microcursus: Rekenen met breuken

Rekenen met breuken
Deze microcursus wil de beginner laten kennismaken met breuken en de manier
waarop je ermee kan rekenen.
Wie al weet wat breuken zijn, maar enkel moeite heeft met het rekenen, kan de
eerste twee hoofdstukken overslaan.
De volgende kleuren worden gebruikt om belangrijke delen aan te duiden:
- nieuwe benamingen komen in het groen.
- belangrijke regels om te onthouden in het blauw.
- mogelijke gevaren komen als Let op! in het rood.
- in het oranje worden voorbeelden aangekondigd.
1) Wat zijn breuken?
Met breuken kan je getallen voorstellen die niet geheel zijn.
In de afbeelding hieronder zijn vier taarten te zien met telkens een aangeduid stuk in
het grijs.
De eerste taart is volledig, het is 1 taart.
Bij de tweede taart is maar de helft grijs, we hebben een halve taart.
Zo hebben we bij nummer drie een kwart taart en bij vier hebben we drie kwart.
We gaan nu een andere manier leren om dit wiskundig op te schrijven.
In de tweede taart zijn er in het totaal 2 gelijke stukken, waarvan er 1 grijs is.
We kunnen dit ook met een deling schrijven: we delen 1 door 2 en schreven dit
vroeger als 1:2 of 1÷2.
In de nieuwe manier van schrijven gebruiken we een horizontale streep, met het
eerste getal bovenaan en het tweede getal onderaan: .
Bij de derde taart waren er 4 gelijke stukken, waarvan 1 grijs. We schrijven en
zeggen "één vierde".
Bij de vierde taart waren er 4 gelijke stukken, waarvan 3 grijs. We schrijven en
zeggen "drie vierde".
Zo'n getal noemen we een breuk, het bovenste getal heet de teller, het
onderste de noemer.
De noemer noemt het aantal gelijke stukken waarin één hele taart is verdeeld, de
teller telt hoeveel van die stukken er ook werkelijk zijn.
Let op! Het moeten gelijke stukken zijn, als de stukken niet even groot zijn, klopt
het verhaal niet meer!
Algemeen: als a en b getallen zijn, dan noteren we de breuk met teller a en noemer
b als
.
Andere manier van schrijven voor dezelfde breuk, die hierna nog gebruikt zal
worden: a/b
Zo een breuk stelt een verhouding voor van de twee getallen a en b.
Let op! Je mag niet delen door 0, dus mag de noemer (b) nooit gelijk zijn aan 0.
Op een getallenas kunnen we zo tussen gehele getallen, ook breuken plaatsen:
2) Gelijke breuken
We gaan terug naar onze vier taarten, maar nu zijn er andere stukken grijs
aangeduid.
De eerste taart blijft 1, of als breuk: 1/1. De tweede is nog steeds een halve taart,
genoteerd 1/2.
Bij de derde zijn nu 2 van de 4 stukken grijs, als breuk: 2/4. Maar, dit is natuurlijk
ook een halve taart!
Bij de vierde zijn nu 4 van de 4 stukken grijs, als breuk: 4/4. Dit is nu hetzelfde als
de eerste taart: een hele taart!
Wat besluiten we hieruit? De volgende breuken zijn gelijk:
en
Dit is ook logisch: een breuk was een deling van twee getallen en stelde hun
verhouding voor.
Als die verhoudingen gelijk zijn, dan zijn ook de breuken gelijk.
Of je nu 12 van de 24 knikkers neemt, 3 van de 6 stukken taart, 50 van de 100
muntjes; het is telkens precies de helft:
Natuurlijk hoeft dit niet altijd de helft te zijn, als de verhoudingen maar gelijk zijn.
Zo is 1/4 ook gelijk aan 2/8, want als je een taart in 8 stukken verdeelt en je neemt
er 2, dan heb je één vierde van de taart.
3) Optellen en aftrekken
Optellen
We nemen twee taarten, duiden enkele stukken aan en tellen dit op:
Het is duidelijk dat een halve taart samen met één vierde, een totaal van drie vierde
stukken geeft:
Om te zien waarom dit zo is, verdelen we ook de eerste taart in vier stukken:
In taart 1 zijn nu 2 van de 4 stukken grijs, zoals we weten is 1/2 hetzelfde als 2/4,
een halve taart.
Nu alle taarten in evenveel stukken verdeeld zijn (namelijk 4), kunnen we de grijze
stukken (2 en 1) gewoon optellen.
Regel: om twee breuken met gelijke noemers op te tellen, moet je de tellers
optellen en de noemer behouden.
4) Vermenigvuldigen
Je kan een breuk vermenigvuldigen met een geheel getal, of met een andere breuk.
Breuk vermenigvuldigen met een geheel getal
Stel we hebben een kwart taart, 1/4 dus. We eten er zo drie, dus drie keer 1/4.
Met behulp van de optelregel kunnen we dit ook berekenen:
Als we de middelste stap nu even weglaten, dan zien we het volgende:
Blijkbaar moeten we de noemer laten staan en de teller met dat getal
vermenigvuldigen.
Regel: om een breuk te vermenigvuldigen met een geheel getal, moet je de teller
met dat getal vermenigvuldigen
Breuk vermenigvuldigen met een andere breuk
Wat gebeurt er als je een getal deelt door 1? Inderdaad: niets, het getal blijft
hetzelfde.
Gevolg: een geheel getal x kan je ook schrijven als breuk, namelijk:
.
Als we een taart in acht stukken verdelen en er eerst drie nemen, dat is 3/8.
Stel, we nemen het dubbel, dat is vermenigvuldigen we met 2. Dit kennen we:
Maar we hebben net gezien dat we 2 ook kunnen schrijven als 2/1, dus:
We zien dat ook de nieuwe teller, het product is van de twee oude tellers, want
De noemer, die 8 bleef, is ook het product van beide noemers, namelijk
.
Dit zal altijd zo zijn, vandaar dat we de volgende regel krijgen:
Regel: om twee breuken te vermenigvuldigen, moet je de tellers vermenigvuldigen
en de noemers vermenigvuldigen
5) Delen
Het delen van breuken lijkt erg veel op de vermenigvuldiging, er is niets moeilijks
aan.
Voordat we de regel voor het delen van breuken gaan leren, zien we eerst iets
nieuws.
Omgekeerde van een breuk
Het omgekeerde van een breuk is de breuk die je krijgt door teller en
noemer om te wisselen
Breuk delen door een breuk
Nu we weten wat het omkeren van een breuk is, kunnen we de regel geven:
Regel: om een breuk te delen door een andere breuk, moet je de eerste breuk
vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk
De breuk waardoor je wil delen moet je dus eerst omkeren, dan gebruik je gewoon
de regel voor het vermenigvuldigen.
6) Vereenvoudigen
In het stukje over gelijke breuken hebben we gezien dat de volgende breuken
hetzelfde zijn:
De teller is namelijk steeds precies de helft van de noemer.
De eenvoudigste breuk hiervoor is 1/2, deze krijgt dan ook vaak de voorkeur in
berekeningen.
Voor breuken waar de teller en noemer bestaan uit gehele getallen, kunnen we dit zo
omschrijven:
Een breuk vereenvoudigen is deze vervangen door een gelijke breuk, met
kleinere getallen in teller en noemer.
Om een breuk te vereenvoudigen ga je eerst teller en noemer schrijven als een
product van kleinere getallen.
We kunnen dan de regel voor het vermenigvuldigen toepassen, in de andere richting.
Regel: als teller en noemer geschreven zijn als een product van getallen, dan
mogen gelijke getallen geschrapt worden.
7) Samenvatting rekenregels
Ter herhaling zetten we hier de rekenregels nog eens op een rijtje, elk met een
voorbeeld.
Regel: om twee breuken met gelijke noemers op te tellen, moet je de tellers
optellen en de noemer behouden.
Regel: een breuk blijft gelijk als je teller en noemer met hetzelfde getal (maar niet
0) vermenigvuldigt.
Regel: om een breuk te vermenigvuldigen met een geheel getal, moet je de teller
met dat getal vermenigvuldigen
Regel: om twee breuken te vermenigvuldigen, moet je de tellers vermenigvuldigen
en de noemers vermenigvuldigen
Regel: om een breuk te delen door een andere breuk, moet je de eerste breuk
vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk
Regel: als teller en noemer geschreven zijn als een product van getallen, dan
mogen gelijke getallen geschrapt worden.