ n
9 3
3
2 x
2x + 4
x x+ x
22
10
5
2
3
2
8
4 − 7 − 4 + 7 is
1
2
1
2
x
x
2x
2x
x x
x x +1
x x
Rekenen 2
10 x 2 + x + 2 x x
x3
2x + 2 x 2 − 1
1
x
x +2+
11 a. Kwadrateren geeft: 8 + 2 7 = 7 + 2 7 + 1 en dat klopt.
8 + 2 7 en
Omdat
7 + 1 beide positief zijn, geldt:
8 + 2 7 = 7 + 1.
( 7 − 1)2 = 8 − 2
7 , dus
8 − 2 7 = 7 − 1.
8 + 2 7 − 8 − 2 7 = 7 + 1−
b. Kwadrateren geeft:
 2 1 +
2

2
 = 2 1 + 2 2 1 ⋅ 1 +
2
2 2

1
2
3 + 5 . Omdat
geldt dus
( 7 − 1) = 2
3 + 5 en
3 + 5 = 2 21 +
1
2
= 3 + 4 ⋅ 2 21 ⋅ 21 = 2 21 +
1
2
1
2
.
2
 3 − 5  = 3 − 5 en  2 1 −



2



1
2
2 21 −
1
2
omdat zowel
3 − 5 als
3 − 5 = 2 21 −
1
2
beide positief zijn,
2
 = 3 − 5 , en

positief zijn, geldt:
.
3 + 5 − 3 − 5 = 2 21 +
1
2
−  2 21 −

1
2
 = 2 2 1 = 10
2

c.
12 + 80 = 4 ⋅ 3 + 4 5 = 2 3 + 5 = 2 2 21 +

12 25
0, 1
0, 41
 = 10 + 2

geen oplossing
0
0, 4
3
1
13 a.
1
2
2
1, 9
1
4
x 2 − 4 x + 32
-8+8 7
3
c. 2, 4 32
b.
Antwoorden
23
14
1+ x
x
1
1+ x
x
1
2 x
x
15 2 + 2
2− 2
a+b + b
a
2 2 −1
(x
16 a.
2
 1

1
+ 1 
+ 1 = 1 + x 2 +
+ 1 en
2
x2
x

)
2
1
1

2
x +  = x + 2+ 2
x


x
b.
(x + 1)2 +  1 + 1
x

2
= x 2 + 2x + 1 +
1
x
2
+
2
+1
x
En:
 2
 x +1+


2

1
1
+ 1 = x 2 + 1 + 2 x 2 + 1
+1+
+1

2
2
x
x
x2

1 1

= x 2 + 1 + 2 x +  +
+ 1 (de laatste gelijkheid volgt
x  x2

uit a.)
1
Als je voor x = -1 neemt, dan is het linkerlid 2 2 en het
rechterlid 0.
c. De driehoeken AMQ en QNC zijn gelijkvormig, dus:
QM CN
1 CN
=
⇔ =
= CN
AM QN
x
1
1
d. AB= x + 1 en AC = 1+ . De stelling van Pythagoras
x
in driehoek ABC geeft: AC = (x + 1)2 +  1 + 1
2
x

Stelling van Pythagoras in driehoek AMQ geeft:
.
AQ = 1 + x 2
Stelling van Pythagoras in driehoek CNQ geeft:
1
.
CQ = 1 +
x2
Als je dit invult in AQ + QC = AC krijg je de gelijkheid
x2 +1 +
24
1
x2
+1 =
(x + 1)2 +  1 + 1
x

2
.
Rekenen 2
x
17
=
1+ x 2
1
1
1+ x 2
x
x +1
2
1+ x + 1+
1
=
1+ x 2
x2
1+
x2
x +1
=
1
1
=
1+ x 2 +
en
1
x2
=
x2 +1
x2
x (x + 1)
x +1
x
x
⋅ =
=
1
2
2 x
(x + 1) x + 1 1 + x 2
1+ x +
1+ x
x
Bij de eerste gelijkheid krijg je voor x = -1 in het linkerlid
een negatief getal en in het rechterlid een positief getal.
Bij de tweede gelijkheid krijg je voor x = -1 in het linkerlid
een negatief getal en in het rechterlid 0.
NQ
1
b. In driehoek CQN: cos α =
=
,
CQ
1
1+
x2
AM
x
in driehoek QAM: cos α =
=
,
AQ
2
x +1
2
in driehoek ABC: cos α =
AB
=
AQ + QC
x +1
2
x + 1 + 1+
.
1
x2
18 Zie plaatje. De hoogte van het trapezium is enerzijds:
1
4 2 − 12 = 15 , anderzijds:
is R de straal van de cirkel.
R
4
Dus: R 2 − 1 + R 2 − 4 = 15 .
Kwadrateren geeft:
M
R
2
R 2 − 1 + R 2 − 4 . Hierbij
R 2 − 1 + 2 R 2 − 1 R 2 − 4 + R 2 − 4 = 15 , dus:
1
R 2 − 1 R 2 − 4 = 10 − R 2 . Nogmaals kwadrateren
4
2
2
4
geeft: R − 5 R + 4 = 100 − 20 R + R , dus
96
R2 =
. De oppervlakte van de cirkel is πR 2 = 32
π.
5
15
3 Rekenen in de meetkunde
1
16
3
2 21
2
2 8
Antwoorden
25
3 a. 4, 6 32 , 2, 3 31
b. 1 : 2 : 4 : 5
4 8:1:3
5
x +2 x +5
=
geeft x = 4
x
x+2
6
4 5 7 a. ∠CAB + ∠ACD = 90° en ∠DCB + ∠ACD = 90°, dus
∠DCB = ∠CAB enzovoort. De drie driehoeken hebben
dezelfde hoeken.
b. 3 51 en 1 54
8 1, 2
9 2 meter
10 (3 35 ,0)
11 a. Vanwege symmetrie is AC evenwijdig met DE.
b. Evenzo is CS evenwijdig met AB, dus is SCBA een
parallellogram, dus CS = 1., dus SE = x − 1. Omdat ook
CS = x ⋅ SE geldt: x (x − 1) = 1 .
c. 21 + 21 5 (want x > 0)
(
) (
)
(
12 a. R 2 23 ,0,6 , S 4,0,2 41 , T (0,4,6 ) , U 6,0, 21
)
b. 119
deel
144
c. (0,0,30)
d. 7 21 als Q = (0,0,24 )
13 a. 48
b. 8 31
14 a. 4 32 , 6 31
b. 32 a + 31 b, 31 a + 32 b
4 Rekenen in de kansrekening
1 a. 58 ⋅ 74 + 38 ⋅ 57 = 58
26
Rekenen 2
n
n+m
b.
en
n
n −1
m
n
⋅
+
⋅
m + n m + n −1 m + n m + n −1
n
n −1
m
n
n 2 − n + mn
⋅
+
⋅
=
c. m + n m + n − 1 m + n m + n − 1 (m + n )(m + n − 1)
=
n (n − m − 1)
n
=
.
(m + n )(m + n − 1) n + m
2 a. P (k ) =
(100 − k )k
4950
b. k = 50
1 k + 1 (50 + k )
1
k
1
k + 25 k + 50 − 25
2
⋅
+ = 2
=
=
2 50 + k 2
50 + k
50 + k
50 + k
k + 50
25
25
−
= 1−
50 + k 50 + k
50 + k
b. De uitdrukking in a is maximaal als k zo groot
mogelijk is. Ze moet dus alle knikkers in één vaas
stoppen.
3 a.
2
2
100 + k 2
 10 
 k 
4 a. P (k ) = 
 +
 =
 10 + k 
 10 + k 
(10 + k )2
b. Minder dan 5 of meer dan 20
2
(k + 10 )2 + (k − 10 )2 =
 k − 10 
c. 21 + 21 ⋅ 
 = 21 ⋅
 k + 10 
(k + 10 )2
1⋅
2
k 2 + 20k + 100 + k 2 − 20k + 100
(k + 10 )2
=
k 2 + 100
(k + 10 )2
d. Minimaal als k = 10
Antwoorden
27