1. Reële functies en algebra

Pagina 1 van 6
Bijlage 6 OPMERKINGEN BIJ DE BESPROKEN PROEFWERKEN
1. Reële functies en algebra
1) Deze vraag peilt naar leerplandoelstelling F15.
- Om eventueel gokken of elimineren bij de leerlingen te voorkomen, werk je echter bij dergelijke
soort vragen beter met een ongelijk aantal grafieken en toenamediagrammen.
- De vraagstelling is ‘kaal’. Dergelijke vragen mogen uiteraard voorkomen, maar we willen toch
vermelden dat je de denk- en redeneervaardigheid van de leerlingen beter kunt ontwikkelen
door een contextvraag te stellen. Een contextvraag is veel rijker en spreekt de leerlingen ook
veel meer aan. We geven hieronder een voorbeeld van dergelijke vraag.
Je hebt vast wel eens in het zwembad met een bal gespeeld. Je hebt dan misschien gemerkt dat
het niet meevalt om een bal helemaal onder water te duwen.
In deze opgave nemen we aan dat de bal niet vervormt, dus zuiver rond blijft.
In bovenstaande figuur is de bal gedeeltelijk onder water. De diameter van de bal is d. De afstand
van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak noemen we x. W is het volume van het deel
van de bal dat onder water is.
Je hebt nu de bal boven water en je duwt hem langzaam in het water tot hij helemaal onder water
is. In de volgende figuur zie je vier diagrammen waarin de toename van W is weergegeven. Drie
van de vier diagrammen zijn fout.
Welke van deze toenamediagrammen past bij het onder water duwen van de bal? Verklaar
duidelijk je keuze en gebruik volledige zinnen om dit uit te leggen.
Begeleiding wiskunde West-Vlaanderen – Dag van de studierichtingen – Schooljaar 2015-2016
Derde graad kso/tso met twee wekelijkse lestijden wiskunde
BIJLAGE 6
Pagina 2 van 6
2) Dit is een goede vraag die voornamelijk peilt naar leerplandoelstelling F7.
De vergelijking in f) kan ook met Briggse logaritmen opgelost worden, maar voel je zeker niet
verplicht. Het invoeren van logaritmen is immers geen must.
3) Deze vraag beantwoordt niet aan een leerplandoelstelling en wordt dus best vermeden. In de
pedagogisch-didactische wenken bij financiële algebra lezen we: “Het is voldoende dat het begrip
‘n-de machtswortel’ gedefinieerd wordt … Het aantal oefeningen in verband met rekenregels wordt
zeer beperkt gehouden.”
4) Deze vraag peilt naar de leerplandoelstelling F5.
- Hier worden in één zin eigenlijk twee vragen gesteld. Het is beter om die vragen op te splitsen:
a) Bepaal het tekenverloop.
b) Bepaal het waardenverloop.
- De vraag zou ‘rijker’ zijn indien er ook gevraagd wordt naar een ‘interpretatie’ van beide
tabellen. Dit kan gebeuren door bv. de leerlingen de grafiek te laten schetsen en daarop aan te
duiden welke informatie elke tabel meegeeft.
- De constante term 24 biedt in deze vraag geen enkele meerwaarde. Je kon dus evengoed
f ( x)  x 2  11x als functievoorschrift genomen hebben (cfr. ‘Discriminant bij uitzondering
gebruiken’).
5) Deze vraag beoogt leerplandoelstelling F12.
Er komen hier echter stapelvragen voor met als gevolg dat het niet kunnen beantwoorden van een
deelvraag als gevolg heeft dat de volgende vragen ook niet kunnen beantwoord worden. Dergelijke
soort vraagstelling wordt best vermeden. Hier zou dat concreet betekenen dat je enkel vragen stelt
waarbij de leerlingen vanuit een tabel het functievoorschrift dienen te bepalen of vragen waarbij de
leerlingen vanuit een gegeven voorschrift allerlei vragen dienen te beantwoorden.
6) Dit is een goede voorbereidende oefening op leerplandoelstelling F12.
Het is prima dat er hier telkens naar een verklaring wordt gevraagd.
Om eventueel gokken of elimineren bij de leerlingen te voorkomen, werk je hier beter met een
ongelijk aantal grafieken en functievoorschriften.
7) Deze vraag beantwoordt niet aan de leerplandoelstellingen en wordt dus beter vermeden.
8) Deze vraag peilt naar leerplandoelstelling F5.
Hier is het echter wel jammer dat er niet telkens naar een ‘verklaring’ wordt gevraagd. Zo is een
mooie kans onbenut gebleven om de taalvaardigheid en de denk- en redeneervaardigheid van de
leerlingen te evalueren.
9) Vermijd invulvragen! Formuleer vragen waarbij de leerlingen met een zin moeten antwoorden. Zo
stimuleer je de taalvaardigheid.
10) Deze vraag voldoet geenszins aan de basisdoelstellingen.
Indien deze vraag bedoeld is om de uitbreidingsdoelstellingen F18 en F19 te evalueren, dan nog
voldoet ze niet. Het betreft hier immers kaal rekenwerk zonder betekenis en interpretatie binnen
een context. In het leerplan lezen we bij de pedagogisch-didactische wenken: “Het is niet de
bedoeling afgeleiden te berekenen van allerlei functies of afleidingsregels te gaan opstellen. De
betekenis gaat voor op het algebraïsch rekenwerk.”.
Begeleiding wiskunde West-Vlaanderen – Dag van de studierichtingen – Schooljaar 2015-2016
Derde graad kso/tso met twee wekelijkse lestijden wiskunde
BIJLAGE 6
Pagina 3 van 6
11) Dit is een goede vraag die peilt naar leerplandoelstellingen F1 en F2.
De vraag is echter wel lang. Het is daarom beter om ofwel d) ofwel e) te vragen, maar niet
allebei.
12) Deze vraagt peilt naar leerplandoelstelling F7.
-
Vraag d) heeft hier weinig nut; ze staat totaal los van de context.
-
Waarom zouden we hier geen gebruik maken van een voorschrift waarvan de grafiek door de
oorsprong gaat? Het voorschrift zou dan h( s )  0,1s  0,642s zijn en de grafiek de
volgende:
2
In dit geval zou de oorsprong dan het ‘afzetpunt’ zijn. Dan zou er bv. kunnen gevraagd worden
naar de betekenis van h(0,46). De andere nulwaarde zou ook eens exact kunnen berekend
worden. De verte van de sprong kan dan ook ‘beredeneerd’ worden … Kortom, de vraag kan
hierdoor ‘rijker’ worden.
Begeleiding wiskunde West-Vlaanderen – Dag van de studierichtingen – Schooljaar 2015-2016
Derde graad kso/tso met twee wekelijkse lestijden wiskunde
BIJLAGE 6
Pagina 4 van 6
13) Deze vraag beoogt leerplandoelstelling F17, maar ze is niet al te best opgesteld.
- Vooreerst hoeft er niet tot drie keer toe gevraagd te worden om een snelheid zowel in m/sec
als in km/h te geven. Een leerling die dit één keer kan, zal dat wellicht ook drie keer kunnen
en wie die omzetting niet kan uitvoeren, zal dat wellicht drie keer foutief doen.
- Vraag a): aangezien er in vraag c) staat dat de grafische rekenmachine mag gebruikt worden
en in vraag a) niet, vermoeden we dat bij vraag a) verwacht wordt dat de leerling met de
afgeleide functie moet werken. Bedenk echter dat dit een uitbreidingsdoelstelling is. Die komt
best alleen aan bod als alle basisdoelstellingen niet in het gedrang komen en als het niveau
van de leerlingen dit toelaat. Als men deze uitbreidingsdoelstelling evalueert, dan wordt deze
vraag best als laatste gesteld (in functie van een stijgende moeilijkheidsgraad).
- Vraag b) is slecht geformuleerd. Hier wordt bedoeld: de ‘gemiddelde’ snelheid tussen de
eerste en de derde seconde.
- In vraag c) wordt er niet gezegd hoe de berekening moet gebeuren. Door de gemiddelde
snelheid te nemen over steeds kleiner wordende tijdsintervallen? Door de grafische
rekenmachine de vergelijking van de raaklijn in (3, h(3)) te laten zoeken? Door het
rekentoestel de afgeleide in 3 te laten berekenen (uitbreidingsdoelstelling)?
Hoe dan ook is het zeker interessant om de leerlingen te laten vermelden op welke manier ze
hun resultaat bekomen hebben via hun grafische rekenmachine.
- Vraag e) is een analoge vraag als vraag a) (of vraag c)). Ze wordt dus beter weggelaten.
Deze vraag zou bv. kunnen vervangen worden door de volgende:
De beroemde Italiaanse wetenschapper Galileo Galileï (1564-1642) voerde van op de scheve
toren van Pisa zijn valproeven uit. Een voorwerp dat van deze toren valt, zal na enkele seconden
de grond bereiken. De grafiek van de valbeweging heeft het volgende voorschrift:
h(t )  55,86  4,9t 2 . Hierbij is h de hoogte in meter en t de tijd in seconden.
a) Bereken de gemiddelde snelheid van het vallende voorwerp tussen de eerste en derde
seconde. Geef deze snelheid zowel in m/sec als in km/h.
b) Na hoeveel seconden bereikt het voorwerp de grond? (rond af tot op één duizendste van een
seconde)
c) We gaan op zoek naar de ogenblikkelijke snelheid van het voorwerp na 3 seconden. Bereken
daartoe de gemiddelde snelheid van het voorwerp over de volgende tijdsintervallen:

[3 ; 3,1] :

[3 ; 3,01] :

[3 ; 3,001] :
d) Tot dezelfde conclusie kun je komen door te werken met een raaklijn.

In welk punt (koppel!) van de grafiek zal je die raaklijn zoeken?

Laat je grafische rekenmachine deze raaklijn tekenen. Wat is de vergelijking van de
raaklijn?

Hoe kan je vanuit die vergelijking de ogenblikkelijke snelheid na 3 seconden vinden?
e) Uit de bekomen resultaten in c) en d) kun je de ogenblikkelijke snelheid na 3 seconden
bepalen. Hoeveel bedraagt die snelheid?
Begeleiding wiskunde West-Vlaanderen – Dag van de studierichtingen – Schooljaar 2015-2016
Derde graad kso/tso met twee wekelijkse lestijden wiskunde
BIJLAGE 6
Pagina 5 van 6
2. Statistiek
1) Deze vraag is voor veel verbeteringen vatbaar:
- In de vraagstelling is niet vermeld dat het gewicht uitgedrukt wordt in kg.
- Het leerplan vraagt om statistische gegevens te interpreteren. Het kan niet de bedoeling zijn om
de leerlingen op een proefwerk een frequentietabel zo goed als helemaal zelf te laten
aanvullen.
- In heel veel vragen wordt enkel gevraagd om iets te berekenen zonder verdere interpretatie.
- Er worden eigenlijk heel veel vragen gesteld die gelinkt zijn aan diezelfde frequentietabel. Eén
foutje bij de opmaak van die tabel heeft bijgevolg directe invloed op de correctheid van het
antwoord. We gaan ervan uit dat de leerkracht bij het verbeteren rekening houdt met een eerder
gemaakte fout, maar het bevordert hoe dan ook het verbeterwerk niet. Het is daarom veel beter
om op een proefwerk kortere vragen te stellen die peilen naar deelaspecten (bv. vanuit een
gegeven grafische voorstelling enkele vragen stellen, vanuit een gegeven frequentietabel
enkele vragen stellen, in een gegeven frequentietabel met enkele ontbrekende gegevens deze
laten aanvullen en naar een verklaring vragen, vanuit een gegeven frequentietabel een
grafische voorstelling opbouwen, grafische voorstellingen met elkaar vergelijken en
interpreteren …).
- …
2) Dit is een goede vraag die peilt naar leerplandoelstelling S1. Vanuit staafdiagrammen wordt
gevraagd om het gemiddelde te interpreteren.
3) Het is niet de bedoeling dergelijke vraag te stellen. Ze beoogt geen enkele leerplandoelstelling.
4) Dit is een goede vraag die beantwoordt aan leerplandoelstelling S1.
5) Dit is een goede vraag die peilt naar leerplandoelstelling S2.
6) Dit is een goede vraag.
Vraag a) peilt naar leerplandoelstelling S3, vraag b) naar S4.
7) Dit is een goede vraag die peilt naar leerplandoelstelling S4. Doordat er een schets gevraagd
wordt, gaat deze vraag verder dan het louter rekentechnische, maar wordt er ook gevraagd naar
een interpretatie.
8) Deze vraag peilt naar interpretatie van grafische voorstellingen en beantwoordt bijgevolg aan
leerplandoelstelling S1. De vraag zou echter nog rijker geweest zijn indien er telkens naar een
verklaring gevraagd was.
Begeleiding wiskunde West-Vlaanderen – Dag van de studierichtingen – Schooljaar 2015-2016
Derde graad kso/tso met twee wekelijkse lestijden wiskunde
BIJLAGE 6
Pagina 6 van 6
3. Financiële algebra
1) In het leerplan lezen we bij de pedagogisch-didactische wenken: “Oefeningen op het berekenen
van de netto-intrest bij een zichtrekening of spaarrekening hebben geen zin. … Om deze
begrippen te illustreren kan men gebruik maken van bankdocumenten zonder dat dit aanleiding
moet geven tot berekeningen.”
Dergelijke vraag wordt dus beter niet gesteld.
2) Dit is een goede vraag die leerplandoelstelling FA6 beoogt en peilt naar het gebruik van een
correcte terminologie.
3) Deze vraag peilt naar leerplandoelstelling FA7.
- De rentevoeten op hypothecaire leningen zijn vandaag de dag heel wat lager dan 5 %. De
gekozen rentevoet is bijgevolg niet realistisch.
- We geven de voorkeur aan het werken met aflossingstabellen met maandelijkse termijnen; dit is
realistischer.
- Bij het stellen van vraag c) moet de leraar vooraf goed nadenken wat hij bij de leerlingen wil
evalueren. Indien de leraar van de leerlingen verwacht dat ze de termijn berekenen door
toepassing van de formule, dan is dit een slechte vraag. De leerlingen kunnen immers de
termijn berekeningen door in een rij het rentedeel op te tellen bij het kapitaaldeel.
- Verder staat er ook niet vermeld of er al dan niet gebruik mag gemaakt worden van het
financiële menu van de grafische rekenmachine en de TVM-oplosser.
4) Dit is een goede vraag die peilt naar leerplandoelstelling FA8.
In vraag e) is evenwel niet aangegeven of de berekening moet gebeuren door toepassing van de
formules of met behulp van de TVM-oplosser van de grafische rekenmachine.
5) Dit is een goede vraag die peilt naar leerplandoelstelling FA1.
6) Dit is een goede vraag. Vraag a) peilt naar leerplandoelstelling FA4, vragen b) en c) naar FA5.
7) Deze vraag peilt voornamelijk naar leerplandoelstelling FA9. Om eventueel gokken of elimineren bij
de leerlingen te voorkomen, werk je bij dergelijke soort vragen beter met een ongelijk aantal
gegevens in de twee kolommen.
Begeleiding wiskunde West-Vlaanderen – Dag van de studierichtingen – Schooljaar 2015-2016
Derde graad kso/tso met twee wekelijkse lestijden wiskunde
BIJLAGE 6